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【优化方案】2016年高中数学 第二章 统计 2.1.3分层抽样学案 新人教A版必修3


2.1.3

分层抽样

问题导航 (1)什么叫分层抽样? (2)分层抽样适用于什么情况? (3)分层抽样时,每个个体被抽到的机会是相等的吗?

1.分层抽样的概念 一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽 取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样. 2.分层抽样的适用条件 分层抽样尽量利用事先所掌握的各种信息,并充分考虑保持样本结构与总体结构的一致 性,这对提高样本的代表性非常重要.当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分 层抽样的方法.

1.判断下列各题.(对的打“√”,错的打“×”) (1)系统抽样时,将总体分成均等的几部分,每部分抽取一个,符合分层抽样,故系统抽 样就是一种特殊的分层抽样;( ) (2)在分层抽样时,每层可以不等可能抽样;( ) (3)在分层抽样的过程中, 每个个体被抽到的可能性是相同的, 与层数及分层有关. ( ) 解析:(1)因为分层抽样是从各层独立地抽取个体,而系统抽样各段上抽取时是按事先定 好的规则进行的,各层编号有联系,不是独立的,故系统抽样不同于分层抽样. (2)分层抽样时,每层仍然要等可能抽样. (3)与层数及分层无关. 答案:(1)× (2)× (3)× 2.某地区为了解居民家庭生活状况,先把居民按所在行业分为几类,然后每个行业抽取 1 的居民家庭进行调查,这种抽样是( 100 )

A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D.分类抽样 解析:选 C.符合分层抽样的特点. 3.一个班共有 54 人,其中男、女比为 5∶4,若抽取 9 人参加教改调查会,则每个男同 学被抽取的可能性为________,每个女同学被抽取的可能性为________. 5 解析:男、女每人被抽取的可能是相同的,因为男同学共有 54× =30(人),女同学共有 9 4 54× =24(人), 9

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5 1 4 1 所以每个男同学被抽取的可能性为 = ,每个女同学被抽取的可能性为 = . 30 6 24 6 1 1 答案: 6 6 4.分层抽样的操作步骤是什么? 解:总体分层;按照比例独立抽取.

1.分层抽样的特点 (1)适用于总体由有明显差别的几部分组成的情况. (2)抽取的样本更好地反映了总体的情况. (3)是等可能性抽样,每个个体被抽到的可能性都是 . 2.分层抽样的公平性 如果总体中个体的总数是 N,样本容量为 n,第 i 层中个数为 Ni,则第 i 层中要抽取的个

n N

Ni ni 1 Ni n 体数为 ni=n· .每一个个体被抽取的可能性是 = ·n· = ,与层数无关.所以对所有 N Ni Ni N N
个体来说,被抽取的可能性是一样的,与层数及分层无关,所以分层抽样是公平的. 3.分层抽样需注意的问题 (1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定,总的原则是每层内样本的差异要 小,不同层之间的样本差异要大,且互不重叠. (2)抽取比例由每层个体占总体的比例确定. (3)各层抽样按简单随机抽样或系统抽样进行.

分层抽样的概念 某中学有老年教师 20 人,中年教师 65 人,青年教师 95 人.为了调查他们的健康 状况,需从他们中抽取一个容量为 36 的样本,则合适的抽样方法是( ) A.抽签法 B.系统抽样 C.分层抽样 D.随机数法 [解析] 各部分之间有明显的差异是分层抽样的依据. [答案] C 方法归纳 各部分之间有明显的差异是分层抽样的依据,至于各层内用什么方法抽样是灵活的,可 用简单随机抽样,也可采用系统抽样.分层抽样中,无论哪一层的个体,被抽中的机会均等, 体现了抽样的公平性.

1.(1)某市有四所重点大学,为了解该市大学生的课外书籍阅读情况,则采用下列哪种 方法抽取样本最合适(四所大学图书馆的藏书有一定的差距)( )

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A.抽签法 B.随机数表法 C.系统抽样法 D.分层抽样法 解析: 选 D. 因为学校图书馆的藏书对学生课外书籍阅读影响比较大, 因此采取分层抽样. (2)某校高三年级有男生 800 人,女生 600 人,为了解该年级学生的身体健康情况,从男 生中任意抽取 40 人,从女生中任意抽取 30 人进行调查.这种抽样方法是( ) A.简单随机抽样法 B.抽签法 C.随机数表法 D.分层抽样法 解析:选 D.总体中个体差异比较明显,且抽取的比例也符合分层抽样.

分层抽样的应用 (2014·高考湖北卷)甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4 800 件,采用分层抽样 的方法从中抽取一个容量为 80 的样本进行质量检测.若样本中有 50 件产品由甲设备生产, 则乙设备生产的产品总数为________件. [解析] 设乙设备生产的产品总数为 x 件,则甲设备生产的产品总数为(4 800-x)件.由 50 4 800-x 分层抽样特点,结合题意可得 = ,解得 x=1 800. 80 4 800 [答案] 1 800 [互动探究] 将本例条件“若样本中有 50 件产品由甲设备生产”换为“已知甲、乙两套 设备生产的同类型产品数量之比为 5∶3”,求样本中抽取的由甲、乙设备生产的数量分别是 多少件? 5 解:设样本中抽取的由甲、乙设备生产的数量分别是 x,y 件,则 x=80× =50,y 5+3 3 =80× =30. 5+3 故样本中抽取的由甲、乙设备生产的数量分别是 50,30 件. 方法归纳 在分层抽样的过程中,为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的,这就要求各层所抽 取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比,即 ni∶Ni=n∶N.

2.(1)为了调查城市 PM2.5 的情况,按地域把 48 个城市分成大型、中型、小型三组,相应 的城市数分别为 8,16,24.若用分层抽样的方法抽取 12 个城市,则应抽取的中型城市数为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 12 1 1 解析: 选 B.根据分层抽样的特点可知, 抽样比例为 = , 则应抽取的中型城市数为 16× 48 4 4 =4. (2)一个单位共有职工 200 人,其中不超过 45 岁的有 120 人,超过 45 岁的有 80 人.为 了调查职工的健康状况,用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为 25 的样本,则应抽 取超过 45 岁的职工________人. 解析:抽样比为 25∶200=1∶8,而超过 45 岁的职工有 80 人,则从中应抽取的个体数为

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1 80× =10. 8 答案:10

三种抽样方法的考查 选择合适的抽样方法抽样,并写出抽样过程. (1)有甲厂生产的 30 个篮球,其中一箱 21 个,另一箱 9 个,抽取 10 个入样; (2)有 30 个篮球,其中甲厂生产的有 21 个,乙厂生产的有 9 个,抽取 10 个入样; (3)有甲厂生产的 300 个篮球,抽取 10 个入样; (4)有甲厂生产的 300 个篮球,抽取 30 个入样. [解] (1)总体容量较小,用抽签法. ①将 30 个篮球编号,编号为 00,01,?,29. ②将以上 30 个编号分别写在完全一样的一张小纸条上,揉成小球,制成号签. ③把号签放入一个不透明的袋子中,充分搅拌均匀. ④从袋子中逐个抽取 10 个号签,并记录上面的号码. ⑤找出和所得号码对应的篮球即可得到样本. (2)总体由差异明显的两个层次组成,需选用分层抽样. 10 1 21 9 ①确定抽取个数.因为 = ,所以甲厂生产的应抽取 =7(个),乙厂生产的应抽取 = 30 3 3 3 3(个). ②用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球 7 个,乙厂生产的篮球 3 个.这些篮球便组成了我 们要抽取的样本. (3)总体容量较大,样本容量较小,宜用随机数表法. ①将 300 个篮球用随机方式编号,编号为 001,002,?,300. ②在随机数表中随机地确定一个数作为开始,如(教材 P103 附表)第 8 行第 29 列的数“7” 开始.任选一个方向作为读数方向,比如向右读. ③从数“7”开始向右读,每次读三位,凡不在 001~300 中的数跳过去不读,遇到已经 读过的数也跳过去不读,便可依次得到 10 个号码,这就是所要抽取的 10 个样本个体的号码. (4)总体容量较大,样本容量也较大,宜用系统抽样. ①将 300 个篮球用随机方式编号,编号为 000,001,002,?,299,并分成 30 段,其中 300 每一段包含 =10 个个体. 30 ②在第一段 000,001,002,?,009 这十个编号中用简单随机抽样抽出一个(如 002)作 为起始号码. ③将编号为 002,012,022,?,292 的个体抽出,即可组成所要求的样本. 方法归纳 (1)简单随机抽样、系统抽样和分层抽样是三种常用的抽样方法,在实际生活中有着广泛 的应用. (2)三种抽样的适用范围不同,各自的特点也不同,但各种方法间又有密切联系.在应用 时要根据实际情况选取合适的方法. (3)三种抽样中每个个体被抽到的可能性都是相同的.

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3.(1)某饮料公司在华东、华南、华西、华北四个地区分别有 200 个、180 个、180 个、 140 个销售点.公司为了调查产品销售的情况,需从这 700 个销售点中抽取一个容量为 100 的 样本,记这项调查为①;在华南地区中有 20 个特大型销售点,要从中抽取 7 个调查其销售收 入和售后服务情况,记这项调查为② . 则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 ( ) A.分层抽样法、系统抽样法 B.分层抽样法、简单随机抽样法 C.系统抽样法、分层抽样法 D.简单随机抽样法、分层抽样法 解析:选 B. 当总体中个体较多时宜采用系统抽样;当总体中的个体差异较大时,宜采用 分层抽样;当总体中个体较少时,宜采用简单随机抽样.依题意,第①项调查应采用分层抽 样法、第②项调查应采用简单随机抽样法.故选 B. (2)调查某班学生的平均身高,从 50 名学生中抽取 5 名,抽样方法是________,如果男 女身高有显著不同(男生 30 人,女生 20 人),抽样方法是________. 解析:从 50 名学生中抽取 5 名,总体中个体数不多,采用简单随机抽样;总体中个体差 异比较明显,采用分层抽样. 答案:简单随机抽样 分层抽样 (3)下列问题中,采用怎样的抽样方法较为合理? ①从 10 台电冰箱中抽取 3 台进行质量检查; ②某学校有 160 名教职工,其中教师 120 名,行政人员 16 名,后勤人员 24 名,为了了 解教职工对学校在校务公开方面的意见,拟抽取一个容量为 20 的样本. 解:①抽签法,因为总体容量较小,宜用抽签法. ②分层抽样,由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大,用分层抽样.

易错警示

分层抽样的应用

某单位有工程师 6 人,技术员 12 人,技工 18 人,要从这些人中抽取一个容量为 n 的样本,如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取,不用剔除个体;如果样本容量增加 1 个, 则在采用系统抽样时,需要在总体中先剔除 1 个个体,则样本容量为________. [解析] 总体容量 N=36. 36 当样本容量为 n 时,系统抽样间隔为 ∈N+,所以 n 是 36 的约数;

n

分层抽样的抽样比为 ,求得工程师、技术员、技工的抽样人数分别为 , , ,所以 n 36 6 3 2 应是 6 的倍数, 所以 n=6 或 12 或 18 或 36. 当样本容量为 n+1 时,总体中先剔除 1 人时还有 35 人,系统抽样间隔为 以 n 只能是 6. [答案] 6 [错因与防范] 35

n

n n n

n+1

∈N+,所

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36 n n n 35 36 , , , ∈N+求 n 时,n 的值有遗漏; ∈N+易错写成 ∈N+. n 6 3 2 n+1 n+1

样本容量 为获取各层入样数目,需先正确计算出抽样比 k= ,若 k 与某层个体数的积不是 总体容量 整数时,可先将该层等可能性剔除多余个体.

4.某林场有树苗 30 000 棵,其中松树苗 4 000 棵.为调查树苗的生长情况,采用分层 抽样的方法抽取一个容量为 150 的样本,则样本中松树苗的数量为( ) A.30 B.25 C.20 D.15 解析:选 C.抽样比为 150∶30 000=1∶200,则样本中松树苗的数量为 4 000× 故选 C. 1 =20. 200

1.某大学共有学生 5 600 人,其中有专科生 1 300 人、本科生 3 000 人、研究生 1 300 人,现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况,抽取的样本为 280 人, 则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取( ) A.65 人、150 人、65 人 B.30 人、150 人、100 人 C.93 人、94 人、93 人 D.80 人、120 人、80 人 5 600 1 300 3 000 1 300 解析:选 A.根据分层抽样按比例抽取的特点,有 = = = ,解得 x 280 x y z =z=65,y=150,即专科生、本科生与研究生应分别抽取 65、150、65,故选 A. 2.某地共有 10 万户居民,从中随机调查了 1 000 户拥有彩电的调查结果如下表: 彩电 有 无 城市 432 48 农村 400 120 )

若该地区城市与农村住户之比为 4∶6,估计该地区无彩电的农村总户数约为( A.0.923 万户 B.1.385 万户 C.1.8 万户 D.1.2 万户 6 120 解析:选 B.无彩电的农村总户数约为 10× × ≈1.385 万户. 10 520

3.某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为 2∶3∶5,现用分层 抽样方法抽出一个容量为 n 的样本,样本中 A 种型号产品有 16 件,那么此样本的容量 n= ________. 解析:由分层抽样的特点,得 n× 2 =16,所以 n=80. 2+3+5

答案:80 4.某校对全校男、女学生共 1 200 名进行健康调查,选用分层抽样抽取一个容量为 200 的样本,已知男生比女生多抽了 10 人,则该校男生人数为________. 200 1 105 1 解析:入样比例= = ,则男生应抽 105 人,设男生为 x 人,所以 = ? x=630. 1 200 6 x 6 答案:630
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[A.基础达标] 1.某社区有 500 个家庭,其中高收入家庭 125 户,中等收入家庭 280 户,低收入家庭 95 户.为了调查社会购买力的某项指标,要从中抽取 1 个容量为 100 的样本,记作①;某学校 高一年级有 12 名女排运动员,要从中选出 3 名调查学习负担情况,记作②.那么完成上述两 项调查应采用的抽样方法是( ) A.①用简单随机抽样法;②用系统抽样法 B.①用分层抽样法;②用简单随机抽样法 C.①用系统抽样法;②用分层抽样法 D.①用分层抽样法;②用系统抽样法 解析:选 B.对于①,总体由高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭差异明显的 3 部分 组成,而所调查的指标与收入情况密切相关,所以应采用分层抽样法.对于②,总体中的个 体数较少,而且所调查内容对 12 名调查对象是“平等”的,所以应采用简单随机抽样法. 2.已知某单位有职工 120 人,其中男职工 90 人,现采用分层抽样的方法(按男、女分层) 抽取一个样本,若已知样本中有 27 名男职工,则样本容量为( ) A.30 B.36 C.40 D.无法确定 解析:选 B.分层抽样中抽样比一定相同,设样本容量为 n,由题意得,

n 27 = ,解得 n 120 90

=36. 3.(2014·高考重庆卷)某中学有高中生 3 500 人,初中生 1 500 人,为了解学生的学习 情况, 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本, 已知从高中生中抽取 70 人, 则 n 为( ) A.100 B.150 C.200 D.250 解析:选 A.法一:由题意可得 法二:由题意,抽样比为 70

n-70 1 500



3 500 ,解得 n=100,故选 A.

70 1 1 = ,总体容量为 3 500+1 500=5 000,故 n=5 000× 3 500 50 50

=100. 4.(2015·中山高一检测)某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有 30 名,高二年级 有 40 名,现用分层抽样的方法在这 70 名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽 取了 6 名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 6 x 解析:选 B.设高二年级抽取 x 人,则有 = ,解得 x=8,故选 B. 30 40 5.(2015·潍坊高一检测)某学校在校学生 2 000 人,为了学生的“德、智、体”全面发 展,学校举行了跑步和登山比赛活动,每人都参加而且只参与其中一项比赛,各年级参与比 赛的人数情况如下表: 高一年级 跑步人数 高二年级 高三年级

a

b

c
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登山人数

x

y

z

1 其中 a∶b∶c=2∶5∶3,全校参与登山的人数占总人数的 .为了了解学生对本次活动的 4 满意程度, 从中抽取一个 200 人的样本进行调查, 则高三年级参与跑步的学生中应抽取( A.15 人 B.30 人 C.40 人 D.45 人 )

1 解析:选 D.全校参与登山的人数是 2 000× =500,所以参与跑步的人数是 1 500,应抽 4 取 1 500 3 ×200=150,c=150× =45(人). 2 000 10

6.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3∶3∶4,现用分层抽样的方法从该 校高中三个年级的学生中抽取一个容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取________名学生. 解析:抽取比例与学生比例一致. 设应从高二年级抽取 x 名学生,则 x∶50=3∶10.解得 x=15. 答案:15 7.某公司生产三种型号的轿车,产量分别为 1 200 辆,6 000 辆和 2 000 辆,为检验该 公司的产品质量,现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验,这三种型号的轿车依次应该抽取 ________辆,________辆,________辆. 46 1 1 解析: 因为 = , 所以这三种型号的轿车依次应该抽取 1 200× 1 200+6 000+2 000 200 200 1 1 =6 辆,6 000× =30 辆,2 000× =10 辆.即这三种型号的轿车依次应该抽取 6 辆、 200 200 30 辆、10 辆进行检验. 答案:6 30 10 8.某地区有农民、工人、知识分子家庭共计 2 015 家,其中农民家庭 1 600 户,工人家 庭 303 户.现要从中抽出容量为 40 的样本,则在整个抽样过程中,可以用到下列抽样方法中 的________.(将你认为正确的选项的序号都填上) ①简单随机抽样;②系统抽样;③分层抽样. 解析:为了保证抽样的合理性,应对农民、工人、知识分子分层抽样,在各层中采用系 统抽样和简单随机抽样,抽样时还要先用简单随机抽样剔除多余的个体. 答案:①②③ 9.(2015·莱州高一检测)某校高一年级 500 名学生中,血型为 O 的有 200 人,血型为 A 的有 125 人,B 型的有 125 人,AB 型的有 50 人.为了研究血型与色弱的关系,要从中抽取一 个容量为 40 的样本,应如何抽样?写出血型为 AB 型的抽样过程. 2 2 解:因为 40÷500= ,所以应用分层抽样法抽取血型为 O 型的 ×200=16(人),A 型 25 25 2 2 2 的 ×125=10(人),B 型的 ×125=10(人),AB 型的 ×50=4(人). 25 25 25 AB 型的 4 人可以这样抽取: 第一步,将 50 人随机编号,编号为 1,2,?,50. 第二步,把以上 50 人的编号分别写在大小相同的小纸片上,揉成小球,制成号签. 第三步,把得到的号签放入一个不透明的袋子中,充分搅拌均匀. 第四步,从袋子中逐个抽取 4 个号签,并记录上面的编号. 第五步,根据所得编号找出对应的 4 人即可得到样本.
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10.某单位最近组织了一次健身活动,活动分为登山组和游泳组,且每个职工至多参加其 中一组.在参加活动的职工中,青年人占 42.5%,中年人占 47.5%,老年人占 10%.登山组的职 1 工占参加活动总人数的 ,且该组中青年人占 50%,中年人占 40%,老年人占 10%.为了了解各 4 组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度,现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工 中抽取一个容量为 200 的样本.试确定: (1)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别所占的比例; (2)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数. 解:(1)设登山组人数为 x,游泳组中,青年人、中年人、老年人所占比例分别为 a、b、 c, 则有

x×40%+3xb x×10%+3xc =47.5%, =10%, 4x 4x

解得 b=50%,c=10%, 故 a=100%-50%-10%=40%, 即游泳组中,青年人、中年人、老年人所占比例分别为 40%、50%、10%. (2)游泳组中, 3 抽取的青年人人数为 200× ×40%=60(人); 4 3 抽取的中年人人数为 200× ×50%=75(人); 4 3 抽取的老年人人数为 200× ×10%=15(人). 4 即游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数为 60 人,75 人,15 人. [B.能力提升] 1.某鱼贩一次贩运草鱼、青鱼、鲢鱼、鲤鱼及鲫鱼各有 80 条、20 条、40 条、40 条、20 条,现从中抽取一个容量为 20 的样本进行质量检测,若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽 取的青鱼与鲤鱼共有( ) A.6 条 B.8 条 C.10 条 D.12 条 解 析 : 选 A. 设 抽 取 的 青 鱼 与 鲤 鱼 共 有 x 条 , 根 据 分 层 抽 样 的 比 例 特 点 有 20+40 x = ,所以 x=6. 80+20+40+40+20 20 2.某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查,从 8~10 岁,11~12 岁,13~14 岁, 15~16 岁四个年龄段回收的问卷依次为:120 份,180 份,240 份,x 份.因调查需要,从回 收的问卷中按年龄段分层抽取容量为 300 的样本,其中在 11~12 岁学生问卷中抽取 60 份, 则在 15~16 岁学生中抽取的问卷份数为( ) A.60 B.80 C.120 D.180 解析:选 C.11~12 岁回收 180 份,其中在 11~12 岁学生问卷中抽取 60 份,则抽样比为 1 . 3 ∵从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为 300 的样本,

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300 ∴从 8~10 岁,11~12 岁,13~14 岁,15~16 岁四个年龄段回收的问卷总数为 = 1 3 900(份),则 15~16 岁回收问卷份数为:x=900-120-180-240=360(份). 1 ∴在 15~16 岁学生中抽取的问卷份数为 360× =120(份),故选 C. 3 3.某校高一年级有 x 名学生,高二年级有 y 名学生,高三年级有 z 名学生,采用分层抽 样抽取一个容量为 45 的样本,高一年级被抽取 20 人,高二年级被抽取 10 人,高三年级共有 学生 300 人,则此学校共有学生________人. 45 15 解析:高三年级被抽取了 45-20-10=15(人),设此学校共有学生 N 人,则 = ,解 N 300 得 N=900. 答案:900 4.(2015·泰安质检)某企业三月中旬生产 A,B,C 三种产品共 3 000 件,根据分层抽样 的结果,企业统计员制作了如下的统计表格: 产品类型 产品数量(件) 样本容量

A

B
1 300 130

C

由于不小心,表格中 A、C 两种产品的有关数据已被污染看不清楚了,统计员只记得 A 产 品的样本容量比 C 产品的样本容量多 10,根据以上信息,可得 C 产品的数量是________件. 解析:抽样比为 130∶1 300=1∶10,又 A 产品的样本容量比 C 产品的样本容量多 10, 1 故 C 产品的数量是[(3 000-1 300)-100]× =800(件). 2 答案:800 5.某校有在校高中生共 1 600 人,其中高一年级学生 520 人,高二年级学生 500 人,高 三年级学生 580 人.如果想通过抽查其中的 80 人来调查学生的消费情况,考虑到不同年级学 生的消费情况有明显差别,而同一年级内消费情况差异较小,问应采用怎样的抽样方法?高 三年级学生中应抽查多少人? 解:因不同年级的学生消费情况有明显差别,所以应采用分层抽样.因为 520∶500∶580 =26∶25∶29, 于是将 80 分成比例为 26∶25∶29 的三部分. 设三部分各抽个体数分别为 26x, 25x,29x,由 26x+25x+29x=80,解得 x=1.所以高三年级学生中应抽查 29 人. 6.(选做题)某中学举行了为期 3 天的新世纪体育运动会,同时进行全校精神文明擂台 赛.为了解这次活动在全校师生中产生的影响,分别在全校 500 名教职员工、3 000 名初中生、 4 000 名高中生中进行问卷调查,如果要在所有答卷中抽出 120 份用于评估. (1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论? (2)要从 3 000 份初中生的答卷中抽取一个容量为 48 的样本,如果采用简单随机抽样, 应如何操作? (3)为了从 4 000 份高中生的答卷中抽取一个容量为 64 的样本,如何使用系统抽样抽取 得到所需的样本? 解:(1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不相同,所以应当采取分 层抽样的方法进行抽样. 120 2 ∵样本容量为 120,总体个数为 500+3 000+4 000=7 500(名),则抽样比为 = . 7 500 125

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2 2 2 ∴500× =8(人),3 000× =48(人),4 000× =64(人),∴在教职员工、初中 125 125 125 生、高中生中抽取的个体数分别是 8、48、64. 分层抽样的步骤是: 第一步,分为教职员工、初中生、高中生共三层. 第二步,确定每层抽取个体的个数:在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别 是 8、48、64. 第三步,各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本. 第四步,综合每层抽样,组成样本. 这样便完成了整个抽样过程,就能得到比较客观的评价结论. (2)由于简单随机抽样有两种方法:抽签法或随机数表法.若用抽签法,则要做 3 000 个 号签,费时费力,因此采用随机数表法抽取样本,步骤是: 第一步,编号:将 3 000 份答卷都编上号码:0 001,0 002,?,3 000. 第二步,在随机数表上随机选取一个起始位置. 第三步,规定读数方向:向右连续取数字,以 4 个数为一组,碰到右边线时接下一行左 边线继续向右连续取数,若读取的 4 位数大于 3 000,则去掉,如果遇到相同号码则只取一个, 这样一直到取满 48 个号码为止. (3)由于 4 000÷64=62.5 不是整数,故应先使用简单随机抽样法从 4 000 名学生中随机 剔除 32 个个体,再将剩余的 3 968 个个体进行编号:1,2,?,3 968,然后将整体分为 64 个部分,其中每个部分中含有 62 个个体,如第一部分个体的编号为 1,2,?,62.从中随机 抽取一个号码,若抽取的是 23,则从第 23 号开始,每隔 62 个号码抽取一个,这样得到一个 容量为 64 的样本:23,85,147,209,271,333,395,457,?,3 929.

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