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河北饶阳中学高三数学3.8解三角形应用举例学案


河北饶阳中学高三数学教案

主备人:丁馈钦

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第三章第 8 讲

解三角形应用举例[来源:中国教育出版网.c

考纲要求:能利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中和三角形有关的角度、方向、距离等测量问题. 教学目标: 1.会从实际问题抽象中解三角形问题,培养建模能力;2.掌握解三角形实际应用的基本方法,体 会数学在实际问题中的应用. 教学方法:布置问题,学生讨论 1. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. 2. 实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线 在水平视线下方叫俯角(如图①).

(2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东 30° ,北偏西 45° 等. (3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 α(如图②). (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的正切值. 3. 解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系. (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. [难点正本 疑点清源]
[来源: 中& 教& 网 z&z&s&tep]

解三角形应用题的两种情形 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解 够条件的 三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要 求的解. 课前自测 1. 在某次测量中, 在 A 处测得同一半平面方向的 B 点的仰角是 60° , C 点的俯角是 70° , 则∠BAC=________. 答案 130° 解析 由已知∠BAD=60° ,∠CAD=70° , ∴∠BAC=60° +70° =130° .
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2. (2011· 上海)在相距 2 千米的 A,B 两点处测量目标 C,若∠CAB=75° ,∠CBA=60° ,则 A,C 两点之间 的距离是__________千米. 答案 6

解析 如图所示,由题意知∠C=45° , AC 2 由正弦定理得 = , sin 60° sin 45° ∴AC= 2 3 · = 6. 2 2 2

3. 江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水面上,由炮台顶部测得俯角分别为 45° 和 60° ,而且两条船与炮台底部连线成 30° 角,则两条船相距________ m. 答案 10 3 解析 如图,OA 为炮台,M、N 为两条船的位置,∠AMO=45° ,∠ANO =60° ,OM=AOtan 45° =30, ON=AOtan 30° = 由余弦定理得, MN= 900+300-2×30×10 3× 3 = 300=10 3(m). 2 3 ×30=10 3, 3
[ 来源:中教网]

4. 某登山队在山脚 A 处测得山顶 B 的仰角为 45° ,沿倾斜角为 30° 的斜坡前进 1 000 m 后到达 D 处,又测得 山顶的仰角为 60° ,则山的高度 BC 为____________ m. 答案 500( 3+1) 解析 过点 D 作 DE∥AC 交 BC 于 E,因为∠DAC=30° ,故∠ADE=150° . 于是∠ADB=360° -150° -60° =150° . 又∠BAD=45° -30° =15° , ADsin∠ADB 故∠ABD=15° ,由正弦定理得 AB= sin∠ABD = 1 000sin 150° =500( 6+ 2)(m). sin 15°

所以在 Rt△ABC 中,BC=ABsin 45° =500( 3+1)(m). 5. 两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站北偏东 40° ,灯塔 B 在观察站南偏东 60° , 则灯塔 A 在灯塔 B 的 A.北偏东 10° B.北偏西 10°
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(

)

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C.南偏东 10° 答案 B

D.南偏西 10°

解析 灯塔 A、B 的相对位置如图所示,由已知得∠ACB=80° , ∠CAB=∠CBA=50° , 则 α=60° -50° =10° ,即北偏西 10° .

题型一 测量距离问题 例 1 要测量对岸 A、B 两点之间的距离,选取相距 3 km 的 C、D 两点,并测得∠ACB=75° ,∠BCD=45° , ∠ADC=30° ,∠ADB=45° ,求 A、B 之间的距离.
[ 来源:z,zs,tep. com]

思维启迪:将题中距离、角度转化到一个三角形中,再利用正、余弦定理解三角形. 解 如图所示,在△ACD 中,

∠ACD=120° ,∠CAD=∠ADC=30° , ∴AC=CD= 3 km. 在△BCD 中,∠BCD=45° , ∠BDC=75° ,∠CBD=60° . ∴BC= 3sin 75° 6+ 2 = . sin 60° 2

在△ABC 中,由余弦定理,得 AB2=( 3)2+?

? 6+ 2?2-2× 3× 6+ 2×cos 75° ? 2 ? 2 ?

=3+2+ 3- 3=5, ∴AB= 5 (km),∴A、B 之间的距离为 5 km. 探究提高 这类实际应用题,实质就是解三角形问题,一般都离不开正弦定理和余弦定理,在解题中,

首先要正确地画出符合题意的示意图,然后将问题转化为三角形问题去求解. 注意:①基线的选取要恰当准确;②选取的三角形及正、余弦定理要恰当. 如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120° 的扇形 AOB, 区的一个出入口,且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O D 用了 2 分钟,从 D 沿着 DC 走到 C 用了 3 分钟.若此人步行的速度 50 米,则该扇形的半径为________米. 答案 50 7 解析 连接 OC,在△OCD 中, OD=100, CD=150,∠CDO=60° , 由余弦定理可得 1 OC2=1002+1502-2×100×150× =17 500, 2
[ 来源:中教网]

C 是该小 沿 OD 走到 为每分钟

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解得 OC=50 7(米). 题型二 测量高度问题 例 2 某人在塔的正东沿着南偏西 60° 的方向前进 40 米后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔顶的最大仰角 为 30° ,求塔高. 思维启迪:依题意画图,某人在 C 处,AB 为塔高,他沿 CD 前进, CD=40 米,此时∠DBF=45° ,从 C 到 D 沿途测塔的仰角,只有 B AB 到测试点的距离最短时,仰角才最大,这是因为 tan∠AEB= ,AB BE 为定值,BE 最小时,仰角最大.要求出塔高 AB,必须先求 BE,而 要求 BE,需先求 BD(或 BC). 解 如图所示,某人在 C 处,AB 为塔高,

他沿 CD 前进,CD=40,此时∠DBF=45° ,过点 B 作 BE⊥CD 于 E, 则∠AEB=30° , 在△BCD 中,CD=40,∠BCD=30° ,∠DBC=135° ,由正弦定理,得 CD BD = , sin∠DBC sin∠BCD 40sin 30° ∴BD= =20 2(米).∠BDE=180° -135° -30° =15° . sin 135° 在 Rt△BED 中, BE=DBsin 15° =20 2× 6- 2 =10( 3-1)(米). 4

在 Rt△ABE 中,∠AEB=30° , ∴AB=BEtan 30° = 10 (3- 3)(米). 3

10 故所求的塔高为 (3- 3)米. 3 探究提高 在测量高度时,要正确理解仰角、俯角的概念,画出准确的示意图,恰当地选取相关的三角
[ 来源:中国教育出 版网 zzstep.com]

形和正、余弦定理逐步进行求解.注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识. 如图所示,B,C,D 三点在地面的同一直线上,DC 点测得 A 点的仰角分别为 β 和 α(α<β),则 A 点距地面的高 AB 为 _______________. 答案 asin αsin β sin?β-α?

=a,从 C,D 两

AC DC a 解析 AB=ACsin β, = = , sin α sin∠DAC sin?β-α? asin αsin β 解得 AB= . sin?β-α? 题型三 测量角度问题 例 3 某渔轮在航行中不幸遇险, 发出呼救信号, 我海军舰艇在 A 处获悉后, 立即测出该渔轮在方位角为 45° , 距离为 10 n mile 的 C 处,并测得渔轮正沿方位角为 105° 的方向,以 9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢,我
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主备人:丁馈钦

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海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间. 思维启迪:本题中所涉及的路程在不断变化,但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等,先设出所用时间 t,找 出等量关系,然后解三角形. 解 如图所示,根据题意可知 AC=10,∠ACB=120° ,设舰艇靠近渔轮

所需的时间为 t h,并在 B 处与渔轮相遇,则 AB=21t,BC=9t,在△ABC 中,根据余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC· BC· cos 120° ,所以 212t2=102 1 2 5 +81t2+2×10×9t× ,即 360t2-90t-100=0,解得 t= 或 t=- (舍去).所以舰艇靠 2 3 12 2 近渔轮所需的时间为 h.此时 AB=14,BC=6. 3 在△ABC 中,根据正弦定理得 BC AB = , sin 120° sin∠CAB

3 6× 2 3 3 所以 sin∠CAB= = , 14 14 即∠CAB≈21.8° 或∠CAB≈158.2° (舍去). 即舰艇航行的方位角为 45° +21.8° =66.8° . 2 所以舰艇以 66.8° 的方位角航行,需 h 才能靠近渔轮. 3 探究提高 对于和航行有关的问题,要抓住时间和路程两个关键量,解三角形时将各种关系集中在一个

三角形中利用条件.
[ 来源:中国 教育出 版网 zzstep.com]

如图所示,位于 A 处的信息中心获悉:在其正东方向相 的 B 处有一艘渔船遇险, 在原地等待营救. 信息中心立即把消息告知 西 30° 、相距 20 海里的 C 处的乙船,现乙船朝北偏东 θ 的方向即沿 往 B 处救援,则 cos θ 等于 ( )

距 40 海里 在其南偏 直线 CB 前

A.

21 7

B.

21 14

3 21 C. 14

D.

21 28

答案 B 解析 如图所示,在△ABC 中,AB=40,AC=20,∠BAC=120° ,由 余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos 120° =2 800,所以 BC= 20 7. 由正弦定理,得 AB 21 sin∠ACB= · sin∠BAC= . BC 7 2 7 由∠BAC=120° ,知∠ACB 为锐角,故 cos∠ACB= . 7
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故 cos θ=cos(∠ACB+30° ) =cos∠ACBcos 30° -sin∠ACBsin 30° = 21 . 14

正、余弦定理在实际问题中的应用

典例:(14 分)如图,在海岸 A 处发现北偏东 45° 方向,距 A 处( 3-1)海里 的 B 处有一艘走私船.在 A 处北偏西 75° 方向,距 A 处 2 海里的 C 处 的我方缉私船奉命以 10 3海里/小时的速度追截走私船,此时走私船 正以 10 海里/小时的速度,以 B 处向北偏东 30° 方向逃窜.问:缉私 船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间. 审题视角 (1)分清已知条件和未知条件(待求). (2)将问题集中到一个三角形中,如△ABC 和△BCD. (3)利用正弦定理或余弦定理求解. 规范解答 解 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时, 才能最快截获(在 D 点)走私船, 则 CD=10 3t(海里), BD=10t (海
[来源: 中§教§网 z §z § s§tep]

里),[2 分] 在△ABC 中,由余弦定理,有 BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos∠BAC =( 3-1)2+22-2( 3-1)· 2· cos 120° =6. ∴BC= 6(海里).[4 分] BC AC 又∵ = , sin∠BAC sin∠ABC AC· sin∠BAC 2· sin 120° 2 ∴sin∠ABC= = = , BC 2 6 ∴∠ABC=45° ,∴B 点在 C 点的正东方向上, ∴∠CBD=90° +30° =120° ,[7 分] BD CD 在△BCD 中,由正弦定理,得 = , sin∠BCD sin∠CBD BD· sin∠CBD 10t· sin 120° 1 ∴sin∠BCD= = = . CD 2 10 3t ∴∠BCD=30° ,∴缉私船沿北偏东 60° 的方向行驶.[9 分] 又在△BCD 中,∠CBD=120° ,∠BCD=30° , ∴D=30° ,∴BD=BC,即 10t= 6. ∴t= 6 小时≈15(分钟).[12 分] 10
[ 来源:中国教 育出版 网 zzs tep.com]

∴缉私船应沿北偏东 60° 的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要 15 分钟.[14 分]

答题模板
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解斜三角形应用题的一般步骤为 第一步:分析——理解题意,分清已知与未知,画出示意图; 第二步:建模——根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个 解斜三角形的数学模型; 第三步:求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解; 第四步:检验——检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.

温馨提醒 (1)由实际出发,构建数学模型是解应用题的基本思路.如果涉及三角形问题,我们可以把它 抽象为解三角形问题进行解答,之后再还原成实际问题,即利用上述模板答题. (2)本题的易错点:不能将已知和待求量转化到同一个三角形中,无法运用正、余弦定理求解.

方法与技巧 1.合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函数模型. 2.把生活中的问题化为二维空间解决,即在一个平面上利用三角函数求值. 3.合理运用换元法、代入法解决实际问题. 失误与防范 在解实际问题时,应正确理解如下角的含义. 1.方向角——从指定方向线到目标方向线的水平角. 2.方位角——从正北方向线顺时针到目标方向线的水平角. 3.坡度——坡面与水平面所成的二面角的正切值. 4.仰角与俯角——与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时 称为仰角,目标视线在水平视线下方时称为俯角.
[ 来源:z|zs|tep.com]

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