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(江苏专版)2014届高考数学大二轮专题复习 审题 解题 回扣第二篇 第3讲 解答题的八个答题模板 文


第3讲
【模板特征概述】

解答题的八个答题模板

数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型, 通常是高考的把关题和压轴题, 具有较 好的区分层次和选拔功能. 目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、 方法和 能力的综合型解答题.在高考考场上,能否做好解答题,是高考成败的关键,因此,在高考 备考中学会怎样解题,是一项重要的内容.本节以著名数学家波利亚的《怎样解题》为理论 依据,结合具体的题目类型,来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格 式,即所谓的“答题模板”. “答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型, 把数学解题的思维过程划分为一个个 小题,按照一定的解题程序和答题格式分步解答,即化整为零.强调解题程序化,答题格式 化,在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案,实现答题效率的最优化. 模板 1 三角函数的周期性、单调性及最值问题

? π? 2 已知函数 f(x)=2cos x·sin?x+ ?- 3sin x+sin xcos x+1. 3 ? ?
(1)求函数 f(x)的最小正周期;(2)求函数 f(x)的最大值及最小值;(3)写出函数 f(x) 的单调递增区间. 审题路线图 解. 不同角化同角→降幂扩角→化 f(x)= Asin(ω x+ φ )+ h→结合性质求

1

规 范 解 答 示 例 解

构 建 答 题 模 板

f(x) = 2cos x ? sin x+

?1 ?2

3 ? 2 cos x? - 3sin x + 2 ?

sin xcos x+1 =2sin xcos x+ 3(cos x-sin x)+1=sin 2x+ 3 cos 2x+1 π? ? =2sin?2x+ ?+1. 3? ? 2π (1)函数 f(x)的最小正周期为 =π . 2 π? π? ? ? (2)∵-1≤sin?2x+ ?≤1,∴-1≤2sin?2x+ ?+ 3? 3? ? ? 1≤3. π π π ∴当 2x+ = +2kπ ,k∈Z,即 x= +kπ ,k∈Z 3 2 12 时,f(x)取得最大值 3; 第一步:三角函数式的化简,一 般化成 y=Asin(ω x+φ )+h 的 形式或 y=Acos(ω x+φ )+h 的 形式. π? ? 如:f(x)=2sin?2x+ ?+1. 3? ? 第二步: 根据 f(x)的表达式求其 周期、最值. 第三步:由 sin x、cos x 的单
2 2

调性,将“ω x+ φ ”看作一个 π π 5π 当 2x+ =- +2kπ ,k∈Z,即 x=- +kπ , 整体,转化为解不等式问题. 3 2 12 第四步:明确规范表述结论. k∈Z 时,f(x)取得最小值-1. 第五步: 反思回顾. 查看关键点、 π π π 5π (3)由- +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ , k∈Z, 得- 2 3 2 12 易错点及解题规范. π +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z. 12 ∴ 函 数

f(x) 的 单 调 递 增 区 间 为

?-5π +kπ ,π +kπ ? (k∈Z). ? 12 ? 12 ? ?

2

模板 2 三角变换与解三角形问题 3 2C 2A 在△ABC 中,若 acos +ccos = b. 2 2 2 (1)求证:a,b,c 成等差数列; (2)求角 B 的取值范围. 审题路线图 (1) 化简变形 ― → 用余弦定理转化为边的关系 ― → 变形证明 (2) 用余弦定理表示角 ― → 用基本不等式求范围 ― → 确定角的取值范围 规 范 解 答 示 例 (1) 证 明 因 为 acos
2

构 建 答 题 模 板
2

C
2

+ ccos

A
2

= 第一步:定条件,即确定三角形中的已知和 所求,在图形中标注出来,然后确定转化的



1+cos C 1+cos A 3 +c· = b, 2 2 2

所以 a+c+(acos C+ccos A)=3b,
2 2 2 2 2 2

? a +b -c +c·b +c -a ? = 故 a + c + ?a· 第二步:定工具,即根据条件和所求合理选 2ab 2bc ? ? ?
3b,整理,得 a+c=2b, 故 a,b,c 成等差数列. 择转化的工具,实施边角之间的互化. 第三步:求结果.
2

方向.

(2) 解
2

cos B =
2

a +c -b = 2ac

2

2

a2+c2-?

2ac

?a+c?2 第四步:回顾反思,在实施边角互化的时候 ? ? 2 ? 应注意转化的方向,一般有两种思路:一是
全部转化为边之间的关系;二是全部转化为 角之间的关系,然后进行恒等变形.

3? a +c ? -2ac 6ac-2ac 1 = ≥ = , 8ac 8ac 2 π 因为 0<B<π ,所以 0<B≤ . 3

模板 3 数列通项公式及求和问题 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an+1=2Sn+1 (n∈N ),等差数列{bn}中,
*

bn>0 (n∈N*),且 b1+b2+b3=15,又 a1+b1、a2+b2、a3+b3 成等比数列.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;(2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn. 审题路线图 (1) an=Sn-Sn-1 ?

n≥2?

→ 消去Sn → 得an+1=3an → an=3

n-1

3

规 范 解 答 示 例 解 (1)∵a1=1, an+1=2Sn+1 (n∈N ), ∴an=2Sn-1+1 (n∈N , n≥2), ∴an+1-an=2(Sn-Sn-1),即 an+1-an=2an, ∴an+1=3an (n∈N ,n≥2).而 a2=2a1+1=3,∴a2=3a1. ∴数列{an}是以 1 为首项,3 为公比的等比数列, ∴an=3
n-1
* * *

构 建 答 题 模 板

第一步:令 n=1,由 Sn=f(an) 求出 a1. 第二步:令 n≥2,构造 an=Sn -Sn-1, 用 an 代换 Sn-Sn-1(或用

(n∈N ).∴a1=1,a2=3,a3=9,

*

在等差数列{bn}中,∵b1+b2+b3=15,∴b2=5. 又∵a1+b1、a2+b2、a3+b3 成等比数列,设等差数列{bn}的公差为 d, 则有(a1+b1)(a3+b3)=(a2+b2) . ∴(1+5-d)(9+5+d)=64,解得 d=-10 或 d=2, ∵bn>0 (n∈N ),∴舍去 d=-10,取 d=2,∴b1=3,∴bn=2n+1 (n∈N ). (2)由(1)知 Tn=3×1+5×3+7×3 +?+(2n-1)3
1 2 * * 2

Sn-Sn-1 代换 an,这要结合题目
特点),由递推关系求通项. 第三步:验证当 n=1 时的结论 是否适合当 n≥2 时的结论. 如果适合, 则统一“合写”; 如 果不适合,则应分段表示.
n-2

+(2n+1)3

n-

第四步:写出明确规范的答案. 第五步: 反思回顾. 查看关键点、

,①
2 3

∴3Tn=3×3+5×3 +7×3 +?+(2n-1)3
2

n-1

+(2n+1)3 ,②
n-1

n

易错点及解题规范. 本题的易错 点, 易忽略对 n=1 和 n≥2 分两 类进行讨论, 同时忽视结论中对

∴①-②得-2Tn=3×1+2×3+2×3 +2×3 +?+2×3 1)3
n

3

-(2n+

=3+2(3+3 +3 +?+3
n

2

3

n-1

)-(2n+1)3

n

二者的合并.

3-3 n n n n n =3+2× -(2n+1)3 =3 -(2n+1)3 =-2n·3 , ∴Tn=n·3 . 1-3

模板 4 空间线、面位置关系的证明及空间角的计算问题 如图,在七面体 ABCDMN 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正 方形,MD⊥平面 ABCD,NB⊥平面 ABCD,且 MD=2,NB=1,

MB 与 ND 交于 P 点.
(1)在棱 AB 上找一点 Q,使 QP∥平面 AMD,并给出证明; (2)求平面 BNC 与平面 MNC 所成锐二面角的余弦值. 审题路线图 (1)P 是△ABM 的一边 BM 上的点→在另一边 AB 上一定存在一点 Q 使

4

BQ BP NB 1 PQ∥AM→ = = = . QA PM MD 2
(2)建立坐标系→构造法向量→求夹角. 规 范 解 答 示 例 解 (1) 构 建 答 题 模 板

1 当 BQ= AB 时,有 QP∥平面 AMD. 3 证明:∵MD⊥平面 ABCD,NB⊥平面 ABCD,∴MD∥NB.

第一步: 作出(或找出)具有公共 交点的三条相互垂直的直线. 第二步:建立空间直角坐标系, 写出特殊点坐标. 第三步: 求(或找)两个半平面的 法向量. 第四步:求法向量 n1,n2 的夹角 或 cos〈n1,n2〉(若为锐二面角 则求|cos〈n1,n2〉|). 第五步: 将法向量的夹角转化为 二面角的夹角. 第六步: 反思回顾, 查看关键点、

BP NB 1 QB 1 QB BP ∴ = = .又 = .∴ = . PM MD 2 QA 2 QA PM
∴在△MAB 中,QP∥AM. 又 QP?平面 AMD,AM? 平面 AMD, ∴QP∥平面 AMD. (2)

以 DA、DC、DM 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角

易错点及解题规范. 如本题求得

坐标系如图,则 D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,0,2), cos〈n1,n2〉=-2后易答二面 3 N(2,2,1). 2 角的余弦值为- 而出错,一定 → → → 3 ∴CM=(0,-2,2),CN=(2,0,1),DC=(0,2,0). 设平面 MNC 的法向量为 n1=(x,y,z), → 则 n1·→ CM=0,?n1·CN=0. ∴{-2y+2z=0,?2x+z=0. 取 x=1,∴n1=(1,-2,-2).又 NB⊥平面 ABCD, ∴NB⊥DC,又 DC⊥BC.∴DC⊥平面 BNC. 要注意这一点.

{

n1·n2 → ∴平面 BNC 的法向量 n2=DC=(0,2,0), cos 〈n1, n2〉 = |n1||n2|

5



-4 2 =- . 3×2 3

2 设所求的锐二面角大小为 θ ,则 cos θ =|cos〈n1,n2〉|= . 3 2 故平面 BNC 与平面 MNC 所成锐二面角的余弦值为 . 3

模板 5 解析几何中的探索性问题 已知定点 C(-1,0)及椭圆 x +3y =5,过点 C 的动直线与椭圆相交于 A,B 两点. 1 (1)若线段 AB 中点的横坐标是- ,求直线 AB 的方程; 2 → → (2)在 x 轴上是否存在点 M,使MA·MB为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在, 请说明理由. 审题路线图 设 AB 的方程 y=k(x+1)→待定系数法求 k→写出方程;设 M 存在即为 → → → → (m,0)→求MA·MB→在MA·MB为常数的条件下求 m. 规 范 解 答 示 例 构 建 答 题 模 板
2 2

假设结 解 (1)依题意, 直线 AB 的斜率存在, 设直线 AB 的方程为 y=k(x+1), 第一步: 将 y=k(x+1)代入 x +3y =5, 消去 y 整理得(3k +1)x +6k x+3k -5 =0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则
4 2 2 Δ =36k -4? 3k +1? ? 3k -5? >0, ? ? 2 ? 6k x . ② 1+x2=- 2 ? 3k +1 ? 2 2 2 2 2 2

论存在. 第二步: 以存在 为条件, 进行推



理求解. 第三步: 明确规 范表述结论. 若
2

1 x1+x2 3k 1 由线段 AB 中点的横坐标是- ,得 =- 2 =- ,解得 k= 2 2 3k +1 2 ± 3 ,适合①. 3

能推出合理结 果, 经验证成立 即可肯定正确; 若推出矛盾, 即

所以直线 AB 的方程为 x- 3y+1=0 或 x+ 3y+1=0. → → (2)假设在 x 轴上存在点 M(m,0),使MA·MB为常数. 6k 3k -5 (ⅰ)当直线 AB 与 x 轴不垂直时, 由(1)知 x1+x2=- 2 , x1x2= 2 . 3k +1 3k +1 ③ → → 2 所以MA·MB=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(x1-m)(x2-m)+k (x1+1)(x2+
2 2

否定假设. 第四步: 反思回 顾.查看关键 点, 易错点及解 题规范. 如本题中第(1)

6

1) =(k +1)x1x2+(k -m)(x1+x2)+k +m . → → ? 6m-1? k -5 2 将③代入,整理得MA·MB= +m 2 3k +1
2 2 2 2 2

问容易忽略 Δ >0 这一隐含 条件. 第(2)问易忽略 直线 AB 与 x 轴 垂直的情况.

?2m-1?? 3k2+1? -2m-14 ? 3? 3 ? ? 1 6m+14 2 2 = +m =m +2m- - . 2 2 3k +1 3 3? 3k +1?
7 → → 注意到MA·MB是与 k 无关的常数,从而有 6m+14=0,m=- ,此时 3 → → 4 MA·MB= . 9 (ⅱ)当直线 AB 与 x 轴垂直时,此时点 A、B 的坐标分别为?-1,

? ?

2? ?、 3?

?-1,- 2 ? ? ?, 3? ?
7 → → 4 当 m=- 时,也有MA·MB= . 3 9 → → ? 7 ? 综上,在 x 轴上存在定点 M?- ,0?,使MA·MB为常数. ? 3 ?

模板 6 离散型随机变量的分布列、期望与方差 已知一个袋中装有 3 个白球和 3 个红球,这些球除颜色外完全相同. (1)每次从袋中取一个球,取出后不放回,直到取到一个红球为止,求取球次数 ξ 的分 布列和数学期望 E(ξ ); (2)每次从袋中取一个球,取出后放回接着再取一个球,这样取 3 次,求取出红球次数 η 的数学期望 E(η ). 审题路线图 取到红球为止→取球次数的所有可能 1,2,3,4→求对应次数的概率→列

分布列→求 E(ξ ). 取出后放回,这是条件→每次取到红球的概率相同→三次独立重复试验→利用公式. 规 范 解 答 示 例 构 建 答 题 模 板

7

3 1 解 (1)ξ 的可能取值为 1,2,3,4.P(ξ =1)= = , 6 2

P(ξ =2)= P(ξ =3)= P(ξ =4)=

A3A3 3×3 3 = , 2 = A6 6×5 10 A A 3×2×3 3 = = , A 6×5×4 20 AA 3×2×3 1 = = . A 6×5×4×3 20
3 1 3 3 4 6 2 1 3 3 3 6

1 1

第一步:确定离散型随机变量 的所有可能值. 第二步:求出每个可能值的概 率. 第三步:画出随机变量的分布 列.

故 ξ 的分布列为 ξ 1 1 2 2 3 10 3 3 20 4 1 20

第四步:求期望和方差. 第五步:反思回顾.查看关键 点、易错点及解题规范.如本 题可重点查看随机变量的所有 可能值是否正确;根据分布列

P

1 3 3 1 7 数学期望 E(ξ )=1× +2× +3× +4× = . 2 10 20 20 4

(2)取出后放回,取球 3 次,可看作 3 次独立重复试验, 性质检查概率是否正确. 1 1 3 所以 η ~B(3, ),所以 E(η )=3× = . 2 2 2

模板 7 函数的单调性、最值、极值问题 已知函数 f(x)=aln x+ 2a
2

x

+x (a≠0).

(1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线 x-2y=0 垂直,求实数 a 的值;(2) 讨论函数 f(x)的单调性; 1 2 (3)当 a∈(-∞,0)时,记函数 f(x)的最小值为 g(a),求证:g(a)≤ e . 2 审题路线图 (1)f′(1)=-2→求 a.(2)讨论 f′(x)>0 或 f′(x)<0→f(x)的单调区 1 间. (3)求 f(x)的最小值 g(a)的函数表达式→求 g(a)在(-∞, 0)上的最大值→g(a)≤ 2 e.
2

8

规 范 解 答 示 例

构 建 答 题 模 板

a 2a2 (1)解 f(x)的定义域为{x|x>0}.f′(x)= - 2 +1 (x>0). x x
3 2 根据题意, 有 f′(1)=-2, 所以 2a -a-3=0, 解得 a=-1 或 a= . 2 (2)解 f′(x)= - (x>0). ①当 a>0 时,因为 x>0,由 f′(x)>0 得(x-a)(x+2a)>0,解得 x>a; 由 f′(x)<0 得(x-a)(x+2a)<0,解得 0<x<a. 所以函数 f(x)在(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减. ②当 a<0 时,因为 x>0,由 f′(x)>0 得(x-a)(x+2a)>0, 解得 x>-2a;由 f′(x)<0 得(x-a)(x+2a)<0,解得 0<x<-2a. 所以函数 f(x)在(-2a,+∞)上单调递增,在(0,-2a)上单调递减. (3)证明 由(2)知,当 a∈(-∞,0)时,函数 f(x)的最小值为 f(- 2a), 2a 即 g(a)=f(-2a)=aln(-2a)+ -2a=aln(-2a)-3a. -2a -2 g′(a)=ln(-2a)+a· -3=ln(-2a)-2,令 g′(a)=0,得 a -2a 1 2 =- e . 2 当 a 变化时,g′(a),g(a)的变化情况如下表:
2

a 2a2 x2+ax-2a2 ? x-a? ? x+2a? = 2 +1= x x x2 x2
第一步:确定函数的定义 域.如本题函数定义域为(0, +∞). 第二步:求函数 f(x)的导数

f′(x).
第三步:求方程 f′(x)=0 的根. 第四步:利用 f′(x)=0 的 根和不可导点的 x 的值从小 到大顺次将定义域分成若干 个小开区间,并列出表格. 第五步:由 f′(x)在小开区 间内的正、负值判断 f(x)在 小开区间内的单调性;求极 值、最值.

a g′(a) g(a)

1 2 (-∞,- e ) 2 + ?

1 2 - e 2 0 极大值

1 2, (- e 0) 2 - ?

第六步:明确规范地表述结 论. 第七步:反思回顾.查看关 键点、 易错点及解题规范. 如 本题第(2)问易忽视定义域, 对 a 不能正确分类讨论.

1 2 - e 是 g(a)在(-∞,0)上的唯一极值点,且是极大值点,从而也是 2

g(a)的最大值点.
1 2 ? ? 1 2? ? 1 2?? ? 1 2? 所以 g(a)最大值=g?- e ?=- e ln?-2×?- e ??-3?- e ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ?? ? 2 ? 1 2 3 2 1 2 2 =- e ln e + e = e . 2 2 2 1 2 所以,当 a∈(-∞,0)时,g(a)≤ e . 2

9

模板 8 含参不等式的恒成立问题 2 3 2 已知函数 f(x)=x +bx +cx+d,当 x=- 和 x=1 时取得极值. 3 (1)求 b 和 c 的值; (2)若对于任意 x∈[-1,2], f(x)<2d -1 恒成立, 求 d 的取值范围. 2? ? ?f′? ?-3?=0 审题路线图 f(x)→f′(x)→? ? ? ?f′? 1? =0 ? 大值→解不等式 f(x)max<2d -1→d 的取值范围. 规 范 解 答 示 例 解 (1)∵f(x)=x +bx +cx+d,∴f′(x)=3x +2bx+c.
3 2 2 2 2

→求 b,c→在[-1,2]上求 f(x)的最

构 建 答 题 模 板

2 又∵x=- 和 x=1 是 f(x)的极值点, 3 2 ? ?f′? - ? =0 3 ∴? ? ?f′? 1? =0 1 ? ?b=- 2 得? ? ?c=-2 2 2 ? ?3×? - ? 2+2b×? - ? +c=0, 3 3 ,即? ? ?3×12+2b×1+c=0,

解之 第一步: 将问题转化为形如 不等式 f(x)≥a(或

.

f(x)≤a)恒成立的问题.
第二步:求函数 f(x)的最 小值 f(x)min 或最大值

1 检验 b=- ,c=-2 符合要求. 2 1 2 3 2 (2)由(1)知 f(x)=x - x -2x+d,∴f′(x)=3x -x-2, 2 2 2 令 f′(x)=0 得 x1=- ,x2=1,当 x∈[-1,- )时,f′(x)>0, 3 3 2 即 f(x)在[-1,- )上为增函数. 3 2 2 当 x∈(- ,1)时,f′(x)<0,即 f(x)在(- ,1)上为减函数. 3 3 当 x∈(1,2]时,f′(x)>0,即 f(x)在(1,2]上为增函数. 2 22 2 22 又 f(- )= +d,f(2)=2+d,∴f(2)=2+d>f(- )= +d, 3 27 3 27 ∴当 x∈[-1,2]时,f(x)max=2+d, 又 x∈[-1,2]时,f(x)<2d -1 恒成立. 3 2 ∴2+d<2d -1,解之得 d<-1 或 d> , 2
2

f(x)max.
第三步:解不等式

f(x)min≥a(或 f(x)max≤a).
第四步: 明确规范地表述结 论. 第五步:反思回顾.查看关 键点、易错点及答题规 范. 如本题重点反思每一步 转化的目标及合理性, 最大 或最小值是否正确.

10

3 故 d 的取值范围是(-∞,-1)∪( ,+∞). 2

高考数学解答题虽然具有较强的知识综合性,思维的灵活性,但所考查的数学知识、方 法,基本数学思想是不变的,题目形式的设置是相对稳定的,因而本讲结合近几年高考的重 点、热点题型,通过对答题思路的分析、梳理,构建了几类重点题型的“答题模板”,目的 是给考生一个在考前回顾如何规范思维,如何有效答题的辅助材料.重点是思维过程、规范 解答和反思回顾,结合着具体题型给出了具有可操作性的答题程序.希望能够举一反三,对 考生答题有所帮助.

11


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