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湖南省长沙市一中2017届高三月考(五)数学(理)试卷 Word版含答案_图文

炎德●英才大联考长沙一中 2017 届高三月考试卷(五)

数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知复数 z 满足 ?3 ? 4i ? z ? 1 ? 2i ,则 z 的共轭复数是 A.

1 2 ? ? i 5 5

B. ?

1 2 ? i 5 5

C.

1 2 ? i 5 5

D.

1 2 ? i 5 5

2 x 2.已知集合 A ? x | x ? 4 x ? 3 ? 0 , B ? x | 2 ? 1 ,则 A ? B ?

?

?

?

?

A.

??3, ?1?

B.

? ??, ?3? ? ??1,0?
?0

C.

? ??, ?3? ? ? ?1,0?

D.

? ??,0?

3.下列命题中,为真命题的是 A. ?x0 ? R 使得 e B. sin x ? C.
x0

1 ? 2, ? x ? k? , k ? z ? sin x

?x ? R, 2x ? x2

D. 若 命 题 ?x0 ? R 使 得 x02 ? x0 ? 1 ? 0 ? 0 , 则 ?p : ?x0 ? R 使 得

x02 ? x0 ?1 ? 0 ? 0
4.在 ?ABC 中, " A ? B ? C " 是 "cos 2 A ? cos 2 B ? cos 2C " 的 A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.如图是用模拟方法估计圆周率 ? 值得程序框图,P 表示估计的结果, 则图中空白框内应填入

M 4M B. P ? 2000 2000 N 4N C. P ? D. P ? 2000 2000
A.

P?

6.将甲桶中 a 升水慢慢注入空桶乙中, tmin 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线 y ? ae ,
mt

假设 5min 后甲桶和乙桶的水量相等,若再经过 mmin 甲桶中的水只有 A. 5 B. 8 C. 9 D. 10

a 升,则 m 的值为 4

-1-

7.已知函数 f ? x ? ? ? A. ? ?

?sin ? x ? ? ? , x ? 0, ? 是偶函数,则下列结论可能成立的是 cos x ? ? , x ? 0, ? ? ? ?
B. ? ?

?
4

,? ?

?
4

2? ? ,? ? 3 6

C. ? ?

?
3

,? ?

?
6

D.

??

5? 3? ,? ? 6 3

8.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线及粗虚线画出 的是某多面体的三视图,则该多面体的外接球的表面积为 A. 8? B.

25? 2
?ABC

C. 12?

D.

41? 4

9. 已 知 P 是

所在平面内一点,

??? ? ??? ? ??? ? ? PB ? PC ? 2PA ? 0 。 现 将 一 粒 黄 豆 随 机 撒 在
?ABC 内,则黄豆落在内 ?PBC 的概率是

A.

2 3

B.

1 2

C.

1 3

D.

1 4

? x ? y ? 2 ? 0, y x 10.设实数 x, y 满足 ? ? x ? 2 y ? 5 ? 0, ,则 z ? ? x y ? y ? 2 ? 0, ?

的取值范围是
?1 3? , ? ?2 2? ?

A.

? 3 3? ? , ? ? 3 2? ?

B.

? 3 1? ? ,? ? ? 3 2? ?

C.

? 1 3? ? , ? ? 2 2? ?

D.

11.已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点, 且左右焦点 分别为 F1 , F2 ,这两条曲线在第一象限的交点为 P, ?PF1 ,2 是以 PF1 为 底边的等腰三角形,若 PF1 ? 10 ,记椭圆与双曲线的离心率分别为
e1 , e2 ,则 e1 ? e2 的取值范围是

A.

?1 ? ? , ?? ? ?9 ?

B. ? ?

1 ? , ?? ? ?5 ?

C.

?1 ? ? , ?? ? ?3 ?

D.

? 0, ???

12.已知实数

x ? ?e , x ? 0, f ? x? ? ? , 若关于 x 的方程 f 2 ? x ? ? f ? x ? ? t ? 0 有 ? ?lg ? ? x ? , x ? 0,

三个不等的实根,则 t 的取值范围是 A.

? ??, ?2?

B.

?1, ???

C. ??2,1?

D.

? ??, ?2? ? ?1, ???

-2-

第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

? 13.设 n ? ? 10sin xdx ,则 ? x ? ? ? ? ? ? 14. 已 知 向 量 a, b 满 足 a ? 2, a ?
2 0

?

?

1 ? (用数字作答). ? 展开式中的常数为 x? ? ? ? ? b ? a ? ?3 , 则 向 量 b 在 a 方 向 上 的 投 影 的 数 量

n

?



.

15. 若函数 f ? x ? ? ?

1 ax e ? a ? 0, b ? 0 ? 的图像在 x ? 0 处的切线与圆 x2 ? y 2 ? 1 相切,则 b
.
2016 1 1 ? , 对 任 意 n ? N , an?1 ? an 2 ? an , 则 ? 的整数部分 3 i ?1 an ? 1

a ? b 的最大值是
16. 数 列 ?an ? 满 足 a1 ?

是 . 三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 如图, 在 ?ABC 中, 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a ? b ? sin C ? cos C ? . (1)求角 B 的大小; (2) 若 A ?

?
2

,D 为 ?ABC 外的一点,DB=2,DC=1,求四边形 ABDC 的面

积的最大值. 18.(本小题满分 12 分) 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况,交通部门对 100 名轿车驾驶员进行调查,得到 其在高速公路上行驶时平均车速情况为:在 55 名男性驾驶员中,平均车速超过 100km/h 的有 40 人, 不超过 100km/h 的有 15 人, 在 45 名女性驾驶员中, 平均车速超过 100km/h 的有 20 人, 不超过 100km/h 的有 25 人. (1)完成下面的列联表,并判断是否有 99.5%的把握认为平均车速超过 100km/h 与性别有关;

(2)用上述数据样本估计总体,现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取 3 辆,记这 3 辆车中驾驶员为男性且车速超过 100km/h 的车辆数是 X,若每次抽取的结果是独立的,求 X 的 分布列和数学期望.

-3-

19.(本小题满分 12 分) 在等腰直角三角形 ABC 中,?BAC ? 90 ,腰长为 2, D,E 分别是 AB,BC 的中点, 将 ?BDE 沿
?

DE 翻折,得到四棱锥 B-ADEC,且 F 为棱 BC 的中点, BA ? 2. . (1)求证: EF ? 平面 BAC; (2)) 在线段 AD 上是否存在一点 Q,使得 AF//平面 BEQ?若存在,求 二面角 Q-BE-A 的余弦值,若不存在,请说明理由.

20.(本小题满分 12 分) 如图,椭圆 C1 :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 , x 轴被曲线 C2 : y ? x2 ? b 截得的 2 a b 2

线段长等于 C1 的长半轴长. (1)求 C1 的方程 (2)) 设 C2 与 y 轴交于点 M, 过坐标原点 O 的直线 l 与相交于点 A,B, 直线 MA,MB 分别于相交于 D,E. (ⅰ)证明:MD⊥ME; (ⅱ)记 ?MAB, ?MDE 的面积分别为 S1 , S2 ,是否存在直线 l 使得 直线 l 的方程,若不存在,请说明理由.

S1 17 ? ?若存在,求出 S2 32

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2m ln x ? x , g ? x ? ? ex ? 2m ln x ? m ? R ? ,ln 2 ? 0.693.
2

(1)讨论 f ? x ? 的单调性;

e .. 2 请考生从第(22) , (23)两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 分.
(2))若 f ? x ? 的最大值为 M, g ? x ? 存在最小值 N,且 M ? N ,求证: m ?

-4-

22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 3 x ? ?1 ? t, ? ? 2 已知直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) ,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴 ? y ? 3 ? 1 t, ? ? 2
建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ? ? (1) 求圆 C 的直角坐标方程; (2))若 P ? x, y ? 是直线 l 与圆面 ? ? 4sin ? ? ?

? ?

??

?. 6?

? ?

??

? 的公共点,求 u ? 3x ? y 的取值范围. 6?

23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ? x ? ? 2x ? 3 ? ax ? 6 (a 为常数, a ? R ). (1)当 a ? 1 时,求不等式 f ? x ? ? 0 的解集; (2)如果函数 y ? f ? x ? 恰有两个不同的零点,求 a 的取值范围.

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