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2017-2018版高中数学必修3全一册学案(24份) 人教课标版15(精品教案)

均匀随机数的产生

.能用模拟方法估计事件的概率.(重点) .设计科学的试验来估计概率.(难点)

[基础·初探] 教材整理 均匀随机数的产生 阅读教材~的内容,完成下列问题. .[]上均匀随机数的产生 利用计算器的函数可以产生[]上的均匀随机数,试验的结果是区间[]内的任何一个实 数,而且出现任何一个实数是等可能的,因此,可以用计算器产生的到之间的均匀随机数进 行随机模拟. .随机模拟方法的基本思想是估计概率.

.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)

()随机数只能用计算器或计算机产生.( )

()计算机或计算器只能产生[]的均匀随机数,对于试验结果在[]上的试验,无法用均匀

随机数进行模拟估计试验.( )

()是[]上的均匀随机数,则利用变量代换=(-)+可得[,]上的均匀随机数.( )

【答案】 ()× ()× ()√

.用随机模拟方法求得某几何概型的概率为,其实际概率的大小为,则( )

.>

.<

.=

.是的近似值

【解析】 随机模拟法求其概率,只是对概率的估计.

【答案】 .在区间(]内的所有实数中,随机取一个实数,则这个实数<的概率是( )
【解析】∵∈(),∴(<)==. 【答案】 .在边长为的正方形当中,有一个封闭曲线围成的阴影区域,向该正方形中随机撒入粒 豆子,恰有粒豆子落入阴影区域内,那么阴影区域的面积近似为.
图?? 【解析】 设阴影区域的面积为,则≈,≈. 【答案】
[小组合作型] 用随机模拟法估计长度型几何概率 取一根长度为的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于的 概率有多大? 【精彩点拨】 用模拟方法并进行相应转化求概率. 【尝试解答】 法一:()利用计算器或计算机产生一组(共个)到区间的均匀随机数,=; ()经过伸缩变换,=*; ()统计出[,]内随机数的个数; ()计算频率()=,即为概率()的近似值. 法二:做一个带有指针的圆盘,把圆周三等分,标上刻度[](这里和重合).转动圆盘记 下指针指在[](表示剪断绳子位置在[]范围内)的次数及试验总次数,则()=即为概率()的近 似值.
.用随机数模拟的关键是把实际问题中事件及基本事件总体对应的区域转化为随机数的

范围.法二用转盘产生随机数,这种方法可以亲自动手操作,但费时费力,试验次数不可能 很大;法一用计算机产生随机数,可以产生大量的随机数,又可以自动统计试验的结果,同 时可以在短时间内多次重复试验,可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识.
.用随机模拟方法估计几何概型的步骤:①确定需要产生随机数的组数,如长度、角度 型只用一组,面积型需要两组;②由基本事件空间对应的区域确定产生随机数的范围;③由 事件发生的条件确定随机数应满足的关系式;④统计事件对应的随机数并计算的频率来估计 的概率.
[再练一题] .在区间[]内任取一个实数,求该实数大于的概率. 【解】 ()利用计算器或计算机产生个~之间的均匀随机数,=; ()作伸缩变换:=*(-),转化为[]上的均匀随机数; ()统计出[]内均匀随机数的个数; ()则概率()的近似值为.
用随机模拟法估计面积型几何概率
如图??,在一个边长为的正方形内部画一个边长为的正方形,向大正方形内随 机投点,求所投的点落入小正方形内的概率.
图?? 【精彩点拨】 把二维型的图形放在一个确定的坐标平面或者平面上,用均匀随机数产 生两组随机数作为点的坐标,或者用实物(如黄豆)计算其频率,从而可估计概率. 【尝试解答】 记事件={所投点落入小正方形内}. ()用计算机产生两组[]上的均匀随机数,=,=. ()经过伸缩平移变换,=*-*-,得[-,]上的均匀随机数. ()统计落入大正方形内点数(即上述所有随机数构成的点(,)数)及落入小正方形内的点 数(即满足-<<且-<<的点(,)数). ()计算频率()=,即为概率()的近似值.

一般地,若一个随机事件需要用两个连续变量 如本例中的, 来描述,用这两个变量 的有序实数对来表示它的基本事件,利用坐标平面能顺利地建立与面积有关的几何概型.
[再练一题] .如图??,在墙上挂着一块边长为的正方形木板,上面画了小、中、大三个同心圆,半 径分别为,,,某人站在之外向此板投镖,设投镖击中线上或没有投中木板时不算,可重投, 问:投中大圆内的概率是多少?投中小圆与中圆形成的圆环内的概率是多少?投中大圆之外 的概率是多少?
图?? 【解】 记事件={投中大圆内},事件={投中小圆与中圆形成的圆环内},事件={投 中大圆之外}. ()用计算机产生两组[]上的均匀随机数=,=; ()经过伸缩平移变换,=16a-,=-,得到两组[-]的均匀随机数; ()统计投中大圆内的次数(即满足+<的点(,)的个数),投中小圆与中圆形成的圆环的 次数(即满足<+<的点(,)的个数),投中木板的总次数(即满足-<<,-<<的点(,) 的个数); ()计算频率()=,()=,()=,即分别为概率(),(),()的近似值.
利用随机模拟试验估计 不规则图形的面积 利用随机模拟方法计算图??中阴影部分(曲线=与轴、=±围成的部分)的面 积.
图?? 【精彩点拨】 在坐标系中画出正方形,用随机模拟的方法可以求出阴影部分面积与正 方形面积之比,从而求得阴影部分的近似值.

【尝试解答】 ()利用计算机产生两组[]上的均匀随机数,=,=. ()进行平移和伸缩变换,=[,),即为点落在阴影部分的概率的近似值. ()统计试验总次数和落在阴影内的次数(满足条件<2a 的点(,)). ()计算频率),即为点落在阴影部分的概率的近似值. ()用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为=. ∴≈. ∴=即为阴影部分面积的近似值.
.解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率,然后通过方程 求得阴影部分面积的近似值.
=,应当作公式记住,当然应理解其来历,其中为总的试验次数,为落在不规则图形内 的试验次数.
[再练一题] .如图??所示,在一个长为,宽为的矩形中有一个半圆,试用随机模拟的方法近似计算 半圆面积,并估计 π 的值.
图?? 【解】 记事件为“点落在半圆内”. ()利用计算机产生两组[]上的均匀随机数=,=; ()进行平移和伸缩变换,=(-)*,=]-)的点(,)的个数); ()计算频率就是点落在阴影部分的概率的近似值; ()用几何概型公式求概率,()=,所以≈,即半圆=,为半圆面积的近似值. 又 π =,所以 π ≈.
[探究共研型] [,]内的均匀随机数
探究 如何产生[,]内的均匀随机数? 【提示】 利用计算机(或计算器)产生[]上的均匀随机数=,然后利用伸缩和平移变换, 令=]

探究 产生[,]内的均匀随机数时,[,]上的任何一个实数,都是等可能的吗?

【提示】 产生[,]内的均匀随机数时,试验的结果是[,]上的任何一个实数,并且任

何一个实数都是等可能的.

将[]内的均匀随机数转化为[-]内的均匀随机数,需实施的变换为( )

.=*

=*

.=*=*

【精彩点拨】 结合两个区间长度及对应的端点值对实施变换.

【尝试解答】 因为随机数∈[],而基本事件都在[-]上,其区间长度为,所以首先把

变为 8a,又因区间左端值为-,所以 8a 再变为 8a-,故变换公式为=8a-.

【答案】

[再练一题]

.是[]上的均匀随机数,=(-),则是区间上的均匀随机数.

【解析】 ≤≤,则函数=(-)的值域是-≤≤-,即是区间[-,-]上的均匀随机数.

【答案】 [-,-]

.用均匀随机数进行随机模拟,可以解决( ) .只能求几何概型的概率,不能解决其他问题 .不仅能求几何概型的概率,还能计算图形的面积 .不但能估计几何概型的概率,还能估计图形的面积 .最适合估计古典概型的概率 【解析】 很明显用均匀随机数进行随机模拟,不但能估计几何概型的概率,还能估计 图形的面积,但得到的是近似值,不是精确值,用均匀随机数进行随机模拟,不适合估计古 典概型的概率. 【答案】 .利用计算机产生~之间的均匀随机数,则事件“3a-<”发生的概率为( )

【解析】 因为<<,所以事件 3a-<,即<的概率是,故选.

【答案】

.设是[]内的一个均匀随机数,经过变换=+,则=对应变换成的均匀随机数是( )









【解析】 当=时,=×+=. 【答案】 .如图??,在边长为的正方形中随机撒 粒豆子,有粒落到阴影部分,据此估计阴影部 分的面积为.
图?? 【解析】 由题意知,这是个几何概型问题,=)=. ∵正=,∴阴=. 【答案】 .设有一个正方形网格,其中每个最小正方形的边长都等于,现用直径等于的硬币投掷 到网格上,用随机模拟方法求硬币落下后与格线有公共点的概率. 【解】 记事件={硬币与格线有公共点}, 设硬币中心为(,). 步骤:()利用计算机或计算器产生两组到之间的均匀随机数,=,=. ()经过平移和伸缩变换,则=(-)*,=(-)*,得到两组[-]内的均匀随机数. ()统计试验总次数及硬币与格线有公共点的次数(满足条件≥或≥的点(,)的个数). ()计算频率,即为硬币落下后与格线有公共点的概率.
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