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2016_2017学年高中数学第一章立体几何初步1.6.2垂直关系的性质第二课时平面与平面垂直的性质课件_图文

第二课时

平面与平面垂直的性质

自主学习· 新知突破

1.如图,已知平面 α⊥平面 β,α∩β=l,α 内的两条直线 a、b,则 a 与 β 垂 直吗?b 与 β 垂直吗?a 与 b 相对交线 l 的位置有什么不同?

[提示] a⊥β,b与β不垂直,它们的不同点在于a与l垂直而b与l不垂直.

2.拿一个直尺紧贴在墙上转动,要使其与地板垂直,应让直尺与墙和地板的 交线成什么关系?

[提示] 垂直.

1.了解并掌握平面与平面垂直的性质定理. 2.能够灵活应用平面与平面垂直的性质定理证明相关问题.

平面和平面垂直的性质定理

文字语言

在一个平面内 垂直于它们交线 _________的直 如果两个平面互相垂直, 那么________________
线垂直于另一个平面. α⊥β ? ? α∩β=l? ??a⊥β a α ? ? a⊥ l ?

符号语言

图形语言

[强化拓展] (1)应用面面垂直的性质定理时要注意的问题 ①四个条件缺一不可“α⊥β,α∩β=l,a α,a⊥l”. ②一般要作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点,作交线的垂线,把 面面垂直转化为线面垂直. (2)面面垂直的另外两个性质: ①若两个平面垂直,则经过第一个平面内的点作第二个平面的垂线必在第一 个平面内. ②若两个相交平面同时垂直于第三个平面, 则它们的交线垂直于第三个平面.

[自主练习] 1.若平面 α⊥β,直线 a∥α,则( A.α⊥β C.a 与 β 相交 )

B.a∥β 或 a β D.a β 或 a∥β 或 a 与 β 相交

解析: 答案:

a与β三种位置关系都有可能. D

2.已知 α⊥β,α∩β=l,P∈l,则给出下列四个结论: ①过 P 和 l 垂直的直线在 α 内; ②过 P 和 β 垂直的直线在 α 内; ③过 P 和 l 垂直的直线必与 β 垂直; ④过 P 与 β 垂直的平面必与 l 垂直. 其中正确的是( A.② C.①④ ) B.③ D.②③

解析: 对于①,只要直线在过 P 与 l 垂直的平面内便与 l 垂直,不一定在 α 内,故①不对;②对;对于③,只有当这样的直线在 α 内时才能保证与 β 垂直, 故③不对;对于④,这样的平面与 l 可能斜交,故④也不对. 答案: A

3.若l为一条直线,α,β,γ为三个互不重合的平面,给出下面三个语句: ①α⊥γ,β⊥γ?α⊥β;②α⊥γ,β∥γ?α⊥β;③l∥α,l⊥β?α⊥β 其中正确的有________.(填序号)

解析:
答案:

以正方体或教室为模型可以判断出①不正确,②③均正确.
②③

4.已知 PA⊥平面 ABC,二面角 A-PB-C 是直二面角. 求证:AB⊥BC.
证明: 二面角 A-PB-C 为直二面角,

即平面 PAB⊥平面 CPB,且 PB 为交线. 在平面 PAB 内,过 A 点作 AD⊥PB,D 为垂足, 则 AD⊥平面 CPB,

又 BC?平面 CPB, 所以 AD⊥BC. 因为 PA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC, 所以 PA⊥BC, 又 PA∩AD=A,因此 BC⊥平面 PAB, 又 AB 平面 PAB, 所以 AB⊥BC.

合作探究· 课堂互动

面面垂直的性质定理的应用 如图,正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相 1 垂直,AF∥BE,AF⊥EF,AF=EF=2BE. 求证:EA⊥平面 ABCD.

[思路探究]

解答本题的关键是证明 EA⊥AB, 为此应该在平面四边形 ABEF

1 中,利用 AF∥BE,AF⊥EF,AF=EF=2BE 等条件计算 AB、AE、BE 的长度, 利用勾股定理逆定理证明.

[边听边记]

证明:设 AF=EF=a,则 BE=2a.

过 A 作 AM⊥BE 于 M, ∵AF∥BE,∴AM⊥AF. 又∵AF⊥EF,∴AM∥EF, ∴四边形 AMEF 是正方形. ∴AM=a,EM=MB=a, ∴AE=AB= 2a, ∴AE2+AB2=EB2,∴AE⊥AB.

又∵平面 ABCD⊥平面 ABEF, 平面 ABCD∩平面 ABEF=AB, AE 平面 ABEF, ∴EA⊥平面 ABCD.

[ 规律方法 ]

(1) 面面垂直的性质定理,为线面垂直的判定提供了依据和方

法.所以当已知两个平面垂直的时候,经常找交线的垂线这样就可利用面面垂直 证明线面垂直. (2)证明线面垂直主要有两种方法,一种是利用线面垂直的判定定理,另一种 是利用面面垂直的性质定理.应用后者时要注意:①两个平面垂直;②直线在一 个平面内;③直线垂直于交线.以上三点缺一不可.

1.如图,已知 PA⊥平面 ABC,平面 APB⊥平面 BPC.求证:AB⊥BC.

证明:

平面 PAB⊥平面 CPB,且 PB 为交线.

如图,在平面 PAB 内,过 A 点作 AD⊥PB,D 为垂足,则 AD⊥平面 CPB. 又 BC 平面 CPB,所以 AD⊥BC. 因为 PA⊥平面 ABC,BC 平面 ABC,所以 PA⊥BC.又 PA∩AD=A,所以 BC⊥平面 PAB.又 AB 平面 PAB,所以 AB⊥BC.

线面、面面垂直的综合 如图所示, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 a 的菱形, ∠DAB=60° ,侧面 PAD 为正三角形,其所在平面垂直于底面 ABCD. (1)求证:AD⊥PB; (2)若 E 为 BC 边的中点, 能否在棱上找到一点 F, 使平面 DEF⊥平面 ABCD? 并证明你的结论.

[思路探究]

解答本题要首先从菱形、正三角形中找到其中所蕴涵的垂直关

系,联系所学的判定定理与性质定理,得出结论.

[规律方法]

(1)空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直

三者之间可以相互转化, 每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直, 最终达到目的. (2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则,解题时要抓 住几何图形自身的特点,如等边三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线 互相垂直等.

2.平面 PAB⊥平面 ABC,平面 PAC⊥平面 ABC,AE⊥平面 PBC,E 为垂 足. (1)求证:PA⊥平面 ABC; (2)当 E 为△PBC 的垂心时,求证:△ABC 是直角三角形.

证明:

(1)在平面 ABC 内取一点 D,作 DF⊥AC 于 F.

∵平面 PAC⊥平面 ABC,且交线为 AC, ∴DF⊥平面 PAC, PA 平面 PAC,∴DF⊥PA. 作 DG⊥AB 于 G.同理可证 DG⊥AP. DG、DF 都在平面 ABC 内,且 DG∩DF=D, ∴PA⊥平面 ABC.

(2)连接 BE 并延长交 PC 于 H. ∵E 是△PBC 的垂心,∴PC⊥BE. 又已知 AE 是平面 PBC 的垂线,∴PC⊥AE. ∴PC⊥面 ABE.∴PC⊥AB. 又∵PA⊥平面 ABC,∴PA⊥AB. 又 PC∩PA=P,∴AB⊥平面 PAC. ∴AB⊥AC,即△ABC 是直角三角形.

平行、垂直关系的综合 如图,△BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角形,平面 MCD⊥ 平面 BCD,AB⊥平面 BCD,AB=2 3,O 为 CD 的中点,连接 AM 并延长交平 面 BCD 于点 E,连接 CE,DE. (1)求证:B、O、E 三点共线. (2)求证:四边形 BCED 是平行四边形.

[思路探究]

(1)证明三点共线的基本方法是由其中两点确定一条直线,并说

明此直线是某两个平面的交线,然后再证明点在这两个平面的交线上. (2)证明的关键是说明对角线互相平分.

[规范解答]

证明:(1)连接 OM.

∵△MCD 是等边三角形,O 是 CD 的中点, ∴OM⊥CD.2 分 又∵平面 MCD⊥平面 BCD, 平面 MCD∩平面 BCD=CD OM 平面 MCD, ∴OM⊥平面 BCD.4 分

又∵AB⊥平面 BCD,∴AB∥OM, ∴AB 与 OM 共面.6 分 又∵平面 ABOM∩平面 BCD=BO, E∈AM 平面 ABOM,E∈平面 BCD, ∴E∈BO, ∴B、O、E 三点共线.8 分

(2)在等边三角形 MCD 中, 3 3 OM= 2 CM= 2 ×2= 3, 而 AB=2 3且 OM∥AB, ∴△EOM∽△EBA,10 分 EO OM 1 ∴EB = AB =2, ∴O 为 BE 的中点. 又∵O 为 CD 的中点, ∴四边形 BCED 是平行四边形.12 分

[规律方法]

线面平行和线面垂直是立体几何中经常考查的位置关系之一,

当已知线面、面面垂直 (平行)时可考虑性质定理,要证明线面、面面垂直 (平行) 时考虑判定定理.

3.如图,四棱锥 S-ABCD 中,SD⊥平面 ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB =AD=1,SD=2,BC⊥BD,E 为棱 SB 上的一点,平面 EDC⊥平面 SBC. (1)证明:DE⊥平面 SBC; (2)证明:SE=2EB.

证明:

(1)∵SD⊥平面 ABCD,故 BC⊥SD.

又∵BC⊥BD,BD∩SD=D, ∴BC⊥平面 BDS,∴BC⊥DE. 作 BK⊥EC,K 为垂足, ∵平面 EDC⊥平面 SBC, 故 BK⊥平面 EDC,BK⊥DE. 又∵BK 平面 SBC,BC 平面 SBC, BK∩BC=B, ∴DE⊥平面 SBC.

(2)由(1)知 DE⊥SB,DB= 2AD= 2, SD· DB 2 3 ∴SB= SD +DB = 6,DE= SB = 3 ,
2 2

6 2 6 EB= DB -DE = 3 ,SE=SB-EB= 3 ,
2 2

∴SE=2EB.

AB∥CD, BA⊥AD, ◎如图所示, 四棱锥 P-ABCD 的底面是一个直角梯形, CD=2AB,PA⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点,则平面 EBD 垂直于平面 ABCD 吗?请说明理由.

【错解】 理由如下:

平面 EBD 不垂直于平面 ABCD.

假设平面 EBD 垂直于平面 ABCD, 过 E 作 EO⊥BD 于 O,连接 AO,CO. ∵EO?平面 EBD,EO⊥BD, 平面 EBD∩平面 ABCD=BD, ∴EO⊥平面 ABCD.

又∵PA⊥平面 ABCD,∴EO∥PA. ∵E 是 PC 的中点,∴O 是 AC 的中点. 又∵AB∥CD,∴△ABO∽△CDO. ∵AO=OC,∴AB=CD,这与 CD=2AB 矛盾, ∴假设不成立. 故平面 EBD 不垂直于平面 ABCD.

【错因】

错误的原因是默认了 A,O,C 三点共线,而 A,O,C 三点若不

共线,则△ABO∽△CDO 不成立.事实上,很容易证 A,O,C 三点共线,由于 A,O,C 是 PC 上三点 P,E,C 在平面 ABCD 上的投影,故 P,E,C 三点的投 影均在直线 AC 上,故 A,O,C 三点共线,补上这点证明就完整了.

【正解】

平面 EBD 不垂直于平面 ABCD.理由如下:

假设平面 EBD 垂直于平面 ABCD, 过 E 作 EO⊥BD 于 O,连接 AO,CO. ∵EO?平面 EBD,EO⊥BD,平面 EBD∩平面 ABCD=BD, ∴EO⊥平面 ABCD. 又∵PA⊥平面 ABCD,∴EO∥PA. ∵A,O,C 是 PC 上三点 P,E,C 在平面 ABCD 上的投影,

∴P,E,C 三点的投影均在直线 AC 上, ∴A,O,C 三点共线. 又∵E 是 PC 的中点,∴O 是 AC 的中点. ∵AB∥CD,∴△ABO∽△CDO. 又∵AO=OC, ∴AB=CD,这与 CD=2AB 矛盾, ∴假设不成立. 故平面 EBD 不垂直于平面 ABCD.



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