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高中数学人教A版选修2-3教学案:2-4正态分布含解析


正态分布 预习课本 P70~74,思考并完成以下问题 1.什么是正态曲线和正态分布? 2.正态曲线有什么特点? 3.正态曲线 φμ,σ(x)中参数 μ,σ 的意义是什么? [新知初探] 1.正态曲线及其性质 (1)正态曲线: 函数 φμ,σ(x)= ?x-μ?2 1 e- ,x∈(-∞,+∞),其中实数 μ,σ(σ>0)为参数,我们称 2σ2 2πσ φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线. (2)正态曲线的特点: ①曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交; ②曲线是单峰的,它关于直线 x=μ 对称; ③曲线在 x=μ 处达到峰值 1 ; σ 2π ④曲线与 x 轴之间的面积为 1; ⑤当 σ 一定时,曲线的位置由 μ 确定,曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移; ⑥当 μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定,σ 越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集 中;σ 越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图所示. [点睛] 正态曲线 φμ,σ(x)中, 参数 μ 是反映随机变量取值的平均水平的特征数, 可以用 样本均值 E(X)去估计;σ 是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本标准差 D?X? 去估计. 2.正态分布 (1)如果对于任何实数 a,b(a<b),随机变量 X 满足 P(a<X≤b)=?bφμ,σ(x)dx,则称随机 ?a 变量 X 服从正态分布. (2)正态分布完全由参数 μ 和 σ 确定,因此正态分布常记作 N(μ,σ2).如果随机变量 X 服从正态分布,则记为 X~N(μ,σ2). 3.正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682_6; (2)P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954_4; (3)P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997_4. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数 φμ,σ(x)中参数 μ,σ 的意义分别是样本的均值与方差.( ) ) (2)正态曲线是单峰的,其与 x 轴围成的面积是随参数 μ,σ 的变化而变化的.( (3)正态曲线可以关于 y 轴对称.( 答案:(1)× (2)× (3)√ ) D.36 ) 1? 2.若 ξ~N? ?1,4?,η=6ξ,则 E(η)等于( A.1 答案:C 3 B. 2 C.6 3.设随机变量 ξ~N(μ,σ2), 且 P(ξ≤c)=P(ξ>c), 则 c 等于( A.0 答案:D B.σ C.-μ D.μ ) 正态曲线及其性质 [典例] 某次我市高三教学质量检测中, 甲、 乙、 丙三科考试成绩的直方图如图所示(由 于人数众多, 成绩分布的直方图可视为正态分布), 则由如图曲线可得下列说法中正确的一 项是( ) A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数都居中 D.甲、乙、丙的总体的平均数不相同 [解析] 由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等, 由正态密度曲线的性质,可知 σ 越大, 正态曲线越扁平;σ 越小, 正态曲线越尖陡, 故三科总体的标准差从小到大依 次为甲、乙、丙. 故选 A. [答案] A 利用正态曲线的性质可以求参数 μ,σ (1)正态曲线是单峰的,它关于直线 x=μ 对称,由此性质结合图象求 μ. 1 (2)正态曲线在 x=μ 处达到峰值 ,由此性质结合图象可求 σ. σ 2π (3)由 σ 的大小区分曲线的胖瘦. [活学活用] 若一个正态分布密度函数是一个偶函数,且该函数的最

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