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2013年高考数学最新联考试题分类汇编(8)立体几何


2013 年高考数学最新联考试题分类汇编第 8 部分: 立体几何
一、选择题: 4. (河南省郑州市2013年高三第二次质量预测理) 设a,β 分别为两个不同的平面,直线l A .充分不必要条件 C.充要条件 【答案】A 7. (河南省郑州市2013年高三第二次质量预测理) 一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是 a,则“l 丄β ”是“ 丄β 成立的 a B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(4) (河南省豫东、豫北十所名校 2013 届高三阶段性测试四) 一个几何体的三视图如图 所示,则这个几何体的体积为

(A)

2 3 4 3 8 3 (B) 16 3 (C) (D) 3 3 3

【答案】D

(10) (河南省豫东、豫北十所名校 2013 届高三阶段性测试四)已知四面体 ABCD 中, AB=AD=6,AC =4,CD = 2 13 ,AB 丄平面汲 ACD,则四面体 ABCD 外接球的表面积为 (A) 36? (B) 88? ( C) 92? (D) 128?

【答案】B 5. (河南省开封市 2013 届高三第一次模拟考试理)三棱椎 A—BCD 的三视图为如图所示的三 个直角三角形,则三棱锥 A—BCD 的表面积为( ) A. 2 ? 2 5 B.4+ 4 5

C.

4?4 5 3

D.4+ 6 【答案】A
[来源:Zxxk.Com]

7.(河南省开封市 2013 届高三第一次模拟考试理)已知三 个互不重合的平面 a, ? , ? , 且

a ? ? ? a, a ? ? ? b, ? ? ? ? c ,
给出下列命题:①若 a ? b, a ? c, 则 b ? c ② 若 a ? b ? P ,则 a ? c ? P ; ③ 若 a ? b, a ? c, 则 a ? ? ; ④ 若 a ∥ b , 则 a ∥ c. 其 中 正 确 命 题 个 数 为 ( ) B.2 个

A.1 个 【答案】C

C.3 个

D.4 个 平面 ? ,有

4、(河南省焦作市 2013 届高三第一次模拟文)已知直线 l⊥平面 ? ,直线 m 下列四个命题:① ? ? ? ? l ? m ;

② m ?? ? l ? m ;③ l ? m ? ? ? ? ;④ l ? m ? ? ? ? ,其中正确的命题序号是

A、②③ B、①④ C、①② D、①③ 【答案】D 7.(河南省信阳高中 2013 年 4 月高三模拟一理)一个几何体的三视图及尺寸如右图所示, 则该几何体的外接球半径为 A.

1 2

B.

3 16

C.

17 4

D.

17 4

【答案】C

7. (河南省三市平顶山、许昌、新乡 2013 届高三第三次调研理)一个几何体的三视图如图所 示,则该几何体的表面积为 A. 28 ? 2? 【答案】D B.

38 ? 2? C. 38 ? ? D. 38

9.(河南省六市 2013 年高中毕业班第一次联考文)一个几何体的三视图如图所示,则该 几何体的体积为 A.π +

3 3

B.2π + 3

C.π + 3

D.2π +

3 3

【答案】A 11.(河南省六市 2013 年高中毕业班第一次联考文)球 O 的球面上有四点 S、A、B、C,其 中 O、A、B、C 四点共面,△ABC 是边长为 2 的正三角形,平面 SAB⊥平面 ABC,则棱 锥 S-ABC 的体积的最大值为 A.1 B.

1 3

C. 3

D.

3 3

【答案】D 二、填空题: 15、 (河南省焦作市 2013 届高三第一次模拟文)如图所示, 一个三棱 锥的三视图为同一图形, 则其外接示的表面积为____ 【答案】 ?

15.(河南省三市平顶山、许昌、新乡 2013 届高三第三次调研理)已知四面体 P ? ABC 中 ,

PA ? PB ? 4, PC ? 2 AC ? 2 5 , PB ? 平面 PAC ,则四面体 P ? ABC 外接球的体积为
____ 【答案】 36? 三、解答题: 19. (河南省郑州市2013年高三第二次质量预测理) (本小题满分12分)

如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2, CD ? ? CC1 (? ? R)

1 时,求证 AB1 丄平面 A1BD; 2 ? (II)当二面角 A—A1D—B 的大小为 -时,求实数λ 的值. 3 19.解: (Ⅰ)取 BC 的中点为 O ,连结 AO
(I)当 λ =
[来源:学科网]

在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中面 ABC ? 面 CB1 ,

?ABC 为正三角形,所以 AO ? BC ,
故 AO ? 平面 CB1 . 以 O 为坐标原点建立如图空间直角坐标系

O ? xyz ,――――2 分
则 A(0, 0, 3) , B1 (1, 2, 0) , D(?1,1, 0) ,

A1 (0, 2, 3) , B(1, 0, 0) . , 所 以 AB1 ? (1, 2?
??? ? DB ? (2, ?1, 0) ,
因为 AB1 ? DA1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 0, AB1 ? DB ? 2 ? 2 ? 0 , 所以 AB1 ? DA1 , AB1 ? DB ,又 DA1 ? DB ? D , 所以 AB1 ? 平面 A1 BD .
[来源:学科网]

????

???? ? 3, DA1 ? (1,1, 3) , )

???? ???? ?

???? ??? ?

――――-6 分

? 2 ( Ⅱ ) 由 ⑴ 得 D(?1, 2? ,0) , 所 以 DA1 ? (1, 2 ? ,
??? ? DA ? (1, ?2? , 3) ,

???? ?

??? ? 3, DB ? (2, ?2? , 0) , )

设平面 A1 BD 的法向量 n1 ? ( x, y, z ) ,平面 AA1 D 的法向量 n2 ? ( s, t , u ) ,

??

?? ?

?? ???? ? ?? ?n1 ? DA1 ? 0, ? ?2 ? 由 ? ?? ??? 得平面 A1 BD 的一个法向量为 n1 ? (? ,1, ), ? 3 ?n1 ? DB ? 0, ? ?? ? 同理可得平面 AA1 D 的一个法向量 n2 ? ( 3, 0, ?1) ,
?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 1 1 ?? ? ,解得 ? ? ,为所求.――――12 分 ? 由 cos ? n1 , n2 ?? ?? 4 | n1 | ? | n2 | 2

19.

(河南省豫东、豫北十所名校 2013 届高 三阶段性测试四) (本小

题满分 12 分)
如图,在平面四边形 ABCD 中,AB=BC = CD=DA=BD=6,0 AC,BD 的交点。将四边形 ABCD 沿对角线 AC 折起,得到三棱锥 B -ACD,M 为 BC 的中点,且 BD=3 2

(I )求证:OM//平面 ABD (II)求证:平面 ABC 丄平 面 MDO

.

(19)证明: (Ⅰ)因为 AB ? BC ? CD ? DA ,所以四边形 ABCD 是菱形,???(2 分) 因为点 O 是菱形 ABCD 的对角线的交点,所以 O 是 AC 的中点. 又点 M 是 BC 的中点, 所以 OM 是 △ABC 的中位线,所以 OM ∥ AB .????????????????(5 分) 因为 OM ? 平面 ABD , AB ? 平面 ABD ,所以 OM ∥平面 ABD .????????(6

分) (Ⅱ)由题意知, OB ? OD ? 3 , 因为 BD ? 3 2 ,所以 ?BOD ? 90? , OD ? OB .??????????????(8 分) 又因为菱形 ABCD 中, OD ? AC , 而 OB ? AC ? O ,所以 OD ? 平面 ABC ,??????????????????(10 分) 因为 OD ? 平面 MDO ,所以平面 ABC ? 平面 MDO .????????????(12 分) 19.(河南省信阳高中 2013 年 4 月高三模拟一理) (本小题满分 12 分) 如 图,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥AD,AB∥CD,CD⊥AD,AD = CD = 2AB = 2,E,F 分 别为 PC,CD 的中点,DE = EC。 (1)求证:平面 ABE⊥平面 BEF; (2)设 PA = a,若平面 EBD 与平面 ABCD 所成锐二面角

? ? ? ? [ , ] ,求 a 的取值范围。
4 3

19.(Ⅰ)? AB //CD, CD ? AD, AD ? CD ? 2 AB ? 2 ,F 分别为 CD 的中点,

? ABFD 为矩形, AB ? BF

·········2 分 ········

? DE ? EC,? DC ? EF ,又 AB // CD,? AB ? EF ? BF ? EF ? E,? AE ? 面 BEF , AE ? 面 ABE ,

?平面 ABE ⊥平面 BEF

···········4 分 ··········

(Ⅱ) ? DE ? EC,? DC ? EF ,又 PD // EF , AB // CD,? AB ? PD ·········6 分 ········· 又 AB ? PD ,所以 AB ? 面 PAD , AB ? PA x 轴, AD 为 y 轴, AP 为 z 轴, 法一:建系 AB 为
[来源:Zxxk.Com]

a B(1,0,0), D(0,2,0) P(0,0, a) , C (2,2,0) , E (1,1, ) 2 ?? ····· 平面 BCD 法向量 n1 ? (0,0,1) ,平面 EBD 法向量 n2 ? (2a, a,?2) ·····9 分
cos? ? 1 2 ?[ , ] ,可得 a ? [ 2 5 , 2 15 ] . ······· 分 ······12 2 2 5 5 5a ? 4
2

2

法二:连 AC 交 BF 于点 K ,四边形 ABCF 为平行四边形,所以 K 为 AC 的中点,连 EK , 则 EK // PA , EK ? 面 ABCD , BD ? EK , 作 KH ? BD 于 H 点,所以 BD ? 面 EKH , ·······9 分 ······ 连 EH ,则 BD ? EH , ?EHK 即为所求

a 1 2 1 2 ? 5a ? [1, 3 ] ? , tan? ? 在 Rt?EHK 中, HK ? ? 1 2 2 5 5 5
解得 a ? [

2 5 2 15 , ] 5 5

······· 分 ······12

[来源:学.科.网]

19. (河南省三市平顶山、许昌、新乡 2013 届高三第三次调研理)(本小题满分 12 分) 如 图 , 在 底 面 是 菱 形 的 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , ?ABC ? 60? ,

PA ? AC ? a, PB ? PD ? 2a ,点 E 在 PD 上,且 PE:ED ? 2 :1
(Ⅰ)求二面角 E ? AC ? D 的大小 (Ⅱ)在棱 PC 上是否存在一点 F ,使 BF ? 平面 AEC ?证明你的结论。

(Ⅱ) 解法一 以 A 为坐标原点, 直线 AD 、AP 分别为 y 轴、z 轴, A 点垂直平面 PAD 过 的直线为 x 轴,建立空间直角坐标系如图.由题设条件,相关各点的坐标分别为

A(0,0,0), B (
所以

3 1 3 1 2 1 a,? a,0), C ( a, a,0). D(0, a,0), P(0,0, a), E(0, a, a). 2 2 2 2 3 3

??? ? 2 1 ???? 3 1 AE ? (0, a, a), AC ? ( a, a,0). 3 3 2 2

??? ? ??? ? 3 1 AP ? (0,0, a), PC ? ( a, a, ?a). 2 2

??? ? 3 1 BP ? (? a, a, a). 2 2
设点 F 是棱 PC 上的点,

??? ? ??? ? 3 1 PF ? ? PC ? ( a? , a? , ?a? ), 其中 ? ? ? 1, 0 2 2 ??? ??? ??? ? ? ? 3 1 3 1 BF ? BP ? PF ? (? a, a, a) ? ( a? , a? , ?a? ) 2 2 2 2 则
?( 3 1 ??? ? ???? ??? ? a (? ? 1), a (1 ? ? ), a (1 ? ? ) ) . BF ? ?1 AC ? ?2 AE 2 2 令



? 3 3 a?1 , ? a(? ? 1) ? 2 2 ? 1 2 ?1 ? a(1 ? ? ) ? a?1 ? a? 2 , 2 3 ?2 1 ? ?a(1 ? ? ) ? 3 a? 2 . ?

? ?? ? 1 ? ?1 , ? 4 ? 即?1 ? ? ? ?1 ? ? 2 , 3 ? 1 ? ?1 ? ? ? 3 ? 2 . ?

解得

? ? , ?1 ? ? , ?2 ? .

1 2

1 2

3 2



??

??? ? ? 1 ???? 3 ??? 1 BF ? ? AC ? AE. 2 2 2 时,

即, F 是 PC 的中点时, BF 、 AC 、 AE 共面. 又

BF ? 平面 AEC ,所以当 F 是棱 PC 的中点时, BF / / 平面 AEC ?????? ?????? 12 分


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