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[最新]人教A版高中数学必修5同步辅导与检测:第二章2.1数列的概念与简单表示法WORD版含答案解析


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第二章 2.1

数列

数列的概念与简单表示法
A级 基础巩固

一、选择题 1.如图,下列四个图形中,着色三角形的个数依次构成一个数 列的前 4 项,则这个数列的一个通项公式为( )

A.an=3n-1 C.an=3n-2n

B.an=3n D.an=3n-1+2n-3

解析:这 4 个着色三角形的个数依次为 1,3,9,27,都是 3 的 指数幂.猜想数列的通项公式为 an=3n-1. 答案:A 2.某种细菌在培养过程中,每 20 分钟分裂一次(1 个分裂为 2 个).经过 3 小时,这种细菌由 1 个可繁殖成( A.511 个 C.1 023 个 B.512 个 D.1 024 个 )

解析:3 小时含 9 个 20 分钟,分裂 9 次后细菌个数为 29=512. 答案:B 3.已知数列{an}的前 n 项的 Sn=n2-9n,第 k 项满足 5<an<8, 则 k 等于( )

A.9 B.8 C.7 D.6 解析:a1=-8,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2-9n-(n-1)2+

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15 9(n-1)=2n-10.由 5<ak<8,得 <k<9.所以 k=8. 2 答案:B 1 1 1 4.已知数列-1, ,- ,…,(-1)n 2,…,则它的第 5 项的 4 9 n 值为( )

1 1 1 1 A. B.- C. D.- 5 5 25 25 1 解析:易知,数列的通项公式为(-1)n· 2,当 n=5 时,该项为 n 1 1 (-1)5· 2=- . 5 25 答案:D 5.已知数列 1, 3, 5, 7,…, 2n-1,…,则 3 5是它 的( ) A.第 28 项 C.第 23 项 B.第 24 项 D.第 22 项

解析:数列的通项公式为 an= 2n-1. 令 2n-1=3 5,所以 n=23. 答案:C 二、填空题 1 6 .已知数列 {an} 中, a1 = 1 , a2 = 3 , an + 2 = an + 1 + ,则 a5 = an ________. 1 1 13 解析:a3=a2+ =4,a4=a3+ = . a1 a2 3 1 55 a5=a4+ = . a3 12

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答案:

55 12

7.数列{an}的通项公式是 an=2n+1(n∈N*),则 37 是这个数列 的第________项. 解析:由 2n+1=37?n=18. 答案:18 8. 图 1 是第七届国际数学教育大会(简称 ICME—7)的会徽图案, 会徽的主体图案是由图 2 的一连串直角三角形演化而成的, 其中 OA1 =A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图 2 中的直角三角形继续作下 去,记 OA1,OA2,…,OAn,…的长度构成数列{an},则此数列的通 项公式为 an=________.

图1

图2

解析:因为 OA1=1,OA2= 2,OA3= 3,…, OAn= n,…, 所以 a1=1,a2= 2,a3= 3,…,an= n. 答案: n 三、解答题 4 1 16 9.已知数列的通项公式为 an= 2 ,试问 和 是不是它的 10 27 n +3n 项?如果是,是第几项? 解:令 4 1 = ,则 n2+3n-40=0, n +3n 10
2

解得 n=5 或 n=-8,注意到 n∈N*,

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故 n=-8 舍去,所以

1 是数列的第 5 项. 10

4 16 令 2 = ,则 4n2+12n-27=0, n +3n 27 3 9 解得 n= 或 n=- , 2 2 因为 n∈N*,所以 16 不是此数列中的项. 27 写出这个数列的 (n>1),

?a1=1, 10. (1)设数列{an}满足? 1 an=1+ an 1 ?


前 5 项; (2)求数列{-2n2+9n+3}(n∈N*)的最大项. 解:(1)由题意可知: a1=1, 1 1 a2=1+ =1+ =2, a1 1 1 1 2 a3=1+ =1+ = , a2 2 3 1 2 5 a4=1+ =1+ = , a3 3 3 1 3 8 a5=1+ =1+ = . a4 5 5 (2)令 an=-2n2+9n+3, 所以 an 与 n 构成二次函数关系,
? 9?2 105 因为 an=-2n2+9n+3=-2?n-4? + ,且 n 为正整数, 8 ? ?

所以当 n 取 2 时,an 取得最大值 13, 所以数列{-2n2+9n+3}的最大项为 13. B级 能力提升

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1.已知数列{an}满足 a1=0,an+1= =( ) A.- 3 B.0 C. 3 D.3 解析:a1=0,a2= a4=

an- 3 (n∈N*),则 a2 3 an+1

010

- 3 -2 3 =- 3.a3= = 3, 1 -3+1

3- 3 - 3 =0,a5= =- 3,…, 1 3+1

由此可知,an+3=an.又 2 010=3×670, 所以 a2 010=a3= 3. 答案:C 1+an 2.已知数列{an}满足 a1=0,an+1= .写出若干项,并归纳出 3-an 通项公式 an=______________. 1 1+a1 1 3 2 解析:a2= = ,a3= = , 1 4 3-a1 3 3- 3 1+ 2 n-1 4 3 4 a4= = ,a5= ,猜想:an= . 2 5 6 n+1 3- 4 1+ 答案: n-1 n+1 1 1 - = ,求数列{an}的通项公 a n +1 a n 2 1

3.已知数列 {an}中,a1=1, 式. 1 解:设 bn= , an

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1 则 b1=1,bn+1-bn= , 2 1 所以 bn-bn-1= (n≥2), 2 1 bn-1-bn-2= , 2 …, 1 b2-b1= , 2 1 所以 bn-b1= ×(n-1), 2 所以 bn=1+ n-1 n+1 = (n≥2), 2 2 1+1 =1,符合上式, 2

又当 n=1 时,b1= 所以 bn= 所以 an=

n+1 1 = (n∈N*), an 2 2 (n∈N*). n+1

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