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2017_2018学年高中数学第三章空间向量与立体几何疑难规律方法学案苏教版选修2_1

第三章 空间向量与立体 1 空间向量加减法运用的三个层次 空间向量是处理立体几何问题的有力工具,但要用好向量这一工具解题,必须熟练运用加减 法运算. 第 1 层 用已知向量表示未知向量 → → → 例 1 如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P 分别 是 AA1,BC,C1D1 的中点,试用 a,b,c 表示以下各向量: → → → → (1)AP;(2)A1N;(3)MP+NC1. 解 (1)∵P 是 C1D1 的中点, → → → → → 1→ ∴AP=AA1+A1D1+D1P=a+AD+ D1C1 2 1→ 1 =a+c+ AB=a+c+ b. 2 2 (2)∵N 是 BC 的中点, 1→ → → → → ∴A1N=A1A+AB+BN=-a+b+ BC 2 1→ 1 =-a+b+ AD=-a+b+ c. 2 2 (3)∵M 是 AA1 的中点, → → → 1→ → ∴MP=MA+AP= A1A+AP 2 1 ? 1 1 ? 1 =- a+?a+c+ b?= a+ b+c, 2 ? 2 2 2 ? → → → 1→ → 又NC1=NC+CC1= BC+AA1 2 1→ → 1 = AD+AA1= c+a, 2 2 → → ?1 1 ? ? 1 ? ∴MP+NC1=? a+ b+c?+?a+ c? ?2 2 ? ? 2 ? 1 3 1 3 = a+ b+ c. 2 2 2 点评 用已知向量来表示未知向量, 一定要结合图形, 以图形为指导是解题的关键.要正确理 解向量加法、 减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和, 等于由起始向量的始点 指向末尾向量的终点的向量, 我们可以把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几何中 要灵活应用三角形法则,向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立. 第 2 层 化简向量 例 2 如图,已知空间四边形 ABCD,连结 AC、BD.设 M、G 分别是 BC、CD 的中点,化简下列 各表达式,并标出化简结果的向量. → → → → 1 → → → 1 → → (1)AB+BC+CD;(2)AB+ (BD+BC);(3)AG- (AB+AC). 2 2 → → → → → → 解 (1)AB+BC+CD=AC+CD=AD. → 1 → → → 1→ 1→ (2)AB+ (BD+BC)=AB+ BC+ BD 2 2 2 → → → → =AB+BM+MG=AG. → 1 → → → → → (3)AG- (AB+AC)=AG-AM=MG. 2 → → → AD、AG、MG如图所示. 点评 要求空间若干向量之和,可以通过平移,将它们转化为首尾相接的向量,如果首尾相 接的若干向量构成一个封闭图形, 则它们的和为 0.两个向量相加的平行四边形法则在空间中 仍成立,求始点相同的两个向量之和时,可以考虑运用平行四边形法则. 第 3 层 证明立体几何问题 例 3 如图,已知 M、N 分别为四面体 ABCD 的面 BCD 与面 ACD 的重心,且 G 为 AM 上一点,且 GM∶GA=1∶3.求证:B、G、N 三点共线. 2 → → → 证明 设AB=a,AC=b,AD=c, → → → → 3→ 则BG=BA+AG=BA+ AM 4 1 3 1 1 =-a+ (a+b+c)=- a+ b+ c, 4 4 4 4 → → → → 1 → → BN=BA+AN=BA+ (AC+AD) 3 1 1 4→ =-a+ b+ c= BG. 3 3 3 → → ∴BN∥BG,即 B、G、N 三点共线. 2 空间向量易错点扫描 易错点 1 对向量夹角与数量积的关系理解不清 例 1 “a·b<0”是“〈a ,b 〉为钝角”的________ 条件 .(填“充分不必要”“必要不充 分”“充要”“既不充分也不必要”) 错解 a·b a·b<0?cos〈a,b〉= <0?〈a,b〉为钝角,所以“a·b<0”是“〈a,b〉 |a||b| 为钝角”的充要条件. 错因分析 错解中忽略了两个向量共线且反向的情况. 剖析 当〈a,b〉=π 时,a·b<0,但此时夹角不为钝角,所以“a·b<0”是“〈a,b〉为 钝角”的必要不充分条件. 正解 必要不充分 总结 a·b<0?a 与 b 夹角为钝角或 a 与 b 方向相反,a·b>0?a 与 b 夹角为锐角或 a 与 b 方向相同. 易错点 2 忽略两向量的夹角的定义 例 2 如图所示,在 120°的二面角 α —AB—β 中,AC? α ,BD? β ,且 AC⊥AB,BD⊥AB, 垂足分别为 A,B.已知 AC=AB=BD=6,试求线段 CD 的长. 3 错解 ∵AC⊥AB,BD⊥AB, → → → → ∴CA·AB=0,BD·AB=0, → → ∵二面角 α —AB—β 的平面角为 120°,∴〈CA,BD〉=120°. →2 → → → 2 2 ∴CD =CD =(CA+AB+BD) →2 →2 →2 → → → → → → 2 2 =CA +AB +BD +2CA·AB+2CA·BD+2BD·AB=3×6 +2×6 ×cos 120°=72, ∴CD=6 2. 错因分析 → → 错解中混淆了二面角的平面角与向量夹角的概念 . 向量 CA , BD 的夹角与二面角 α —AB—β 的平面角互补,而不是相等. 正解 ∵AC⊥AB,BD⊥AB, → → → → ∴CA·AB=0,BD·AB=0, ∵二面角 α —AB—β 的平面角为 120°, → → ∴〈CA,BD〉=180°-120°=60°. →2 → → → 2 2 ∴CD =CD =(CA+AB+BD) →2 →2 →2 → → → → → → =CA +AB +BD +2CA·AB+2CA·BD+2BD·AB =3×6 +2×6 ×cos 60°=144,∴CD=12. 2 2 易错点 3 判断是否共


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