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江西省新余一中2011—2012学年高二数学下学期第一次段考试卷 理 新人教版


2011-2012 学年新余一中高二年级下学期第一次段考 数学试卷(理) 考试时间:120 分钟
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.已知 P:A∩ ? = ? ,Q: A∪ ? =A,则下列判断正确的是( )

试卷总分:150 分

A.“P 或 Q”为真, “非 Q”为假; B.“P 且 Q”为假, “非 P”为真 ; C.“P 且 Q”为假, “非 P”为假 ; D.“P 且 Q”为假, “P 或 Q”为真 2.在下列命题中,真命题是( ) A. “x=2 时,x2-3x+2=0”的否命题; B.“若 b=3,则 b2=9”的逆命题; C.若 ac>bc,则 a>b; D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题 3.设 l , m, n 均为直线,其中 m, n 在平面 ?内, 则“l ? ? ”是“l ? m且l ? n” 的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) )

4.已知等比数列中{an}中,a1 + a3 = 101,前 4 项和为 1111,令 bn = lg an,则 b2012 = ( A.2011 B.2012 C.2013 D.2222

5.10 名同学合影,站成了前排 3 人,后排 7 人.现摄影师要从后排 7 人中抽 2 个站前排, 其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数为( A. C72 A55 B. C72 A22 C. C72 A52 D. C72 A53 ( ) D. )

6.右图是一程序框图,则其输出结果为 A.

8 9

B.

9 10

C.

10 11
2 2 2

9 8

7.①点 P 在△ABC 所在的平面内,且 AP ? ? ( AB ? AC), BP ? ? ( BA ? BC ) ; ②点 P 为△ABC 内的一点,且使得 AP ? BP ? CP 取得最小值;③点 P 是△ABC 所在平面内一点,且 PA ? PB ? PC ? 0 ,上述三个点 P 中, 是△ABC 的重心的有( A.0 个 ) B.1 个 C.2 个 D.3 个

2 8.若 n 为函数 f ( x) ? x ? 3 ? x ? 6 ? x ? 12 的最小值,则二项式 ( x2 ? )n 的展开式中的常数 x 项是( ) A.12 B.240 C.2688 D.5376
9.已知函数 f ( x) ? 2sin ? x 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的最小值是 ?2 ,则 ? 的取值范围为( 3 4



用心

爱心

专心

1

A. (??, ? ]

9 2

B. (??, ?2]

C. (??, ?2] [ , ??)

3 2

D.(??, ? ] [6, ??)

9 2

2 10 .已知函数 f ( x) ? ax? 1 ? b 1 ? x ,其中 a ??0,1 2 ,则使得 f ( x ) ? 0 在 ? ,b ?? 1, ?

x ? [?1, 0] 上有解的概率为( 1 1 A. B. 2 3

) C.

1 4

D. 0

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 盒子中有大小相同的 3 只白球,1 只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同 的概率是_ __. 12.圆柱形容器内部盛有高度为 8cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面 半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示) ,则球的半径是 cm。 13.已知 a= (1, x) ,b ? (2 x ? 3, ? x) ,若 a//b,则|a ? b|= 14.已知函数 f ? x ? 满足: f ?1? ? 则 f ? 2010? =_____________. 15.若不等式 x2 + |2x – 6|≥a 对于一切实数 x 均成立,则实数 a 的最大值是 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 16. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 ?an ? 中,a1 ? a, a2 ? b, a3 ? c ,a, b, c 分别为 ?ABC 的三内角 A, B, C 的对边,且 cos B ? (1)求数列 ?an ? 的公比 q ;
? 2 (2)设集合 A ? x ? N | x ? 2 | x | ,且 a1 ? A ,求数列 ?an ? 的通项公式.

.

1 , 4 f ? x ? f ? y ? ? f ? x ? y ? ? f ? x ? y ?? x, y ? R ? , 4



3 . 4

?

?

17.(本小题满分 12 分) 若关于 x 的实系数方程 x ? ax ? b ? 0 有两个根, 一个根在区间 (0,1)
2

内, 另一根在区间 (1,3) 内,记点 ( a, b) 对应的区域为 S . (1)设 z ? 2a ? b ,求 z 的取值范围; (2)过点 (?5,1) 的一束光线,射到 x 轴被反射后经过区域 S ,求反射光线所在直线 l 经过 区域 S 内的整点(即横纵坐标为整数的点)时直线 l 的方程.

用心

爱心

专心

2

18(本小题共 12 分)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树。乙组记录中有 一个数据模糊,无法确认,在图中以 X 表示。

(Ⅰ )如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差; (Ⅱ )如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵树 Y 的分布列和数学期望。 (s ?
2

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ( x3 ? x) 2 ? ? ? ( x n ? x) 2 ]. 其中 x 为 x1 ,x2 , …… xn 的 n

平均数)

19. (本小题 12 分) 如右图,已知 ABCD 为正方形, AE ? 平面ABCD , DF ? 平面ABCD , AD ? DF ? 2AE ? 2 . (1)求证:平面 BEF ? 平面 BDF ; (2)求点 A 到平面 BEF 的距离;

F

E

A C

D

B

20. (本大题满分 13 分)本大题共有 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 4 分,第 3 小题 5
用心 爱心 专心 3

分. 如图:某污水处理厂要在一个矩形污水处理池 ( ABCD) 的 D 池底水平铺设污水净化管道 ( Rt? FHE , H 是直角顶点)来处 理污水, 管道越长, 污水净化效果越好.设计要求管道的接口 H 是 AB 的中点,E , F 分别落在线段 BC, AD 上.已知 AB ? 20 米, F

C E

AD ? 10 3 米,记 ?BHE ? ? . (1)试将污水净化管道的长度 L 表示为 ? 的函数,并写出定 义域; (2)若 sin? ? cos ? ? 2 ,求此时管道的长度 L ; (3)问:当 ? 取何值时,污水净化效果最好?并求出此时 管道的长度.

A

θ
H

B

21.(本大题满分 14 分)已知以点 C (t,

2 )(t∈R) ,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O,A, t

与 y 轴交于点 O,B,其中 O 为坐标原点. (1)求证:△OAB 的面积为定值; (2)设直线 y= –2x+4 与圆 C 交于点 M,N 若|OM|=|ON|,求圆 C 的方程. (3) 若 t>0, 当圆 C 的半径最小时, 圆 C 上至少有三个不同的点到直线 l: y – 2 ? k ( x ? 3 ? 2)
1 的距离为 ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 2

用心

爱心

专心

4

2011-2012 学年度高二年级下学期第一次段考 数学试卷(理)参考答案
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1 A 2D 3A 4A 5C 6C 7D 8D 9C 10A 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. p ?

1 2

12. 4

13. 2 或 2 5

14.

1 2

15. 5

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 16 解: (1)依题意知: b2 ? ac ,由余弦定理得:

a 2 ? c 2 ? b2 1 a c 1 3 cos B ? ? ?( ? ) ? ? , . . . . . .3 分 2ac 2 c a 2 4


c 1 ? q 2 ,代入上式得 q2 ? 2 或 q 2 ? ,又在三角形中 a, b, c ? 0 , a 2

?q ? 2 或 q ?
(2)

2 ; . . . . . .6 分 2

. . . . . .9 分 x2 ? 2 | x |,? x4 ? 4 x2 ? 0 ,即 x2 ( x2 ? 4) ? 0,??2 ? x ? 2 且 x ? 0 ,
?

又 x ? N ,所以? A ? ?1? ,?a1 ? 1, an ? ( 2)

n?1

或 an ? (

2 n ?1 . . . . . .12 分 ) . 2

2 17.解:方程 x ? ax ? b ? 0 的两根在区间 (0,1) 和 (1,3) 上的几何意义是:函数

由此可得不 y ? f ( x) ? x2 ? ax ? b 与 x 轴的两个交点的横坐标分别在区间 (0,1) 和 (1,3) 内, 等式组 b A(-4, 3)

? f (0) ? 0 ?b ? 0 ? ? ? f (1) ? 0 ,即 ? a ? b ? 1 ? 0 ,则在坐标平面 aOb ?3a ? b ? 9 ? 0 ? f (3) ? 0 ? ?
内,点 ( a, b) 对应的区域 S 如图阴影部分所示,易得图中 A, B, C 三点的坐标分别为 (?4,3), (?3, 0), (?1, 0) , . . . . . .4 分
用心 爱心 专心

B

?3

?1 O C ?1

a

? 9 5

(1)令 z ? 2a ? b ,则直线 b ? 2a ? z 经过点 A 时

z 取得最小值,经过点 C 时 z 取得最大值,即 zmin ? ?11, zmax ? ?2 ,
又 A, B, C 三点的值没有取到,所以 ?11 ? z ? ?2 ; . . . . . .8 分 (2)过点 (?5,1) 的光线经 x 轴反射后的光线必过点 (?5, ?1) ,由图可知 可能满足条件的整点为 (?3,1),(?3, 2),(?2, 2),(?2,1) ,再结合不等式知点 (?3,1) 符合条件, 所以此时直线方程为: y ? 1 ?

1 ? (?1) . . . . . .12 分 ? ( x ? 5) ,即 y ? x ? 4 . ?3 ? (?5)

18.解: (1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10, 所以平均数为

8 ? 8 ? 9 ? 10 35 ? ; 4 4 1 35 2 35 2 35 35 11 2 ) ? (9 ? ) 2 ? (10 ? ) 2 ] ? . 方差为 s ? [(8 ? ) ? (8 ? 4 4 4 4 4 16 x?
(Ⅱ)当 X=9 时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵树是:9,9,11,11;乙组 同学的植树棵数是:9,8,9,10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有 4×4=16 种可能的结果,这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17,18,19,20, 21 事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树 9 棵, 乙组选出的同学植树 8 棵”所以该 事件有 2 种可能的结果,因此 P(Y=17)= 同理可得 P (Y ? 18) ?

2 1 ? . 16 8

1 1 1 1 ; P (Y ? 19) ? ; P(Y ? 20) ? ; P(Y ? 21) ? . 4 4 4 8

所以随机变量 Y 的分布列为: Y P 17 18 19 20 21

1 8

1 4

1 4

1 4

1 8

EY=17×P ( Y=17 ) +18×P ( Y=18 ) +19×P ( Y=19 ) +20×P ( Y=20 ) +21×P ( Y=21 ) =17×

1 1 1 1 1 +18× +19× +20× +21× =19. 8 4 4 4 8
F

19.解: (1)连 AC 交 BD 于 O,取 BF 的中点 G,连 EG

? OG //

1 1 DF , AE // DF ? OG// AE 2 2

E

?四边形AOGE是平行四边形? AO//EG

? DF ? 平面ABCD ? DF ? AO 又AO ? BD
用心 爱心 专心
B

A C

D

6

? AO ? 平面BDF ? EG ? 平面BDF ? EG ? 平面BEF ? 平面BEF ? 平面BDF ???????6 分
(2)由(1)知 AO//EG

? AO // 平面B E F

? O 到平面 BEF 的距离就是 A 到平面 BEF 的距离
过 O 作 OH ? BF于H ? 平面BEF ? 平面BDF ? OH ? 平面BEF

? ?BOH ~ ?BFD ?

OH OB ? DF BF

? OH ?

6 6 即点 A 到平面 BEF 的距离为 .????????12 分 3 3
10 10 , FH ? cos ? sin ?
EF ?

20 解: (1) EH ?

10 sin? cos? 10 ? 10 3 由于 BE ? 10 ? tan ? ? 10 3 , AF ? tan ?

? ? 3 ? tan ? ? 3 , ? ? [ , ] 6 3 3 10 10 10 ? ? L? ? ? , ? ? [ , ] .???????4 分 cos ? sin ? sin ? ? cos ? 6 3
1 , L ? 20( 2 ? 1) ;?????8 分 2 10 10 10 sin ? ? cos ? ? 1 ? ? ) (3) L ? = 10( cos ? sin ? sin ? ? cos ? sin ? ? cos ?
(2) sin? ? cos ? ? 2 时, sin? cos ? ??

t 2 ?1 ????????10 分 2 ? ? ? 3 ?1 由于 ? ? [ , ] ,所以 t ? sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ? ) ? [ , 2] 6 3 4 2 20 ? ? 3 ?1 3 ?1 L? ,? ? 时 在[ 时? ? , 2] 内单调递减,于是当 t ? t ?1 6 3 2 2 L 的最大值 20( 3 ? 1) 米. ???????????12 分 ? ? 答:当 ? ? 或 ? ? 时所铺设的管道最短,为 20( 3 ? 1) 米 .?????? 13
设 sin ? ? cos ? ? t 则 sin ? ? cos ? ?

6

3


2 )(t∈R) ,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O,A, t

21. (本大题满分 14 分)已知以点 C (t,

与 y 轴交于点 O,B,其中 O 为坐标原点. (1)求证:△OAB 的面积为定值; (2)设直线 y= –2x+4 与圆 C 交于点 M,N 若|OM|=|ON|,求圆 C 的方程.

用心

爱心

专心

7

( 3 )若 t > 0 ,当圆 C 的半径最小且时,圆 C 上至少有三个不同的点到直线 l : y
1 – 2 ? k ( x ? 3 ? 2) 的距离为 ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 2

21 解(1)∵圆 C 过原点 O,∴OC2=t2+
4 t

4 4 则圆 C 的方程为 ( x ? t )2 ? ( y ? 2)2 ? t 2 ? 2 2 t t 4 ) t

令 x=0,得 y1=0,y2= ;令 y=0 得 x1=0,x2=2t,即 A(2t,0) B(0,
1 1 4 ∴S△OAB= OA×OB= | |×|2t|=4.??4 分 2 2 t

即△OAB 的面积为定值 (2)∵|OM|=|ON|,|CM|=|CN|,∴OC 垂直平分线段 MN. ∵KMN = – 2 ∴ ∴KOC=
1 2

2 1 ? t , 解得 t=2 或 t = –2. t 2

当 t=2 时, 圆心 C 的坐标为 (2, 1) 半径 OC= 5 , 此时圆心到直线 y= –2x+4 的距离 d= 即圆 C 与直线 y= –2x+4 相交于两点。 当 t=-2 时,圆心 C 的坐标为(–2,–1)半径 OC= 5 此时圆心到直线 y= –2x+4 的距离 d= ∴t= –2 不合题意,舍去. ∴圆 C 的方程为(x –2)2+(y –1)2=5.??9 分 (3)半径 OC= t 2 ?
4 ? 4 ? 2 .当且仅当 t= ? 2 时取等号 ∵t>0 ∴t= 2 . t2

1 5

? 5,

9 5

> 5 , 即圆 C 与直线 y= –2x+4 不相交,

此时圆心坐标为 C( 2,

2 )半径为 2.
1 2 =k(x –3 – 2 )的距离为 . 2

若圆 C 上至少有三个不同的点到直线 l:y –
3 则圆心 C 到直线的距离 d≤ . 2

即:

| 3k | 1? k
2

?

3 2

所以–

3 3 ?k? .??14 分 3 3

用心

爱心

专心

8



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