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湖南省长沙市长郡中学2017届高三第一次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案


炎德 ? 英才大联考 长郡中学 2017 届高三模拟考试(一)

文科数学 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,有且 只有一项符合题目要求. 1.已知全集 U ? R, 集合 A ? ? x | 2 x ? A.

? ?

1? ? , B ? ? x | log3 x ? 1? ,则 A ? ?CU B? ? 2?

? ?1, ???

B.

?3, ???

C.

? ?1,0? ? ?3, ???

D. ? ?1,0? ? ?3, ???

2.设复数 z ? A. i

2i 3 ( i 为虚数单位),则 z 的虚部为 i ?1
B. ?i C. ?1 D. 1

3.已知 ?an ? 是等比数列,则“ a1 ? 0 ”是“ a2017 ? 0 ”的 A. 充分不必要条件 C.充要条件
2

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.函数 y ? x ? ln x 的大致图象是

5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难, 次日脚痛减一半,六朝才得其关,要见次日行里数,请公仔细算相还。”其意思是“有一个 人走 378 里里,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半,走了 6 天 后到达目的地,请问第三天走了” A. 60 里 B. 48 里 C. 36 里 D.24 里 6.据统计,用于数学学习的时间(单位:小时)与成绩(单位:分)近似于线性相关关系.对 某小组学生每周用于数学学习时间 x 与数学成绩 y 进行数据收集如下:

? ? bx ? a ,则点 ? a, b ? 与直线 x ? 18 y ? 110 的位置关系为 由表中样本数据求回归直线方程 y


-1-

A.点在直线左侧

B. .点在直线右侧

C. .点在直线上

D.无法确定

7.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体最长的 棱长为 A. 4 3 B.

4 2
? ?

C.

6

D. 2 5

8.为了得到函数 y ? sin ? 2 x ? 的图象 A. 向左平移

??

可以将函数 y ? cos 2 x ? 的图象, 6?

? 个单位 3 ? C.向右平移 个单位 6

? 个单位 6 ? D. .向右平移 个单位 3
B.向左平移

9.执行如图所示的程序框图,如输入的 a, b, k 分别为 1, 2,3 ,则输出的 M ?

A.

20 3

B.

16 5

C.

7 2

D.

15 8

10.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1Sn ? 2an?1 ,则当 n ? 1 时, Sn ?

?3? A. ? ? ?2?

n ?1

B. 2

n ?1

?2? C. ? ? ?3?

n ?1

D. ?

1? 1 ? ? 1? n ?1 3? 2 ?

11.已知直线 l 过点 A ? ?1,0? 且与 ? B : x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 相切于点 D ,以坐标轴为对称轴的双 曲线 E 过点 D ,其一条渐近线平行于 l ,则 E 的方程为 A.

3x 2 y 2 ? ?1 4 4

B.

x2 3 y 2 ? ?1 2 2

C.

5 y2 ? x2 ? 1 3

D.

3 y 2 x2 ? ?1 2 2

2 12.已知函数 f ? x ? ? 2sin x ? 3x ,若对任意 m ? ? ?2, 2? , f ? ma ? 3? ? f a ? 0 恒成立,则

? ?

a 的取值范围是
A.

? ?1,1?

B.

? ??, ?1? ? ?3, ???

C.

? ?3,3?

D. ? ??, ?3? ? ?1, ???

-2-

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

?x ? y ? 2 ? 0 ? 13.若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

.

14.已知点 A ?1, 0 ? , B 1, 3 ,点 C 在第二象限,且 ?AOC ? 150? , OC ? ?4OA ? ?OB ,则

?

?

??? ?

??? ?

??? ?

??
15.椭圆 C :

.

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,上、下顶点分别为 B1, B2 , a 2 b2
.

右顶点为 A ,直线 AB1 与 B2 F1 交于点 D ,若 2 AB1 ? 3 B1D ,则 C 的离心率等于 16.函数 f ? x ? ? 4sin

?
2

x ? 6 x ? x 2 所有零点的和等于

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.(本题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? sin x ?sin ?x ? (1)求 f ? x ? 的单调递增区间; (2)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 f ? A? ?

? ?

??
.? 3?

3 , a ? 3b ,试判断 2

?ABC 的形状.

18.(本题满分 12 分) 某校卫生所成立了调查小组,调查“按时刷牙”与“不患龋齿的关系”.对该校某年级 800 名学生进行检查,按含龋齿和不患龋齿分类,得到汇总数据:按时刷牙且不患龋齿的学生有 160 名,不按时刷牙但不患龋齿的学生有 100 名,按时刷牙但患龋齿的学生有 240. (1)该校 4 名卫生所工作人员甲、乙、丙、丁被随机分成两组,每组 2 人,一组负责数 据收集,另一组负责数据处理,求工作人员甲乙分到同一组的概率; (2)是否有 99.9% 的把握认为该年级学生的按时刷牙与不患龋齿有关系.

-3-

19.(本题满分 12 分)如图,菱形 ABCD 的边长为 6, ?BAD ? 60? , AC ? BD ? O 将菱形

ABCD 沿对角线 AC 折起,得到三棱锥 B ? ACD ,点 M 是棱 BC 的中点, DM ? 3 2.
(1)求证: OM // 平面 ABD ; (2)求证:平面 ABC ? 平面 MDO ; (3)求三棱锥 M ? ABD 的体积.

20.(本题满分 12 分)已知动圆 P 与圆 E : x ? 3

?

?

2

? y 2 ? 25 相切,且与圆

F : x ? 3 ? y 2 ? 1都内切,记圆心 P 的轨迹为曲线 C.
(1)求曲线 C 的方程; (2)直线 l 与曲线 C 交于点 A, B ,点 M 为线段 AB 的中点,若 OM ? 1 ,求 ?AOB 面 积的最大值.

?

?

2

21.(本题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ln x ?

1 2 ax ? x , a ? R. 2

(1)当 a ? 0 时,求函数 f ? x ? 在 1, f ?1? 处的切线方程; (2)令 g ? x ? ? f ? x ? ? ? ax ?1? ,求函数 g ? x ? 的极值; (3)若 a ? ?2 ,正实数 x1 , x2 满足 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? x1x2 ? 0 ,证明: x1 ? x2 ?

?

?

5 ?1 . 2

-4-

请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果两题都做,则按照所做的第一题给 分;作答时,请用 2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
22.(本题满分 10 分)选修 4-4:参数方程与极坐标系 在平面直角坐标系中,曲线 C 的参数方程为 ?

? , ? x ? 5cos ? ( ? 为参数).以坐标原点 O ? ? y ? sin ?,

为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标,直线 l 的极坐标方程为 ? cos ? ? ? 交于 A, B 两点. (1)求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程; (2)设点 P ? 0, ?2? ,求 PA ? PB 的值.

? ?

??

? ? 2 ,l 与 C 4?

23.(本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ?x ? ? x ?a ?x ,其中 a ? 0. (1)当 a ? 1 时,求不等式 f ? x ? ? x ? 2 的解集; (2)若不等式 f ? x ? ? 3x 的解集为 ?x | x ? 2? ,求实数 a 的值.

-5-

-6-

-7-

-8-

-9-

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