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淮安市淮海中学2015届高三冲刺四统测模拟测试


淮安市淮海中学 2015 届高三冲刺四统测模拟测试 数学试题
数学(I) 必做题部分
参考 公式:棱锥的体积公式: V ?

1 Sh ,其中 S 是棱锥的底面积,h 是棱锥的高. 3

一、填空题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案直接填写在答题卡 ... 相应的位置 上. 21 世纪教育网版权所有 ..... 1、已知集合 A ? ?x |1≤x≤2? , B ? ?1, 2,3, 4? ,则 A ? B ? ▲ .

? 2i ( i 是虚数单位),则复数 z 所对应的点的坐标为 ▲ . 2、已知复数 z ? 3 2015 i x2 y 2 3、已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 中,若以其焦点为圆心,半实轴长为半径的圆与渐 a b 近线相切,则其渐近线方程为 ▲ . 4、为了检测某种产品的质量,抽取了一个容量为 100 的样本,数据的分组及各组的频数 11.15) 范围内的矩形的 如下表:根据以上数表绘制相应的频率分布直方图时,落在 [10.95, 高应为 ▲ . 开始

分组
[10.75, 10.95) [10.95, 11.15) [11.15, 11.35) [11.35, 11.55) [11.55, 11.75]

频数 12 29 46 11 2

k←1 S←1 S←S+(k-1)2 S>6 Y 输出 k 结束 N

k←k+1

5、执行如上图所示的流程图,则输出的 k 的值为 ▲ . 6、箱子中有 4 个分别标有号码 2,0,1,5 的小球,从中随机取出一个记下号码后放回,再随 机取出一个记下号码,则两次记下的号码均为奇数或偶数的概率为 ▲ .

? x ? ? )( ? ? 0) 7 、 已 知 函 数 f ( x) ? 2 sin( , 若 f ( ) ? 0,f ( ) , 则 实数 ? 的 最 小值 为 ? 2 3 2 ▲ .
* 8、已知函数 f ( x) ? (1 ? 3m) x ? 10 ( m 为常数) ,若数列 {an } 满足 an ? f (n)(n ? N ) ,

?

?

且 a1 ? 2 ,则数列 {an } 的前 10 项和为 ▲

9、已知曲线 y ? sin x 在 x ? 0 处的切线与曲线 y ? ln x ? x ? a 相切,则实数 a ?



10、正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两

C1 E D1 C D A F A1

B1

2 个动点 E,F ,且 EF ? ,则三棱锥 B—AEF 的体积为 2
是___▲____. 11、 已知 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 若b ? 2 且 a ? 2cos C ? c sin B , 则 ?ABC 的 面 积 的 最 大 值 为 ▲ . 12、如图,在平行四边形 ABCD 中, AB 的中点为 M ,过 A 作 uuu r uuu r DM 的垂线, 垂足为 H , 若 AH ? 3 , 则向量 AH gAC ? ▲ .

B

D H A M B

C

13、在平面直角坐标系 xOy 中,已知 P(2, 2), C (5,6) ,若在以点 C 为圆心, r 为半径的圆
uur uu u r r 上存在不同的两点 A, B ,使得 PA ? 2 AB ? 0 ,则 r 的取值范围为

▲ .

14、 设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? (2 ? a) x , 其中 a ? 0 , 若对任意的 x ? R ,都有 f ( x ? 2 a ) ? f ( x) ,则实数 a 的取值范围为 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算 步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内 。21·世纪*教育网 ..... 15、 (本题满分 14 分) 已知向量 a ? (cos? , sin ? ) , b ? (2 , ? 1) .

sin ? ? cos? 的值; sin ? ? cos? ? ? (2)若 a ? b ? 2 , ? ? (0 , ) ,求 sin(? ? ) 的值 2 4
(1)若 a ? b ,求
p

16、(本小题满分 14 分) 在三棱锥 P-SBC 中,A,D 分别 为边 SB,SC 的中点
, AB ? 2, BC ? 4, CD ? 2 2. 平面 PSB ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD. (Ⅰ)求证:PA⊥BC; (Ⅱ) 若平面 PAD ? 平面 PBC= l ,求证: l / / BC .
[来源:学科网 ]

S A B D C

17. (本小题满分 14 分) 为了制作广告牌,需在如图所示的铁片上切割出一个直角 梯形,已知 铁片由两部分组 成,半径为 1 的半圆 O 及等腰直角三角形 EFH,其中 FE ? FH 。为裁剪出面积尽可能大 的梯形铁片 ABCD(不计损耗) ,将点 A,B 放在弧 EF 上,点 C、D 放在斜边 EH 上,且 AD // BC // HF ,设 ?AOE ? ? . (1)求梯形铁片 ABCD 的面积 S 关于 ? 的函数关系式; (2)试确定 ? 的值,使得梯形铁片 ABCD 的面积 S 最大,并求出最大值.

E A D O C H F B

18.(本小题满分 16 分) 如图, 过椭圆 L 的左顶点 A(?3, 0) 和下顶点 B 且斜率均为 k 的两直线 l1 , l2 分别交椭圆 于 C , D ,又 l1 交 y 轴于 M , l2 交 x 轴于 N ,且 CD 与 MN 相交于点 P .当 k = 3 时,

?ABM 是直角三角形.
(1)求椭圆 L 的标准方程; (2)①证明:存在实数 ? ,使得 AM ? ? OP ; ②求|OP|的取值范围. A O B C P N x

uuur

uu u r

y M D

19.(本小题满分 16 分) 设 n ? N* ,函数 fn ( x) ? xn x ? a ( x ? a) ,其中常数 a ? 0 . (1)求函数 f 2 ( x) 的极值; (2)设一直线与函数 f3 ( x) 的图象切于两点 A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1 ? x2 ? a . ①求 x12 ? x2 2 的值; ②求证: y1 ? y2 .

20. (本小题满分 16 分) 已知数列 ?an ? 的奇数项是首项为 1 的等差数列,偶数项是首项为 2 的等比数列,数列

?an ? 前 n 项和为 Sn ,且满足 S5 ? 2a4 ? a5 , a9 ? a3 ? a4 . (Ⅰ )求数列 ?an ? 的通项公式;
(Ⅱ )若 amam?1 ? am?2 ,求正整数 m 的值; (Ⅲ )是否存在正整数 m ,使得

S2m 恰好为数列 ?an ? 中的一项?若存在,求出所有 S 2 m ?1

满足条件的 m 值,若不存在,说明理由.www.21-cn-jy.com

淮安市淮海中学 2015 届高三四统测模拟测试

数学试题参考答案与评分标准 数学Ⅰ部分
一、填空题: 1.?1, 2? 9. 1 ? ln 2 2. (2,3) 10. 3. y ? ? x 11. 2 ? 1 4.1.45 5.15 6.

1 2

7.3

8. ?340

1 12

12. 27 13. [1,5)

14. [0, 4]

二、解答题:

(2)由 a ? b ? (cos? ? 2,sin ? ? 1) 可得,

a ? b ? (cos? ? 2)2 ? (sin? ? 1)2 ? 6 ? 4cos? ? 2sin ? ? 2 ,
即 1 ? 2 cos ? ? sin ? ? 0 , ① ………… ……………………………10 分
3 ? sin ? ? ? ? 5 ②,由①②可解得, ? ,……12 分 ?cos ? ? 4 ? 5 ?

? 又 cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ,且 ? ? (0, ) 2

? 2 2 3 4 7 2 (sin ? ? cos ? ) ? ( ? )? 所以 sin(? ? ) ? . ……………………14 分 4 2 2 5 5 10
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

16.证 明: (Ⅰ) 因为 AD / / BC . , , AB ? 2, BC ? 4, CD ? 2 2. 所以 AD ? AB 。 而平面 PAB ? 平 面 ABCD,平面 PAB∩平面 ABCD=AB. AD ? 平面ABCD ,所以 AD ? 平面PAB . PA ? 平面PAB , 所以 AD ? PA .……………3 分 同理, AB ? PA ,而 AB,AD ? 平面ABCD , AB ? AD ? A,所以
PA ? 平面ABCD , BC ? 平面ABCD ,所以 PA⊥BC……………7 分

(Ⅱ) 在梯形 ABCD 中,AD ∥ BC , BC ? 平面PAD , AD ? 平面PAD ,所以 BC / / 平面PAD 又 BC ? 平面PBC ,平面 PAD ? 平面 PBC= l ,所以 l / / BC . ……………14 分
[来源:Z#xx#k.Com]

17.解:(1)连接 OB,根据对称性可得 ?AOE ? ?BOF ? ? 且 OA ? OB ? 1 ,所以

AD ? 1 ? cos ? ? sin ? , BC ? 1 ? cos ? ? sin ? , AB ? 2cos ? (……………4 分)所以

S?

( AD ? BC ) ? AB ? ? 2(1 ? sin ? ) cos ? ,其中 0 ? ? ? .(……………7 分) 2 2

(2)记 f (? ) ? 2(1 ? sin ? ) cos ?,0 ? ? ?

?

2



f '(? ) ? 2(cos2 ? ? sin ? ? sin 2 ? ) = ?2(2sin ? ? 1)(sin ? ? 1)(0 ? ? ?
当0 ?? ?

?
2

) .(………10 分)

?
6

时, f '(? ) ? 0 ,当

?
6

?? ?

?
2

时, f '(? ) ? 0

所以 f (? ) min ? f ( ) ?

?

6

? 3 3 3 3 ,即 ? ? 时, Smax ? (……………14 分) 6 2 2

18.解: (1)

x2 ? y 2 ? 1;………4 分 9

(2)①证明:由(1)可设直线 l1 , l2 的方程分别为 y ? k ( x ? 3) 和 y ? kx -1 ,其中 k ≠0,

? y ? k ( x ? 3) 1 ? 2 2 2 2 则 M (0,3k ) , N ( , 0) 由 ? x 2 消去 x 得 (1+9k ) x ? 54k x+81k ? 9 ? 0 2 k ? ? y ?1 ? 9
以上方程必有一根 ?3 ,由韦达定理可得另一根为

3 ? 27 k 2 , 1+ 9k 2
………6 分

故点 C 的坐标为(

6k 3 ? 27 k 2 , ) , 2 1 + 9k 2 1+ 9k

? y ? kx - 1 18k ? 2 2 2 由 ? x2 消去 x 得 (1+ 9k ) x ?18k x ? 0 ,解得一根为 , 2 2 1 + 9 k ? y ? 1 ? ?9
故点 D 的坐标为(

18k 9k 2 ? 1 , ) ,………………………………8 分 1 + 9 k 2 1+ 9 k 2

由 l1 与 l2 平行得 MP ? tMN , CP ? tCD ,然后,进行坐标运算,即可得出点

3k ? ? 3 P 的坐标为 ? , ? ,……… ……… ……… ………………10 分 ? 1 ? 3k 1 ? 3k ?

而 AM ? ? 3,3k ? , OP ? ? ∴存在实数 ? = ②由 OP ? ?

1 3k ? ? 3 , ? ,∴ AM ? 1 ? 3k OP ? 1 ? 3k 1 ? 3k ?
……… ………………12 分

1 ,使得 AM ? ? OP 3k ? 1

3k ? ? 3 , ? ? 1 ? 3k 1 ? 3k ? 3 10 ; 10

法一:由消参得点 P 的轨迹方程为 x ? 3 y ? 3 ? 0 ,所以 | OP | 的最小值为

………………16 分 法二:得 | OP | ?

1 12 1 3 1? k 2 ,令 t ? 1 ? 3k ,则 | OP | = 10( ) ? 2( ) ? 1 其中 ? 0,1 , t t t |1 ? 3k |

∴ | OP | 的最小值为

3 10 . 10

………………16 分

19. (本题满分 16 分)

? x ? 3x ? 2a ?, x ? a, ? x3 ? ax2, x ? a, ? ? 解: (1)依题意, f 2 ( x) ? ? 2 则 f 2? ( x) ? ? 3 x ? a, x ? a, ? ? ?ax ? x , ? x ? 2a ? 3x ?,
由 f 2? ( x) ? 0 得, x1 ? 0 , x2 ? 2 a ? a , 3 当 x ? (a,? ?) 时, f 2?( x) ? 0 ,所以 f 2 ( x) 无极值;
a) 时,列表: 当 x ? (??,

…… 3 分

x
f 2?( x) f 2 ( x)

(- ? ,0)
?

0 0 极小值 0

a ? 0,2 3 ?

2a 3

a, a? ?2 3

?


0

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

?



极大值



所以函数 f 2 ( x) 的极小值为 f 2 (0) ? 0 ,极大值为 f 2 2 a ? ? 4 a3 ; …… 6 分 3 27 (2)①当 x ? a 时, f3 ( x) ? ax3 ? x4 , f3? ( x) ? 3ax2 ? 4x3 , 直线 AB 的方程为 y ? ax13 ? x14 ? 3ax12 ? 4x13 ( x ? x1 ) ,

? ?

?

?

2 3 2 3 ? ?3ax ? 4 x ? 3ax2 ? 4 x2 , 或 y ? ax23 ? x24 ? 3ax22 ? 4x23 ( x ? x2 ) ,于是 ? 1 3 1 4 3 4 ? ??2ax1 ? 3x1 ? ?2ax2 ? 3x2 ,

?

?

[来源:学科网 ZXXK]

?3a( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 4( x1 ? x2 )( x12 ? x1 x2 ? x2 2 ), ? 即? 2 2 2 2 ? ?3( x1 ? x2 )( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 2a( x1 ? x2 )( x1 ? x1 x2 ? x2 ),
2 故 x12 ? x2 2 ? a (常数);…… 11 分 2

[来源:Zxxk.Com]

?a 2 ? 2( s 2 ? 2t ), ? ②证明:设 x1 ? x2 ? s , x1 x2 ? t ,则 ? 2 3as ? 4( a ? t ), ? ? 2

?s ? a , ? s ? a, ? ? 2 3 4 3 4 解得 ? 或 ? a 2 (舍去,否则 x1 ? x2 ),故 y2 ? y1 ? ax2 ? x2 ? ax1 ? x1 2 t ? a ?t ? ? , ? ? 4 8 ?

?

? ?

?

2 2 2 2 ? ? a ? x23 ? x13 ? ? ? x24 ? x14 ? ? ( x2 ? x1 ) ? ? a ? x1 ? x2 ? x1 x2 ? ? ? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ?
2 2 2 ? ( x2 ? x1 ) ? a a ? a ? a ? a? a3 ? 2 2? ? 2 8 ? ? ( x2 ? x1 ) 8 ? 0 ,即证 y1 ? y2 .

?

?

…… 16 分

20.


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