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2015年高考数学文分类汇编:专题08 直线与圆


1.【2015 高考北京,文 2】圆心为 ?1,1? 且过原点的圆的方程是( A. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1
2 2 2


2

B. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 D. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2
2 2

C. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2
2 2

【答案】D 【解析】由题意可得圆的半径为 r ? 【考点定位】圆的标准方程. 【名师点晴】本题主要考查的是圆的标准方程,属于容易题.解题时一定要抓住重要字眼“过 原点” ,否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是圆的标准方程,即圆心 ? a, b ? ,半 径为 r 的圆的标准方程是 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2 .
2 2

2 ,则圆的标准方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 ,故选 D.
2 2

2.【2015 高考四川,文 10】设直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 A,B 两点,与圆 C:(x-5)2+y2 =r2(r>0)相切于点 M,且 M 为线段 AB 中点,若这样的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是 ( ) (A)(1,3) (B)(1,4) (C)(2,3) (D)(2,4)

【考点定位】本题考查直线、圆及抛物线等基本概念,考查直线与圆、直线与抛物线的位置 关系、参数取值范围等综合问题,考查数形结合和分类与整合的思想,考查学生分析问题和 处理问题的能力. 【名师点睛】本题实质是考查弦的中垂线过定点问题,注意到弦的斜率不可能为 0,但有可能 不存在,故将直线方程设为 x=ty+m,可以避免忘掉对斜率不存在情况的讨论.在对 r 的讨论 中,要注意图形的对称性,斜率存在时,直线必定是成对出现,因此,斜率不存在(t=0)时也 必须要有两条直线满足条件.再根据方程的判别式找到另外两条直线存在对应的 r 取值范围即 可.属于难题. 3.【2015 高考湖南,文 13】若直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x ? y ? r
2 2 2

? r ? 0 ? 相交于 A,B 两点,

且 ?AOB ? 120o (O 为坐标原点) ,则 r =_____. 【答案】 【解析】如图直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x ? y ? r(r>0) 交于 A、B 两点,O 为坐标原点,
2 2 2

且 ?AOB ? 120o , 则 圆 心 ( 0 , 0 ) 到 直 线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 的 距 离 为

1 r 2



5 32 ? 42

?

1 r, ? r =2 .故答案为 2. 2

【考点定位】直线与圆的位置关系 【名师点睛】涉及圆的弦长的常用方法为几何法:设圆的半径为 r ,弦心距为 d ,弦长为 l , 则 ( ) 2 ? r 2 ? d 2 . 本题条件是圆心角,可利用直角三角形转化为弦心距与半径之间关系,再根 据点到直线距离公式列等量关系.

l 2

4.【2015 高考安徽,文 8】直线 3x+4y=b 与圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 相切,则 b=(
2 2



(A)-2 或 12 【答案】D

(B)2 或-12

(C)-2 或-12

(D)2 或 12

【解析】∵直线 3 x ? 4 y ? b 与圆心为(1,1),半径为 1 的圆相切,∴ 12,故选 D.

3? 4?b 32 ? 42

=1 ? b ? 2 或

【考点定位】本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径,直线与圆的位置关系,以 及点到直线的距离公式的应用. 【名师点睛】在解决直线与圆的位置关系问题时,有两种方法;方法一是代数法:将直线方 程与圆的方程联立, 消元, 得到关于 x(或 y ) 的一元二次方程, 通过判断 ? ? 0; ? ? 0; ? ? 0 来确定直线与圆的位置关系;方法二是几何法:主要是利用圆心到直线的距离公式求出圆心 到直线的距离 d ,然后再将 d 与圆的半径 r 进行判断,若 d ? r 则相离;若 d ? r 则相切;若

d ? r 则相交;本题考查考生的综合分析能力和运算能力.
5.【2015 高考重庆,文 12】若点 P (1, 2) 在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点 P 处的切线 方程为________. 【答案】 x ? 2 y ? 5 ? 0 【解析】由点 P (1, 2) 在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为: x ? y ? 5 ,所以该圆在
2 2

点 P 处的切线方程为 1? x ? 2 ? y ? 5 即 x ? 2 y ? 5 ? 0 ,故填: x ? 2 y ? 5 ? 0 . 【考点定位】圆的切线. 【名师点睛】本题考查复数的概念和运算,采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解 求解. 本题属于基础题,注意运算的准确性. 6. 【2015 高考湖北, 文 16】 如图, 已知圆 C 与 x 轴相切于点 T (1, 0) , 与 y 轴正半轴交于两点 A, B(B 在 A 的上方) ,且 AB ? 2 . (Ⅰ)圆 C 的标准 方程为_________; .. (Ⅱ)圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为_________. 【答案】(Ⅰ) ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 ;(Ⅱ) ?1 ? 2 .

y B C A O T 第 16 题图 x

【解析】设点 C 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则由圆 C 与 x 轴相切于点 T (1, 0) 知,点 C 的横坐标为 1 , 即 x0 ? 1 ,半
2 径 r ? y0 . 又 因 为 AB ? 2 , 所 以 12 ? 12 ? y0 , 即 y0 ? 2 ? r , 所 以 圆 C 的 标 准 方 程 为

( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 ,

令 x ? 0 得: B(0, 2 ? 1) .设圆 C 在点 B 处的切线方程为 y ? ( 2 ? 1) ? kx ,则圆心 C 到其距离 为:

d?

k ? 2 ? 2 ?1 k2 ?1

? 2 ,解之得 k ? 1 .即圆 C 在点 B 处的切线方程为 y ? x ? ( 2 ? 1) ,于是
令 y ? 0 可得

即圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为 ?1 ? 2 , 故应填 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 x ? ? 2 ?1 , 和 ?1 ? 2 . 【考点定位】本题考查圆的标准方程和圆的切线问题, 属中高档题. 【名师点睛】将圆的标准方程、圆的切线方程与弦长问题联系起来,注重实际问题的特殊性, 合理的挖掘问题的实质,充分体现了数学学科特点和知识间的内在联系,渗透着方程的数学 思想,能较好的考查学生的综合知识运用能力.其解题突破口是观察出点 C 的横坐标. 7. 【 2015 高 考 广 东 , 文 20 】 ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 过 原 点 的 动 直 线 l 与 圆

C1 : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 相交于不同的两点 ? , ? .
(1)求圆 C1 的圆心坐标; (2)求线段 ?? 的中点 ? 的轨迹 C 的方程; (3) 是否存在实数 k , 使得直线 L: y ? k ? x ? 4 ? 与曲线 C 只有一个交点?若存在, 求出 k 的 取值范围; 若不存在,说明理由.

2 5 2 5 3? 9 ?5 ? ? 【答案】 (1) ? 3, 0 ? ; (2) ? x ? ? ? y 2 ? ? ? x ? 3 ? ; (3)存在, ? ?k? 7 7 2? 4 ?3 ? ?
或k ? ?

2

3 . 4

【解析】

试题分析: (1)将圆 C1 的方程化为标准方程可得圆 C1 的圆心坐标; (2)先设线段 ?? 的中点

? 的坐标和直线 l 的方程,再由圆的性质可得点 ? 满足的方程,进而利用动直线 l 与圆 C1 相
交可得 x0 的取值范围,即可得线段 ?? 的中点 ? 的轨迹 C 的方程; (3)先说明直线 L 的方程 和曲线 C 的方程表示的图形,再利用图形可得当直线 L: y ? k ? x ? 4 ? 与曲线 C 只有一个交点 时, k 的取值范围,进而可得存在实数 k ,使得直线 L: y ? k ? x ? 4 ? 与曲线 C 只有一个交点. 试题解析: (1)圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 化为 ? x ? 3? ? y 2 ? 4 ,所以圆 C1 的圆心坐标为
2

? 3, 0 ?
(2)设线段 AB 的中点 ? ( x0 , y0 ) ,由圆的性质可得 C1? 垂直于直线 l . 设直线 l 的方程为 y ? mx (易知直线 l 的斜率存在) ,所以 kC1? ? m ? ?1 , y 0 ? mx0 ,所以

y0 y 3? 9 ? 2 2 ? 0 ? ?1 ,所以 x0 ? 3 x0 ? y 0 ? 0 ,即 ? x0 ? ? ? y 0 2 ? . x0 ? 3 x0 2? 4 ?
因为动直线 l 与圆 C1 相交,所以 所 以 y 0 ? m 2 x0 ?
2 2

2

3m m2 ?1

? 2 ,所以 m 2 ?

4 . 5

4 2 4 2 5 2 x0 , 所 以 3x0 ? x0 ? x0 , 解 得 x0 ? 或 x0 ? 0 , 又 因 为 5 5 3

0 ? x0 ? 3 ,所以

5 ? x0 ? 3 . 3
2

3? 9 ?5 ? ? 2 所以 M ( x 0 , y 0 ) 满足 ? x 0 ? ? ? y 0 ? ? ? x 0 ? 3 ? 2? 4 ?3 ? ?
即 ? 的轨迹 C 的方程为 ? x ?

? ?

3? 9 ?5 ? 2 ? ? y ? ? ? x ? 3? . 2? 4 ?3 ?

2

(3)由题意知直线 L 表示过定点 T (4, 0) ,斜率为 k 的直线. 结合图形,? x ?

? ?

2 ?5 2 5 ? 3? 9 ?5 ? 2 ? ? ? y ? ? ? x ? 3 ? 表示的是一段关于 x 轴对称,起点为 ? ? 3 ,? 3 ? 2? 4 ?3 ? ? ?

按逆时针方向运动到 ? ,

?5 2 5 ? ? ? 3 3 ? 的圆弧 . 根据对称性,只需讨论在 x 轴对称下方的圆弧 . 设 ? ?

?5 2 5 ? ? P? ? 3 ,? 3 ? ,则 k PT ? ?

3k 2 5 ? 4k 3 2 5 2 3 ? ,解 ,而当直线 L 与轨迹 C 相切时, ? ? 2 5 7 k ?1 2 4? 3

得k ? ?

2 5 3 3 3 .在这里暂取 k ? ,因为 ? ,所以 k?? ? k . 7 4 4 4
L y

?
O C x

?

结合图形,可得对于 x 轴对称下方的圆弧,当 0 ? k ?

2 5 3 或 k ? 时,直线 L 与 x 轴对称下 7 4

方的圆弧有且只有一个交点, 根据对称性可知: 当? 对称上方的圆弧有且只有一个交点. 综上所述, 当?

2 5 3 直线 L 与 x 轴 ? k ? 0 或 k ? ? 时, 7 4

2 5 2 5 3 或 k ? ? 时, 直线 L: y ? k ? x ? 4 ? 与曲线 C 只有一个交点. ?k? 7 7 4

考点:1、圆的标准方程;2、直线与圆的位置关系. 【名师点晴】本题主要考查的是圆的标准方程、直线与圆的位置关系,属于难题.解题时一 定要注意关键条件“直线 l 与圆 C1 相交于不同的两点 ? , ? ” ,否则很容易出现错误.解本题 需要掌握的知识点是圆的标准方程和直线与圆的位置关系,即圆 x ? y ? Dx ? ?y ? F ? 0 的
2 2

圆心 ? ?

? D ?? 直线与圆相交 ? d ? r( d 是圆心到直线的距离) , 直线与圆相切 ? d ? r ,? ?, ? 2 2?

( d 是圆心到直线的距离) .


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