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赣豫陕2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理(一)学案

4 .1 空间图形基本关系的认识 4.2 空间图形的公理(一) 学习目标 1.通过长方体这一常见的空间图形,体会点、直线、平面之间的位置关系.2.会 用符号表达点、线、面的位置关系.3.掌握空间图形的三个公理及其推论. 知识点一 空间图形的基本位置关系 对于长方体有 12 条棱和 6 个面. 思考 1 12 条棱中,棱与棱有几种位置关系? 答案 相交,平行,既不平行也不相交. 思考 2 棱所在直线与面之间有几种位置关系? 答案 棱在平面内,棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交. 思考 3 六个面之间有哪几种位置关系. 答案 平行和相交. 梳理 位置关系 空间点与直线 的位置关系 空间点与平面 的位置关系 点 A 在直线 a 外 点 B 在直线 a 上 点 A 在平面 α 内 点 B 在平面 α 外 平行 空间两条直线 的位置关系 异面 线在面内 空间直线与平 面的位置关系 线面平行 空间平面与平 面面平行 线面相交 相交 图形表示 符号表示 A?a B∈a A∈α B?α a∥b a∩b=O a 与 b 异面 a?α a∩α =A a∥α α ∥β 1 面的位置关系 异面直线 面面相交 不同在任何一个平面内的两条直线,叫作异面直线 α ∩β =a 知识点二 空间图形的公理 思考 1 照相机支架只有三个脚支撑说明什么? 答案 不在同一直线上的三点确定一个平面. 思考 2 一把直尺两端放在桌面上,直尺在桌面上吗? 答案 直尺在桌面上. 思考 3 教室的墙面与地面有公共点,这些公共点有什么规律? 答案 这些公共点在同一直线上. 梳理 (1)空间图形的公理 公理 内容 如果一条直线上的 两点在一个平面 公理 1 内,那么这条直线 上所有的点都在这 个平面内(即直线 在平面内) 过不在一条直线上 公理 2 的三点,有且只有 一个平面(即可以 确定一个平面) 如果两个不重合的 平面有一个公共 公理 3 点,那么它们有且 只有一条通过这个 点的公共直线 图形 符号 作用 A∈l,B∈l,且 A∈α ,B∈α ? l?α 用来证明直线在平 面内 A, B, C 三点不共线 ? 存在唯一的 α 使 用来确定一个平面 A,B,C∈α P∈α ,P∈β ? α ∩β =l, 且 P∈l 用来证明空间的点 共线和线共点 (2)公理 2 的推论 推论 1:一条直线和直线外一点确定一个平面(图①). 推论 2:两条相交直线确定一个平面(图②). 推论 3:两条平行直线确定一个平面(图③). 2 1.8 个平面重叠起来要比 6 个平面重叠起来厚.( × 2.空间不同三点确定一个平面.( × ) ) 3.一条直线和一个点确定一个平面.( × ) 类型一 文字语言、图形语言、符号语言的相互转化 例 1 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系. (1)点 P 与直线 AB; (2)点 C 与直线 AB; (3)点 M 与平面 AC; (4)点 A1 与平面 AC; (5)直线 AB 与直线 BC; (6)直线 AB 与平面 AC; (7)平面 A1B 与平面 AC. 考点 平面的概念、画法及表示 题点 自然语言、符号语言与图形语言的互化 解 (1)点 P∈直线 AB. (2)点 C?直线 AB. (3)点 M∈平面 AC. (4)点 A1?平面 AC. (5)直线 AB∩直线 BC=点 B. (6)直线 AB?平面 AC. (7)平面 A1B∩平面 AC=直线 AB. 反思与感悟 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几 条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示. 3 (2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别. 跟踪训练 1 用符号语言表示下列语句,并画成图形. (1)直线 l 经过平面 α 内两点 A,B; (2)直线 l 在平面 α 外,且过平面 α 内一点 P; (3)直线 l 既在平面 α 内,又在平面 β 内; (4)直线 l 是平面 α 与 β 的交线,平面 α 内有一条直线 m 与 l 平行. 考点 平面的概念、画法及表示 题点 自然语言、符号语言与图形语言的互化 解 (1)A∈α ,B∈α ,A∈l,B∈l,如图. (2)l?α ,P∈l,P∈α .如图 (3)l?α ,l?β .如图. (4)α ∩β =l,m?α ,m∥l.如图. 类型二 平面的基本性质的应用 命题角度 1 点线共面问题 例 2 如图,已知:a?α ,b?α ,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求证:PQ?α . 考点 平面的基本性质 题点 线共面问题 证明 因为 PQ∥a,所以 PQ 与 a 确定一个平面 β ,所以直线 a?β ,点 P∈β .因为 P∈b, b?α ,所以 P∈α .又因为 a?α ,P?α ,所以 α 与 β 重合,所以 PQ?α . 引申探究 将本例中的两条平行线改为三条,即求证:和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平 面内. 4 解 已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C. 求证:a,b,c 和 l 共面. 证明:如图,∵a∥b, ∴a 与 b 确定一个平面 α . ∵l∩a=A,l∩b=B,∴A∈α ,B∈α . 又∵A∈l,B∈l,∴l?α . ∵b∥c,∴b 与 c 确定一个平面 β ,同理 l?β . ∵平面 α 与 β 都包含 l 和 b,且 b∩l=B, 由公理 2 的推论知:经过两条相交直线有且只有一个平面, ∴平面 α 与平面 β 重合,∴a,b,c 和 l 共面. 反思与感悟 在证明多线共面时,可用下面的两种方法来证明: (1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平面内. (2)重合法:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线也在另一个平面内,再证明两个平面 重合. 跟踪训练 2 如图,已知 l1∩l2=A,l


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