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江苏专用2018版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算课件理苏教版_图文

§3.1 导数的概念及运算 内容索引 基础知识 题型分类 自主学习 深度剖析 课时作业 基础知识 自主学习 知识梳理 1.导数与导函数的概念 (1)设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),若Δx无限趋近于0时, Δy f?x0+Δx?-f?x0? 比值 = 无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=x0处可导, Δx Δx 并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数(derivative),记作 f′(x0) . (2)如果函数y=f(x) 在开区间 (a,b)内的每一点处都有导数,其导数值在 (a , b) 内构成一个新函数,这个函数称为函数 y= f(x) 在开区间内的导函 数.记作f′(x)或y′. 2.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处 的切线的斜率k,即k= f′(x0) . 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 0 f′(x)=__ αxα-1 f′(x)=______ f(x)=C(C为常数) f(x)=xα(α为常数) f(x)=sin x cos x f′(x)=_____ f(x)=cos x sin x f′(x)=- ______ ex f′(x)=___ axln a f′(x)=______ f(x)=ex f(x)=ax(a>0,a≠1) f(x)=ln x 1 f′(x)=___ x 1 xln a f′(x)=_____ f(x)=logax(a>0,a≠1) 4.导数的运算法则 若f′(x),g′(x)存在,则有 (1)[f(x)±g(x)]′= f′(x)±g′(x) ; (2)[f(x)· g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ; f′?x?g?x?-f?x?g′?x? 2 f ? x ? g ?x? (3)[ ]′= (g(x)≠0). g?x? 5.复合函数的导数 若y=f(u),u=ax+b,则y′x=y′u· u′x,即y′x=y′u· a. 知识拓展 1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是 周期函数. f′?x? 1 2.[ ]′=- 2 (f(x)≠0). f?x? f ?x? 3.[af(x)+bg(x)]′=af′(x)+bg′(x). 4.函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映 了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这 点处的切线越“陡”. 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.( × ) (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同.( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × ) (5)函数f(x)=sin(-x)的导数是f′(x)=cos x.( × ) 考点自测 1.(教材改编)若f(x)=x· ex,则f′(1)= 2e . 答案 解析 f′(x)=ex+x· ex,∴f′(1)=2e. 1 1 1 1 2.(教材改编)①(cos x)′=sin x; ②若 y=x2, 则 y′=- x; ③(- )′= . x 2x x 其中正确的个数是 答案 解析 1 . 因为(cos x)′=-sin x,所以①错误; 1 (x2)′=(x-2)′=-2x-3,所以②错误; 1 (- )′=( ? x x ? 1 2 1 1 ?3 2 )′ = x = ,所以③正确. 2x x 2 3.(教材改编)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为 5x+y+2=0 . 答案 解析 因为y′|x=0=-5e0=-5, 所以曲线在点(0,-2)处的切线方程为y-(-2)=-5(x-0), 即5x+y+2=0. 4.(教材改编)若过曲线y= 1 上一点P的切线的斜率为-4,则点P的坐标 x 1 1 (2,2)或(-2,-2) 为 . 答案 解析 -1 1 ∵y′=(x )′=-x2=-4, 1 1 ∴x =4,x=± . 2 2 1 1 ∴切点坐标为(2,2)或(-2,-2). 5.(教材改编)函数f(x)=x3的斜率等于1的切线有 2 条. 答案 解析 ∵y′=3x2,设切点为(x0,y0), 则 3 x2 0=1,得 3 x0=± 3 , 3 3 3 3 即在点( 3 , 9 )和点(- 3 ,- 9 )处有斜率为 1 的切线. 题型分类 深度剖析 题型一 导数的计算 例1 求下列函数的导数. (1)y=x2sin x; 解答 y′=(x2)′· sin x+x2.(sin x)′ =2xsin x+x2cos x. (2)y=ln x+ 1 ; 解答 x 1 1 1 1 =x -x2. y′=(ln x+x )′=(ln x)′+( x)′ cos x (3)y= x ; 解答 e cos x y′=( ex )′ sin x+cos x ?cos x?′· ex-cos x?ex?′ =- . = x x 2 e ?e ? (4)y=sin(2x+ π ); 解答 3 π 设 u=2x+3,则 y=sin u, π π 则 y′=(sin u)′· u′=cos(2x+3)· 2 即 y′=2cos(2x+3). (5)y=ln(2x-5). 解答 令u=2x-5,则y=ln u, 1 2 则 y′=(ln u)′· u′= · 2= , 2x-5 2x-5 2 即 y′= . 2x-5 思维升华 (1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后 求导,这样可以减少运算量,提高运算速度


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