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高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理课件新人教A版必修5_图文

第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理 学习目标:1.掌握余弦定理及其推论.(重点).2.掌握正、余弦定理的综 合应用.(重点).3.能应用余弦定理判断三角形的形状.(易错点) [自 主 预 习· 探 新 知] 1.余弦定理 文字 表述 三角形中任何一边的平方等于 其它两边的平方的和减去这两 边与它们的 夹角的余弦的积 的两倍 a2= b2+c2-2bccos A ,b2= a2+c2-2accos B , c2= a2+b2-2abcos C a2+c2-b2 b2+c2-a2 a2+b2-c2 cos A= ;cos B= 2ac ;cos C= . 2bc 2ab 公式 表达 变形 思考:在△ABC中,若a2<b2+c2,则△ABC是锐角三角形吗? [提示] 不一定.因为△ABC中a不一定是最大边,所以△ABC不一定是 锐角三角形. 2.余弦定理及其变形的应用 (1)利用余弦定理的变形判定角 在△ABC 中,c2=a2+b2?C 为 直角 ;c2>a2+b2?C 为 钝角;c2<a2+b2 ?C 为 锐角 . (2)应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题. ①已知三边,求 三角 . ②已知 两边 和它们的 夹角 ,求第三边和其他两个角. 思考:已知三角形的两边及其夹角,三角形的其他元素是否唯一确定? [提示] 由余弦定理可知:不妨设a,b边和其夹角C已知,则c2=a2+b2 a2+c2-b2 -2abcos C,c唯一,cos B= ,因为0<B<π,所以B唯一,从而A也 2bc 唯一.所以三角形其他元素唯一确定. [基础自测] 1.思考辨析 (1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适应于任何 三角形.( ) ) ) (2)在△ABC中,若a2>b2+c2,则△ABC一定为钝角三角形.( (3)在△ABC中,已知两边和其夹角时,△ABC不唯一.( [答案] (1)√ (2)√ (3)× 提示:由余弦定理可知,已知△ABC 的两边和其夹角时,第三边是唯一 确定的,所以△ABC 是唯一的,(3)错误. 2.在△ABC中,已知a=4,b=6,C=120° ,则边c=________. 【导学号:91432030】 2 19 [根据余弦定理c2=a2+b2-2abcos C=16+36-2×4×6×cos 120° =76,c=2 19.] 3.在△ABC 中,a=1,b= 3,c=2,则 B=________. c2+a2-b2 4+1-3 1 60° [cos B= = = ,B=60° .] 2ac 4 2 4.在△ABC中,若a2=b2+bc+c2,则A=________. 【导学号:91432031】 120° [∵a2=b2+bc+c2, ∴b2+c2-a2=-bc, b2+c2-a2 -bc 1 ∴cos A= = =- , 2bc 2bc 2 又∵A为△ABC的内角, ∴A=120° .] 5.以下说法正确的是________(填序号). ①在三角形中,已知两边及一边的对角,可用正弦定理解三角形,但不 能用余弦定理去解; ②余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适应于任何三 角形; ③利用余弦定理,可解决已知三角形三边求角问题; ④在三角形中,勾股定理是余弦定理的一个特例. ②③④ [①错误.由正、余弦定理的特征可知在三角形中,已知两边 及一边的对角,既可以用正弦定理,也可以用余弦定理求解. ②正确.余弦定理反映了任意三角形的边角关系,它适合于任何三角 形. ③正确.结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确. ④正确.余弦定理可以看作勾股定理的推广.] [合 作 探 究· 攻 重 难] 已知两边与一角解三角形 在△ABC中,已知b=3,c=3 3,B=30° ,求角A,角C和边a. [解] 法一:由余弦定理b2=a2+c2-2accos B, 得32=a2+(3 3)2-2a×3 3×cos 30° , ∴a2-9a+18=0,得a=3或6. 当a=3时,A=30° ,∴C=120° . 1 6× 2 asin B 当a=6时,由正弦定理sin A= = =1. b 3 ∴A=90° ,∴C=60° . 1 3 3 法二:由b<c,B=30° ,b>csin 30° =3 3× = 知本题有两解. 2 2 1 3 3× 2 csin B 3 由正弦定理sin C= = = , b 3 2 ∴C=60° 或120° ,当C=60° 时,A=90° , 由勾股定理a= b2+c2= 32+?3 3?2=6, 当C=120° 时,A=30° ,△ABC为等腰三角形, ∴a=3. [规律方法] 已知三角形的两边及一角解三角形的方法,先利用余弦定理 求出第三边,其余角的求解有两种思路:一是利用余弦定理的推论求出其余 角;二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解. 若用正弦定理求解,需对角的取值进行取舍,而用余弦定理就不存在这 些问题(在(0,π)上,余弦值所对角的值是唯一的),故用余弦定理求解较好. [跟踪训练] 1.在△ABC中,a=2 3,c= 6+ 2,B=45° ,解这个三角形. 【导学号:91432032】 [解] 根据余弦定理得, b2=a2+c2-2accos B=(2 3)2+( 6 + 2)2-2×2 3 ×( 6 + 2 )×cos 45° =8,∴b=2 2. b2+c2-a2 8+? 6+ 2?2-?2 3?2 1 又∵cos A= = = , 2bc 2 2×2 2×? 6+ 2? ∴A=60° ,C=180° -(A+B)=75° . 已知三边解三角形 已知△ABC 中, a∶b∶c=2∶ 6∶( 3+1), 求△ABC 的各角的大小. 思路探究:已知三角形三边的比,可设出三边的长,从而问题转化为已 知三边求三角,可利用余弦定理求解.


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