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第三章 空间向量与立体几何


第三章

空间向量与立体几何

3.1 空间向量及其运算(一)
既有大小又有方向的量叫向量.向量的表示方法有: ①用有向线段表示; ②用字母 a、b 等表示;③用有向线段的起点与终点字母: AB .

长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 学习了向量的有关概念以后,我们学习了向量的加减以及数乘向量运算:

⒈向量的加法:

⒉向量的减法: ⒊实数与向量的积:

实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λa,其长度和方向规定如下: (1)|λa|=|λ||a| (2)当 λ>0 时,λa 与 a 同向; 当 λ<0 时,λa 与 a 反向;当 λ=0 时,λa=0. 向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律:a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)

数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb
如同平面向量的概念,我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量.例如空间的一个平移就是一个向量.那么我 们怎样表示空间向量呢?相等的向量又是怎样表示的呢? 与平面向量一样,空间向量也用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.

空间任意两个向量是共面的.
空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样:

OB ? OA ? AB =a+b,
(指向被减向量) , AB ? OB ? OA

OP ? λa (? ? R)
空间向量加法与数乘向量有如下运算律:

⑴加法交换律:a + b = b + a; ⑵加法结合律:(a + b) + c =a + (b + c); (课件验证) ⑶数乘分配律:λ(a + b) =λa +λb.
[师]空间向量加法的运算律要注意以下几点: ⑴首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.即:
第 1 页 共 1 页

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? A1 An
因此,求空间若干向量之和时,可通过平移使它们转化为首尾相接的向量. ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和为零向量.即:

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An ?1 An ? An A1 ? 0 .
⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立. 因此,求始点相同的两个向量之和时,可以考虑用平行四边形法则.

例1已知平行六面体 ABCD ? A' B' C ' D' (如图) ,化简下列向量表达式,并标出化 简结果的向量:

⑴AB ? BC;

⑶ ⑵AB ? AD ? AA'; AB ? AD ?

1 CC ' 2

1 ⑷ ( AB ? AD ? AA' ). 3
平行四边形 ABCD 平移向量 a 到 A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体, 叫做平 行六面体.记作 ABCD—A’B’C’D’. 平行六面体的六个面都是平行四边形,每个面的边叫做平行六面体的棱. 说明:由第 2 小题可知,始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和, 等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量,这是平面向量加法的 平行四边形法则向空间的推广.

空间向量及其运算(2)
1.共线(平行)向量: ? 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作: a 平行 于 b ,记作: a // b . 2.共线向量定理: 对空间任意两个向量 a, b (b ? 0), a // b 的充要条件是存在实数 ? ,使 a ? ?b ( ? 唯一) . 推论:如果 l 为经过已知点 A ,且平行于已知向量 a 的直线,那么对任一点 O ,点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数

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??? ??? ??? ? ? ? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? 式可化为 OP ? OA ? t AB t ,满足等式 OP ? OA ? t AB ①,其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量。在 l 上取 AB ? a ,则① ??? ? ??? ??? ? ? 或 OP ? (1 ? t )OA ? tOB ②
??? 1 ??? ??? ? ? ? 1 当 t ? 时,点 P 是线段 AB 的中点,此时 OP ? (OA ? OB ) ③ 2 2
①和②都叫空间直线的向量参数方程,③是线段 AB 的中点公式. 3.向量与平面平行:
O l P B A a

已知平面 ? 和向量 a ,作 OA ?a ,如果直线 OA 平行于 ? 或在 ? 内,那么我们说向量 a 平行于平面 ? ,记作:a // ? .

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? a

第 2 页

共 2 页

通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量. 说明:空间任意的两向量都是共面的. 4.共面向量定理: 如果两个向量 a, b 不共线, p 与向量 a, b 共面的充要条件是存在实数 x , y 使 p ? xa ? yb . 推论:空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对 x , y ,使 MP ? xMA ? yMB 或对空间任 一点 O ,有 OP ? OM ? xMA ? yMB ① 上面①式叫做平面 MAB 的向量表达式. (三)例题分析: 例 1.已知 A, B, C 三点不共线,对平面外任一点,满足条件 OP ? 试判断:点 P 与 A, B, C 是否一定共面? 解:由题意: 5OP ? OA ? 2OB ? 2OC ,∴ (OP ? OA) ? 2(OB ? OP) ? 2(OC ? OP) , ∴ AP ? 2PB ? 2PC ,即 PA ? ?2PB ? 2PC ,所以,点 P 与 A, B, C 共面. 【练习】 :对空间任一点 O 和不共线的三点 A, B, C ,问满足向量式 OP ? xOA ? yOB ? zOC (其中 x ? y ? z ? 1 ) 的四点 P, A, B, C 是否共面? 解:∵ OP ? (1 ? z ? y)OA ? yOB ? zOC , ∴ OP ? OA ? y(OB ? OA) ? z(OC ? OA) , ∴ AP ? y AB ? z AC ,∴点 P 与点 A, B, C 共面. 例 2.已知

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? ? 1 ??? 2 ??? 2 ???? OA ? OB ? OC , 5 5 5

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O
D A H F B

ABCD ,从平面 AC 外一点 O 引向量 ??? ??? ??? ? ? ? ??? ???? ???? ???? ???? ? ? OE ? kOA, OF ? KOB, OG ? kOC, OH ? kOD ,

?

C
G

(1)求证:四点 E , F , G, H 共面; (2)平面 AC // 平面 EG .

E ??? ??? ???? ? ? 解: (1)∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AC ? AB ? AD ,
∵ EG ? OG ? OE ,

??? ?

???? ??? ?

???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ???? ? ? k ? OC ? k ? OA ? k (OC ? OA) ? k AC ? k ( AB ? AD) ??? ??? ???? ??? ? ? ? ??? ??? ???? ??? ? ? ? ? ? k (OB ? OA ? OD ? OA) ? OF ? OE ? OH ? OE ??? ???? ? ? EF ? EH
∴ E , F , G, H 共面; (2)∵ EF ? OF ? OE ? k (OB ? OA) ? k ? AB ,又∵ EG ? k ? AC , ∴ EF // AB, EG // AC 所以,平面 AC // 平面 EG . 六、课堂小结:1.共线向量定理和共面向量定理及其推论; 2.空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式. 七、作业:
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1.已知两个非零向量 e1 , e2 不共线,如果 AB ? e1 ? e2 , AC ? 2e1 ? 8e2 , AD ? 3e1 ? 3e2 , 求证: A, B, C , D 共面. 2.已知 a ? 3m ? 2n ? 4 p, b ? ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp , a ? 0 ,若 a // b ,求实数 x , y 的值。 3.如图, E , F , G, H 分别为正方体 AC1 的棱 A1B1 , A1D1 , B1C1 , D1C1 的中点, 求证: (1) E , F , D, B 四点共面; (2)平面 AEF // 平面 BDHG . 4.已知 E , F , G, H 分别是空间四边形 ABCD 边 AB, BC, CD, DA 的中点,
D1 H G E B1 C1

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A E B H D G

(1)用向量法证明: E , F , G, H 四点共面;
A1

F

(2)用向量法证明: BD // 平面 EFGH .
D A

C

F

B

C

3.1.3.空间向量的数量积(1)
新课讲解: 1.空间向量的夹角及其表示:

已知两非零向量 a, b , 在空间任取一点 O , O ? O b 作 A a ,B ? 且规定 0 ?? a, b ?? ? ,显然有 ? a, b ??? b , a ? ; 若 ? a , b ?? 2.向量的模:

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, ?A B 叫做向量 a 与 b 的夹角, 则 O 记作 ? a, b ? ;

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2

,则称 a 与 b 互相垂直,记作: a ? b ;

?

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设 OA ? a ,则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模,记作: | a | ; 3.向量的数量积:

??? ?

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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 作 a ? b ,即 a ? b ? | a | ? | b | ? cos ? a, b ? . ??? ? ? ? 已知向量 AB ? a 和轴 l , e 是 l 上与 l 同方向的单位向量, ???? ? 作点 A 在 l 上的射影 A? ,作点 B 在 l 上的射影 B? ,则 A?B? 叫做 ??? ? ???? ? ? 向量 AB 在轴 l 上或在 e 上的正射影;可以证明 A?B? 的长度 ???? ??? ? ? ? ? ? ? | A? B? |? | AB | cos a ,e?? | a e . ? ? |
已知向量 a, b ,则 | a | ? | b | ? cos ? a, b ? 叫做 a, b 的数量积,记

? ?

?

?

? e

B A? B? C

A

4.空间向量数量积的性质: ? ? ? ? ? (1) a ? e ?| a | cos ? a, e ? .

? ? ? ? ?2 ? ? (3) | a | ? a ? a .

(2) a ? b ? a ? b ? 0 .

5.空间向量数量积运算律:

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2) a ? b ? b ? a (交换律) . ? ? ? ? ? ? ? (3) a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律) .
(1) (?a) ? b ? ?(a ? b ) ? a ? (?b ) .
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(三)例题分析: 例 1.用向量方法证明:直线和平面垂直的判定定理。 已知: m, n 是平面 ? 内的两条相交直线,直线 l 与平面 ? 的交点为 B ,且 l ? m, l ? n 求证: l ? ? . 证明:在 ? 内作不与 m, n 重合的任一直线 g , 在 l , m, n, g 上取非零向量 l , m, n, g ,∵ m, n 相交,

? ? ? ?

l

? ? ∴向量 m, n 不平行,由共面定理可知,存在 ? ? ? 唯一有序实数对 ( x, y ) ,使 g ? xm ? yn , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴ l ? g ? xl ? m ? yl ? n ,又∵ l ? m ? 0, l ? n ? 0 , ? ? ? ? ∴ l ? g ? 0 ,∴ l ? g ,∴ l ? g , 所以,直线 l 垂直于平面内的任意一条直线,即得 l ? ? .
证明: (法一) AD ? BC ? ( AB ? BD) ? ( AC ? AB)

g n

m l m g n

例 2.已知空间四边形 ABCD 中, AB ? CD , AC ? BD ,求证: AD ? BC .

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ??? ??? ??? 2 ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? AB ? AC ? BD ? AC ? AB ? AB ? BD ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ???? ? ? AB ? ( AC ? AB ? BD) ? AB ? DC ? 0 . ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ? (法二)选取一组基底,设 AB ? a, AC ? b, AD ? c , ? ? ? ? ? ? ? ∵ AB ? CD ,∴ a ? (c ? b) ? 0 ,即 a ? c ? b ? a , ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ??? ? ? ? ? 同理: a ? b ? b ? c , ,∴ a ? c ? b ? c ,∴ c ? (b ? a) ? 0 ,∴ AD ? BC ? 0 ,即 AD ? BC . 例 3.如图,在空间四边形 OABC 中, OA ? 8 , AB ? 6 , AC ? 4 , BC ? 5 , ?OAC ? 45? , ?OAB ? 60? ,求 OA 与 BC 的夹角的余弦值。 ??? ??? ??? ? ? ? 解:∵ BC ? AC ? AB , ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ∴ OA ? BC ? OA ? AC ? OA ? AB O ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ?| OA | ? | AC | ? cos ? OA, AC ? ? | OA | ? | AB | ? cos ? OA, AB ?
? 8 ? 4 ? cos135? ? 8 ? 6 ? cos120? ? 24 ?16 2 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? OA ? BC 24 ? 16 2 3 ? 2 2 ? ??? ? ? ∴ cos ? OA, BC ?? ??? , ? 8? 5 5 | OA | ? | BC |
所以, OA 与 BC 的夹角的余弦值为

A

C

3? 2 2 B . 5 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 说明:由图形知向量的夹角时易出错,如 ? OA, AC ?? 135? 易错写成 ? OA, AC ?? 45? ,切记!
六.教学反思:空间向量数量积的概念和性质。 补充:

1.已知向量 a ? b ,向量 c 与 a, b 的夹角都是 60 ,且 | a |? 1,| b |? 2,| c |? 3 ,
?

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?

? ?

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试求: (1) (a ? b)2 ; (2) (a ? 2b ? c)2 ; (3) (3a ? 2b) ? (b ? 3c) .

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向量的数量积(2)
一、教学目标:①向量的数量积运算 ②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角 二、教学重点:①向量的数量积运算 ②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角 四、教学过程:
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考点一:向量的数量积运算 (一) 、知识要点:

? ? ? ? 1)定义:① 设< a, b >= ? ,则 a ? ? b ? ? ? ? ②设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) 则 a ? ? b
? ? ?? ? ? 注:① a ?b 不能写成 ab ,或 a ? b

( ? 的范围为 。



? ? ② a ?b 的结果为一个数值。
。 ? ? ?? ? ? ② (? a)? ? ?(a? ) ? a? ?b) b b (

? ? 2)投影: b 在 a 方向上的投影为 ?? ?? 3)向量数量积运算律: ① a? ? b? b a

? ? ? ?? ?? ③ (a ? b)? ? a? ? b? c c c

?? ? ? ?? 注:①没有结合律 (a? )? ? a? b? ) b c ( c
二)例题讲练

? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? 1、下列命题:①若 a? ? 0 ,则 a , b 中至少一个为 0 ②若 a ? 0 且 a? ? a? ,则 b ? c b b c ? ? ? ? ?2 ?2 ?? ? ? ?? ③ (a? )? ? a? b? ) ④ (3a ? 2b)? a ? 2b) ? 9 a ? 4 b (3 b c ( c
中正确有个数为 ( )A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 。 。 。

??? ??? ? ? 2、 已知 ?ABC 中, B, 所对的边为 a,b,c, a=3,b=1,C=30°,则 BC? = A, C 且 CA ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? 3、若 a , b , c 满足 a ? b ? c ? 0 ,且 a ? 3, b ? 1, c ? 4 ,则 a? ? b? ? a? = b c c

? ? ? ? ? ? ? ? 4、已知 a ? b ? 2 ,且 a 与 b 的夹角为 ,则 a ? b 在 a 上的投影为 3
考点二:向量数量积性质应用 一) 、知识要点:

? ? ?? ? ?2 b ① a ? b ? a? ? 0 (用于判定垂直问题)② a ? a (用于求模运算问题) ? ? a? b ③ cos ? ? ? ? (用于求角运算问题) a b
二)例题讲练

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1、已知 a ? 2 , b ? 3 ,且 a 与 b 的夹角为 , c ? 3a ? 2b , d ? ma ? b ,求当 m 为何值时 c ? d 2 ? ? ? ? ? ? 2、已知 a ? 1 , b ? 1 , 3a ? 2b ? 3 ,则 3a ? b ? 。
? ? ? ? ? ? ? ? ? 3、已知 a 和 b 是非零向量,且 a = b = a ? b ,求 a 与 a ? b 的夹角

? ? ? ? ? ? ? ? 4、已知 a ? 4 , b ? 2 ,且 a 和 b 不共线,求使 a ? ? b 与 a ? ? b 的夹角是锐角时 ? 的取值范围
巩固练习
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?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? 1、已知 e1 和 e2 是两个单位向量,夹角为 ,则( e1 ? e2 ) ? ?3e1 ? 2e2 ) 等于( ( 3
A.-8 B.
9 2



C. ?

5 2

D.8

?? ?? ? ?? ?? ? ? 2、已知 e1 和 e2 是两个单位向量,夹角为 ,则下面向量中与 2e2 ? e1 垂直的是( 3 ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? A. e1 ? e2 B. e1 ? e2 C. e1 D. e2
3、在 ?ABC 中,设 AB ? a , BC ? b , CA ? c ,若 a (a ? b) ? 0 ,则 ?ABC (
( A) 直角三角形 (B ) 锐角三角形 (C ) 钝角三角形 (D ) 无法判定





? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4、已知 a 和 b 是非零向量,且 a ? 3b 与 7a ? 5b 垂直, a ? 4b 与 7a ? 2b 垂直,求 a 与 b 的夹角。

??? ??? ? ? ???? ??? ??? ???? ? ? ? 5、已知 OA 、 OB 、 OC 是非零的单位向量,且 OA + OB + OC = 0 ,求证:
?ABC

为正三角形。

3.1.5 空间向量运算的坐标表示
一、向量在轴上的投影 1.几个概念 (1) 轴上有向线段的值:设有一轴 u , AB 是轴 u 上的有向线段,如果数 ? 满足 ? ? AB ,且当 AB 与轴 u 同向时

? 是正的,当 AB 与轴 u 反向时 ? 是负的,那么数 ? 叫做轴 u 上有向线段 AB 的值,记做 AB,即 ? ? AB 。设 e 是与 u
轴同方向的单位向量,则 AB ? ?e (2) 设 A、B、C 是 u 轴上任意三点,不论三点的相互位置如何,总有 AC ? AB ? BC (3) 两向量夹角的概念: 设有两个非零向量 a 和 b, 任取空间一点 O, OA ? a , 作 规定不超过 ? 的 ?AOB OB ? b ,
?

称为向量 a 和 b 的夹角,记为

(a,b)
' ' '

(4) 空间一点 A 在轴 u 上的投影:通过点 A 作轴 u 的垂直平面, 该平面与轴 u 的交点 A 叫做点 A 在轴 u 上的投影。 (5) 向量 AB 在轴 u 上的投影:设已知向量 AB 的起点 A 和终点 B 在轴 u 上的投影分别为点 A 和 B ,那么轴 u 上 的有向线段的值 A B 叫做向量 AB 在轴 u 上的投影,记做 Pr ju AB 。 2.投影定理 性质 1:向量在轴 u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角 ? 的余弦: Pr ju AB ? AB cos? 性 质 2 : 两 个 向 量 的 和 在 轴 上 的 投 影 等 于 两 个 向 量 在 该 轴 上 的 投 影 的 和 , 即
' '

Pr ju (a1 ? a 2 ) ? Pr ja1 ? Pr ja 2
性质 3:向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即 Pr ju (?a) ? ? Pr ja
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二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标 1.向量在坐标系上的分向量与向量的坐标 通过坐标法,使平面上或空间的点与有序数组之间建立 了一一对应关系,同样地,为了沟通数与向量的 研究,需要建立向量与有序数之间的对应关系。 设 a = M 1 M 2 是 以 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 为 起 点 、

M 2 ( x2 , y 2 , z 2 ) 为 终 点 的 向 量 , i 、 j 、 k 分 别 表 示
图 7-5 沿 x,y,z 轴正向的单位向量,并称它们为这一坐标系的基本单位向量,由图 7-5,并应用向量的加法规则知:

M1M 2 ? ( x2 ? x1 ) i + ( y2 ? y1 ) j+ ( z 2 ? z1 ) k
或 a = ax i + ayj + azk 上式称为向量 a 按基本单位向量的分解式。

有序数组 ax、ay、az 与向量 a 一一对应,向量 a 在三条坐标轴上的投影 ax、ay、az 就叫做向量 a 的坐标,并记为 a = {ax,ay,az}。上式叫做向量 a 的坐标表示式。 于是,起点为 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 终点为 M 2 ( x2 , y 2 , z 2 ) 的向量可以表示为 M1M 2 ? {x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1} 特别地,点 M ( x, y, z ) 对于原点 O 的向径

OM ? {x, y, z}

注意:向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。 向量 a 在坐标轴上的投影是三个数 ax、ay、az, 向量 a 在坐标轴上的分向量是三个向量 ax i 、 ayj 、 azk. 2.向量运算的坐标表示 设 a ? {a x , a y , a z } , b ? {bx , by , bz } 即 a ? a x i ? a y j ? a z k , b ? bx i ? by j ? bz k ,则 (1) 加法: ◆ 减法: ◆ 乘数: ◆ 或

a ? b ? (ax ? bx )i ? (a y ? by ) j ? (az ? bz )k

a ? b ? (ax ? bx )i ? (a y ? by ) j ? (az ? bz )k

?a ? (?ax )i ? (?a y ) j ? (?az )k
a ? b ? {ax ? bx , a y ? by , az ? bz } a ? b ? {ax ? bx , a y ? by , az ? bz } ?a ? {?a x , ?a y , ?a z }

◆ 平行:若 a≠0 时,向量 b // a 相当于 b ? ?a ,即 {bx , by , bz } ? ?{a x , a y , a z } 也相当于向量的对应坐标成比例即

bx b y bz ? ? ax a y az

三、向量的模与方向余弦的坐标表示式 设 a ? {a x , a y , a z } ,可以用它与三个坐标轴的夹角 ?、?、? (均大于等于 0,小 于等于 ? )来表示它的方向,称 ?、?、? 为非零向量 a 的方向角,见图 7-6,其余弦

cos cos 表示形式 cos?、 ?、 ? 称为方向余弦。

图 7-6

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1. 模
2 2 a ? a x ? a y ? a z2

2. 方向余弦

? a ? M M cos? ? a cos? 1 2 ? x ? 2 2 2 由性质 1 知 ?a y ? M 1 M 2 cos ? ? a cos ? ,当 a ? a x ? a y ? a z ? 0 时,有 ? ? a z ? M 1 M 2 cos? ? a cos? ?

? a ax ? cos? ? x ? 2 2 a ? a x ? a y ? a z2 ? ay ay ? ? ?cos ? ? 2 2 a a x ? a y ? a z2 ? ? a az ? cos? ? z ? 2 2 a ? a x ? a y ? a z2 ?
◆ 任意向量的方向余弦有性质: cos
2

? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1
a a 1 a

◆ 与非零向量 a 同方向的单位向量为:

a0 ?

?

{a x , a y , a z } ? {cos ? , cos ? , cos ? }

3. 例子:已知两点 M1(2,2, 2 )、M2(1,3,0),计算向量 M 1 M 2 的模、方向余弦、方向角以及与 M 1 M 2 同向的单位向 量。 解: M 1 M 2 ={1-2,3-2,0- 2 }={-1,1,- 2 }

M 1 M 2 ? (?1) 2 ? 12 ? (? 2 ) 2 ? 2
1 1 2 cos ? ? ? , cos ? ? , cos? ? ? 2 2 2

??
0

2? ? 3? , ? ? ,? ? 3 4 3

设 a 为与 M 1 M 2 同向的单位向量,由于 a 0 ? {cos? , cos ? , cos? } 即得

1 1 2 a 0 ? {? , ,? } 2 2 2

3.2 立体几何中的向量方法空间距离
利用向量方法求解空间距离问题,可以回避此类问题中大量的作图、 证明等步骤,而转化为向量间的计算问题. 例1如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、AD 的中点,GC⊥平面 ABCD,且 GC=2,求点 B 到平面 EFG 的距离. 分析:由题设可知 CG、CB、CD 两两互相垂直,可以由此建立空间直角坐标系.用向量法求解,
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就是求出过 B 且垂直于平面 EFG 的向量,它的长即为点 B 到平面 EFG 的距离. 解:如图,设 CD ? 4i, CB ? 4j, CG ? 2k,以 i、j、k 为坐标向量建立空间直角坐标系 C-xyz. 由题设 C(0,0,0),A(4,4,0),B(0,4,0),D(4,0,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2). ???? ???? ∴ BE ? (2,0,0) , BF ? (4, ?2,0) , ???? ? ???? BG ? (0, ?4, 2) , GE ? (2, 4, ?2) , ???? EF ? (2, ?2,0) . 设 BM ? 平面 EFG,M 为垂足,则 M、G、E、F 四点共面,由共面向量定理知,存在实数 a、b、c, ????? ???? ???? ???? ? 使得 BM ? aBE ? bBF ? cBG (a ? b ? c ? 1) , ????? ∴ BM ? a(2,0,0) ? b(4, ?2,0) ? c(0, ?4, 2) =(2a+4b,-2b-4c,2c). 由 BM ? 平面 EFG,得 BM ? GE , BM ? EF ,于是 ????? ???? ????? ???? B M? G ?E , BM ? EF ? 0 . 0 ?(2a ? 4b, ?2b ? 4c, 2c) ? (2, 4, ?2) ? 0 ? ∴ ?(2a ? 4b, ?2b ? 4c, 2c) ? (2, ?2, 0) ? 0 ?a ? b ? c ? 1 ?

15 ? ?a ? 11 ?a ? 5c ? 0 ? 7 ? ? 整理得: ?a ? 3b ? 2c ? 0 ,解得 ?b ? ? . 11 ?a ? b ? c ? 1 ? ? 3 ? ?c ? 11 ?


BM =(2a+4b,-2b-4c,2c)= (

2 2 6 , , ). 11 11 11



2 2 2 ????? 2 11 ?2? ?2? ?6? | BM |? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11 ? 11 ? ? 11 ? ? 11 ?

故点 B 到平面 EFG 的距离为

2 11 . 11

说明:用向量法求点到平面的距离,常常不必作出垂线段,只需利用垂足在平面内、共面向量定理、 两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可 例 2 已知正方体 ABCD- A ' B ' C ' D ' 的棱长为 1, 求 分析:设异面直线 DA' 、AC 的公垂线是直线 l,则 射影就是两异面直线的公垂线段, 所以此题可以利用向 求解. 解:如图,设 B' A' ? i, B'C ' ? j, B' B ? k,以 i、j、k 为坐标向量建立空间直角坐标系 B' -xyz,则 有
A '(1,0,0) , D(1,1,1) , A(1, 0,1) , C (0,1,1) .∴

以了. 直线 DA' 与 AC 的距离. 线段 AA' 在直线 l 上的 量的数量积的几何意义

???? ? ???? ? ????? DA ' ? (0, ?1, ?1) , AC ? (?1,1,0) , A ' A ? (0,0,1) .
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设 n ? ( x, y, z ) 是直线 l 方向上的单位向量,则 x2 ? y 2 ? z 2 ? 1 . ∵ ∴ n ? DA' ,n ? AC ,
?? y ? z ? 0 3 3 ? ,解得 x ? y ? ? z ? 或 x ? y ? ?z ? ? . ?? x ? y ? 0 3 3 ?x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 ?

取 n? (

3 3 3 , , ? ) ,则向量 A' A 在直线 l 上的投影为 3 3 3
3 3 3 3 . , ,? ) · (0,0,1) ? ? 3 3 3 3 3 . 3

n· A' A ? (

由两个向量的数量积的几何意义知,直线 DA' 与 AC 的距离为

向量的内积与二面角的计算

在 《高等代数与解析几何》 课程第一章向量代数的教学中, 讲到几何空间的内积时, 有一个例题 (见 [1],p53)要求证明如下的公式:
cos? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? cos? ,

(1)

?AON ? ? , ?BON ? ? , 其中点 O 是二面角 P-MN-Q 的棱 MN 上的点, OB 分别在平面 P 和平面 Q 内。 OA、
?AOB ? ? 。 ? 为二面角 P-MN-Q(见图 1) 。
z P

D

A

? a

?
M O

?
? b
x

y

N

B

Q

图1

公式(1)可以利用向量的内积来加以证明: 以 Q 为坐标平面,直线 MN 为 y 轴,如图 1 建立直角坐标系。 记 xOz 平面与平面 P 的交线为射线 OD,则 OD?MN ,得
?AOD ?

?
2

? ? , ?DOx ? ? , ?DOz ?

?
2

?? 。

? ? ? ? 分别沿射线 OA、OB 的方向上作单位向量 a , b ,则 a , b ? ? 。
第 11 页 共 11 页

? ? 由计算知 a , b 的坐标分别为 (sin? cos? , cos? , sin ? sin ? ) , (sin ? , cos ? ,0) , ? ? ? ? a ?b 于是, cos? ? ? ? ? a ? b ? cos? cos ? ? sin ? sin ? cos? 。 | a |?|b |
公式(1)在立体几何计算二面角的平面角时是有用的。我们来介绍如下的两个应用。 例 1.立方体 ABCD-A1B1C1D1 的边长为 1,E、F、G、H、I 分别为 A1D1、A1A、A1B1、B1C1、B1B 的中点。 求面 EFG 和面 GHI 的夹角 ? 的大小(用反三角函数表示) 。 解 由于图 2 中所画的两平面 EFG 和 GHI 只有一个公共点,没有交线,所以我们可以将该立方体沿 AB 方向平移 1 个单位。这样就使平面 EFG 平移至平面 HI G ? 。而 ? 就是二面角 G-IH- G ? (见图 3) 。利 用公式(1) ,只要知道了 ? , ? 和 ? 的大小,我们就能求出 ? 。
D1 E G A1 B1 H C1

F

D

I C

A

B

图2

由已知条件, ?GHI 和 ?HI G ? 均为等边三角形,所以 ? ? ? ?
D1 E G A1 B1 H G' C1

?
3

,而 ? ? ?GI G ? ?

?
2

。因此,

F

D

I

C

A

B

图3

cos

?
2

? cos

?
3

cos

?
3

? sin

?
3

sin

?
3

cos ? ,

即0 ?

1 1 3 3 ? ? ? cos? 。 2 2 2 2

1 解得 cos ? ? ? , 3

? ? ? ? a r c c o s。

1 3

当然,在建立了直角坐标系之后,通过计算向量的外积可计算出两平面的法向量,利用法向量同样
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也可算出夹角 ? 来。

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