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深圳高级中学2010-2011学年高二下学期期中考试(文数)


深圳高级中学 2010-2011 学年第二学期期中测试
高二数学(文)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. 设 P、 Q 是两个非空集合, 定义集合间的一种运算 “⊙” : P⊙Q= {x | x ? P ? Q,且x ? P ? Q}. 如果 P ? {x | y ? A

4 ? x 2 }, Q ? { y | y ? 4 x , x ? 0} ,则 P⊙Q=





[?2,1] ? ( 2,??) B [?2,1] ? [2,??)

C [1,2] D (2,+ ? ) 2 2.已知角α 的终边上有一点(3cos60°,sin60°),则α 等于 ( ) , A. k·180°-30°,k∈Z B. k·180°+30°,k∈Z 4 C. k·360°-30°,k∈Z D. k·360°+30°,k∈Z , 6 , 3.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 ?an ?1 ? 也是等比数列 则 Sn 等于( (A) ) (B) 3n (C) 2 n (D)

2 n ?1 ? 2

3n ? 1

4.点 P 是△ABC 所在平面内的一点,且满足 AP ? 的面积之比为( A. )

1 2 AB ? AC ,则△PAC 的面积与△ABC 3 3
D.

1 5

B.

2 5

C. )

1 3

2 3

5.下列说法中,不正确 的是( ...

A. “ x ? y ”是“ x ? y ”的必要不充分条件; B.命题 p : ?x ? R , sin x ≤1,则 ?p : ?x ? R , sin x ? 1 ; C.命题“若 x, y 都是偶数,则 x ? y 是偶数”的否命题是“若 x, y 都不是偶数,则 x ? y
不是偶数” ; D.命题 p : 所有有理数都是实数, q : 正数的对数都是负数,则 (?p) ? (?q) 为真命题. 1 6.函数 f ( x ) ? ln x ? 的零点的个数是 ( ) x ?1 A.0 B.1 C.2 D.3 π π π 7.同时具有以下性质: “①最小正周期是π ;②图象关于直线 x= 对称;③在[- , ] 3 6 3 上是增函数”的一个函数是 A. x π π y=sin( + ) B. y=cos(2x+ ) 2 6 3 ( )

π π C. y=sin(2x- ) D. y=cos(2x- ) 6 6 8.已知图1是函数 y ? f ( x) 的图象,则图2中的图象对应的函数可能是 ( )

1

A. y ? f (| x |)

B. y ?| f ( x) |

C. y ? f (? | x |)

D. y ? ? f (? | x |) )

9. 设平面向量 a =(-2, 1), -1), 若 a 与 b 的夹角为钝角, 则λ 的取值范围是 ( b =(λ ,

1 2 1 C、 (? ,?? ) 2

A、 (? ,2) ? (2,??)

B、 (2,?? ) D、 (??,? )

1 2

10.已知偶函数 f ( x ) 满足: f ( x) ? f ( x ? 2) ,且当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? sin x ,其图象与 直线 y ?

? ? ? ? ? 1 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 P 则P P ? P 1, P 2?, 13 P 24 2
C.8 D.16

等于 (



A.2 B.4 二、填空题: (本大题共 4 小题,共 20 分) 11.函数 y ? (mx
log9 (lg2-1)2
2

? 4x ? m ? 2)
2

?

1 2 的定义域是全体实数,则实数

m 的取值范围是

. 12. 3

? 5log25 (lg5-2)

等于______________.

13.已知数列 {an } 的通项公式为 an ? n ? (?2)n ,则数列{ 项公式为 bn ? n 的

an }成等比数列是数列 {bn } 的通 bn

6

条件(对充分性和必要性

要作出判断) . 14.如图,酒杯的形状为倒立的圆锥,杯深 8cm, 上口宽 6cm,水以 20 cm2 s 的流量倒入杯中,当
4 8

水深为 4cm 时,则水面升高的瞬时变化率为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (12 分)计算:[2sin50°+sin10°(1+ 3 tan10°) ] 1+cos20°

2

16(12 分)在△ABC 中,点 M 为 BC 的中点,A、B、C 三点坐标分别为(2,-2) 、 (5,2) 、 (-3,0) ,点 N 在 AC 上,且 AN ? 2 NC ,AM 与 BN 的交点为 P. 求: (1)若 AP ? ? PM ,求 ? 的值; (2)P 点坐标.

????

????

17. (14 分)已知函数 f ( x) ? x ( x ? 3a) ?
2

1 (a ? 0 , x?R ) . 2

(Ⅰ)求函数 y ? f ? x ? 的极值; (Ⅱ)若函数 y ? f ? x ? 有三个不同的零点,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 14 分) 已知向量 a ? (cos

? 3 3 x x ? x, sin x), b ? (cos ,? sin ), 且x ? [0, ] ,求 2 2 2 2 2 ? ? ? ? (Ⅰ) a ? b 及 | a ? b | ; ?
(Ⅱ)若 f ( x) ? a ? b ? 2? | a ? b | 的最小值是 ?

? ?

?

?

3 ,求实数 ? 的值. 2

19. (14 分)数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ,且 an?1 ? 2S n ? 1 (n ? N ? ) (1)求数列 {an } 的通项公式; (2) 等差数列 ?bn ? 的各项均为正数, 其前 n 项的和为 Tn , 且 T3 ? 15 , 又 a1 ? b1 , a2 ? b2 ,

a3 ? b3 成等比数列,求 Tn 。

3

20. (14 分)已知函数 f ( x) ? ax ? 3, g ( x) ? bx (1)试求 b,c 所满足的关系式;

?1

1 ? cx ? 2 (a, b ? R)且g (? ) ? g (1) ? f (0). 2

(2)若 b=0,方程 f ( x) ? g ( x)在( 有唯一解,求 a 的取值范围; 0, ? ?) (3)若 b=1,集合 A ? x f ( x) ? g ( x),且g ( x) ? 0 ,试求集合 A.

?

?

数学(文)答案
一. 选择题: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案

A

D

C

C

C

C

C

C

A

B

二、填空题: 11、

{m | m ? 5 ? 1}


; 14、

12、

_2_

13、 必要不充分

80 cm s 9?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (12 分)原式=[2sin(60°-10°)+sin10°(1+√3tan10°)]×√(1+cos20°) =(√3cos10°-sin10°+sin10°+√3sin10°tan10°)×√(2cos?10°) =√3(cos10°+sin10°tan10°)×√2cos10° =√6(cos?10°+sin10°tan10°×cos10°)=√6(cos?10°+sin?10°)=√6 (各种方法,酌情给分) 16. (12 分) 解: (1)∵A、B、C 三点坐标分别为 (2,?2) 、 (5,2) 、 ( ?3,0) , 由于 M 为 BC 中点,可得 M 点的坐标为(1,1) , 由 AN ? 2 NC 可得 N 点的坐标为 ( ?

????

????

4 2 ,? ) , 3 3
M P N A
4

B

2?? ?2?? 又由 AP ? ? PM 可得 P 点的坐标为( , ), 1? ? 1? ? C ? 3 ? 4? ? 4 ? ? 19 8 从而得 BP ? ( , ) , BN ? ( ? ,? ) , 1? ? 1? ? 3 3

∵ BP 与 BN 共线,故有 (
? ?4 .

??? ?

????

8 ? 3 ? 4? ) ? ( ? )- 1? ? 3

(

19 ?4?? ) ? ( ? ) =0 ,解之得 1? ? 3

(2)∴点 P 的坐标为(

6 2 , ) . 5 5
??2 分

17. (14 分) 当 f ?( x) ? 3x( x ? 2a) . 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 ,或 x ? 2a .

1 1 3 , f (2a ) ? ?4a ? . 2 2 (Ⅰ)当 a ? 0 时, 2a ? 0 .
且 f (0) ? 当 x 变化时, f ?( x ) 、 f ( x ) 的变化情况如下表:

??6 分

x
f ?( x )
f ( x)

(??, 0)
+ ↗

0 0

(0, 2a)
- ↘

2a
0

(2a, ??)


1 2

?4 a 3 ?

1 2



∴ 当 a ? 0 时,在 x ? 0 处,函数 f ( x ) 有极大值 f (0) ? 有极小值 f (2a ) ? ?4a ?
3

1 ;在 x ? 2a 处,函数 f ( x ) 2

1 . 2

(Ⅱ)要使函数 f ? x ? ? 0 有三个不同的零点, 必须 f (2a ) ? ?4a ?
3

1 ? 0. 2

解得 a ?

1 . 2

∴当 a ? ? 18. ( 14

?1 ? , ?? ? 时,函数 y ? f ? x ? 有三个不同的零点. ?2 ?
分 ) 解 :

a · b= cos

3 x 3 x x ? cos ? sin x ? sin ? cos 2 x, | 2 2 2 2

a+b|= (cos x ? cos ) 2 ? (sin
∵ x ? [0,

3 2

x 2

3 x x ? sin ) 2 ? 2 ? 2 cos2 x ? 2 cos2 x 2 2

?
2

] , ∴ cos x ? 0,

∴| a+b|=2cosx. 即 f ( x) ? 2(cosx ? ? ) ? 1 ? 2? .
2 2

(Ⅱ) f ( x) ? cos2 x ? 4? cos x, ∵ x ? [0,

?
2

] , ∴ 0 ? cos x ? 1.

1?、 当? ? 0 时,当且仅当 cos x ? 0时, f ( x) 取得最小值-1,这与已知矛盾.

5

1??、 当0 ? ? ? 1 时,当且仅当 cos x ? ?时, f ( x) 取最小值 ? 1 ? 2?2 .
由已知得 ? 1 ? 2? ? ?
2

1 3 ,解得 ? ? . 2 2

1???、 当? ? 1 时,当且仅当 cos x ? 1时, f ( x) 取得最小值 1 ? 4? ,
由已知得 1 ? 4? ? ? 综上所述, ? ?

5 3 ,解得 ? ? ,这与 ? ? 1 相矛盾. 8 2

1 为所求. 2

19.(14 分)解: (1) 当 n ? 2 时, an?1 ? an ? (2S n ? 1) ? (2S n?1 ? 1) ? 2an , ? an?1 ? 3an , 又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 3 ? a1 ,即 {an } 是首项为 1,公比为 3 的等比数列, 故 an ? 3n?1 。 (2)设等差数列 ?bn ? 的公差为 d (d ? 0) ,则由 T3 ? 15 ,得 b2 ? 5 , 依题意有 (5 ? d ? 1)(5 ? d ? 9) ? (5 ? 3) 2 ,得 d ? 2 。

n(n ? 1) ? 2 ? n 2 ? 2n 。 2 1 20. (14 分) 解: (1)由 g (? ) ? g (1) ? f (0) ,得 (?2b ? 4c) ? (b ? c) ? ?3 2
故 Tn ? 3n ? ∴b、c 所满足的关系式为 b ? c ? 1 ? 0 . (2)由 b ? 0 , b ? c ? 1 ? 0 ,可得 c ? ?1 . 方程 f ( x) ? g ( x) ,即 ax ? 3 ? ? x ?2 ,可化为 a ? 3x ?1 ? x ?3 , 令 x ?1 ? t ,则由题意可得, a ? 3t ? t 3 在 (0,?? ) 上有唯一解, 令 h(t ) ? 3t ? t 3 (t ? 0) ,由 h?(t ) ? 3 ? 3t 2 ? 0 ,可得 t ? 1 , 当 0 ? t ? 1 时,由 h?(t ) ? 0 ,可知 h (t ) 是增函数; 当 t ? 1时,由 h?(t ) ? 0 ,可知 h (t ) 是减函数.故当 t ? 1 时, h (t ) 取极大值 2 . 由函数 h (t ) 的图象可知,当 a ? 2 或 a ? 0 时,方程 f ( x) ? g ( x) 有且仅有一个正实数解. 故所求 a 的取值范围是 {a | a ? 2 或 a ? 0} . (3) 由 b ? 1 ,b ? c ? 1 ? 0 , 可得 c ? 0 . 由 A ? {x | f ( x) ? g ( x) 且 g ( x) ? 0} ? {x | ax ? 3 ? 且 x ? 0} ? {x | ax 2 ? 3x ? 1 ? 0 且 x ? 0} .

1 x

6

当 a ? 0 时, A ? (

3 ? 9 ? 4a 1 ,0) ;当 a ? 0 时, A ? (? ,0) ; 2a 3

当a??

2 9 9 时( ? ? 9 ? 4a ? 0 ) , A ? (?? ,0) ;当 a ? ? 时, A ? {x | x ? 0 且 x ? ? } ; 3 4 4

当?

3 ? 9 ? 4a 3 ? 9 ? 4a 9 ) ∪( ,0) . ? a ? 0 时, A ? (?? , 2a 2a 4

7



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