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高三数学总复习教案 第七章 直线和圆的方程


第七章 直线和圆的方程
(供稿:中山纪念中学 王家文) 【要点与目标】 直线的倾斜角和斜角。直线方程的点斜式和两点式。直线方程的一般式。 两条直线平行与垂直的条件。两条直线的交角。点到直线的距离。 用二元一次不等式表示平面区域。简单线性规划问题。 曲线与方程的概念。由已知条件列出曲线方程。 圆的标准方程和一般方程。圆的参数方程。 目标 (1)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握由一点和斜率 导出直线方程的方法;掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式,并能根据条件熟 练地求出直线方程。 (2)掌握两条直线平行与垂直的条件,掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式;能 够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。 (3)会用二元一次不等式表示平面区域。 (4)了解简单的线性规划问题,了解线性规划的意义,并会简单应用。 (5)了解解析几何的基本思想,了解用坐标法研究几何问题的方法。 (6)掌握圆的标准方程和一般方法,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程。 6.1 直线方程和两条直线的位置关系 【基础练习】 1、直线 l 经过原点和点( ?1 , ?1 ) ,则它的倾斜角是( ) 。 A.

π

4

B.

5π 4

C.

π

4



5π 4

D. ?

π

4


答案:A 2、两平行直线 y = 2 x 和 y = 2 x + 5 间的距离是(

A.

5 2

B. 5

C.

3 2

D.

5 2

答案:B 解析:化成一般式,由平行线距离公式 d =

C1 ? C2 A2 + B 2


3、如果直线 ax + 2 y + 1 = 0 与直线 x + y ? 2 = 0 互相垂直,那么 a 的值等于( A. 1 答案:D 解析:直线互相垂直, k1 k2 = ?1 B. ?

1 3

C. ?

2 3

D. ?2

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4、两直线 x ? 3 y + 2 = 0 与 3 x + 3 y ? 4 = 0 的夹角是( A. 30
0



B. 60

0

C. 90

0

D. 120

0

答案:B 解析: tan θ =

k2 ? k1 1 + k1k2


5、过点 A(3,0),且平行于直线 2 x ? 3 y = 0 的直线方程是 答案: 2 x ? 3 y ? 6 = 0 6、点(2,5)关于直线 x + y = 0 的对称点的坐标是



答案: (-5,-2) 【典型例题】 【例1】 求满足下列条件的直线 l 的方程。 (1) 在 y 轴上的截距为 ?3 ,且它与两坐标轴围成的三角形面积为 6。 (2)与直线 2 x ? y + 4 = 0 的夹角为 45 ,且焦点在 x 轴上。
0

解: (1)设直线的方程为

1 x y + = 1 ,由题意得 a ?3 = 6 ,∴ a = ±4 。 a ?3 2 x y 当 a = 4 时,直线 l 的方程为 + = 1 即 3 x ? 4 y ? 12 = 0 。 4 ?3 x y 当 a = ?4 时,直线 l 的方程为 + = 1 即 3 x + 4 y + 12 = 0 。 ?4 ?3

(2)直线 2 x ? y + 4 = 0 交 x 轴于点( ?2, 0 ) ,可设 l 的方程为 y = k ( x + 2) 。由两直线夹 角公式有 tan 450 =

1 2?k ,∴ k = 或 k = ?3 。 3 1 + 2k

1 ∴ l 的方程为 y = ( x + 2) 或 y = ?3( x + 2) ,即 x ? 3 y + 2 = 0 或 3 x + y + 6 = 0 。 3
注意:求直线方程时,可根据题中已知条件适当地选择所求直线的形式,再根据题中其他 条件确定方程中的待定系数。 得到的直线方程 变式 1.将直线 y = x + 3 ? 1 绕它上面一点 1, 3 沿逆时针方向旋转 15 ,
0

(

)



。 变 式 2.垂直于直线 2 x ? 3 y + 4 = 0 ,且被坐标轴所截得的线段长为 13 的直线方 程





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【例2】 如图 7.1-1,已知点 A ( 2,1) ,直线 l1 : y = x + 2 和直线 l2 : y =

1 x 交于点 B, l1 交 2

y 于点 C,求 ?ABC 中 ∠A 的平分线方程。
解:解方程组 {

} 得点 B ( ?4, 2 ) ,显然点 A 在 l 上, l 交 y 于点 C ( 0, 2 ) ,
2 1

∴ 直线 AC 的斜率 k1 =

1? 2 1 =? 。 2?0 2
C T

y

设 ∠A 的平分线 AT 的方程为 y ? 1 = k ( x ? 2 ) ,

Q ∠CAT = ∠TAB ,则

A

? 1? 1 k ??? ? ?k ? 2? = 2 k ? 1? 1+ 1+ ? ? ? k 2 ? 2?
解得 k = 0 。

l2 l1
B

0

x

∴ 直线 AT 得方程为 y = 1 ,将其代入 y = x + 2 得 x = ?1 ,即点 T ( ?1,1) 。
∴∠A 的平分线方程为 y = 1(?1 ≤ x ≤ 2) 。
注意:涉及三角形有关问题要考虑将直线与三角形的知识结合起来。 变式 1:已知 ?ABC 中 A(3, 2) , B ( ?1,5) ,C 点在直线 3 x ? y + 3 = 0 上,若 ?ABC 的面 : 积为 10,则 C 点的坐标是 【例3】 。

求 过 点 P(0,1) 的 直 线 l 的 方 程 , 使 l 夹 在 两 条 直 线 l1 : x ? 3 y + 10 = 0 与

l2 : 2 x + y ? 8 = 0 之间的线段恰被 P 点平分。
解:但斜率 k 不存在时,显然不满足条件,设过点 P (0,1) 的直线方程为 y = kx + 1 , 与直线 l1 , l2 分别交于 A, B 两点,如图 7,1-2



{

y =kx +1 y =kx 及 2 x+ y+18=0 x ?3 y +10=0. ?

{

解得 x A =

7 7 , xB = 。 3k ? 1 k+2

又已知 P (0,1) 为 AB 的中点,则

∴ 所求直线方程为 y = ? 1 x + 1 ,即 x + 4 y ? 4 = 0 。
4
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7 7 1 + =0,解得 k = ? 。 3k ? 1 k + 2 4

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注意:与两直线相关问题,要考虑两直线的位置关系,结合题设条件,寻求解决问题的有效办 法。 变式 1:直线 l 经过 2 x ? y + 4 = 0和x ? 3 y + 5 = 0的 交点,且垂直于直线 y = : 方程是 。

1 x ,则直线 l 的 2

变式 2:直线 l 过点 A(2,3),且被两平行直线 l1 : 3 x + 4 y ? 7 = 0和3 x + 4 y + 8 = 0 截得的线段长 : 为 3 2 ,则直线的方程是 【例4】 点 P (4, 0) 关于直线 5 x + 4 y + 21 = 0 的对称点是 B、(-8,-6) C、 (6,8) D、 (-6,-8)

A、 (-6,8)

解:设点 P (4, 0) 关于直线 5 x + 4 y + 21 = 0 的对称点为 P ( x1 , y1 ) ,由轴对称概念 PP 的中点 1 1

M(

x1 + 4 y1 + 0 , ) 在对称轴 5 x + 4 y + 21 = 0 上,且 PP 与对称轴垂直,则有 1 2 2

? 5? x1 + 4 + 4? y1 + 21=0 ? 2 ? y1 + 4 2 ? x1 ? 4 5 ?

解得 x1 = ?6, y1 = ?8, ∴ P ( ?6, ?8) ,故选 D 1

注意:对称问题可化为点关于点对称,点关于直线对称的问题。 变式 1:直线 l 与直线 2 x + 3 y ? 6 = 0 关于点 A(1, ?1) 对称,则直线 l 的方程为 : 变式 2:光线由点 A( ?1, 4) 射出,遇直线 l : 2 x + 3 y ? 6 = 0 即行反射,已知其反射光线过点 :

B (3,

62 ) ,反射线所在的直线方程为 13

【小结】 1、 直线的各种形式均有它的优越性,应在不同的题设下灵活运用,要注意当直线斜率不存在 时的特殊情况。 2、 在解析几何中,设而不求往往是简化计算的重要方法之一, 3、 在两条直线的位置关系中,讨论最多的是平行与垂直,在两条直线的夹角公式

tan α =

k1 ? k2 中,当分子为 0 时,两条直线斜率相等,平行;当分母为 0 时, tan α 不 1 + k1k2

存在, α =90 0 ,垂直。 【达标训练】 1、经过点(2,1)且倾斜角的正弦等于
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3 的直线方程是( 5



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A、 y ? 1 =

3 ( x ? 2) 4 3 C、 y ? 1 = ± ( x ? 2) 4

3 ( x ? 2) 4 4 D、 y ? 1 = ± ( x ? 2) 3
B、 y ? 1 = ? )条

2、过点 A(1,1) 作直线 l ,使 l 在两坐标轴上的截距相等,这样的直线有( A、0 B、1 C、2 D、3

3、三点 A(3,1) , B ( ?2, k ) , C (8,11) 在一条直线上,则 k 的值是( A、2 B、3
2



C、9

D、-9

4、 若直线 x + ( a + 1) y + ( a ? 1) = 0 与直线 ax + 2 y ? 6 = 0 平行但不重合,则 a 的值( ) A、1 B、-2 C、

2 3

D、-1 或 2

5、三条直线 l1 : x + y + a = 0 , l2 : x + ay + 1 = 0 , l3 : ax + y + 1 = 0 能构成三角形的条件是 ( ) A、 a ≠ ?1 B、 a ≠ ±1 C、 a ≠ ?2 D、 a ≠ ±1 且 a ≠ ?2 。
0

6、若点 P 在直线 x + y ? 4 = 0 上,O 为原点,则 OP 的最小值是

7、已知直线 l : 2 x ? y ? 4 = 0 与 x 轴相交点 P,现将直线 l 绕点 P 逆时针旋转 45 所得直线方 程是 。

8、直线 l 与两直线 y = 1 , x ? y ? 7 = 0 分别交于 P、Q 两点,线段 PQ 的中点是 (1, ?1) ,则 直线 l 的斜率为 。
0

9、求与直线 2 x ? y + 4 = 0 的夹角为 45 ,且交点在 x 轴上的直线方程。 10、 (1)求证:无论 m 为任意实数,直线 ( 2 + m ) x + (1 ? m ) y ? 5 ? m = 0 都过一定点 P,并求 出此点坐标。 (2) 分别在 y = x 及 x 轴上各取一点 B,C 使 ?BPC 的周长最小。 6.2 【基础练习】 线性规划

1、不等式 x + 4 y ? 9 ≥ o 表示直线 x + 4 y ? 9 = 0 (



A、上方的平面区域 B、下方的平面区域 C、上方的平面区域(包括直线) D、下方的平面区域(包括直线) 2、不等式 x + y ≤ 2 所表示平面区域的面积为( A、2 B、4 C、8 D、16
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3、若 x ≥ 0, y ≥ 0 ,且 x + y ≤ 1 ,则 z = x ? y 的最大值是( A、 ?1 B、1 C、2 D、 ?2



4、若 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 ,且 2 y ? x ≥ 1 ,则 z = 2 y ? 2 x + 4 的最小值为( A、2 B、3 C、4 D、5



5、点 P ( 0, 4 ) 到直线 x ? 2 y + 2 = 0 的距离等于 2 5 且在不等式 3 x + y ? 3 表示的平面区域内, 则点 P 的坐标为 【典型例题】 。

【例 1】设 z = 2 x + y ,式中变量 x, y 满足条件

?4 ≤ x + y ≤ 6 ? ?2 ≤ x ? y ≤ 4

求 z 的最大值和最小值。 解:由已知,变量 x, y 满足的每个不等式都表示一个平面区域,因此①所表示的区域为如图中 的四边形 ABCD.

∴ 当 z = 2 x + y 过点 C 时, z 取最小值,当 z = 2 x + y 过点 A 时, z 取最大值。即当 x = 3, y = 1 时, zmin = 7 ,当 x = 5, y = 1 时, zmax = 11 。
注意:求线性规划问题,应用图解法有下面几个步骤: (1) 指出线性约束条件和线性目标函数; (2) 画出可行域的图; (3) 求出目标函数的可行解; (4) 求出目标函数的最优解。 O C

B A D

?6 x + 7 y ≤ 50 ? 变 式 1 : 已 知 x, y 满 足 条 件 ? x ≥ 3 , 若 x, y 都 是 整 数 , 则 z = 3 x + 5 y 的 最 大 值 ?y ≥ 2 ?
是 。

是 。 【例 2】用图解法求线性规划问题:

?5 x + 3 y ≤ 15 ? 变 式 2 : 已 知 x, y 满 足 条 件 ? y ≤ x + 1 , 则 z = 3x + 5 y 的 最 大 , 最 小 值 分 别 ?x ? 5y ≤ 3 ? y D
smin = x1 + 2 x2 (即求 S 的最小值)

C 2
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B 0 2

A

x

? x1 ? x2 ≥ ?2 ? ? x1 + x2 ≥ 2 ? x ≥ 0, x ≥ 0 2 ? 1
解:如图作出直线

x1 ? x2 = ?2, x1 + x2 = 2 , x1 = 0 , x2 = 0 的图像,可得其可行域 ABCD.
由 s = 0, 2, 4, 6 ,……作出等值线;

l0 : x1 + 2 x2 = 0, l1 : x1 + 2 x2 = 2, l2 : x1 + 2 x2 = 4, l3 : x1 + 2 x2 = 6,
…… 显然,直线离原点越近,S 值越小,而且在可行域 B 点达到最小值。 由?

? x1 + x2 = 2, 求得 B(2,0),所以 S min = 2 + 2 × 0 = 2. ? x2 = 0

注意:利用图解法只适用两个变量得线性规划问题。

?2 x + 3 y ≤ 12, ? 变式 1:若 ?3 x + y ≤ 12, 且 S = 5 x + 7 y , 则 S max = ? x ≥ 0, y ≥ 0 ?
【例 3】某糖果公司得一条流水线不论生产与否每天都要支付 3000 元的固定费用,它生产 1 千 克糖果的成本是 10 元,而销售价是每千克 15 元,试问:每天应生产并销售多少糖果,才能使 收支平衡,即它的盈亏平衡点是多少? 解:设生产 x 千克的糖果的成本函数为 y ( x ) = 3000 + 10 x ,销售 x 千克的糖果的收益函数为

R ( x) = 15 x ,在同一坐标系中画出它们的图像,交点的横坐标就是反映盈亏平衡的产销量,
令 y ( x) = R ( x ) ,得 3000 + 10 x = 15 x得x = 600. , 即每天必须生产并销售 600 千克糖果,这条 流水线才能做到盈亏平衡,从图中可以看出, 当 x > 600 时, R ( x ) > y ( x ) ,表示有盈利, 反之则表示亏本。 3000 9000

y ( x)
6000

R( x)

300
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600

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【例5】

某人有楼房一幢,室内面积共 180m 2 ,拟分隔成两类房间作为旅游客房,大房间每 间面积为 18,可住游客 5 名,每名游客每天住宿费为 40 元,小房间每间面积为 15, 可住游客 3 名,每名游客每天住宿费为 50 元,装修大房间每间需要 1000 元,装修 小房间每间需要 600 元,如果他们只能筹 8000 元用于装修,且游客能住满客房,它 应隔出大房间和小房间各多少间,能获最大利益?

解:设应隔出大房间 x 间和小房间 y 间,则目标函数为 z = 5 × 40 x + 3 × 50 y ,则约束 条件为 作出可行域,根据目标函数 z = 200 x + 150 y ,作出一组平行线 200 x + 150 y = t 。 当此线经过直线 18 x + 15 y = 180 和直线 1000 x + 600 y = 8000 的交点 C ( 线方程为 200 x + 150 y =

20 60 , ) ,此直 7 7

13000 20 60 ,由于 , 不是整数,所以经过整点(3,8)时,才是他们 7 7 7

的最优解, 即应隔大房间 3 间,小房间 8 间,所获利益最大。 【小结】 1、中学所学的线性规划问题是求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题,而解决这类问题 的最常用和最重要的一种方法就是图解法。 2、寻求线性规划问题中最优解的关键问题是应用数形结合的方法,弄清目标函数所表示的几何 意义, 3、寻求整点最优解的方法仍是平移找解的方法,即先打网格,描整点,平移直线,找最先经过 和最后经过的整点便是最优整点解。 【达标训练】A、 B、 C、 D、 1、由 x ≥ 0, y ≥ 0 及 x + y ≤ 4 所围成的平面区域的面积是( A、16 B、8 C、 4 D、2 )

2、若不等式 ax + (2a ? 1) y + 1∠0 表示直线 ax + (2a ? 1) y + 1 = 0 的下方区域,则 a 的取值范围 是( ) B、 a >

A、 a > 0

1 2

C、 a < 0

D、 0 < a <

1 2


3、方程 x + y ? 2 = 2 的图像,绕 y 轴旋转一周所得的旋转体体积是( A、

8π 3

B、

16π 3

C、 π

D、

2π 3

4、已知直线 x + 3 y ? 7 = 0, kx ? y ? 2 = 0 与 x 轴、 y 轴围成的四边形内接一个圆,则实数 k 的 值为( A、3 ) B、-3

C、 6

D-6、
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5、 ?ABC 的三个顶点为 A(4,1) , B ( ?1, ?6) , C ( ?3, 2) ,R 为这个三角形的三边为成的区域 (包括边界) ,当 P ( x, y ) 在 R 中变动时, S = 4 x ? 3 y 的最大值和最小值分别为( A、13 和 18 B、18 和 14 C、14 和-18 D、14 和-13 )

? x ? y ≤ 0, ? 6、不等式组 ? x ≤ 1, 表示平面区域的面积是 ? ? y ≤ 1.
7、曲线 x + y = x + y 所围成的图形面积是
2 2



。 。

8、若 x ≥ 0, y ≥ 0, x ? y + 1 ≥ 0, x + 2 y ? 5 ≤ 0 ,则 t = 2 x + 5 y 的最大值是
2

9、已知函数 f ( x ) = ax ? c 满足 ?4 ≤ f (1) ≤ ?1, ?1 ≤ f ( 2 ) ≤ 5 ,求 f ( 3) 的取值范围。 10、某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示,但国家每天分配给该厂的 煤、电有限;每天供煤至多 56 吨,供电至多 450 千瓦,问该厂如何安排生产,使得该厂日产值 大? 用煤 (吨) 甲产品 乙产品 7 3 用电 (千瓦) 20 50 产值 (千元) 8 11

6.3 圆的方程 (供稿: 中山纪念中学 常丽霞) 要点与目标: 知识要点: 圆的定义,圆的标准方程,一般方程,参数方程。 目标: 掌握圆的定义,会求圆的方程,掌握简单的直线与圆的关系. 【基础练习】 1.圆 x 2 + y 2 ? 4 x + 2 y = 0 的圆心和半径分别是( A (2,-1), 答案: A 2.点(1,1)在圆 ( x ? a ) 2 + ( y + a ) 2 = 4 的内部,则 a 的取值范围是( ) ) (-2,1), 5

5

B (2,-1), 5

C (-2,1),

5

D

A ?1 < a < 1 , B 0 < a < 1 , C a < ?1 或 a > 1 D a = ±1 答案: A 3.(2003 年北京春季高考题)已知直线 ax+by+c=0 ( abc ≠ 0 )与圆 x2+y2=1 相切,则三条边长分别 为 a , b , c 的三角形
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A 是锐角三角形 B 是直角三角形 C 是钝角三角形 D 不存在 答案: B 4.X2 与 y2 的系数相同,且不等于零,并且没有 xy 这样的项是二元二次方程表示圆的( A 必要条件 B 充分条件 C 充分且必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案: A 5.过点 C(-1,1)和 D(1,3) ,圆心在 x 轴上的圆的方程是___________________。 2 2 答案: (x-2) +y =10 6.方程 x ? 1 = 1 ? ( y ? 1) 表示的曲线是_________________________________。
2



(答案:两个半圆) 7.已知圆 C 的圆心在直线 l1 : x ? y ? 1 = 0 上,与直线 l2 : 4 x + 3 y + 14 = 0 相切,且截直线

l3 : 3 x + 4 y + 10 = 0 所得弦长为 6,则圆 C 的方程:__________________________。
(答案: ( x ? 2 ) + ( y ? 1) = 25 )
2 2

【典型例题】 【例1】 一圆过点 P(2,-1)且和直线 x ? y ? 1 = 0 相切,圆心在直线 y=-2x 上,求此圆的方 程。

解 : 设 圆 方 程 为 ( x ? a) + ( y ? b)
2

2

?( a ? 2 ) 2 + ( ?1 ? b ) 2 = r 2 , ? ? a ? b ?1 2 =r ,由已知, ? = r, 解得 2 ? ?b = ?2a. ?

a=1,b=-2,r= 2 或 a=9,b=-18,r=13 2 .

∴ 所以圆的方程为 ( x ? 1) + ( y + 2 ) = 2或 ( x ? 9 ) + ( x + 18 ) = 338 。
2 2 2 2

注意:求圆的方程,可先设所求圆的标准方程式或一般方程,再由题设条件建立方程组, 解方程组确定方程中的待定系数。 变式 1:如果三角形的顶点分别是 o(0, 0), A(0,15), B ( ?8, 0) ,那么它的内切圆方程是 ______________________。 答案: (x-3)2+(y-3)2=9 【例2】 求圆 x 2 + y 2 + 4 x ? 12 y + 39 = 0 关于直线 3 x ? 4 y + 5 = 0 的对称圆方程。
2 2

解:圆方程可化为 ( x + 2 ) + ( y ? 6 ) = 1 , 圆心 O(-2,6),半径为 1。设对称圆圆心为 O ' ( a, b) ,

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32 b+6 ? ? a?2 ?a = 5 ?3 2 ? 4 2 ? 5 = 0 ? ? ‘ 则 O 与 O 关于直线 3 x ? 4 y ? 5 = 0 对称,因此有 ? 解得 ? ?b = ? 26 ? b ? 6 3 = ?1 ?a + 2 4 ? 5 ? ?
32 ? ? 26 ? ? ∴ 所求圆的方程为 ? x ? ? + ? y + ? = 1 。 5 ? ? 5 ? ?
注意:圆的对称问题可以转化为点(圆心)的对称问题,由对称性质知对称圆半径相等。 变 式 1 : 圆 x 2 + y 2 + 4 x ? 12 y + 3q = 0 关 于 点 ( 1 , 1 ) 的 对 称 圆 方 程 是 _______________________________。 答案: (x-4)2+(y+4)2=40-3q 变 式 2 : 圆 x 2 + y 2 + px ? qy = 0 关 于 y 轴 对 称 的 圆 的 方 程 是
2 2

_________________________________。 答案: x 2 + y 2 ? px ? qy = 0 【例3】 设方程 x 2 + y 2 ? 2( m + 3) x + 2(1 ? 4m 2 ) y + 16m 4 + 9 = 0 ,若该方程表示一个圆, 求 m 的取值范围及这时圆心的轨迹方程。 解:配方得: [ x ? ( m + 3) ] + ? y ? (1 ? 4m 2 ) ? = 1 + 6m ? 7 m 2 ? ?
2 2

该方程表示圆,则有

?x = m + 3 1 1 + 6m ? 7 m 2 > 0 ,得 m ∈ (? ,1) ,此时圆心的轨迹方程为 ? 2 7 ? y = 1 ? 4m
1 ? 20 ? y = 4( x ? 3)2 ? 1 ,由 m ∈ (? ,1) 得 x=m+3 ∈ ? , 4 ? 7 ? 7 ?

,消去 m,得

? 20 ? ∴ 所求的轨迹方程是 y = 4( x ? 3)2 ? 1 , x ∈ ? , 4 ? ? 7 ?
注意:方程表示圆的充要条件,求轨迹方程时,一定要讨论变量的取值范围,如题中

? 20 ? x ∈? , 4? ? 7 ?
变式 1:方程 ax 2 + ay 2 ? 4( a ? 1) x + 4 y = 0 表示圆,求实数 a 的取值范围,并求出其中半 径最小的圆的方程。 解:原方程可化为 ? x ?

? ?

2(a ? 1) ? 2 4(a 2 ? 2a + 2) + ( y + )2 = a ? a a2 ?
2

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Q a 2 ? 2a + 2 > 0,∴ 当 a ≠ 0 时,原方程表示圆。
又r =

2 ( a ? 2) 2a 2 + 2(a 2 ? 4a + 4) 4(a 2 ? 2a + 2) = = 2+ ≥ 2 a2 a2 a2
2

当 a = 2, rmin = 【例4】

2 ,所以半径最小的圆方程为 ( x ? 1) + ( y + 1) = 2
2 2

已知圆 x2+y2=16,A(2,0) ,若 P,Q 是圆上的动点,且 AP ⊥ AQ ,求 PQ 中点的轨

迹方程。 解:设 PQ 中点 M 的坐标为(x,y) ,由已知圆的参数方程, 可设 P ( 4 cos θ1 , 4sin θ1 ) ,

Q ( 4 cos θ 2 , 4sin θ 2 ) ,
? x = 2 cos θ1 + 2 cos θ 2 ∴ x 2 + y 2 = 4 + 4 + 8 ( cos θ1 cos θ 2 + sin θ1 sin θ 2 ) ---------------(1) ∴? ? y = 2sin θ1 + 2sin θ 2
又 AP ⊥ AQ ,∴ K PA K AQ = ?1 ,∴

4 sin θ1 4sin θ 2 ? = ?1 ,化简得 4 cos θ1 ? 2 4 cos θ 2 ? 2

4 ( sin θ1 sin θ 2 + cos θ1 cos θ 2 ) = 2 ( cos θ1 + cos θ 2 ) ? 1 = x ? 1 代入(1)式,得
x 2 + y 2 = 8 + 2( x ? 1) , 所以所求轨迹方程为 x 2 + y 2 ? 2 x ? 6 = 0 。
【小结】 1. 求圆方程: 主要用待定系数法, 根据题设选用圆的标准方程或一般方程, 联立方程求出 a,b,r, 或 D,E ,F。 2. 注意数形结合的方法的应用,充分应用圆的几何性质,简化运算过程。 【达标训练】 1.方程 x 2 + y 2 ? x + y + m = 0 表示一个圆,则 m 的取值范围是( A )

m≤2

B

m<2

C

m<

1 2

D

m≤

1 2

答案: C 2.已知圆心为点(2,-3) ,一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上,则这个圆的方程是 ( ) A C

x2 + y2 ? 4 x + 6 y + 8 = 0 x2 + y2 ? 4 x ? 6 y = 0

B D

x2 + y2 ? 4 x + 6 y ? 8 = 0 x2 + y2 ? 4 x + 6 y = 0

答案: D
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3.圆 x + y + Dx + Ey ? 3 = 0 的圆心在 x 轴上,半径 r=2, 且 D>E,则 D=(
2 2



A ±1 答案: D

B

±2

C

1

D

2

4.(3, 是圆 x 2 + y 2 ? 8 x ? 2 y + 10 = 0 内一点, M 点最长的弦所在的直线方程是 M 0) 过 ( A



x+ y ?3= 0

B

x? y ?3 = 0

C

2x ? y ? 6 = 0

D

2x + y ? 6 = 0

答案: B 5 . 过 点 A ( 1 , 2 ) 和 B ( 1 , 10 ) 且 和 直 线 x ? 2 y ? 1 = 0 相 切 的 圆 方 程 为 ____________________________. 答案: (x-3)2+(y-6)2=80 或(x+7)2+(y-6)2=80 6.圆 ( x ? 3) + ( y ? 3 ) = 9 上到直线 3 x + 4 y ? 11 = 0 的距离等于 1 的点有__________个。
2 2

答案: 2 7.已知 BC 是圆 x 2 + y 2 = 25 的弦,且 BC = 6 ,则 BC 的中点的轨迹方程是____________。 答案: x2+y2=16 8.已知直线 y = 2 x + 4 与 x 轴和 y 轴分别交于 A,B ,求以线段 AB 为直径的圆的方程。 答案: (x+1)2+(y-2)2=5 9. 直线 y=k(x-3)+4 与曲线 y = 1 + 4 ? x 2 有一个交点,求实数 k 的取值范围。 解:直线 y=k(x-3)+4 过定点 P(3,4) ,曲线 y = 1 + 4 ? x 2 化为 x2+(y-1)2=4 ( y ≥ 1) 因为 A(2,1),B(-2,1) 所以可得 k PA = 3, k PB = 由

3 ,又设 lPC: y-4=k(x-3)即 kx-y+4-3k=0, 5

? ( ?1) + 4 ? 3k k 2 +1

= 2 得k =

15 ? 2 30 15 + 2 30 或k = (舍) 5 5 k= 15 ? 2 30 3 或 < k ≤ 3。 5 5

综上所述,所求实数 k 的取值范围是:

6.4 直线与圆 圆与圆的位置关系 (供稿:中山纪念中学 常丽霞) 【要点与目标】 知识要点: 直线与圆,圆与圆的位置关系 目标: 通过练习掌握基本知识,并能综合运用所学知识正确解题.
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【基础练习】 1.x 轴与圆 x + y + 2 x ? 4 y + 1 = 0 的位置关系是(
2 2

) D 通过圆心

A 相切 答案: A
2 2

B 相离

C 相交且不过圆心

2.圆 x + y ? 2 x = 0 与圆 x + y + 4 y = 0 的位置关系是(
2 2



A 相离 答案:C

B 外切

C 相交

D

内切

3.由点 M(5,3)向圆 x 2 + y 2 ? 2 x + 6 y + 9 = 0 所引切线长是( A



51

B

3

C 51

D

1

答案: A 4.(2003 年上海春季高考题)若过两点 A(-1,0),B(0,2)的直线 l 与圆 ( x ? 1) 2 + ( y ? a ) 2 = 1 相切, 则 a=_________________. 答案:

4± 5

5.如果直线 l 将圆 x 2 + y 2 ? 2 x ? 4 y = 0 平分,且不通过第四象限,那么 l 的斜率取值范围是 ____________. 答案:

[ 0, 2]
2 2

6.方程 ( x + y ? 1) x + y ? 4 = 0 的曲线形状是_________________. 答案:圆或二射线 【典型例题】 【例1】 一直线经过点 P ? ?3, ? ? 被圆 x 2 + y 2 = 25 截得的弦长为 8, 求此弦所在直线方程.

? ?

3? 2?

解: (1)当斜率 k 不存在时, 过点 P 的直线方程为 x = ?3 ,代入 x 2 + y 2 = 25 ,得 y1 = 4, y2 = ?4 .

∴ 弦长为 y1 ? y2 = 8 ,符合题意.
(2)当斜率 k 存在时,设所求方程为 y + 由已知,弦心距 OM =

3 3 = k ( x + 3) ,即 kx ? y + 3k ? = 0 . 2 2

52 ? 4 2 = 3

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k ? 0 ? 0 + 3k ? ∴ k +1
2

3 2

=3 , 解 得 k =?

3 3 3 . 所 以 此 直 线 方 程 为 y + = ? ( x + 3) , 即 4 2 4

3 x + 4 y + 15 = 0 .
所以所求直线方程为 x + 3 = 0 或 3 x + 4 y + 15 = 0 . 注意: 关于圆的弦长问题,可用几何法从半径、弦心距、半弦所组成的直角三角形求解,也可 用代数法的弦长公式求解.本题还要注意,斜率不存在时直线 x + 3 = 0 符合题意. 【例2】 自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在的直线与圆

x 2 + y 2 ? 4 x ? 4 y + 7 = 0 相切,求光线 l 所在的直线方程.
解:由已知可得圆 C: ( x ? 2 ) + ( y ? 2 ) = 1 关于 x 轴对称的圆 C 的方程为
2 2


( x ? 2) + ( y + 2)
2

2

= 1 ,其 C‘ (2,-2)中,则 l 与圆 C’相切,设 l: y-3=k(x+3),



5k + 5

3 4 = 1 ,整理得 12k2+ 25k+12=0, 解得 k = ? 或 k = ? , 4 3 1+ k 2 3 4 (x+3)或 y-3= ? (x+3),即 3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0. 4 3

所以所求直线方程为 y-3= ?

注意: 关于求切线问题,利用圆心到切线的距离等于圆的半径的条件,是求圆的切线方程的常用 方法.若本题由“ = 0 ”求切线方程也可,但过程要复杂些. 变式 1. 曲线 y = 1 + 4 ? x 2 ( ?2 ≤ x ≤ 2) 与直线 y=k(x-2)+4 有两个交点,则实数 k 的取值范 围是______________________. 答案: ?

? 12 ? , +∞ ? ? 5 ?
如果实数满足 ( x + 2) 2 + y 2 = 3 ,求

【例3】 (1)

y 的最大值. x

(2) 2x-y 的最小值. 解:

y 的最大值, x y 由图形性质可知,由原点向圆 ( x + 2) 2 + y 2 = 3 作切线,其中切线斜率的最大值即为 的最 x
(1)问题可转化为求圆 ( x + 2) 2 + y 2 = 3 上一点到原点连线的斜率 k = 大值.

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设过原点的直线为 y=kx,即 kx-y=0,由

?2 k ? 0 k 2 +1

= 3 ,解得 k = 3 或 k = ? 3

?y? ∴? ? = 3 . ? x ?max
(2)Q x,y 满足 ( x + 2) 2 + y 2 = 3 ,

? x = ?2 + 3 cos θ ? ∴? ? y = 3 sin θ ? ∴{2 x ? y}min = ?4 ? 15 .

∴ 2 x ? y = ?4 + 2 3 cos θ ? 3 sin θ = ?4 + 15 sin (θ + φ )

注意: .圆的有关几何性质的应用往往可以简化问题,由圆的参数方程设圆上一点的坐标在解 题中应用也非常广泛. 【例4】
2 2 一 个 圆 和 已 知 圆 x + y ? 2 x = 0 外 切 , 并 与 直 线 l: x + 3 y = 0 相 切 于 点 M

( 3, ? 3 ),求该圆的方程. 解: 已知圆方程化为: ( x ? 1) 2 + y 2 = 1 ,其圆心 P(1,0),半径为 1.设所求圆的圆心为 C(a,b), 则半径为

( a ? 3)

2

+ b+ 3

(

)

2

, 因为两圆外切, PC = 1 +

( a ? 3)

2

+ b+ 3
(1)

(

)

2

,从而

( a ? 1)

2

+ b 2 = 1+

( a ? 3)

2

+ b+ 3

(

)

2

又所求圆与直线 x + 3 y = 0 相切于 M( 3, ? 3 ),∴ 直线 CM ⊥ l , kCM kl = ?1 ,于是

?

1 b+ 3 ? = ?1 ,即 b = 3a ? 4 3 3 a ?3

(2)

将(2)代入(1)化简,得 a2-4a=0, ∴ a=0 或 a=4 当 a=0 时, b = ?4 3 ,所求圆方程为 x + y + 4 3
2

(

)

2

= 36

当 a=4 时,b=0,所求圆方程为 ( x ? 4) 2 + y 2 = 4 . 变 式 1:
2

求圆 C1: x 2 + y 2 = 1 与 圆 C2: x 2 + y 2 ? 2 x ? 2 y + 1 = 0 的 公 共 弦 所 在直线 被 圆
2

C3: ( x ? 1) + ( y ? 1) =

25 所截得的弦长. 4

解: 圆 C1 与圆 C2 的公共弦所在直线方程为:

x 2 + y 2 ? 1 ? ( x 2 + y 2 ? 2 x ? 2 y + 1) = 0 即 x+y-1=0
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圆心 C3 到直线 x+y-1=0 的距离 d =

1 ?1 ?1 2

=

2 2

所以所求弦长为 2 r ? d = 2
2 2

25 1 ? = 23 4 2

【小结】 1. 圆与直线的位置关系,我们主要讨论相交与相切的情况,主要方法有几何法与代数法. (1) 几何法: 比较圆心到直线的距离与圆半径的大小. (2) 代数法: 讨论圆的方程与直线方程的实数解的组数. 2. 使用圆的参数方程在解决有关最值问题时可以使运算变得简单. 3. 解圆与直线的综合问题时,注意数形结合及利用圆的几何性质. 【达标训练】 1.圆 x 2 + y 2 ? 2 x = 0 与圆 x 2 + y 2 + 4 y = 0 的位置关系是( A 相离 答案: C B 外切 C 相交 D 内切 )

2.在圆 x 2 + y 2 = 4 上,与直线 4x+3y-12=0 的距离最小的点的坐标为(



A

?8 6? ? ,? ? ?5 5?

B

?8 6? ? , ? ?5 5?

C ?? , ?

? 8 6? ? 5 5?

D

? 8 6? ?? ,? ? ? 5 5?

答案: B 3.若动圆与圆 ( x + 2 ) + y = 4 相外切,且与直线 x=2 相切,则动圆圆心的轨迹方程是(
2 2



A y2+12x-12=0 答案: A

B y2-12x+12=0
2

C y2+8x=0

D y2-8x=0

4.直线 x=2 被圆 ( x ? a ) + y = 4 所截弦长等于 2 3 ,则 a 的值为(
2



A -1 或-3 答案: C 5.集合 A =

B

2 或? 2

C 1或3

D

3

{( x, y ) ax + y = 1} , B = {( x, y ) x + ay = 1} , C = {( x, y ) x


2

+ y 2 = 1 ,且

}

( A U B ) I C 仅有 2 个元素,则 a 的值为(

A 1 B 0 C -1 D 0,1 答案: B 6.过圆 x2+y2=r2 上一点 P(3,1)的切线方程为____________________ 答案: 3x+y=r2 7.两圆 x2+y2=16 及(x-4)2+(y+3)2=R(R>0)在交点处的切线互相垂直,则 R=__________ 答案:3
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8.一个圆的圆心在直线 x-y-1=0 上,与直线 4x+3y+14=0 相切,在 3x+4y+10=0 上截得弦长为 6,求圆 的方程. 解:由圆心在直线 x-y-1=0 上,可设圆心为(a,a-1),半径为 r,由题意可得

? 4a + 3 ( a ? 1) + 14 =r ? 5 ? ? 2 ?r 2 = 9 + ? 3a + 4 ( a ? 1) + 10 ? ? ? ? 5 ? ? ?

,经计算得 a=2,r=5.

所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=25 9.已知圆 C: x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为 1 的直线 L,使以 L 被圆 C 截得弦 AB 为直径的圆 经过原点?若存在,写出直线的方程;若不存在,说明理由. 解:设直线 L 的斜率为1,且 L 的方程为 y=x+b,则

?y = x +b ? 2 2 ?x + y ? 2x + 4 y ? 4 = 0

消元得方程2x2+(2b+2)x+b2+4b-4=0,设此方程两根为 x1,x2,则

x1+x2=-(b+1),y1+y2= x1+x2+2b=b-1,则AB中点为 ? ?

? b +1 b ?1 ? , ? ,又弦长为 2 ? ? 2

k 2 + 1 x1 ? x2 = 2 ( ?b 2 ? 6b + 9 ) ,由题意可列式
? 2 ( ?b 2 ? 6b + 9 ) ? ? b +1 ? ? b ?1 ? ? ? 解得 b=1 或 b=-9,经检验 b=-9 不合题意. ? ? +? ? =? ? 2 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ?
2 2 2

所以所求直线方程为 y=x+1.

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