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2018高中数学第1章解三角形1.1正弦定理、余弦定理的应用习题苏教版必修5

正弦定理、余弦定理的应用 (答题时间:40 分钟) 1. 三角形的三边长为连续自然数, 且最大角是钝角, 那么这个三角形的最小边为 。 2. ( 广 东 高 考 ) 在 ?A B C 中 , 角 A, B, C 所 对 应 的 边 分 别 为 a, b, c , 已 知 b cos C ? c cos B ? 2b ,则 a ? b 。 3. 已知△ABC 中,3( CA + CB )· AB =4 AB ,则 2 tan A = tan B 2 2 。 4. 在△ABC 中,a、b、c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边,如果(a +b )sin(A-B) =(a -b )sin(A+B) ,试判断该三角形的形状。 5. 在△ABC 中,a +c =2b ,其中 a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边长。 (1)求证:B≤ 2 2 2 2 2 ? ? ; (2)若 B ? ,且 A 为钝角,求 A。 3 4 6. (北京高考)在△ABC 中,a=3,b=2 6 ,∠B=2∠A。 (I)求 cosA 的值; (II)求 c 的值。 7. 有两个高度都为 b 米的两个测角仪 AB 和 CD,水平距离为 a 米,测得气球 E 在它们的 正西方向的上空仰角分别是是 α 和 β ,试用 a, b, ? , ? 表示出气球的高度 h 。 1 1. 解:设三边分别为 x ? 1, x, x ? 1( x ? 2, x ? N ) ,由题意得 ( x ?1)2 ? x2 ? ( x ? 1)2 ? 0, x2 ? 4x ? 0 , 解得 0 ? x ? 4 ,又 x ? 2, x ? N ,故 x=3,最小边为 2。 2. 解:由正弦定理得 sin B cos C ? sin C cos B ? 2sin B,sin A ? 2sin B, a ? 2b, 3. 解:由已知得: 3(CA ? CB ) ? (CB ? CA) ? 4 AB ,即 3(a 2 ? b2 ) ? 4c2 。 2 a ?2。 b a 2 ? c 2 ? b2 tan A sin A cos B a a 2 ? c 2 ? b2 7。 ? ? ? 2 2ac ? ?— ?7. tan B sin B cos A b b ? c 2 ? a 2 b 2 ? c 2 ? a 2 2bc 4. 方法一:∵(a +b )sin(A-B)=(a -b )sin(A+B) 2 2 ?a [sin(A-B)-sin(A+B)]=b [-sin(A+B)-sin(A-B)], 2 2 ∴2a cos Asin B=2b cos Bsin A, 2 2 由正弦定理,得:sin Acos Asin B=sin Bcos Bsin A, ∴sin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0, ∴sin 2A=sin 2B,由 0<2A<2π ,0<2B<2π , 得 2A=2B 或 2A=π -2B, 即△ABC 是等腰三角形或直角三角形。 2 2 方法二:同方法一可得 2a cos Asin B=2b cos Bsin A, 由正、余弦定理,即得 2 2 2 2 a2b× 2 b2 ? c2 ? a 2 a2 ? c2 ? b2 2 =b a× 2bc 2ac 2 2 2 2 2 2 2 , ∴a (b +c -a )=b (a +c -b ) , 2 2 2 2 2 2 2 2 即(a -b ) (c -a -b )=0,∴a=b 或 c =a +b , ∴三角形为等腰三角形或直角三角形。 a2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 1 5. (1) 证明: 由余弦定理, 得 cos B ? , 因 a2 ? c 2 ≥ 2ac , ? cos B ≥ , ? 2 2ac 4ac ? 由 0<B<π ,得 B ≤ ,命题得证。 3 ? (2)由正弦定理,得 sin 2 A + sin 2C = 2sin 2 B ,因 B ? ,故 2sin 2 B =1, 4 于是 sin 2 A = cos2C , 3 ? 因为 A 为钝角,所以 sin A = cosC = cos( ? ? A) = sin( A ? ) 。 4 4 ? ? 5? 所以 A ? ( A ? ) ? ? ( A = A ? ,不符合条件,舍去) ,得 A = 。 4 4 8 6. 解: (I) 因为 a=3, b=2 6 , ∠B=2∠A. 所以在△ABC 中, 由正弦定理得 所以 3 2 6 ? , sin A sin 2 A 2sin A cos A 2 6 6 ? ,故 cos A ? 。 sin A 3 3 6 3 2 (II)由(I)知 cos A ? ,所以 sin A ? 1 ? cos A ? ,又因为∠B=2∠A,所 3 3 2 以 cos B ? 2 cos A ? 1 ? 2 1 2 2 2 ,所以 sin B ? 1 ? cos B ? , 3 3 在△ABC 中, sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? 所以 c ? 5 3 , 9 a sin C ?5。 sin A 7. 解:过点 A 作 AG ? EF ,垂足为 G,则 A、C、G 三点共线。 EG EG 在 Rt ?AEG 中, AG ? ,同理 CG ? , tan ? tan ? EG EG a tan ? tan ? 故 a ? CG ? AG ? ,解得 EG ? ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? a tan ? tan ? 故气球的高度 h ? b ? 。 tan ? ? tan ? 3


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