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重庆市名校联盟2010-2011学年高二数学第一次联考试题 理

名校联盟 2010-2011 学年第一次联合考试 高 2012 级
注意事项: 1. 答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2. 答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4. 所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 5.考试结束后,将答题卡交回。 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、 选择题: 本大题共 10 个小题, 每小题 5 分, 50 分. 在每小题给出的四个备选项中, 共 只有一项是符合题目要求的. 1.直线 y ? 4 与直线 x ? y ? 5 ? 0 的夹角是 A.

数学试题卷(理工农医类)

数学试题卷(理工农医类)共4页。满分150分。考试时间120分钟。

?
4

B.

?
3

C.

?
2

D.

3? 4

2.对任意实数 m ,直线 ( m ? 1) x ? 2m y ? 6 ? 0 必经过的定点是 A. (1, 0 ) B. ( 0, ? 3 ) C. ( 6, ? 3 ) D. (

6 3 ,? ) 1? m m

3.直线 l1 : 2 x ? (m ? 1) y ? 4 ? 0 与直线 l2 : mx ? 3 y ? 2 ? 0 平行,则 m 的值为 A.2 B.-3 C.2 或-3 D.-2 或-3 4.椭圆 x 2 ? 2 y 2 ? 2 的右焦点到直线 y ? A.

3 x 的距离是
C.1 D.

1 2

B.

3 2

3

?y ? 0 ? 5.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?x ? y ? 3 ? 0 ?
A.—2 A. a ? 3 B. 4 B. a ? 3 C. 6 C. a ? 4 D. 8 D. a ? 4 6.不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? a 的解集非空, 则实数 a 的取值范围是

b 1 7. 已知第 I 象限的点 P (a, ) 在直线 x ? 2 y- =0 上,则
A. 3 ? 2 2 B. 4 ? 2
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1 1 ? 的最小值为 a b
D. 2 ? 3 2
1

C. 4 2

2 2 0 8. 有下列命题:(1)若 a ? b ,则 ac ? bc ;(2)直线 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为 45 ,纵截

距为 1;(3)直线 l1 : y ? k1 x ? b1 与直线 l2 : y ? k1 x ? b1 平行的充要条件时 k1 ? k2 且

b1 ? b2 ;(4)当 x ? 0 且 x ? 1 时,lg x ?
程为 x ? y ? 0 ; 其中真命题的个数是 A.0 B.1

1 ? 2 ;(5)到坐标轴距离相等的点的轨迹方 lg x

C.2

D.3

9. ?ABC 中 a, b, c 是内角 A, B, C 的对边,且 lgsin A,lgsin B,lgsin C 成等差数列,则下 列两条直线 l1 : (sin 2 A ) x ? (sin A) y ? a ? 0 , l2 : ( sin2 B ) x ? ( sin C ) y ? c ? 0 的位置关系是 A.重合 10. 椭圆 B.相交 C.垂直 D.平行

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? ?) 的右焦点 F,其右准线与 x 轴的交点为 A,在椭圆上存在 a 2 b2

点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F,则椭圆离心率的取值范围是 A. (0,

2 ] 2

B. (0, ]

1 2

C. [ 2 ?1,1)

D. [ ,1)

1 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 把答案填写在答题卡相应位置上. 11. 若椭圆

x2 y2 则点 P 到 F2 相对应的准线的距离 ? ? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离为 7, 25 16

是____; 12. 已 知 直 线 l 过 点 ( ? 2 ,? 1) 且 在 两 坐 标 轴 上 的 截 距 相 等 , 则 直 线 l 的 方 程 为 13.函数 y ? ;

x 2 ? 2x ? 2 ( x ? ?1) 的图像最低点坐标是__________. x ?1

14. 如 果 关 于 x 的不等式 a x2 ? bx ? c ? 0 的解集是 { x | x ? m 或 x ? n } ( m ? n ? 0 ) ,则 不等式 cx2 ? bx ? a ? 0 的解集为__________; 15.若直线 y ? x ? b 与曲线 ?

? x ? 2 ? cos ? , ( ? ? [0, 2? ) )有两个不同的公共点,则实数 ? y ? sin ?

b 的取值范围为____________;
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 已知 ?ABC 的三边方程是 AB:5x ? y ? 12 ? 0 , BC:x ? 3 y ? 4 ? 0

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2

CA: x ? 5 y ? 12 ? 0 , (1)求∠A 的大小. (2)求 BC 边上的高所在的直线的方程.

17. (本小题满分 13 分)已知 f ( x) ? x x ? a ? 2 . (1)当 a ? 1 时,解不等式 f ( x) ? x ? 2 ; (2)当 x ? (0,1] 时, f ( x) ?

1 2 x ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围. 2

18. (本小题满分 13 分)已知椭圆的中心在原点,焦点 F 在 y 轴的非负半轴上,点 F 到短 轴端点的距离是 4,椭圆上的点到焦点 F 距离的最大值是 6. (1)求椭圆的标准方程和离心率 e ; (2)若 F? 为焦点 F 关于直线 y ?
? MF ? 3 ? e ,问是否存在一个 的对称点,动点 M 满足 ? MF ? ? 2

定点 A , M 到点 A 的距离为定值?若存在, 使 求出点 A 的坐标及此定值; 若不存在, 请说明理由.

19. (本小题满分 12 分) (1)已知 a , b 是正常数, a ? b , x, y ? (0, ??) ,求证: 号成立的条件; (2)利用(1)的结论求函数 f ( x) ? 时 x 的值.

a 2 b2 (a ? b)2 ,指出等 ? ? x y x? y

2 9 1 ? ( x ? (0, ) )的最小值,指出取最小值 x 1? 2x 2

20. (本小题满分 12 分)已知定点 A(0,-1),点 B 在圆 F : x ? ( y ?1) ? 16 上运动, F
2 2

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3

为圆心,线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P. (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程;若曲线 Q : x2 ? 2ax ? y 2 ? a2 ? 1 被轨迹 E 包围着, 求实数 a 的最小值. (2)已知 M (?2,0) 、 N (2,0) ,动点 G 在圆 F 内,且满足 | MG | ? | NG |?| OG |2 ,求

MG ? NG 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分)椭圆 C 的中心在原点 O,它的短轴长为 2

2 ,相应的焦点

F1 (c,0)(c ? 0) 的准线了 l 与 x 轴相交于 A,|OF1|=2|F1A|.
(1)求椭圆的方程; (2)过椭圆 C 的左焦点作一条与两坐标轴都不垂直的直线 l,交椭圆于 P、Q 两点,若 点 M 在 x 轴上, 且使 MF2 为 ?MPQ 的一条角平分线, 则称点 M 为椭圆的“左特征点”, 求椭圆 C 的左特征点; (3)根据(2)中的结论,猜测椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的“左特征点”的位置. a 2 b2

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4

名校联盟 2010-2011 学年第一次联合考试 高 2012 级 数学试题卷参考答案(理工农医类) 一、选择题: 题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 B 5 C 6 B 7 A 8 B 9 A 10 D

部分题目说明: 1. 本题是改编自教材第 50 页第 2 题的第(2)小题。 2. 本题是改编自教材第 72 页第 10 题,同时与教材第 88 页 B 组题第 4 题一脉相承。 3. 本题是改编自教材第 87 页第 10 题,易遗漏;注重考查学生思维的批判性。 4. 将椭圆方程化为 为

x2 ? y 2 ? 1 所以其右焦点坐标为(1,0) ,它到直线 y ? 3 x 的距离 2

d?

3 1? 3

?

3 选 B. 2

易错点:研究椭圆的几何性质,须将椭圆方程化为标准方程. 5. 不等式组表示的平面区域如图所示 当直线过点 B(3,0)的时候,z 取得最大值 6 6. 本题是常规题,有多种解法,关键在灵活选用方法,考查学生的理性思维,是现代高 考的重要趋势。 法 1. 数形结合法. 运用零点分段法作出函数图像求解,比较麻烦。 法 2. 检验法 .令 a=3 时,x=0 满足条件,答案中应包含 a=3,排除 A、D,再令 a=5 时,x=0 也满足条件,故排除 C,答案为 B。 法 3. 运用基本结论 | x ? 1| ? | x ? 2 |?|1 ? x ? x ? 2 |? 3 ,由已知选 B。 7. 本题涉及不等式与直线等内容,具有较强的综合性,注重考查学生思维的灵活性与思 辨性。 本题不难转化为“已知 a ? 2b ? 1(a ? 0, b ? 0) ,求

1 1 ? 的最小值”,运用均值不 a b

等式求最值五个技巧中的“常数的活用”不难求解。其求解过程如下

1 1 1 1 2b a 2b a ? ? ( ? )(a ? 2b) ? 3 ? ? ? 3 ? 2 ? ? 3? 2 2 a b a b a b a b
2b a ? 时取等号) a b

( 当 且 仅 当

8. 本题的知识覆盖比较广,宽度大,选对需要一定的基本功,注重考查学生思维的广阔 性与批判性。 (1)当 C=0 时不成立; (2)考查倾斜角、截距的概念, x ? y ? 1 ? 0 的
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倾斜角为 45? ,纵截距应为-1,本小题易出现错误; (3)小题是教材结论,本命题 为真命题; (4)小题考查均值不等式的倒数形式的成立条件,条件应为 x ? 1 ; (5) 小题考查“曲线方程”与“方程曲线”的概念,本命题为假命题,由教材第 69 页变 化而来。 9. 本题涉及三角函数、数列与直线三章内容,具有较强的综合性,注重考查理性思维, 灵活选用方法。本题采用特值法,令 A ? B ? C ?

?
3

,不难选出 A。

10. 由题意,椭圆上存在点 P,使得线段 AP 的垂直平分线过点 F,即 F 点到 P 点与 A 点的 距离相等而|FA|= -c2≤b2≤ac+c2

a2 b2 b2 ? c ? ,|PF|∈[a-c,a+c],于是 ∈[a-c,a+c],即 ac c c c

?c ?a ?1 ? ac ? c ? a ? c 1 ? ? ∴? 2 又 e∈(0,1),故 e∈ [ ,1) 。 ?? 2 2 2 ? a ? c ? ac ? c ? ? c ? ?1或 c ? 1 ?a a 2 ?
2 2 2

二、填空题: 11.5; 14. {x | ? 12. x ? y ? 3 ? 0或x ? 2 y ? 0 ; 13.(0,2);

1 1 ? x ? ? }; m n

15. (2 ? 2, 2 ? 2)

部分题目说明: 11. 本题是改编自教材第 103 页第 8 题 由 椭 圆 的 定 义 知 | PF | ? | PF2 |? 2a ? 10 1 ,|PF1|=7, 故 |PF2|=3 。

?d ?

| PF2 | 5 ? ?3 ? 5 e 3

12. 本题答案为 x ? y ? 3 ? 0或x ? 2 y ? 0 ,由教材第 44 页 10 题改编而来,注重考查学 生思维的批判性与敏捷性。 14. 本题答案为 {x | ?

1 1 ? x ? ? }, 是教材第 31 页 B 组题的第 7 题, 由教材的例题或习 m n

题改编,甚至是原题是现代高考命题的重要来源之一。 15. 本题是 2010 年重庆高考文科数学第 8 题

? x ? 2 ? cos ? 2 2 化为普通方程 ( x ? 2) ? y ? 1,表示圆, ? ? y ? sin ?
用心 爱心 专心 6

因为直线与圆有两个不同的交点,所以

2?b 2

? 1 解得 2 ? 2 ? b ? 2 ? 2

法 2:利用数形结合进行分析得 | AC |? 2 ? b ? 2,?b ? 2 ? 2 同理分析,可知 2 ? 2 ? b ? 2 ? 2 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 1 1 16.解:由题意知 k AC ? 、 k AB ? 5 、 kBC ? ? ??????????????3 分 5 3

1 5? k AB ? k AC 5 (1)由到角公式的 tanA = ? 1 ? k ABk AC 1 ? 5 ? 1 5
∴ ?A ? arc tan

??????????6 分

12 ????????????????????????7 分 5 (2)设 BC 边上的高所在的直线的斜率为 k ,则 1 ∵BC 边上的高所在的直线与直线 BC 垂直 ∴ k ? kBC ? ? k ? ?1 即 k ? 3 3 ?5 x ? y ? 12 ? 0 ∵ ? ∴点 A 的坐标为 A ( 3,3) ?????????????9 分 ? x ? 5 y ? 12 ? 0 代 A ( 3,3) 入点斜式方程得 3x ? y ? 6 ? 0 ????????????????13 分 [说明]本题仅考查了两直线的交点、到角公式、直线的点斜式方程,属于基础题目。
17.解:(1)当 a=1 时, f ( x) ? x ? 2 ,即 x x ?1 ? 2 ? x ? 2 . (※) ① 当 x ? 1 时,由(※) ? x(1 ? x) ? 2 ? 2 ? x ? x ? R. 又 x ? 1 ,? x ? 1; ??????2 分 ②当 1 ? x ? 2 时,由(※) ? x( x ? 1) ? 2 ? 2 ? x ? ?2 ? x ? 2. 又 1 ? x ? 2 ,?1 ? x ? 2; ??????4 分 ③当 x ? 2 时,由(※) ? x( x ? 1) ? 2 ? x ? 2 ? 0 ? x ? 2. 又 x ? 2 ,? x ?? ??????6 分 综上:由①②③知原不等式的解集为 x x ? 2 . ????7 分 (2)当 x ? (0,1] 时, f ( x) ?

?

?

1 2 1 x ? 1 ,即 x x ? a ? 2 ? x 2 ? 1 恒成立, 2 2
7

用心 爱心 专心

也即

1 1 3 1 x ? ? a ? x ? 在 x ? (0,1] 上恒成立。??????10 分 2 x 2 x 1 1 1 而 g ( x ) ? x ? 在 (0,1] 上为增函数,故 g ( x) max ? g (1) ? ? . 2 x 2
h( x) ? 3 1 3 x? ?2 ? 6, 2 x 2

当且仅当 故 a ? (?

3 1 6 x ? ,即 x ? 时,等号成立. 2 x 3
1 , 6). ??????13 分 2

18.解:(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a,c ,由已知得
?a ? 4, 解得a ? 4, c ? 2 . ? ?a ? c ? 6,

所以椭圆的标准方程为 离心率 e ?

y 2 x2 ? ? 1 . ?????????????6 分 16 12

2 1 ? . ?????????????7 分 4 2 ? MF ? ? e得 (2) F (0, 2), F ?(0,1) ,设 M ( x, y), 由 ? MF ? ?

x 2 ? ( y ? 2) 2 x ? ( y ? 1)
2 2

?

1 ????????????10 分 2

7 2 化简得 3x2 ? 3 y 2 ? 14 y ? 15 ? 0 ,即 x2 ? y ? )2 ? ( )2 ????????12 分 ( 3 3 7 2 故存在一个定点 A(0, ) ,使 M 到 A 点的距离为定值,其定值为 . ???13 分 3 3

19.解: (1)应用均值不等式,得

(

a 2 b2 y x y x ? )( x ? y) ? a 2 ? b2 ? a 2 ? b2 ? a2 ? b2 ? 2 a2 b2 ? (a ? b)2 , x y x y x y
a 2 b2 (a ? b)2 .???????5 分 ? ? x y x? y
2



当且仅当 a

y x a b ? b 2 ,即 ? 时上式取等号.?????6 分 x y x y

(用比较法证明的自己给标准给分)
用心 爱心 专心 8

(2)由(1) f ( x) ?

22 32 (2 ? 3)2 ? ? ? 25 . 2 x 1 ? 2 x 2 x ? (1 ? 2 x)

当且仅当

2 3 1 ? ,即 x ? 时上式取最小值,即 [ f ( x)]min ? 25 .??12 分 2x 1? 2x 5

[说明]给你一种解题工具,让你应用它来解答某一问题,这是近年考试命题的一种新颖 的题型之一,很值得考生深刻反思和领悟当中的思维本质. 20.解:(1)由题意得 | PA |?| PB | ,∴ | PA | ? | PF |?| PB | ? | PF |? r ? 4 ?| AF |? 2 ∴P 点轨迹是以 A、F 为焦点的椭圆. ?????????3 分 设椭圆方程为

x 22 y 2 y x ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , ?1 ? 2 2 a b a
2 2 2 2

则 2a ? 4, a ? 2, a ? b ? c ? 1, 故b ? 3 ,

y 2 x2 ? ? 1 ??????5 分 ∴点 p 的轨迹方程为 4 3
曲线 Q : x2 ? 2ax ? y 2 ? a2 ? 1 化为 ( x ? a)2 ? y 2 ? 1 , 则曲线 Q 是圆心在 ( a, 0) ,半径为 1 的圆。而轨迹 E: 圆, 短轴上的顶点为 (? 3,, 3, 结合它们的图像知: 0) ( 0) 若曲线 Q 被轨迹 E 包围着,则 ? 3 ? 1 ? a ? 3 ?1 , ∴ a 的最小值为 ? 3 ? 1 。?????????8 分
2 2 2 2 2 2 (2)设 G( x,y ) ,由 | MG | ?| NG | ? OG | 2 得: ( x ? 2) ? y ? ( x ? 2) ? y ? x ? y , |

y 2 x2 ? ? 1 为焦点在 y 轴上的椭 4 3

化简得 x ? y ? 2 ,即 x ? y ? 2 ,
2 2 2 2

而 MG?NG ? ( x ? 2,y)? x ? 2,y) ? x ? y ? 4 ? 2( y ?1). ????10 分 (
2 2 2

???? ???? ?

∵点 G 在圆 F : x2 ? ( y ?1)2 ? 16 内,∴ x2 ? ( y ?1)2 ? 16 ∴ ( y ?1)2 ? 16 ? ?3 ? y ? 5 ? 0 ? y 2 ? 25 , ∴ ?2 ? (y ?1 ? 48 , 2 )
2

∴ GA ? GB 的取值范围为 [?2, 48) .?????12分 21.解: (1)由条件知 2b ? 2

??? ??? ? ?

2 ,可设椭圆方程为
用心 爱心 专心

x2 y 2 ? ?1 a2 2
9

?a 2 ? c 2 ? 2 ?a ? 6 ? ? 又? ? a2 ??? ? ?c ? 2 ? c ? c ? ?c ? 2 ? ? ? x2 y 2 ?椭圆方程为 ? ? 1 ????4 分 6 2 (2)设左特征点为 M ? m,? ,左焦点为 F2 ? ?2,? , 0 0 y 可设直线 PQ 的方程为 x ? ? 2. k 2 2 4y x y y ? 1 ? ?2?0 ? ? 1 ,消去 x 得 ? 2 ? 3 ? y 2 ? 由 x ? ? 2与 6 2 k k ?k ? 又设 P ? x1,1 ?、 ? x2,2 ? ,则 y Q y 4k ① y1 ? y2 ? 1 ? 3k 2 ?2k 2 ② ????6 分 y1 y2 ? 1 ? 3k 2 因为 MF2 为 ?PMQ 的角平分线,所以 kPM ? kQM ? 0 ,即
y1 y2 ? ?0 ③ x1 ? m x2 ? m y y 将 x1 ? 1 ? 2 与 x2 ? 2 ? 2 代入③化简,得 k k 2 y1 y2 ? 2 ? y1 ?2 ? ? m ? y1 ? y2 ? ? 0 ④ k 2 ? ?2k 2 ? ? 4k ? 再将①②代入④得 ?? ? ? m ? 2? ? ? ?0 2 ? 2 ? k ? 1 ? 3k ? ? 1 ? 3k ?

????10 分 0 ? m ? ?3 即左特征点为 M ? ?3,? x2 y 2 ? ? 1 的左准线与 x 轴的交点为 (?3, , (3)因为椭圆 0) 6 2 x2 y 2 故猜测椭圆 2 ? 2 ? 1 的左特征点为左准线与 x 轴的交点. ????12 分 a b

用心 爱心 专心

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