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辽宁省东北育才学校2016届高三下学期第五次模拟考试数学(文)试卷

东北育才学校高中部 2016 届高三第五次模拟数学试题(文科) 考试时间:120 分钟 第Ⅰ卷(选择题 试卷满分:150 分 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要 求. 1.已知集合 A={1,2},B={1,m,3},如果 A∩B=A,那么实数 m 等于( A.﹣1 B.0 C.2
x



D.4 )

2.已知命题 P:?x∈R,e ﹣x﹣1>0,则¬P 是( A.?x∈R,ex﹣x﹣1<0 C.?x0∈R, e 0 ﹣x0﹣1<0
x
x

B.?x0∈R, e 0 ﹣x0﹣1≤0 D.?x∈R,ex﹣x﹣1≤0 )

3.已知复数 z,“z+ =0”是“z 为纯虚数”的( A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也不必要条件

4.执行如图所示的程序框图,若输出的 S 为 4, 则输入的 x 应为( A.﹣2 B.16 ) C.﹣2 或 8 D.﹣2 或 16

5.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几 何体的体积等于( A.10cm3 B.20cm3 6.已知 x 0 则 ) C.30cm3 D.40cm3

?

?

3

是函数

f ( x ) ? sin( 2 x ? ? ) 的一个极大值点,

f ( x ) 的一个单调递减区间是 ? 2? ? 5? A. ( , ) B. ( , ) 6 3 3 6

C. (

?
2

,? )

D. (

2? ,? ) 3
等于( )

7.已知等比数列{an}中,各项都是正数,且 3a1, A.6 8. 函数 B.7 C.8 D.9

,2a2 成等差数列,则

的图象与 x 轴的交点的横坐标构成一个公差为 )



等差数列,要得到函数 g(x)=Acosωx 的图象,只需将 f(x)的图象( A.向左平移 C.向左平移 个单位 个单位 B.向右平移 D.向右平移 个单位 个单位

9.已知不等式组

所表示的平面区域的面积为 4,则 k 的值为(



A.1 B.﹣3

C.1 或﹣3

D.0

10.已知正实数 m,n 满足:m+n=1,且使 的值等于

1 16 m n ? 取得最小值,若曲线 y ? x? 过点 P( , ) ,则 ? m n 5 4

1

A -1

B

1 2

C2

D3

11.气象意义上从春季进入夏季的标志为:“连续 5 天的日平均温度均不低于 22 (℃)”.现有甲、乙、丙 三地连续 5 天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数) : ①甲地:5 个数据的中位数为 24,众数为 22; ②乙地:5 个数据的中位数为 27,总体均值为 24; ③丙地:5 个数据中有一个数据是 32,总体均值为 26,总体方差为 10.8; 则肯定进入夏季的地区有( A.0 个 B. 1 个 ) D.3 个

C.2 个

12.设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,且 f′(x)>2f(x) (x∈R) ,f( )=e(e 为自然对数的底数) ,则 不等式 f(lnx)<x2 的解集为( A. (0, ) B. (0, ) D. ( , )

) C. ( , )

第Ⅱ卷(非选择题 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

共 90 分)

13. 若数 a1, a2, a3, a4, a5 的标准差为 2, 则数 3a1﹣2, 3a2﹣2, 3a3﹣2, 3a4﹣2, 3a5﹣2 的方差为 14.若非零向量 , , 满足 +2 +3 = ,且 ? = ? = ? ,则 与 的夹角为 15.在平面直角坐标系中,△ ABC 的顶点 A、B 分别是离心率为 e 的圆锥曲线 .



的焦点,顶点 C

在该曲线上.一同学已正确地推得:当 m>n>0 时,有 e?(sinA+sinB)=sinC.类似地,当 m>0、n<0 时,有 e?( )=sinC.

16.对于函数 y=f(x) ,若存在定义域 D 内某个区间[a,b],使得 y=f(x)在[a,b]上的值域也为[a,b], 则称函数 y=f(x)在定义域 D 上封闭,如果函数 f(x)=﹣ 在 R 上封闭,则 b﹣a= .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.某校为了解学生的视力情况,随机抽查了一部分学生视力,将调查结果分组,分组区间为(3.9,4.2], (4.2,4.5],…, (5.1,5.4].经过数据处理,得到如下频率分布表: 分组 (3.9,4.2] (4.2,4.5] (4.5,4.8] (4.8,5.1] (5.1,5.4] 合计 频数 3 6 25 y 2 n 频率 0.06 0.12 x z 0.04 1.00

(Ⅰ)求频率分布表中未知量 n,x,y,z 的值; (Ⅱ)从样本中视力在(3.9,4.2]和(5.1,5.4]的所有同学中随机抽取两人,求两人的视力差的绝对值低 于 0.5 的概率.

2

18.在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AC=AA1=3,BC=2,D 是 BC 的中点,F 是 C1C 上一点. (1)当 CF=2,求证:B1F⊥平面 ADF; (2)若 FD⊥B1D,求三棱锥 B1﹣ADF 体积.

19.设 a、b、c 分别是△ ABC 三个内角∠A、∠B、∠C 的对边,若向量 , (1)求 tanA?tanB 的值; (2)求 的最大值. 且 ,

20.如图,F 是椭圆 O 是坐标原点,|OF|=

+

=1(a>b>0)的右焦点,

,过 F 作 OF 的垂线交椭圆于 P0,Q0 .

两点,△ OP0Q0 的面积为 (1)求该椭圆的标准方程;

(2)若直线 l 与上下半椭圆分别交于点 P、Q,与 x 轴交于点 M,且|PM|=2|MQ|,求△ OPQ 的面积取得最 大值时直线 l 的方程.

21.设函数 f(x)=c lnx+ x2+bx(b,c∈R,c≠0) ,且 x=1 为 f(x)的极值点. (Ⅰ)若 x=1 为 f(x)的极大值点,求 f(x)的单调区间(用 c 表示) ; (Ⅱ)若 f(x)=0 恰有两解,求实数 c 的取值范围.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做第一个题目 计分. 22. (本题满分 10 分)选修 4 ? 1 :几何证明选讲

PA 为 圆 O 的 切 线 , A 为 切 点 , PO 交 圆 O 于 B, C PB ? 10, ?BAC 的角平分线与 BC 和圆 O 分别交于点 D 和 E . AB PA (Ⅰ)求证 ; ? AC PC C (Ⅱ)求 AD ? AE 的值.
如图所示, 23.(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

两点,

PA ? 20
A



O

D

B

P

极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位, 以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴.已知直线 l 的 参数方程为 ?

E

?x ? 2 ? t 2 ( t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为 ? sin ? ? 8cos ? ? y ? 3t (Ⅰ)求 C 的直角坐标方程;

.

3

(Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 交于

A, B 两点,求弦长 | AB | .

24.(本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数

f ( x) ? 1 ? 2 x ? 3 x ? 1 , f ( x) 的最大值为 M ,正数 a, b 满足

1 1 ? ? Mab . a 3 b3

(Ⅰ)求 M ; (Ⅱ)是否存在 a, b ,使得 a
6

? b 6 ? ab ?并说明理由.

4

东北育才学校高中部高三第五次模拟数学试题(文科)答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分. C B B D B BD A A B C B 二.填空题(共 4 小题)

13,36 14, 15, 16,6

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17, 【解答】解: (I)由表可知,样本容量为 n, 由(5.1,5.4]一组频数为 2,频率为 0.04,则 由 ,解可得,x=50; , ,得 n=50

y=50﹣3﹣6﹣25﹣2=14,

(II)设样本视力在(3.9,4.2]的 3 人为 a,b,c;样本视力在(5.1,5.4]的 2 人为 d,e. 由题意从 5 人中任取两人的基本事件空间为:Ω={(a,d) , (a,e) , (b,d) , (b,e) , (c,d) , (c,e) , (a, b) , (a,c) , (b,c) , (d,e)},共 10 个基本事件; 设事件 A 表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于 0.5”,则事件 A 包含的基本事件有: (a,b) , (a,c) , (b, c) , (d,e) ,共 4 个基本事件; P(A)= = ,

故抽取的两人的视力差的绝对值低于 0.5 的概率为 . 18, 【解答】 (1)证明:∵AB=AC,D 是 BC 的中点, ∴AD⊥BC.在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, ∵B1B⊥底面 ABC,AD?底面 ABC,∴AD⊥B1B. ∵BC∩B1B=B,∴AD⊥平面 B1BCC1. ∵B1F?平面 B1BCC1,∴AD⊥B1F.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分) 在矩形 B1BCC1 中,∵C1F=CD=1,B1C1=CF=2, ∴Rt△DCF≌Rt△FC1B1. ∴∠CFD=∠C1B1F.∴∠B1FD=90° ,∴B1F⊥FD. ∵AD∩FD=D,∴B1F⊥平面 ADF.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) (2)解:∵AD⊥面 B1DF, 又 ,

,CD=1,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分)

∵FD⊥B1D,∴Rt△CDF∽Rt△BB1D,∴





﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分)

5





19, 【解答】解: (1)由

,得

.…(2 分)

即 亦即 4cos(A﹣B)=5cos(A+B) ,…(4 分) .…(6 分)



所以

(2)因

,…(8 分)

而 所以,tan(A+B)有最小值 ,…(10 分) 当且仅当

, 时,取得最小值.

又 tanC=﹣tan(A+B) ,则 tanC 有最大值 20,【解答】解: (1)由题意可得 c= ,

,故

的最大值为

将 x=c 代入椭圆方程可得 y=± b





即有△OP0Q0 的面积为 |PQ|?c=





= ,且 a2﹣b2=5,解得 a=3,b=2,即有椭圆方程为

+

=1;

(2)设 M(t,0) ,且

<1,即﹣3<t<3.

直线 PQ:x=my+t,代入椭圆方程, 可得(4m2+9)y2+8mty+4t2﹣36=0,

设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,y1+y2=﹣ 由|PM|=2|MQ|,可得 =2

,y1y2=

<0,

,即有﹣y1=2y2,代入韦达定理可得,

t2=

,即有 m2=

,即有 1<t2<9.

6

则△OPQ 的面积为 S= |t|?|y1﹣y2|= |t|?

=6|t|?

=



当 t2=5<9,此时 m2= ,△OPQ 的面积取得最大值,且为 × 4=3. 故所求直线方程为 x=± y﹣ 或 x=± y+ .

21,【解答】解: ∵x=1 为 f(x)的极值点,∴f'(1)=0,



∴ (I)若 x=1 为 f(x)的极大值点,

且 c≠1,b+c+1=0.

∴c>1,当 0<x<1 时,f'(x)>0;当 1<x<c 时,f'(x)<0; 当 x>c 时,f'(x)>0.∴f(x)的递增区间为(0,1) , (c,+∞) ;递减区间为(1,c) . (II)①若 c<0,则 f(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增, f(x)=0 恰有两解,则 f(1)<0,即 ,∴ c<0;

②若 0<c<1,则 f(x)的极大值为 f(c)=clnc+ c2+bc, f 则 f ③若 c>1,则 ,则 f(x)=0 只有一解. 综上,使 f(x)=0 恰有两解的 c 的范围为: 22.解: (1)由 又 为圆 的切线,得 , c<0. , ,∵b=﹣1﹣c, =clnc﹣c﹣ ,从而 f(x)=0 只有一解; =clnc﹣c﹣ , ,

为公共角,所以

……4 分 (2)由 为圆 的切线, 是过点 的割线, ,

7



,又





又由(1)知 是 的角平分线,且

, ,



, ,

, 23.(Ⅰ)由 即曲线 的直角坐标方程为 ,得 . ,

……10 分

……4 分

(Ⅱ)将直线 l 的方程化标准式

代入

,并整理得,







所以 24.解:(Ⅰ)当 时,

. 单调递增,所以 ;

……10 分



时,

单调递减,所以



当 时, -……4 分 (Ⅱ)假设存在正数 ,使得

单调递减,所以

;所以

的最大值

,则

所以

;又由于

,所以

……10 分

8



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