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(江苏专版)2014届高考数学大二轮专题复习 审题 解题 回扣第二篇 第2讲 填空题的解法 文


第2讲
【题型特点概述】 1. 填空题的特征

填空题的解法

填空题是不要求写出计算或推理过程, 只需要将结论直接写出的“求解题”. 填空题与 选择题也有质的区别: 第一, 填空题没有备选项, 因此, 解答时有不受诱误干扰之好处, 但也有缺乏提示之不足;第二,填空题的结构往往是在一个正确的命题或断言中,抽出 其中的一些内容(既可以是条件,也可以是结论),留下空位,让考生独立填上,考查方 法比较灵活. 从历年高考成绩看,填空题得分率一直不是很高,因为填空题的结果必须是数值准确、 形式规范、表达式最简,稍有毛病,便是零分.因此,解填空题要求在“快速、准确” 上下功夫,由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程,因此要想“快速”解答填空 题, 则千万不可“小题大做”, 而要达到“准确”, 则必须合理灵活地运用恰当的方法, 在“巧”字上下功夫. 2. 解填空题的基本原则 解填空题的基本原则是“小题不能大做”, 基本策略是“巧做”. 解填空题的常用方法 有:直接法、数形结合法、特殊化法、等价转化法、构造法、合情推理法等. 方法一 直接法 直接法就是从题设条件出发,运用定义、定理、公式、性质、法则等知识,通过变形、 推理、计算等,得出正确结论,使用此法时,要善于透过现象看本质,自觉地、有意识 地采用灵活、简捷的解法. 例1 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且是以 2 为周期的周期函数.若当 x∈[0,1) 1 x 时,f(x)=2 -1,则 f(log 6)的值为________. 2 1 解析 因为-3<log 6<-2, 2 1 所以-1<log 6+2<0, 2 13 即-1<log <0. 22 因为 f(x)是周期为 2 的奇函数, 13? ? 1 ? ? 13? ? 所以 f?log 6?=f?log ?=-f?-log ? 22? ? 2 ? ? 22? ? 3? 3 1 ? =-f?log2 ?=-(2log2 -1)=- . 2? 2 2 ?
1

1 答案 - 2 直接法是解决计算型填空题最常用的方法,在计算过程中,我们要根据题目 的要求灵活处理,多角度思考问题,注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用,将计算 过程简化从而得到结果,这是快速准确地求解填空题的关键. 本题为函数的求值问题,常常伴随函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应 用.解题时先分析所给的自变量值是否在已知函数的定义域范围内. 已知函数 f(x)=|log2x|,正实数 m,n 满足 m<n,且 f(m)=f(n),若 f(x) 在区间[m ,n]上的最大值为 2,则 m+n 的值为________. 答案 5 2
2

?log2x,x≥1, ? 解析 f(x)=|log2x|=? ?-log2x,0<x<1, ?

根据 f(m)=f(n)及 f(x)的单调性,知 0<m<1,n>1, 又 f(x)在[m ,n]上的最大值为 2,0<m <m<1, 1 5 2 所以 f(m )=2,求得 m= ,n=2,于是 m+n= . 2 2 5 故填 . 2 方法二 特例法 当填空题已知条件中含有某些不确定的量, 但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信 息暗示答案是一个定值时,可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值 (或特殊函数,或特殊角,特殊数列,图形特殊位置,特殊点,特殊方程,特殊模型等) 进行处理,从而得出待求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程. 例2 (2012·湖南)如图所示, 在平行四边形 ABCD 中, AP⊥BD,
2 2

→ → 垂足为 P,且 AP=3,则AP·AC=________. → → → → → → → → → 解析 方法一 ∵AP·AC=AP·(AB+BC)=AP·AB+AP·BC → → → → → → → → → =AP·AB+AP·(BD+DC)=AP·BD+2AP·AB, → → ∵AP⊥BD,∴AP·BD=0. → → → → → 2 又∵AP·AB=|AP||AB|cos∠BAP=|AP| , → → → 2 ∴AP·AC=2|AP| =2×9=18. → → 方法二 把平行四边形 ABCD 看成正方形,则 P 点为对角线的交点,AC=6,则AP·AC= 18.
2

答案 18 求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法,但要注意此种方法仅 限于求解结论只有一种的填空题, 对于开放性的问题或者有多种答案的填空题, 则不能 使用该种方法求解.本题中的方法二把平行四边形看作正方形,从 而减少了计算量. → → → (1)如图,在△ABC 中,AD⊥AB,BC= 3 BD,|AD|= → → 1,则AC·AD=________. (2)cos α +cos (α +120°)+cos (α +240°)的值为________. 答案 (1) 3 3 (2) 2
2 2 2

→ 解析 (1)不妨取|BD|=2, π → 则|BC|=2 3,∠ADB= , 3 → → → → → → → → → ∴AC·AD=(BC-BA)·AD=BC·AD-BA·AD π =2 3×1×cos +0= 3. 3 3 2 2 2 (2)令 α =0°,则原式=cos 0°+cos 120°+cos 240°= . 2 方法三 数形结合法 对于一些含有几何背景的填空题,若能数中思形,以形助数,则往往可以借助图形的直 观性,迅速作出判断,简捷地解决问题,得出正确的结果,Venn 图、三角函数线、函 数的图象及方程的曲线等,都是常用的图形. 例3 已知函数 y=f(x)的周期为 2,当 x∈[-1,1]时 f(x)=x ,那么函数 y=f(x)的图象 与函数 y=|lg x|的图象的交点共有________个. 解析 如图,作出图象可知 y=f(x)与 y=|lg x|的图象共有 10 个交点.
2

答案 10 图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用,利用图形的 直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论, 这也是高考命题的热点. 准确运用此 类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系, 利用几何图形 中的相关结论求出结果. (2012·天津)已知函数 y= |x -1| 的图象与函数 y=kx 的图象恰有两个交 x-1
3
2

点,则实数 k 的取值范围是________. 答案 (0,1)∪(1,2) 解析 分段表示函数,数形结合求解. 函数可表示为
? ?x+1,x>1或x<-1, y=? ? ?-x-1,-1≤x<1,

图象为如图所示的实线部分,数形结合可知,要使两函数图象有 两个交点,则 k∈(0,1)∪(1,2). 方法四 构造法 构造型填空题的求解, 需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型, 从而简 化推理与计算过程, 使较复杂的数学问题得到简捷的解决, 它来源于对基础知识和基本 方法的积累,需要从一般的方法原理中进行提炼概括,积极联想,横向类比,从曾经遇 到过的类似问题中寻找灵感,构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型,使问 题快速解决. 例4 如图,已知球 O 的球面上有四点 A,B,C,D,DA⊥平面 ABC,AB⊥BC,DA=AB =BC= 2,则球 O 的体积等于________.

解析 如图,以 DA,AB,BC 为棱长构造正方体,设正方体的外接 球球 O 的半径为 R,则正方体的体对角线长即为球 O 的直径,所以 |CD|= ? 的体积 V= 4π R = 6π . 3 答案 6π 构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用,需要根据已知条件和所要 解决的问题确定构造的方向,通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型,从而转化 为自己熟悉的问题.本题巧妙地构造出正方体,而球的直径恰好为正方体的体对角线, 问题很容易得到解决. (1)(2012·辽宁)已知正三棱锥 P-ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3的球 面上,若 PA,PB,PC 两两相互垂直,则球心到截面 ABC 的距离为________.
4
3

2?

2

+?

2?

2

+?

2?

2

=2R,所以 R=

6 ,故球 O 2

(2)已知 a、b 为不垂直的异面直线,α 是一个平面,则 a、b 在 α 上的射影有可能是: ①两条平行直线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其外一点. 在上面的结论中,正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号). 答案 (1) 3 3 (2)①②④

解析 (1)先求出△ABC 的中心,再求出高,建立方程求解. 如图,作 PM⊥面 ABC,设 PA=a,则 AB= 2a,PM= 设球的半径为 R, 所以? 3 a. 3

? 3 ?2 ? 6 ?2 2 a-R? +? a? =R , ?3 ? ?3 ?

将 R= 3代入上式, 2 3 解得 a=2,所以 d= 3- 3= . 3 3 (2)用正方体 ABCD—A1B1C1D1 实例说明 A1D1 与 BC1 在平面 ABCD 上 的射影互相平行,AB1 与 BC1 在平面 ABCD 上的射影互相垂直,BC1 与 DD1 在平面 ABCD 上的射影是一条直线及其外一点. 方法五 归纳推理法 做关于归纳推理的填空题的时候,一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出 了几个结论),然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论,再利用这个一般 性的结论来解决问题. 归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程, 这里可 以大胆地猜想. 例5 已知 f1(x)=sin x+cos x,fn+1(x)是 fn(x)的导函数,即 f2(x)=f1′(x),f3(x)=

f2′(x),?,fn+1(x)=fn′(x),n∈N*,则 f2 013(x)=________.
解析 f2(x)=f1′(x)=cos x-sin x,

f3(x)=f2′(x)=-sin x-cos x, f4(x)=f3′(x)=-cos x+sin x, f5(x)=f4′(x)=sin x+cos x,
? 由此归纳,知 f(x)的周期为 4,即 fn(x)=fn+4(x). 所以 f2 013(x)=f1(x)=sin x+cos x. 答案 sin x+cos x 这类问题是近几年高考的热点.解决这类问题的关键是找准归纳对象. 如本题把函数的前几个值一一列举出来. 观察前面列出的函数值的规律,归纳猜想一般结论或周期,从而求得函数值.
5

观察下列算式,猜测由此提供的一般性法则,用适当的数学式子表示它. 1=1 3+5=8 7+9+11=27 13+15+17+19=64 21+23+25+27+29=125 设这些式子的第 n 个为 a1+a2+?+an=bn, 则(a1, an)=______________, bn=________. 答案 (n -n+1,n +n-1)
2 2

n3

解析 观察每一个式子的首项分别为 1、3、7、13、21?均为奇数,对它们都减去 1, 则为 0,2,6,12,20,?,即为 1 -1,2 -2,3 -3,4 -4,5 -5,?. 所以归纳为 n -n+1.同理末项归纳为 n +n-1. 观察等式右边可得 bn=n .
3 2 2 2 2 2 2 2

1. 解填空题的一般方法是直接法, 除此以外, 对于带有一般性命题的填空题可采用特例法, 和图形、曲线等有关的命题可考虑数形结合法.解题时,常常需要几种方法综合使用, 才能迅速得到正确的结果. 2. 解填空题不要求求解过程,从而结论是判断是否正确的唯一标准,因此解填空题时要注 意如下几个方面: (1)要认真审题,明确要求,思维严谨、周密,计算有据、准确; (2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论; (3)要重视对所求结果的检验.

6



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