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2018高中数学第1章解三角形1.1正弦定理、余弦定理的应用习题苏教版必修5


正弦定理、余弦定理的应用 (答题时间:40 分钟) 1. 三角形的三边长为连续自然数, 且最大角是钝角, 那么这个三角形的最小边为 。 2. ( 广 东 高 考 ) 在 ?A B C 中 , 角 A, B, C 所 对 应 的 边 分 别 为 a, b, c , 已 知 b cos C ? c cos B ? 2b ,则 a ? b 。 3. 已知△ABC 中,3( CA + CB )· AB =4 AB ,则 2 tan A = tan B 2 2 。 4. 在△ABC 中,a、b、c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边,如果(a +b )sin(A-B) =(a -b )sin(A+B) ,试判断该三角形的形状。 5. 在△ABC 中,a +c =2b ,其中 a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边长。 (1)求证:B≤ 2 2 2 2 2 ? ? ; (2)若 B ? ,且 A 为钝角,求 A。 3 4 6. (北京高考)在△ABC 中,a=3,b=2 6 ,∠B=2∠A。 (I)求 cosA 的值; (II)求 c 的值。 7. 有两个高度都为 b 米的两个测角仪 AB 和 CD,水平距离为 a 米,测得气球 E 在它们的 正西方向的上空仰角分别是是 α 和 β ,试用 a, b, ? , ? 表示出气球的高度 h 。 1 1. 解:设三边分别为 x ? 1, x, x ? 1( x ? 2, x ? N ) ,由题意得 ( x ?1)2 ? x2 ? ( x ? 1)2 ? 0, x2 ? 4x ? 0 , 解得 0 ? x ? 4 ,又 x ? 2, x ? N ,故 x=3,最小边为 2。 2. 解:由正弦定理得 sin B cos C ? sin C cos B ? 2sin B,sin A ? 2sin B, a ? 2b, 3. 解:由已知得: 3(CA ? CB ) ? (CB ? CA) ? 4 AB ,即 3(a 2 ? b2 ) ? 4c2 。 2 a ?2。 b a 2 ? c 2 ? b2 tan A sin A cos B a a 2 ? c 2 ? b2 7。 ? ? ? 2 2ac ? ?— ?7. tan B sin B cos A b b ? c 2 ? a 2 b 2 ? c 2 ? a 2 2bc 4. 方法一:∵(a +b )sin(A-B)=(a -b )sin(A+B) 2 2 ?a [sin(A-B)-sin(A+B)]=b [-sin(A+B)-sin(A-B)], 2 2 ∴2a cos Asin B=2b cos Bsin A, 2 2 由正弦定理,得:sin Acos Asin B=sin Bcos Bsin A, ∴sin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0, ∴sin 2A=sin 2B,由 0<2A<2π ,0<2B<2π , 得 2A=2B 或 2A=π -2B, 即△ABC 是等腰三角形或直角三角形。 2 2 方法二:同方法一可得 2a cos Asin B=2b cos Bsin A, 由正、余弦定理,即得 2 2 2 2 a2b× 2 b2 ? c2 ? a 2 a2 ? c2 ? b2 2 =b a× 2bc 2ac 2 2 2 2 2 2 2 , ∴a (b +c -a )=b (a +c -b ) , 2 2 2 2 2 2 2 2 即(a -b ) (c -a -b )=0,∴a=b 或


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