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18学年高中数学第二章函数2.1.4函数的奇偶性学案新人教B版必修1

2.1.4 函数的奇偶性 [学习目标] 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.2.掌握判断函数奇偶性的方法,了 解奇偶性与函数图象对称性之间的关系.3.会利用函数的奇偶性解决简单问题. [知识链接] 1.关于 y 轴对称的点的坐标,横坐标互为相反数,纵坐标相等;关于原点对称的点的坐标, 横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数. 2.如图所示,它们分别是哪种对称的图形? 答案 第一个既是轴对称图形、又是中心对称图形,第二个和第三个图形为轴对称图形. 1 3. 观察函数 f(x)=x 和 f(x)= 的图象(如图), 你能发现两个函数图象有什么共同特征吗? x 答案 图象关于原点对称. [预习导引] 1.函数奇偶性的定义 (1)奇函数:设函数 y=f(x)的定义域为 D,如果对 D 内的任意一个 x,都有-x∈D,且 f(- x)=-f(x),则这个函数叫做奇函数. (2)设函数 y=g(x)的定义域为 D, 如果对 D 内的任意一个 x, 都有-x∈D, 且 g(-x)=g(x), 则这个函数叫做偶函数. 2.奇、偶函数图象的对称性 (1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形,反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对 称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数. (2)偶函数的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数的图象关于 y 轴对 1 称,则这个函数是偶函数. 解决学生疑难点 要点一 判断函数的奇偶性 例 1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=2-|x|; (2)f(x)= x -1+ 1-x ; (3)f(x)= 2 2 x x-1 ; ? ?x+1,x>0, (4)f(x)=? ?-x+1,x<0. ? 解 (1)∵函数 f(x)的定义域为 R,关于原点对称,又 f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x), ∴f(x)为偶函数. (2)∵函数 f(x)的定义域为{-1,1}, 关于原点对称, 且 f(x)=0, 又∵f(-x)=-f(x), f(- x)=f(x), ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)∵函数 f(x)的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称, ∴f(x)是非奇非偶函数. (4)f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 当 x>0 时,-x<0, f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x); 当 x<0 时,-x>0, f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x). 综上可知,对于 x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有 f(-x)=f(x),f(x)为偶函数. 规律方法 判断函数奇偶性的方法:(1)定义法:若函数定义域不关于原点对称,则函数为 非奇非偶函数;若函数定义域关于原点对称,则应进一步判断 f(-x)是否等于±f(x),或 判断 f(-x)±f(x)是否等于 0,从而确定奇偶性.(2)图象法:若函数图象关于原点对称,则 函数为奇函数; 若函数图象关于 y 轴对称, 则函数为偶函数.(3)分段函数的奇偶性应分段说 明 f(-x)与 f(x)的关系,只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时,才能判定函数 2 的奇偶性. 跟踪演练 1 (1)下列函数为奇函数的是( A.y=|x| C.y= 1 2 ) B.y=3-x D.y=-x +14 3 2 2 x3 (2)若 f(x)=ax +bx+c(a≠0)是偶函数,则 g(x)=ax +bx +cx 是( A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案 (1)C (2)A ) 解析 (1)A、D 两项,函数均为偶函数,B 项中函数为非奇非偶函数,而 C 项中函数为奇函 数. (2)∵f(x)=ax +bx+c 是偶函数, ∴f(-x)=f(x),得 b=0.∴g(x)=ax +cx. ∴g(-x)=a(-x) 3+c(-x)=-g(x), ∴g(x)为奇函数. 要点二 利用函数奇偶性研究函数的图象 例 2 已知奇函数 f(x)的定义域为[-5,5], 且在区间[0,5]上的图象如下图所示, 则使函数 值 y<0 的 x 的取值集合为________. 3 2 答案 (-2,0)∪(2,5) 解析 因为函数 f(x)是奇函数,所以 y=f(x)在[-5,5]上的图象关于原点对称.由 y=f(x) 在[0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象,如图所示.由图象知,使函数值 y<0 的 x 的 取值集合为(-2,0)∪(2,5). 规律方法 给出奇函数或偶函数在 y 轴一侧的图象, 根据奇函数的图象关于原点对称, 偶函 数的图象关于 y 轴对称,可以作出函数在 y 轴另一侧的图象.作对称图象时,可以先从点的 对称出发,点(x0,y0)关于原点的对称点为(-x0,-y0),关于 y 轴的对称点为(-x0,y0). 跟踪演练 2 设偶函数 f(x)的定义域为[-5,5],若当 x∈[0,5]时, f(x)的图象如图所示,则不等式 f(x)<0 的解集是________. 3 答案 {x|-5≤x<-2,或 2<x≤5} 解析 由于偶函数的图象关于 y 轴对称,所以可根据对称性确定不等式 f(x)<0 的解. ∵当 x∈[0,5]时,f(x)<0 的解为 2<x≤5, 所以当 x∈[-5,0]时,f(x)<0 的解为-5≤x<-2. ∴f(x)<0 的解是-5≤x<-2 或 2<x≤5. 要点三 利用函数的奇偶性求解析式 例 3 已知函数 f(x)(x∈R)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=2x-1,求函数 f(x)的解析式. 解 当 x<0,-x>0, ∴f(-x)=2(-x)-1=-2x-1. 又∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)=2x+1.又 f(x)(x∈R)是奇函数, ∴f(-0)=-f(0),即 f(0)=0. 2x-1,x>0, ? ? ∴所求函数的解析式为 f


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