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求解无棱二面角大小的三个对策


求解无棱二面角大小的三个对策
甘肃省高台县第一中学 韩天禧 求解无棱二面角大小是高考的热点也是难点,可思维活、方法多,现从一例高考题出作系统疏理归纳. 题目 (2011 高考全国卷第 16 题)已知面 E 、 F 分别在正方形 ABCD ? ABC 1 1 1D1 的棱 BB1 、 CC1 上,且 B1E ? 2EB , CF ? 2FC1 ,则面 AEF 与面 ABC 所成 的二面角的正切值等于____. 对策一 利用空间向量求解
A1 D2 N A2 A P D O B E D1 B1 C1 F
M

C

1 解法 1 利用空间几何向量求解, AE ? AB ? AA1 , 3 AF ? AC ?

? E ?0 2 2 ?n ?A AA1 ? AB ? AD ? AA1 , 设平面 AEF 的法向量为 n ? xAB ? yAD ? zAA1 , 由? , 3 3 F ?0 ? ?n ?A

? 1 ? ? ? 1 ? x AB ? y AD ? z AA1 ? ? AB ? 3 AA1 ? ? 0 x? z ?0 ? ? ? ? 3 ,把相关量代入化简得 ? 取 z ? 3 解得 ? ? 2 2 ? ? ? x AB ? y AD ? z AA ? AB ? AD ? AA ? 0 ?x ? y ? z ? 0 1 1? ? ? ? 3 ? 3 ? ? ?

? ?

? ?

x ? y ? ?1 得 n ? ? AB ? AD ? 3AA1 ,平面 ABC 的法向量为 AA1 ,不难求出 ? AB ? AD ? 3AA1 ? 11 ,得 n ? 11 ,

?

?

2

AA1 n ,? n ? AA1 ? ? AB ? AD ? 3 AA1 ? AA1 ? 3 , 则 c o s

?

?

AA1 ? n AA1 n

?

3 , s i nAA1 n ,? 11

2 ? 1 2? c? os , 11

tan AA1 , n ?

2 2 .故面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于 . 3 3

点评 面对丰富的几何条件,尤其是每个顶点处都有,两两夹角及长度已知三线段,象这一类条件下证 算相关量,利用空间几何向量求解,是最易上手和操作的方法,但对填空或选择题,这样做也许会费时费 力,小题大做,可它是万全之策. 解法 2 利用空间直角坐标系求解 分别以 DA 、 DC 、 DD1 为 x 、 y 、 z 轴正半轴,建立空间直角坐 标 O ? xyz . 得 A ?1,0,0 ? , E ?1,1, ? F ? 0,1, ? , AE ? ? 0,1, ? , AF ? ? ?1,1, ? . 设平面 AEF 的法向量为

? ?

1? 3?

? ?

2? 3?

? ?

1? 3?

? ?

2? 3?

? 1 y? z ?0 ? ? ? 3 ?m ? AE ? 0 , ? 取 z ? 3 得 m ? ?1, ?1,3? , n ? 11 ,又平面 ABC 的法向 m ? ? x, y, z ? 由 ? ? ?m ? AF ? 0 ?? x ? y ? 2 z ? 0 ? 3 ?

1

,1 m ? 量为 DD1 ? ? 0,0,1? , 由 cos DD

DD1 ? m DD1 m

?

3 2 2 , sin DD1 , n ? 1 ? cos2 ? ? ,tan DD1 , n ? 3 11 11
2 . 3

故面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于

点评 若用空间直角坐标系求解,其中找作两两垂直三线,建立适当坐标系是关键.

?? 对策二 利用公式 c o s

S' 求解: 其中 S 表示二面角的一个半平面中一封闭图形的面积,S ' 是 S S

在另半平面上的射影面积. 解法 3 由正方体性质可知 ?AEF 在平面 ABCD 上的射影为 ?ABC , 设正方体棱长 1, 在 Rt ?ACF 中

4 22 1 10 2 2 AF ? AC 2 ? CF 2 ? 2 ? ? ;在 Rt? ABE中, AE ? AB ? BE ? 1 ? ? ,取线段 CF 中点为 M ,在 9 3 9 3
Rt? EMF中,求得 EF ?

10 11 2 10 ANE 中, AF ? AE 2 ? AN 2 ? ? ? ,取线段 AF 中点为 N ,在 Rt ? 3 9 18 2

由此得 S?AEF ? AF ? EN ? ?

1 2

1 1 S 2 1 22 2 11 3 S?ABC ? AB ? BC ? 得 cos ? ? ?ABC ? , , ? ? , sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 2 2 2 3 2 6 S?AEF 11 11

tan ? ?

sin ? 2 2 .故面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于 . ? cos ? 3 3

点评 不失时机的利用面积射影法间接求二面角大小,可避免找二面角的棱及作二面角的平面角双重 麻烦,使求解过程更经济. 对策三 利用两半平面垂线求解 解法 4 过点 C 作 CH ? AF 垂足为 F ,取线段 AF 的中点为 N ,连接 NO , NO ∥ AB , AB ? 平面 AEF ? NO ? 平面 AEF ? CH ? EN ,又 CH ? AF ? CH ? 平面 AEF ,又 CF ? 平面 ABCD , 得二面角的两半平面的垂线 CH 、 CF 的夹角为 ?FCH ,该角和面 AEF 与面 ABC 所成的二面角大小相 等,又 ?FCH ? ?FAC ,在 Rt ?FAC 中, tan ?FAC ?

CF 2 ,故面 AEF 与面 ABC 所成的二面角 ? AC 3

的正切值等于

2 . 3

点评 二面角的两半平面的垂线所成角,与二面角大小相等或互补,这就需要对二面角大小作粗判断: 当二面角的其中一半平面上任意一点,在另一半平面上的身影在二面角的半平面上,二面角为锐角;在棱 上二面角为直角;在反向延伸面上,二面角为锐角. 对策四 找作二面角的棱,并作出平面角求解 解法 5 利用相交直线找棱 分别延长线段 CB 、 FE 交于 P 连接 AP ,则 AP 为平面 AEF 与平面 ABC 的交线,B1E ? 2EB ,CF ? 2FC1 ,? BE / /

1 CF ? CB ? BP ? DB / / AP ,正方形 ABCD ? DB ? AC , 2
2

得 AP ? AC ,又 CC1 ? 平面 ABC ? AC1 ? AP ,得 ?FAC 为面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的平面角, 在 Rt ?FAC 中, AC ? 2 , CF ?

2 CF 2 ,则 tan ?C1 AC ? . ? 3 AC 3

点评 若二面角的两半平面同时与第三个平面相交,这两条交线的交点在二面角的棱上. 解法 6 利用平行直线找棱 记 AC

1 1 BD ? O ,取 AF 的中点为 N ,连接 NO , NO / / CF , BE / / CF 2 2
平面 ABC ? l ? P ? l ∥ BD .以下解法同解法 5

? NO/ /BE ? EN / / BD ,又 EN ? 平面 AEF ,平面 AEF

点评 当二面角的两半平面上,有两条互相平行的直线,由线面平行性质可知,二面角的棱与这组平 行线平行. 解法 7 利用平移平面找棱 分别取线段 AF 、 CF 的中点为 N 、 M ,连接 NE 、 EM 、 NM ,

1 1 NO / / CF , BE / / CF ? NO/ /BE ? EM ∥ BC , EN ∥ BD ? 平面 ENM ∥ ABC 平面,则面 2 2
AEF 与面 ABC 所成的二面角,为面 AEF 与面 ENM 所成的二面角, 由平面 ENM ∥ ABC 平面, CC1 ? 平
面 ABC ? CC1 ? 平面 ENM ,又 NM ? EN , NM ? EN ? FN ? EN ,得 ?MNF 为面 AEF 与面

ECM 所成的二面角的平面角. 在 Rt ?NMF 中, NM ? 2 , MF ?

1 MF 2 ,则 tan ?MNF ? . ? 3 NM 3

点评 由空间等角定理可知:如果两个二面角的两半平面分别平行,则这两个二面角大小相等.

3



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