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中考数学必做36道压轴题合订本(含变式训练)


2016 中考必做的 36 道压轴题及变式训练 第 1 题 夯实双基“步步高” ,强化条件是“路标” 【例 1】 (2013 北京, 23,7 分) 在平面直角坐标系 xoy 中, 抛物线 其对称轴与 x 轴交于点 B. (1) y ? mx2 ? 2mx ? 2 ? m ? 0? 与 y 轴交于点 A, 求点 A,B 的坐标; (2)设直线 l 与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称,求直线 l 的解析式; (3)若该抛物线在 ?2 的上方,并且在 2

? x ? 3 这一段位于直线 AB 的下方,求该抛物线的解析式.

? x ? ?1 这一段位于直线 l

链接: (2013 南京,26,9 分)已知二次函数 y=a(x?m) ?a(x?m) (a、m 为常数,且 a?0). (1)求证:不论 a 与 m 为何值,该函数的图像与 x 轴 总有两个公共点;2)设该函数的图象的顶点为 C,与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 D. ①当△ABC 的面积等于 1 时,求 a 的值;②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时,求 m 的值.
2

变式: (2012 北京,23,7 分)已知二次函数 y ? t ? 1 x 2 ? 2 t ? 2 x ? 3 在 x ? ? ? ?

? 0 和 x ? 2 时的函数值相等.

2

(1)求二次函数的解析式; (2)若一次函数 y=kx+6 的图象与二次函数的图象都经过点 A(-3,m) ,求 m 和 k 的值; (3)设二次函数的图象与 x 轴交 于点 B,C(点 B 在点 C 的左侧) ,将二次函数的图象在点 B,C 间的部分(含点 B 和点 C)向左平移 n(n>0)个单位后得到的图象记为 G,同时将(2) 中得到的直线

y ? kx ? 6 向上平移 n 个单位.请结合图象回答:当平移后的直线与图象 G 有公共点时,n 的取值范围.

第 2 题 “弓形问题”再相逢, “殊途同归”快突破

3 的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,已知 B 点坐 x ? 2 ? a ? 0? 2 标为(4,0) . (1)求抛物线的解析式; (2)试探究△ABC 的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;](3)若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点,求 △MBC 的面积的最大值,并求出此时 M 点的坐标.
【例题】 (2012 湖南湘潭,26,10 分)如图,抛物线

y ? ax 2 ?

【变式】 (2011 安徽芜湖,24,14 分)平面直角坐标系中,

A ' B ' OC ' . ABOC 和 A ' B ' OC ' 重叠部分 点 O 顺时针旋转 90°,得到 (1)若抛物线过点 C,A,A',求此抛物线的解析式; (2) △OC'D 的周长; (3)点 M 是第一象限内抛物线上的一动点,问:点 M 在何处时△AMA'的面积最大?最大面积是多少?并求出此时 M 的坐标.

?

? ABOC

如图放置,点 A、C 的坐标分别为(0,3) 、 (﹣1,0) ,将此平行四边形绕

?

?

第 3 题 “模式识别”记心头,看似“并列”实“递进”

1 与抛物线 y ? ax ? bx ? 3 交于 A,B 两点,点 A 在 轴上, x ?1 2 点 B 的纵坐标为 3.点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点(不与 A,B 重合) ,过点 P 作 轴的垂线交直线 AB 与点 C,作 PD⊥AB 于点 D. (1)求 a,b
【例题】 (2012 河南,23,11 分)如图,在平面直角坐标系中,直线
2

y ?

x

及 sin ?ACP 的值; (2) 设点 P 的横坐标为 .①用含 的代数式表示线段 PD 的长, 并求出线段 PD 长的最大值; ②连接 PB, 线段 PC 把 △PDB 分成两个三角形,是否存在适合的 值,使这两个三角形的面积之比为 9:10?若存在,直接写出 值;若不存在,说明理由.

x

m

m

m

m

. (1)求 b 的值并写出当 1 ? x ? 3 时 y ? x2 ? bx ? 3 的图象经过点 P(﹣2,5) y 的取值范围; (2)设 P 、P 、P 1 (m, y1 ) 2 (m+1, y2 ) 3 (m+2, y3 )在这个二次函数的图象上. ①当 m=4 时, y1 、 y2 、 y3 能否作 为同一个三角形三边的长?请说明理由; ②当 m 取不小于 5 的任意实数时, y1 、 y2 、 y3 一定能作为同一个三角形三边的长,请说明理由. 【变式一】 (2011 江苏泰州,27,12 分)已知:二次函数 ,另一个交点为 A,且与 y 轴交 y ? x2 ? bx ? c 的图象与 x 轴的一个交点为 B(5,0)

【变式二】 (2013 重庆,25 题,12 分)如图,已知抛物线

于点 C(0,5) . (1)求直线 BC 与抛物线的解析式; (2)若点 M 是抛物线在 x 轴下方图象上的一动点,过点 M 作 MN∥y 轴交直线 BC 于点 N,求 MN 的 最大值; (3)在(2)的条件下,MN 取得最大值时,若点 P 是抛物线在 x 轴下方图象上任意一点,以 BC 为边作平行四边形 CBPQ,设平行四边形 CBPQ 的面积为 S1 ,△ABN 的面积为 S2 ,且 S1

? 6S2 ,求点 P 的坐标.

第 4 题 “准线” “焦点”频现身, “居高临下”明“结构” 【例题】 (2012 四川资阳,25,9 分)抛物线

y?

1 2 x ? x ? m 的顶点在直线 y ? x ? 3 上,过点 F(-2,2)的直线交该抛物线于点 M、N 4
100 ,求点 M 的坐标. 9

两点(点 M 在点 N 的左边) ,MA⊥x 轴于点 A,NB⊥x 轴于点 B.1 先通过配方求抛物线的顶点坐标(坐标可用含 m 的代数式表示) ,再求 m 的值;2 设 点 N 的横坐标为 a,试用含 a 的代数式表示点 N 的纵坐标,并说明 NF=NB;3 若射线 NM 交 x 轴于点 P,且 PA×PB=

y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? 顶点为 C(1,1)且过原点 O.过抛物线上一点 P(x,y)向直 5 3 线y ? 作垂线,垂足为 M,连 FM(如图) . (1)求字母 a,b,c 的值; (2)在直线 x=1 上有一点 F(1, ) ,求以 PM 为底边的等腰三角形 PFM 4 4
【变式一】 (2010 湖北黄冈,25,15 分)已知抛物线 的 P 点的坐标,并证明此时△PFM 为正三角形; (3)对抛物线上任意一点 P,是否总存在一点 N(1,t) ,使 PM=PN 恒成立?若存在请求出 t 值,若不 存在请说明理由.

【变式二】 (2012 山东潍坊,24,11 分)如图,已知抛物线与坐标轴分别交于 A(-2,0)、B(2,0)、C(0,-1)三点,过坐标原点 O 的直线 抛物线交于 M、N 两点.分别过点 C、D(0,-2)作平行于 x 轴的直线 l1 、 l 2 . (1)求抛物线对应二次函数的解析式; (2)求证以 ON 为直径的圆与直线 l1 相切; (3)求线段 MN 的长(用 k 表示),并证明 M、N 两点到直线 l 2 的距离之和等于线段 MN 的长.

y ? kx 与

第 5 题 莫为“浮云”遮望眼, “洞幽察微”探指向 2 【例题】 (2012 浙江宁波,26,12 分)如图,二次函数 y=ax +bx+c 的图象交 x 轴于 A(﹣1,0) ,B(2,0) ,交 y 轴于 C(0,﹣2) ,过 A,C 画直线. (1)求二次函数的解析式; (2)点 P 在 x 轴正半轴上,且 PA=PC,求 OP 的长; (3)点 M 在二次函数图象上,以 M 为圆心的圆与直线 AC 相切,切点为

H. ①若 M 在 y 轴右侧,且△CHM∽△AOC(点 C 与点 A 对应) ,求点 M 的坐标; ②若⊙M 的半径为

4 5 ,求点 M 的坐标. 5

【变式一】 (2010 湖南邵阳,25,12 分)如图,抛物线

1 y ? ? x 2 ? x ? 3 与 x 轴相交于点 A、B,与 y 轴相交于点 C,顶点为点 D,对称轴 l 与 4
r ? 4 5 5 ,是否存在点 P 使⊙P 与直线 BC 相切?若存在,请求出点 P 的坐标;若

直线 BC 相交于点 E,与 x 轴相交于点 F. (1)求直线 BC 的解析式; (2)设点 P 为该抛物线上的一个动点,以点 P 为圆心,r 为半径作⊙P. ①当点 P 运动到点 D 时,若⊙P 与直线 BC 相交,求 r 的取值范围; ②若 不存在,请说明理由.

【变式二】 (2012 广东省,22,9 分)如图,抛物线

y?

1 2 3 x ? x ? 9 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,连接 BC、AC. 2 2

(1)求 AB 和 OC 的长; (2)点 E 从点 A 出发,沿 x 轴向点 B 运动(点 E 与点 A、B 不重合) ,过点 E 作直线 l 平行 BC,交 AC 于点 D.设 AE 的长为 m, △ADE 的面积为 S,求 S 关于 m 的函数关系式,并写出自变量 m 的取值范围; (3)在(2)的条件下,连接 CE,求△CDE 面积的最大值;此时,求出以 点 E 为圆心,与 BC 相切的圆的面积(结果保留 π ) .

第 6 题 分类讨论“程序化” , “分离抗扰”探本质 2 2 【例题】 (2011 贵州遵义,27,14 分)已知抛物线 y=ax +bx+3(a≠0)经过 A(3,0) ,B(4,1)两点,且与 y 轴交于点 C. (1)求抛物线 y=ax +bx+3 (a≠0)的函数关系式及点 C 的坐标; (2)如图(1) ,连接 AB,在题(1)中的抛物线上是否存在点 P,使△PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形?若 存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)如图(2) ,连接 AC,E 为线段 AC 上任意一点(不与 A、C 重合)经过 A、E、O 三点的圆交直线 AB 于点 F,当△OEF 的面积取得最小值时,求点 E 的坐标.

【变式一】 (2012 山东枣庄,25,10 分)在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板 ABC 斜靠在两坐标轴上放在第二象限,斜靠在两坐标轴 上,点 C 为(﹣1,0) .B 点在抛物线

y?

1 2 1 (1)求证:△BDC≌△ x ? x ? 2 图象上,过点 B 作 BD⊥x 轴,垂足为 D,且 B 点横坐标为﹣3. 2 2

COA; (2)求 BC 所在直线的函数关系式; (3)抛物线的对称轴上是否存在点 P,使△ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形?若存在,求出所有点 P
的坐标;若不存在,请说明理由.

【变式二】 (2011 四川南充,21,8 分)如图,等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=60°,M 是 BC 的中点. (1)求证:△MDC 是等边三角形; (2)将△MDC 绕点 M 旋转,当 MD(即 MD′)与 AB 交于一点 E,MC(即 MC′)同时与 AD 交于一点 F 时,点 E,F 和 点 A 构成△AEF.试探究△AEF 的周长是否存在最小值?如果不存在,请说明理由;如果存在,请计算出△AEF 周长的最小值.

第 7 题 “两种对称”正方形, “以美启真”助破题【例题】 (2013 浙江杭州,23,12 分)如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4,对称中心为点 P, 点 F 为 BC 边上一个动点,点 E 在 AB 边上,且满足条件∠EPF=45°,图中两块阴影部分图形关于直线 AC 成轴对称,设它们的面积和为 S1. (1)求证:∠APE=∠CFP; (2)设四边形 CMPF 的面积为 S2,CF=x,y=S1/S2. ①求 y 关于 x 的函数解析式和自变量 x 的取值范围,并求出 y 的最大 值; ②当图中两块阴影部分图形关于点 P 成中心对称时,求 y 的值.

【变式一】 (2013 湖南娄底,23,9 分)某校九年级学习小组在探究学习过程中,用两块完全相同的且含 60°角的直角三角板 ABC 与 AFE 按如图(1) 所示位置放置放置,现将 Rt△AEF 绕 A 点按逆时针方向旋转角 α (0°<α <90°) ,如图(2) ,AE 与 BC 交于点 M,AC 与 EF 交于点 N,BC 与 EF 交于 点 P. (1)求证:AM=AN; (2)当旋转角 α =30°时,四边形 ABPF 是什么样的特殊四边形?并说明理由.

【变式二】 (2013 北京海淀区九上期末卷)如图 1,两个等腰直角三角板 ABC 和 DEF 有一条边在同一条直线 l 上,DE=2,AB=1.将直线 EB 绕点 E 逆时 针旋转 45°,交直线 AD 于点 M.将图 1 中的三角板 ABC 沿直线 l 向右平移,设 C、E 两点间的距离为 k.解答问题:

(1)①当点 C 与点 F 重合时,如图 2 所示,可得 AM/DM 的值为 ;②在平移过程中,AM/DM 的值为 (用含 k 的代数式表示) ; (2)将图 2 中的三角板 ABC 绕点 C 逆时针旋转,原题中的其他条件保持不变.当点 A 落在线段 DF 上时,如图 3 所示,请补全图形,计算 AM/DM 的值;

(3)将图 1 中的三角板 ABC 绕点 C 逆时针旋转 α 度,0<α ≤90,原题中的其他条件保持不变.计算 AM/DM 的值(用含 k 的代数式表示) . 第 8 题 对称图形为载体,特殊位置要留意 【例题】 (2013 四川资阳,24,12 分)如图,四边形 ABCD 是平行四边形,过点 A、C、D 作抛物线 y

? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,与 x 轴的另一交点为 E,连

结 CE,点 A、B、D 的坐标分别为(-2,0) 、 (3,0) 、 (0,4).(1)求抛物线的解析式; (2)已知抛物线的对称轴 l 交 x 轴于点 F,交线段 CD 于点 K,点 M、N 分别是直线 l 和 x 轴上的动点,连结 MN,当线段 MN 恰好被 BC 垂直平分时,求点 N 的坐标; (3)在满足(2)的条件下,过点 M 作一条直线,使之将四 边形 AECD 的面积分为 3∶4 的两部分,求出该直线的解析式.

【变式一】 (2011 江苏无锡,27,10 分)如图,已知 O(0,0)、A(4,0)、B(4,3).动点 P 从 O 点出发,以每秒 3 个单位的速度,沿△OAB 的边 OA、 AB、BO 作匀速运动;动直线 l 从 AB 位置出发,以每秒 1 个单位的速度向 x 轴负方向作匀速平移运动.若它们同时出发,运动的时间为 t 秒,当点 P 运动到 O 时,它们都停止运动. (1)当 P 在线段 OA 上运动时,求直线 l 与以点 P 为圆心、1 为半径的圆相交时 t 的取值范围; (2)当 P 在线段 AB 上 运动时,设直线 l 分别与 OA、OB 交于 C、D,试问:四边形 CPBD 是否可能为菱形?若能,求出此时 t 的值;若不能,请说明理由,并说明如何改变直 线 l 的出发时间,使得四边形 CPBD 会是菱形.

第 9 题 平行线内“正方形” ,构造全等“弦方图” 【例题】 (2012 山东滨州,25,12 分)如图 1,L1,L2,L3,L4 是一组平行线,相邻 2 条平行线间的距离都是 1 个单位长度,正方形 ABCD 的 4 个顶点 A,B,C,D 都在这些平行线上.过点 A 作 AF⊥L3 于点 F,交 L2 于点 H,过点 C 作 CE⊥L2 于点 E,交 L3 于点 G. (1)求证:△ADF ≌△CBE; (2)求正方形 ABCD 的面积; (3)如图 2,如果四条平行线不等距,相邻的两条平行线间的距离依次为 h1,h2,h3,试 用 h1,h2,h3 表示正方形 ABCD 的面积 S.

【变式一】 (2013 山东淄博,24,9 分)矩形纸片 ABCD 中,AB=5,AD=4. (1)如图 1,四边形 MNEF 是在矩形纸片 ABCD 中裁剪出的一个正方形.你能 否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形,最大面积是多少?说明理由; (2)请用矩形纸片 ABCD 剪拼成一个面积最大的正方形.要求:在图 2 的 矩形 ABCD 中画出裁剪线,并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图(使正方形的顶点都在网格的格点上) .

【变式二】 (2011 安徽, 23, 14 分) 如图, 正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条平行线 l1,l2,l3,l4 上.这四条直线中相邻两条之间的距离依次为 h1,h2,h3 (h1>0,h2>0,h3>0).(1)求证:h1=h2; (2)设正方形 ABCD 的面积为 S ,求证: 化时,说明正方形 (3)若 h1 ? h2 ? 1 ,当 h1 变 S ? (h1 ? h2 )2 ? h12 ;

3 2

ABCD 的面积 S 随 h1 变化的情况.

第 10 题 “并列”问题“递进”解,经典问题再追问【例题】 (2012 山东德州,23,12 分)如图所示,现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD,点 P 为正方形 AD 边上的一点(不与点 A、点 D 重合)将正方形纸片折叠,使点 B 落在 P 处,点 C 落在 G 处,PG 交 DC 于 H,折痕为 EF,连接 BP、BH. (1) 求证:∠APB=∠BPH; (2)当点 P 在边 AD 上移动时,△PDH 的周长是否发生变化?并证明你的结论; (3)设 AP 为 x,四边形 EFGP 的面积为 S,求出 S 与 x 的函数关系式,试问 S 是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.

【变式】 (2013 辽宁锦州,25,12 分)如图 1,等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形 ABCD 的顶点 A 重合,将此三角板绕点 A 旋转,使三角板中该 锐角的两条边分别交正方形的两边 BC、DC 于点 E、F,连结 EF. (1)猜想 BE、EF、DF 三条线段之间的数量关系,并证明你的猜想; (2)在图 1 中,过点 A 作 AM⊥EF 于点 M,请直接写出 AM 和 AB 的数量关系; (3)如图 2,将 Rt△ABC 沿斜边 AC 翻折得到 Rt△ADC,E、F 分别是 BC、 CD 边上的点,∠EAF=(1/2)∠BAD,连结 EF,过点 A 作 AM⊥EF 于点 M.试猜想 AM 与 AB 之间的数量关系,并证明你的猜想.

第 11 题 “伴随图形”来研究, “分类讨论”显功底 【例题】 (2011 辽宁本溪,26,14 分)如图 1,在平面直角坐标系中,抛物线过原点 O,点 A(10,0)和点 B(2,2) ,在线段 OA 上,点 P 从点 O 向 点 A 运动,同时点 Q 从点 A 向点 O 运动,运动过程中保持 AQ=2OP,当 P、Q 重合时同时停止运动,过点 Q 作 x 轴的垂线,交直线 AB 于点 M,延长 QM 到点 D,使 MD=MQ,以 QD 为对角线作正方形 QCDE(正方形 QCDE 岁点 Q 运动) . (1)求这条抛物线的函数表达式; (2)设正方形 QCDE 的面积为 S,P 点坐标(m,0)求 S 与 m 之间的函数关系式; (3)过点 P 作 x 轴的垂线,交抛 物线于点 N,延长 PN 到点 G,使 NG=PN,以 PG 为对角线作正方形 PFGH(正方形 PFGH 随点 P 运动) ,当点 P 运动到点(2,0)时,如图 2,正方形 PFGH 的边 GP 和正方形 QCDE 的边 EQ 落在同一条直线上.①则此时两个正方形中在直线 AB 下方的阴影部分面积的和是多少? ②若点 P 继续向点 A 运动,还存在两个正方形分别有边落在同一条直线上的情况,请直接写出每种情况下点 P 的坐标,不必说明理由.

【变式】 (2013 湖南郴州,25,10 分)如图,△ABC 中,AB=BC,AC=8,tan A=k,P 为 AC 边上一动点,设 PC=x,作 PE∥AB 交 BC 于 E,PF∥BC 交 AB 于 F. (1)证明:△PCE 是等腰三角形; (2)EM、FN、BH 分别是△PEC、△AFP、△ABC 的高,用含 x 和 k 的代数式表示 EM、FN,并探究 EM、FN、BH 之 间的数量关系; (3)当 k=4 时,求四边形 PEBF 的面积 S 与 x 的函数关系式.x 为何值时,S 有最大值?并求出 S 的最大值.

第 12 题 中心对称“带上路” ,以美启真构菱形 【例题】 (2013 陕西,25,12 分) 问题探究(1)请在图①中作出两条直线,使它们将圆面四等分;(2)如图②,M 是正方形 ABCD 内一定点,请在 图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点 M),使它们将正方形 ABCD 的面积四等分,并说明理由. 问题解决 (3)如图③,在四边形 ABCD 中,AB∥CD,AB+CD=BC,点 P 是 AD 的中点,如果 AB= ,CD= b ,且 b 所在直线将四边形 ABCD 的面积分成相等的两部分?若存在,求出 BQ 的长;若不存在,说明理由.

a

? a ,那么在边 BC 上是否存在一点 Q,使 PQ

【变式一】 (2012 陕西,25,12 分)如图,正三角形 ABC 的边长为 3+

3. (1)如图①,正方形 EFPN 的顶点 E、F 在边 AB 上,顶点 N 在边 AC 上.在

正三角形 ABC 及其内部,以 A 为位似中心,作正方形 EFPN 的位似正方形 E’F’P’N’,且使正方形 E’F’P’N’的面积最大(不要求写作法) ; (2)求(1)中作出的正方形 E’F’P’N’的边长; (3)如图②,在正三角形 ABC 中放入正方形 DEMN 和正方形 EFPH,使得 D、EF 在边 AB 上,点 P、 N 分别在边 CB、CA 上,求这两个正方形面积和的最大值及最小值,并说明理由.

【变式二】 (2011 湖北武汉,24,10 分) (1)如图,在△ABC 中,点 D、E、Q 分别在 AB、AC、BC 上,且 DE∥BC 边长,AQ 交 DE 于点 P.求证:DP/PQ=PE/QC;

(2)如图 2,△ABC 中,∠BAC=90°,正方形 DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上,连接 AG,AF 分别交 DE 于 M,N 两点. ①如图 2,若 AB=AC=1,直接写出 MN 的长; ②如图 3,求证: MN
2

? DM ? EN .

第 13 题 “定义”悟出基本图,解后反思“圆外圆” 【例题】 (2013 北京,25,8 分)对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和⊙C,给出如下定义:若⊙C 上存在两个点 A,B,使得∠APB=60°,则称 P 为 ⊙C 的关联点.已知点 过点 F 作直线 l 交 ,F( 2 ? 1 1 ? ,E(0,-2) D? , ? ?2 2?

3 ,0) . (1)当⊙O 的半径为 1 时, ①在点 D,E,F 中,⊙O 的关联点是__________; ②

y 轴正半轴于点 G,使∠GFO=30°,若直线 l 上的点 P ( m , n )是⊙O 的关联点,求 m 的取值范围;2 若线段 EF 上的所有点 都是某个圆的关联点,求这个圆的半径 r 的取值范.

【变式一】 (2013 福建泉州,25,12 分)如图,直线

y ? ? 3x ? 2 3 分别与 x、y 轴交于点 B、C,点 A(-2,0),P 是直线 BC 上的动点.

(1)求∠ABC 的大小; (2)求点 P 的坐标,使∠APO=30°; (3)在坐标平面内,平移直线 BC,试探索:当 BC 在不同位置时,使∠APO = 30°的点 P 的个数是否保持不变?若不变,指出点 P 的个数有几个?若改变,指出点 P 的个数情况 ,并简要说明理由. ....

【变式二】如图, A、B 为⊙O 上的两个定点,P 是⊙O 上的动点(P 不与 A、B 重合) , 我们称∠APB 为⊙O 上关于 A、 B 的滑动角. (1) 已知∠APB 是 ? 上关于点 A、B 的滑动角. ① 若 AB 为⊙O 的直径,则∠APB= 一点,以 O2 为圆心作一个圆与 ? ; ② 若⊙O 半径为 1,AB=

O

2 ,求∠APB 的度数. (2)已知 O2 为 ? O 1外

O1 相交于 A、B 两点,∠APB 为 ? O1 上关于点 A、B 的滑动角,直线 PA、PB 分别交 ? O2 于点 M、N(点 M 与点

A、点 N 与点 B 均不重合) ,连接 AN,试探索∠APB 与∠MAN、∠ANB 之间的数量关系.

第 14 题 “旋转变换”迷人眼, “见微知著”深追问 【例题】 (2012 浙江义乌,23,10 分)在锐角△ABC 中,AB=4,BC=5,∠ACB=45°,将△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转,得到△A1BC1. (1)如图,当点 C1 在线段 CA 的延长线上时,求∠CC1A1 的度数;

(2)如图 2,连接 AA1,CC1.若△ABA1 的面积为 4,求△CBC1 的面积;

(3)如图 3,点 E 为线段 AB 中点,点 P 是线段 AC 上的动点,在△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中,点 P 的对应点是点 P1,求线段 EP1 长度的最 大值与最小值.

【变式一】 (2011 安徽,22,12 分)在△ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC 绕顶点 C 顺时针旋转,旋转角为 ? (0°< ? <180°),得到 △A1B1C.

A C

?

A1 D B1 B

A C

?

A1 B 图2 B1

A A1 E ? C

P

B B1

图1

图3

(1)如图 1,当 AB∥CB1 时,设 A1B1 与 BC 相交于点 D.证明:△A1CD 是等边三角形; (2)如图 2,连接 AA1、BB1,设△ACA1 和△BCB1 的面积分别为 S1、

S2.求证:S1∶S2=1∶3; (3)如图 3,设 AC 的中点为 E,A1B1 的中点为 P,AC=a,连接 EP.当 ? =

°时,EP 的长度最大,最大值为



【变式二】 (原创题)如图,边长为 2 的正方形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,以 D 为圆心,DB 的长为半径作弧交 CA 延长线于 E,连接 DE、BE.

? 角( 0? ? ? ? 360? )得到△ C ' DE ' . ①当 ? ? 30? 时,连接 AC ' ,求 tan ?BAC ' 的值;②当 DE ' 、AB 所在直线夹角为 15°时,求 ? 所有可能的度数;
(1)求证:△BDE 是等边三角形;2 以点 D 为中心,把△CDE 顺时针旋转 ③若点 P 是边 C ' D 上任意一点,在旋转过程中,试探究 BP 有没有最大(小)值?如果有,直接写出最大(小)值;如果没有,说明理由.

第 15 题 构造全等获突破,道是“无圆”却“有圆” 【例题】 (2012 青海,27 题,10 分)如图 1,四边形 ABCD 是正方形,点 E 是边 BC 的中点,∠AEF=90°,且 EF 交正方形外角平分线 CF 于点 F. 请你 认真阅读下面关于这个图的探究片段,完成所提出的问题.

探究 1:小强看到图 1 后,很快发现 AE=EF.这需要证明 AE 和 EF 所在的两个三角形 全等,但△ABE 和△ECF 显然不全等(一个直角三角形,一个钝角 三角形) .考虑到点 E 是边 BC 的中点,因此可以选取 AB 的中点 M,连接 EM 后尝试着去证明△AEM≌△EFC 就行了.随即小强写出了如下的证明过程: 证明:如图 2,取 AB 的中点 M,连接 EM. ∵∠AEF=90°, ∴∠FEC+∠AEB=90°, 又∵∠EAM+∠AEB=90°, ∴∠EAM=∠FEC. ∵点 E、M 分别为正方形的边 BC 和 AB 的中点, ∴AM=EC. ∵△BME 是等腰直角三角形, ∴∠AME=135°, 又∵CF 是正方形外角的平分线, ∴∠ECF=135°, ∴△AEM≌△EFC(ASA), ∴AE=EF. (2)探究 2:小强继续探索,如图 3,若把条件“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上的任意一点” ,其余条件不变,发现 AE=EF 仍然成立.请 你证明这一结论.

(3)探究 3:小强进一步还想试试,如图 4,若把条件“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 延长线上的一点” ,其余条件不变,那么结论 AE=EF 是否成立呢?若成立请你完成证明过程给小强看.若不成立请你说明理由.

【变式一】 (2013 浙江湖州,24 题,14 分)如图 1,已知正方形 OABC 的边长为 2,顶点 A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上,M 是 BC 的中点.P(0,m) 是线段 OC 上一动点(C 点除外) ,直线 PM 交 AB 的延长线于点 D. (1)求点 D 的坐标(用含 m 的代数式表示) ; (2)当△APD 是等腰三角形时,求 m 的 值; (3)设过 P、M、B 三点的抛物线与 x 轴正半轴交于点 E,过点 O 作直线 ME 的垂线,垂足为 H(如图 2) ,当点 P 从点 O 向点 C 运动时,点 H 也随之 运动.请直接写出点 H 所经过的路径长. (不必写解答过程)

【变式二】如图,在边长为 3 的正方形 ABCD 中,点 E 是 BC 边上的点,BE=1,∠AEP=90°,且 EP 交正方形外角的平分线 CP 于点 P,交边 CD 于点 F, (1)FC/EF 的值为 请说明理由. ; (2)求证:AE=EP; (3)在 AB 边上是否存在点 M,使得四边形 DMEP 是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,

第 16 题 精确草图获思路,勾股相似构方程 【例题】 (2013 上海,25 题,10 分)在矩形 ABCD 中,点 P 是边 AD 上的动点,连接 BP,线段 BP 的垂直平分线交边 BC 于点 Q,垂足为点 M,连接 QP (2)当以 AP 长为半径的⊙P 和以 QC 长为半 y 关于 x 的函数解析式,并写出 x 的取值范围; 径的⊙Q 外切时,求 x 的值; (3)点 E 在边 CD 上,过点 E 作直线 QP 的垂线,垂足为 F,如果 EF=BC=4,求 x 的值. (如图 1) .已知 AD=1,AB=5,设 AP=X,BQ=y. (1)求

【变式一】 (改编题)在△ABC 中,AB=AC,AD 是 BC 边上的高,点 O 在线段 AD 上.1 如图 1,连接 OB、OC,求证:△BDO≌△CDO; 2 已知 ?

O 与直线 AB、AC 都相切,切点分别为 E、F,当 AD=12,CD=5, OD ?

10 时,求证: ? O 与直线 BC 相切. 3

【变式二】 已知: 如图 1, 直角坐标系内的矩形 ABCD, 顶点 A 的坐标为 (0, 3) , BC=2AB, P 为 AD 边上一动点 (与点 A、 D 不重合) , 以点 P 为圆心作 ?

P

l 与对角线 AC 相切于点 F,过 P、F 作直线 l ,交 BC 边于点 E. 当点 P 运动到点 P 1 位置时,直线 恰好经过点 B,此时直线的解析式是
1 求 BC、

y ? 2x ?1.

AP 1 的长;2 设 AP=m,梯形 PECD 的面积为 S,求 S 与 m 之间的函数关系式,写出自变量 m 的取值范围;
E 与 x 轴相切.
探究并猜想: ?

3 以点 E 为圆心作 ?

P 和 ? E 有哪几种不同的位置关系?并求出 AP 相应的取值范围.

第 17 题 “正笔侧锋”细解读, “拨云见日”明“指向 【例题】 (2012 广东广州,24 题,14 分)如图,抛物线

3 3 y ? ? x 2 ? x ? 3 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧) ,与 y 轴交于点 C. 8 4

(1)求点 A、B 的坐标; (2)设点 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时,求点 D 的坐标; (3)若直线 l 过点 E(4,0) ,M 为直线 l 上的动点,当以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线 l 的解析式.

【变式一】 (2013 山东淄博,23 题,9 分)△ABC 是等边三角形,点 A 与点 D 的坐标分别是 A(4,0) ,D(10,0) . (1)如图 1,当点 C 与点 O 重合时,求直线 BD 的解析式;

(2)如图 2,点 C 从点 O 沿 y 轴向下移动,当以点 B 为圆心,AB 为半径的⊙B 与 y 轴相切(切点为 C)时,求点 B 的坐标;

(3)如图 3,点 C 从点 O 沿 y 轴向下移动,当点 C 的坐标为 C(0, ?2

3 )时,求∠ODB 的正切值.

【变式二】 (原创)如图,在平面直角坐标系中,矩形 ABCD 的边 BC 平行于 x 轴,AB=6,点 A 的横坐标为 2,反比例函数 经过点 A、C.1 求点 A 的坐标;2 求点 B、D 所在直线的函数关系式;3 若点 P(p, ? 请直接写出所有满足条件的 p 的值;若不存在,请说明理由.

y?

18 ? x ? 0 ? 的图象 x

3 p ? 12 ) ,是否存在实数 p,使得 S△PAB =12 ?若存在, 2

第 18 题 “圆的折叠”来探究,发现“等圆”能破题 【例题】 (2012 江西南昌,28 题,12 分)已知,纸片⊙O 的半径为 2,如图 1,沿弦 AB 折叠操作. (1)①折叠后的 AB 所在圆的圆心为 O′ 时,求

?

? 经过圆心为 O 时,求 AOB ? O′A 的长度;②如图 2,当折叠后的 AB 的长度;③如图 3,当弦 AB=2 时,求圆心 O 到弦 AB 的距离; (2)在图 1 中,
再将纸片⊙O 沿弦 CD 折叠操作. ①如图 4,当 AB∥CD,折叠后的 AB 与 CD 所在圆外切于点 P 时,设点 O 到弦 AB、CD 的距离之和为 d,求 d 的值; ②如图 5,当 AB 与 CD 不平行,折叠后的 AB 与 CD 所在圆外切于点 P 时,设点 M 为 AB 的中点,点 N 为 CD 的中点,试探究四边形 OMPN 的形状, 并证明你的结论.

?

?

?

?

【变式】 (2011 湖南常德,25 题,10 分)已知△ABC,分别以 AC 和 BC 为直径作半圆 O1、O2 ,P 是 AB 的中点.

(1)如图,若△ABC 是等腰三角形,且 AC=BC,在

? ? 上分别取点 E、F,使 ?AO E ? ?BO F ,则有结论① ?PO E ? ?FO P . AC、 BC 1 2 1 2

②四边形 PO1CO2 是菱形.请给出结论②的证明;

(2)如图,若(1)中△ABC 是任意三角形,其它条件不变,则(1)中的两个结论还成立吗?若成立,请给出证明;

(3)如图,若 PC 是⊙ O 1 的切线,求证:

AB 2 ? BC 2 ? 3 AC 2 .

第 19 题 “强化条件”要看清,思路生成有“源头” 【例题】 (2011 上海, 25 题, 14 分) 在 Rt△ABC 中, ∠ACB=90°, BC=30,AB=50. 点 P 是 AB 边上任意一点, 直线 PE⊥AB, 与边 AC 或 BC 相交于 E. 点

M 在线段 AP 上,点 N 在线段 BP 上,EM=EN, sin ?EMP

?

12 . (1)如图 1,当点 E 与点 C 重合时,求 CM 的长; (2)如图 2,当点 E 在边 AC 上 13

时,点 E 不与点 A、C 重合,设 AP=x,BN=y,求 y 关于 x 的函数关系式,并写出函数的定义域; (3)若△AME∽△ENB(△AME 的顶点 A、M、E 分别 与△ENB 的顶点 E、N、B 对应) ,求 AP 的长.

【变式一】 (2012 安徽,22 题,12 分)如图 1,在△ABC 中,D、E、F 分别为三边的中点,G 点在边 AB 上,△BDG 与四边形 ACDG 的周长相等,设 BC=a、 AC=b、AB=c.(1)求线段 BG 的长; (2)求证:DG 平分∠EDF;(3)连接 CG,如图 2,若△BDG 与△DFG 相似,求证:BG⊥CG.

【变式二】 (2012 上海,24 题,12 分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y=ax +6x+c 的图象经过点 A(4,0) 、B(﹣1,0) ,与 y 轴交于点 C, 点 D 在线段 OC 上,OD=t,点 E 在第二象限,∠ADE=90°,tan∠DAE=1/2,EF⊥OD,垂足为 F. (1)求这个二次函数的解析式; (2)求线段 EF、OF 的长(用含 t 的代数式表示) ; (3)当∠ECA=∠OAC 时,求 t 的值.

2

第 20 题 “相似”与“∽”有区别, “参数运算”需细心 【例题】 (2012 湖北黄冈,25 题,14 分)如图,已知抛物线 C1

:y??

1 ?x ? 2? ? ?x ? m ??m ? 0? 与 x 轴相交于点 B、C,与 y 轴相交于 E, m

且点 B 在点 C 的左侧.1 若抛物线 C1 过点 M(2,2) ,求实数 m 的值;2 在(1)的条件下,求△BCE 的面积;3 在(1)条件下,在抛物线的对称轴上 找一点 H,使得 BH+EH 最小,并求出点 H 的坐标;4 在第四象限内,抛物线 C1 上是否存在点 F,使得以点 B、C、F 为顶点的三角形与△BCE 相似?若 存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由.

【变式一】 (2013 湖南永州,25 题,10 分)如图,已知 AB⊥BD,CD⊥BD. (1)若 AB=9,CD=4,BD=10,请问在 BD 上是否存在 P 点,使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似?若存在,求 BP 的 长;若不存在,请说明理由;(2) 若 AB=9,CD=4,BD=12,请问在 BD 上存在多少个 P 点,使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点 的三角形相似?并求 BP 的长;(3) 若 AB=9,CD=4,BD=15,请问在 BD 上存在多少个 P 点,使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶 点的三角形相似?并求 BP 的长;(4) 若 AB=m,CD=n,BD= l ,请问在 m、n、 l 满足什么关系时,存在以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似的一个 P 点? 两个 P 点? 三个 P 点?
A C

B

P

D

【变式二】 ()如图,已知抛物线经过 A(﹣2,0) ,B(﹣3,3)及原点 O,顶点为 C. (1)求抛物线的解析式; (2)若点 D 在抛物线上,点 E 在 抛物线的对称轴上,且 A、O、D、E 为顶点的四边形是平行四边形,求点 D 的坐标; (3)P 是抛物线上的第一象限内的动点,过点 P 作 PM⊥x 轴, 垂足为 M,是否存在点 P,使得以 P、M、A 为顶点的三角形△BOC 相似?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

第 21 题 “角的等量”来探究, “把水倒掉”巧构造 【例题】 (2012 江苏南通,28 题,14 分)如图,经过点 A(0,-4)的抛物线 y= (1)求抛物线的解析式; (2)将抛物线 y= 1 2 x +bx+c 与 x 轴相交于点 B(-2,0)和 C 两点,O 为坐标原点. 2

1 2 7 x +bx+c 向上平移 个单位长度、再向左平移 m(m>0)个单位长度,得到新抛物线,若新抛物线的 2 2 顶点 P 在△ABC 内,求 m 的取值范围; (3)设点 M 在 y 轴上,∠OMB+∠OAB=∠ACB,求 AM 的长.

【变式一】 (2011 福建莆田,24 题,12 分)已知抛物线

y ? ax2 ? bx ? c 的对称轴为直线 x ? 2 ,且

与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,其中 A(1,0),C(0, ?3 ). (1)求抛物线的解析式; (2)若点 P 在抛物线上运动(点 P 异于点 A) ,当∠PCB= ∠BCA 时,求直线 CP 的解析式.

?ABC 【变式二】 (1) 如图, 在等边△ABC 中, 点 M 是 BC 上的任意一点 (不含端点 B、 C) , 连接 AM, 以 AM 为边作等边△AMN, 连接 CN.求证:

? ?ACN



类比探究 (2)如图 2,在等边△ABC 中,点 M 是 BC 延长线上的任意一点(不含端点 C) ,其他条件不变, (1)中结论 ?ABC 明理由.

? ?ACN

还成立吗?请说

拓展延伸 (3) 如图 3, 在等腰△ABC 中, BA=BC, 点 M 是 BC 上的任意一点 (不含端点 B、 C) , 连接 AM, 以 AM 为边作等腰△AMN, 使顶角 ?AMN 接 CN,试探究 ?ABC 与 ?ACN 的数量关系,并说明理由.

? ?ABC

.连

第 22 题 排除干扰建模型,认清“动” “静”用相似 【例题】 (2013 海南省,24 题,14 分)如图,二次函数的图象与 x 轴相交于点 A(-3,0) 、B(-1,0) ,与 y 轴相交于点 C(0,3) ,点 P 是该图象 上的动点;一次函数 y=kx-4k(k≠0)的图象过点 P 交 x 轴于点 Q. (1)求该二次函数的解析式; (2)当点 P 的坐标为(-4,m)时,求证: ∠OPC=∠AQC; (3)点 M、N 分别在线段 AQ、CQ 上,点 M 以每秒 3 个单位长度的速度从点 A 向点 Q 运动,同时,点 N 以每秒 1 个单位长度的速度 从点 C 向点 Q 运动,当点 M、N 中有一点到达 Q 点时,两点同时停止运动,设运动时间为 t 秒. ①连接 AN,当△AMN 的面积最大时,求 t 的值; ②线段 PQ 能否垂直平分线段 MN?如果能,请求出此时点 P 的坐标;如果不能,请说明你的理由.

y P C N
Q x

A

B OM

【变式一】 (2011 河北,26 题,12 分)如图,在平面直角坐标系中,点 P 从原点 O 出发,沿 x 轴向右以每秒 1 个单位长的速度运动 t 秒(t>0) ,抛 2 物线 y=x +bx+c 经过点 O 和点 P.已知矩形 ABCD 的三个顶点为 A(1,0) ,B(1,–5) ,D(4,0) . (1)求 c,b(用含 t 的代数式表示) ; (2)当 4<t<5 时,设抛物线分别与线段 AB,CD 交于点 M,N. ①在点 P 的运动过程中,你认为∠AMP 的大小 21 是否会变化?若变化,说明理由;若不变,求出∠AMP 的值; ②求△MPN 的面积 S 与 t 的函数关系式,并求 t 为何值时,S= . 8

【变式二】 (2011 重庆潼南, 26 题, 12 分) 如图, 在平面直角坐标系中, △ABC 是直角三角形, ∠ACB=90°, AC=BC, OA=1, OC=4, 抛物线

y ? x 2 ? bx ? c

经过 A,B 两点,抛物线的顶点为 D. (1)求 b,c 的值; (2)点 E 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的一动点(点 A、B 除外) ,过点 E 作 x 轴的垂线交抛物 线于点 F,当线段 EF 的长度最大时,求点 E 的坐标; (3)在(2)的条件下: ①求以点 E、B、F、D 为顶点的四边形的面积; ②在抛物线上是否存在一点 P,使△EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形?若存在,求出所有点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

第 23 题 “一路走来”遇阻碍, “变换”拂面望眼开 【例题】 (2012 福建福州,22,14 分)如图 1,已知抛物线 (1)求抛物线的解析式; (2) y ? ax2 ? bx ( a ≠ 0)经 过 A (3 , 0) 、 B (4 , 4) 两 点 .

将直线 OB 向下平移 m 个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点 D,求 m 的值及点 D 的坐标; (3)如图 2,若点 N 在抛物线上,且∠NBO=∠ ABO,则在(2)的条件下,求出所有满足△POD∽△NOB 的点 P 的坐标(点 P、O、D 分别与点 N、O、B 对应) .

【变式一】 (2011 江苏镇江,24 题,7 分)如图,在△ABO 中,已知点 A(

、B(﹣1,﹣1) 、O(0,0) ,正比例函数 y=﹣x 图象是直线 l,直 3 ,3)

线 AC∥x 轴交直线 l 与点 C. (1)C 点的坐标为 ; (2)以点 O 为旋转中心,将△ABO 顺时针旋转角 α (90°≤α <180°) ,使得点 B 落在直 线 l 上的对应点为 B′,点 A 的对应点为 A′,得到△A′OB′ ①∠α = ; ②画出△A′OB′. (3)写出所有满足△DOC∽△AOB 的点 D 的坐标.

【变式二】 (2013 江苏盐城,27 题,12 分)如图①,△ABC 与△DEF 都是等腰直角三角形,∠ACB=∠EDF=90°,且点 D 在 AB 边上,AB、EF 的中点均 为 O,连结 BF、CD、CO,显然点 C、F、O 在同一条直线上,可以证明△BOF≌△COD,则 BF=CD. 解决问题 (1)将图①中的 Rt△DEF 绕点 O 旋转得到图②,猜想此时线段 BF 与 CD 的数量关系,并证明你的结论;

(2)如图③,若△ABC 与△DEF 都是等边三角形,AB、EF 的中点均为 O,上述(1)中的结论仍然成立吗?如果成立,请说明理由;如不成立,请求 出 BF 与 CD 之间的数量关系;

(3)如图④,若△ABC 与△DEF 都是等腰三角形,AB、EF 的中点均为 O,且顶角∠ACB=∠EDF=α ,请直接写出

BF 的值(用含 α CD

的式子表示出来).

第 24 题 “多级分类”获贯通, “相似求解”靠“双基”

1 1 y ? ? x ? 2 交 x 轴于点 P ,交 y 轴于点 A ,抛物线 y ? ? x2 ? bx ? c 的图象过点 3 2 E (?1, 0) ,并与直线相交于 A 、 B 两点.(1)求抛物线的解析式(关系式);(2)过点 A 作 AC ? AB 交 x 轴于点 C ,求点 C 的坐 标;(3) 除点 C 外,在坐标轴上是否存在点 M ,使得 ?MAB 是直角三角形?若存在,请求出点 M 的坐标,若不存在,请说明理由.
【例题】如图,在平面直角坐标系中,直线

【变式一】 (2012 山东青岛,24 题,12 分)如图,在△ABC 中,∠C=90?,AC=6cm,BC=8cm,D、E 分别是 AC、AB 的中点,连接 DE.点 P 从点 D 出 发,沿 DE 方向匀速运动,速度为 1cm/s;同时,点 Q 从点 B 出发,沿 BA 方向匀速运动,速度为 2cm/s,当点 P 停止运动时,点 Q 也停止运动.连 2 接 PQ,设运动时间为 t(0<t<4)s.解答下列问题: (1)当 t 为何值时,PQ⊥AB?(2)当点 Q 在 B、E 之间运动时,设五边形 PQBCD 的面积为 ycm , 求 y 与 t 之间的函数关系式; ( 3 )在( 2 )的情况下,是否存在某一时刻 t ,使得 PQ 分四边形 BCDE 所成的两部分的面积之比为

S△PQE : S五边形PQBCD ? 1: 29 ?若存在,求出此时 t 的值以及点 E 到 PQ 的距离 h;若不存在,请说明理由.

【变式二】 (2013 江苏淮安,28 题,12 分)如图,在△ ABC 中,∠ C=90°,BC=3,AB=5.点 P 从点 B 出发,以每秒 1 个单位长度沿 B→C→A→B 的 方向运动;点 Q 从点 C 出发,以每秒 2 个单位沿 C→A→B 方向的运动,到达点 B 后立即原速返回,若 P、Q 两点同时运动,相遇后同时停止,设运动 时间为 t 秒. (1)当 t= 时,点 P 与点 Q 相遇; (2)在点 P 从点 B 到点 C 的运动过程中,当 t 为何值时,△PCQ 为等腰三角形?(3) 在点 Q 从点 B 返回点 A 的运动过程中,设△PCQ 的面积为 S 平方单位.①求 S 与 t 之间的函数关系式; ②当 S 最大时,过点 P 作直线交 AB 于点 D,将△ABC 中沿直线 PD 折叠,使点 A 落在直线 PC 上,求折叠后的△APD 与△PCQ 重叠部分的面积.

第 25 题 聚焦特殊三角形,切换视角“液体积” 【例题】 (2013河北,26题,14分)一透明的敞口正方体容器ABCD -A′B′C′D′ 装有一些 液体,棱AB始终在水平桌面上,容器底部的倾斜角为α (∠CBE = α ,如图1所示). 探究 如图1,液面刚好过棱CD,并与棱BB′ 交于 点Q,此时液体的形状为直三棱柱,其三视图及尺寸如图2所示.解决问题:

(1)CQ与BE的位置关系是___________,BQ的长是____________dm; (2)求液体的体积;(参考算法:直棱柱体积 液

V ? S△BCQ ? AB )

(3)求 α 的度数.(注: sin 49 ?

? cos 41? ?

3 3 , tan 37 ? ? ) 4 4

拓展 在图 1 的基础上,以棱 AB 为轴将容器向左或向右旋转,但不能使液体溢出,图 3 或图 4 是其正面示意图.若液面与棱 C′C 或 CB 交于点 P, 设 PC = x,BQ = y.分别就图 3 和图 4 求 y 与 x 的函数关系式,并写出相应的 α 的范围.

延伸 在图 4 的基础上,于容器底部正中间位置,嵌入一平行于侧面的长方形隔板(厚度忽略不计) ,得到图 5,隔板高 NM = 1 dm,BM = CM,NM 3 ⊥BC.继续向右缓慢旋转,当 α = 60°时,通过计算,判断溢出容器的液体能否达到 4 dm .

【变式一】 (2013 北京,22 题,5 分)阅读下面材料:小明遇到这样一个问题:如图 1,在边长为 a

?a ? 2? 的正方形 ABCD 各边上分别截取

AE=BF=CG=DH=1,当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时,求正方形 MNPQ 的面积.

小明发现:分别延长 QE,MF,NG,PH,交 FA,GB,HC,ED 的延长线于点 R,S,T,W,可得△RQF,△SMG,△TNH,△WPE 是四个全等的等腰直角三角 形(如图 2)请回答:1 若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙,不重叠) ,则这个新的正方形的边长为__________; (2)求正方形 MNPQ 的面积.[中国教*育&#^

参考小明思考问题的方法,解决问题:如图 3,在等边△ABC 各边上分别截取 AD=BE=CF,再分别过点 D,E,F 作 BC,AC,AB 的垂线,得到等边△RPQ, 若 S△ RPQ

?

3 ,则 AD 的长为__________. 3

【变式二】 (原创题) 【阅读理解】 (摘编自人教课标版八年级数学(下册)教材) 宽与长的比是

2 5 -1 或 (约为 0.618)的矩形叫做黄金矩形.下面,我们用宽为 4cm 的矩形纸片折叠出一个黄金矩形. 2 5 ?1

第一步,在矩形纸片的一端,利用图 1 的方法折出一个正方形,然后把纸片展平;第二步,如图 2,把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展 平;第三步,折出内侧矩形的对角线 AB,并把它折到图 4 中所示的 AD 处;第四步,展平纸片,按照所得的 D 点折出 DE,如图 4??

【问题解决】1 图 3 中 AB=

cm;2 你发现图 4 中有几个黄金矩形?请都写出来,并选择其中一个说明理由;

3 在图 3 中,连接 BD,以 AQ、BD 为两直角边作直角三角形,求该直角三角形斜边的长.

第 26 题 阅读“定义”重理解,两级分类显功底 【例题】 (2013 江苏南京,27 题,10 分)对于两个相似三角形,如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同,那么称这两个三角形互为顺相似;如果沿 周界按对应点顺序环绕的方向相反,那么称这两个三角形互为逆相似. 例如,如图 1, △ ABC

∽△ A' B' C ' 且沿周界

ABCA 与

A' B' C ' A' 环绕的方向相同,因此△ABC
与△

与△

A' B ' C 互为顺相似;如图

2,

△ ABC ∽△ A' B' C ' ,且沿周界 ABCA 与 A' B' C ' A' 环绕的方向相反,因此△ABC

A' B ' C 互为逆相似.

(1)根据图 I、图 II 和图 III 满足的条件,可得下列三对相似三角形:①△ADE 与△ABC; ② △GHO 与△KFO; ③△NQP 与△NMQ.其中,互为顺相 似的是 ;互为逆相似的是 .(填写所有符合要求的序号)

(2)如图 3,在锐角△ABC 中,?A<?B<?C,点 P 在△ABC 的边上(不与点 A、B、C 重合).过点 P 画直线截△ABC,使截得的一个三角形与△ABC 互为 逆相似.请根据点 P 的不同位置,探索过点 P 的截线的情形,画出图形并说明截线满足的条件,不必说明理由.

【变式一】 (2013 安徽,23 题,14 分)我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形” ,如图 1,四边形 ABCD 即 为“准等腰梯形” ,其中∠B=∠C.1 在图 1 所示的“准等腰梯形”ABCD 中,选择合适的一个顶点引一条直线将四边形 ABCD 分割成一个等腰梯形和一个 三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形(画出一种示意图即可) ;2 如图 2,在“准等腰梯形”ABCD 中,∠B=∠C,E 为边 BC 上一点,若 AB∥DE,AE ∥DC,求证: AB/DC=BE/EC;3 在由不平行于 BC 的直线 AD 截△PBC 所得的四边形 ABCD 中,∠BAD=∠ADC 的平分线交于点 E,若 EB=EC,请问当点 E 在四 边形 ABCD 内部时 (即图 3 所示情形) , 四边形 ABCD 是不是 “准等腰梯形” , 为什么?若点 E 不在四边形 ABCD 内部时, 情形又将如何?写出你的结论. (不 必说明理由)

【变式二】 (2011 江苏南京,27 题,9 分)如图 1,P 为△ABC 内一点,连接 PA、PB、PC,在△PAB、△PBC 和△PAC 中,如果存在一个三角形与△ABC 相似,那么就称 P 为△ABC 的自相似点. (1)如图 2,已知 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠ACB>∠A,CD 是 AB 上的中线,过点 B 作 BE⊥CD,垂足为 E, 试说明 E 是△ABC 的自相似点. (2)在△ABC 中,∠A<∠B<∠C. ①如图 3,利用尺规作出△ABC 的自相似点 P(写出作法并保留作图痕迹) ; ②若△ABC 的内心 P 是该三角形的自相似点,求该三角形三个内角的度数.

第 27 题 “理解约定”细分析,列表观察“规律现” 【例题】 (2012 浙江衢州,23 题,10 分)课本中,把长与宽之比为 2 的矩形纸片称为标准纸.请思考解决下列问题: (1)将一张标准纸 ABCD(AB<BC)对开,如图 1 所示,所得的矩形纸片 ABEF 是标准纸.请给予证明.

(2)在一次综合实践课上,小明尝试着将矩形纸片 ABCD(AB<BC)进行如下操作:第一步:沿过 A 点的直线折叠,使 B 点落在 AD 边上点 F 处,折痕 为 AE(如图 2 甲) ;第二步:沿过 D 点的直线折叠,使 C 点落在 AD 边上点 N 处,折痕为 DG(如图 2 乙) ,此时 E 点恰好落在 AE 边上的点 M 处; 第三步:沿直线 DM 折叠(如图 2 丙) ,此时点 G 恰好与 N 点重合.请你探究:矩形纸片 ABCD 是否是一张标准纸?请说明理由.

3 不难发现:将一张标准纸按如图 3 一次又一次对开后,所得的矩形纸片都是标准纸.现有一张标准纸 ABCD,AB=1,BC= 标准纸的周长是多少?探索直接写出第 2012 次对开后所得标准纸的周长.

2

,问第 5 次对开后所得

【变式一】 (2012 浙江宁波,25 题,10 分)邻边不相等的平行四边形纸片,剪去一个菱形,余下一个四边形,称为第一次操作;在余下的四边形纸片 中再剪去一个菱形,又余下一个四边形,称为第二次操作;??依次类推,若第 n 次操作余下的四边形是菱形,则称原平行四边形为 n 阶准菱形,如 图,平行四边形

ABCD 中,若 AB ? 1, BC ? 2 ,则平行四边形 ABCD 为 1 阶准菱形.

(1)判断与推理:① 邻边长分别为 2 和 3 的平行四边形是__________阶准菱形;② 小明为了剪去一个菱形,进行如下操作:如图,把平行四边形

ABCD 沿着 BE 折叠(点 E 在 AD 上)使点 A 落在 BC 边上的点 F ,得到四边形 ABFE ,请证明四边形 ABFE 是菱形.

(2)操作、探究与计算:① 已知平行四边形 ②

ABCD 的邻边分别为 1, a(a ? 1) 裁剪线的示意图,并在图形下方写出 a 的值; 已知平行四边形 ABCD 的邻边长分别为 a, b(a ? b) ,满足 a ? 6b ? r , b ? 5r ,请写出平行四边形 ABCD 是几阶准菱形.

【变式二】 (2011 陕西省,25 题,12 分)如图 1,在矩形 ABCD 中,将矩形折叠,使 B 落在边 AD(含端点)上,落点记为 E,这时折痕与边 BC 或边 CD (含端点)交于点 F,然后展开铺平,则以 B、E、F 为顶点的三角形△BEF 称为矩形 ABCD 的“折痕三角形” (1)由“折痕三角形”的定义可知,矩形 ABCD 的任意一个“折痕△BEF”是一个_________三角形(2) 如图 2,在矩形 ABCD,AB=2,BC=4,当它的“折痕△BEF”的顶点 E 位于边 AD 的中点时, 画出这个“折痕△BEF” ,并求出点 F 的坐标; (3) 、如图 3,在矩形 ABCD 中, AB=2,BC=4,该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”? 若存在,说明理由,并求出此时点 E 的坐标?若不存在,为什么?

第 28 题 “大胆猜想”靠直觉, “小心求证”依理性 【例题】 (2011 江西,25 题,10 分)某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:设 射线 AB、AC 之间,并使小棒两端分别落在两射线上. 活动一:如图 1 所示,从点

?BAC ? ? ? 0? ? ? ? 90?? ,现把小棒依次摆放在两

A1 开始,依次向右摆放小棒,使小棒与小棒在端点处互相垂直, (填“能”或“不能” ) .2 设 AA A1 A2 为第 1 根小棒. 数学思考:1 小棒能无限摆下去吗?答: 1 ? A 1 A2 ? A2 A3 ? 1 . ①? ? 度; ②若记小棒 A2 n ?1 A2 n 的长度为 an ( n 为正整数,如 A . . . ) ,求出此时 a2 、 a3 的值,并 1 A2 ? a1 , A3 A4 ? a2 , 直接写出 an (用含 n 的式子表示) .

活动二:如图 2 所示,从点 A1 开始,用等长的小棒依次向右摆放,其中 A1A2 为第 1 根小棒,且 A1A2=AA1. 数学思考:3 若已经向右摆放了 3 根小棒,则 1 4 若只能 摆放 4 根小棒,求 ..

? ?

, 2

? ?

? 的范围.

, 3

? ?

. (用含

? 的式子表示) .

【变式一】 (2012 湖南岳阳,25 题,8 分) (1)操作发现:如图,D 是等边△ABC 边 BA 上一动点(点 D 与点 B 不重合) ,连接 DC,以 DC 为边在 BC 上方作等边△DCF,连接 AF.你能发现线段 AF 与 BD 之间的数量关系吗?并证明你发现的结论.

(2)类比猜想:如图,当动点 D 运动至等边△ABC 边 BA 的延长线上时,其他作法与(1)相同,猜想 AF 与 BD 在(1)中的结论是否仍然成立?

(3)深入探究:Ⅰ.如图,当动点 D 在等边△ABC 边 BA 上运动时(点 D 与点 B 不重合)连接 DC,以 DC 为边在 BC 上方、下方分别作等边△DCF 和等 边△DCF′,连接 AF、BF′,探究 AF、BF′与 AB 有何数量关系?并证明你探究的结论.

Ⅱ.如图,当动点 D 在等边△边 BA 的延长线上运动时,其他作法与图③相同,Ⅰ中的结论是否成立?若不成立,是否有新的结论?并证明你得出的 结论.

【变式二】 (2012 江苏淮安,28 题,12 分) 阅读理解 如图 1,△ABC 中,沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠,剪掉重叠部分;将余下部分沿 B1A1C 的平分线 A1B2 折叠,剪掉重叠部分;?;将余下部分沿 BnAnC 的平 分线 AnBn+1 折叠,点 Bn 与点 C 重合,无论折叠多少次,只要最后一次恰好重合,我们就称∠BAC 是△ABC 的好角.

小丽展示了确定∠BAC 是△ABC 的好角的两种情况。情形一:如图 2,沿等腰三角形△ABC 顶角∠BAC 的平分线 AB1 折叠,点 B 与点 C 重合;情形二:如 图 3,沿△ABC 的∠BAC 的平分线 AB1 折叠,剪掉重叠部分;将余下的部分沿 B1A1C 的平分线 A1B2 折叠,此时点 B1 与点 C 重合. 探究发现 (1)△ABC 中,∠B=2∠C,经过两次折叠,∠BAC 是不是△ABC 的好角? (填“是”或“不是”) . (2)小丽经过三次折叠发现了∠BAC 是△ABC 的好角,请探究∠B 与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系. 根据以上内容猜想:若经过 n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角,则∠B 与∠C 不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为 . 应用提升 (3)小丽找到一个三角形,三个角分别为 15°,60°,105°,发现 60°和 105°的两个角都是此三角形的好角. 请你完成,如果一个三角形的最小角是 4°,试求出三角形另外两个角的度数,使该三角形的三个角均是此三角形的好角. 第 29 题 经典问题“再上场” , “模式识别”来破题 【例题】 (2012 山东烟台,25,10 分) (1)问题探究 如图 1,分别以△ABC 的边 AC 与边 BC 为边,向△ABC 外作正方形 ACD 和正方形 BCD2 E2 ,过点 C 作直线 KH 交直线 AB 于点 1 E1

H,使 ?AHK
加以证明.

? ?ACD1 .作 D1M ? KH

, D2 N

? KH

,垂足分别为点 M,N.试探究线段 D1 M 与线段 D2 N 的数量关系,并

(2)拓展延伸

K1 H1 , K2 H 2 , 分 别 交 直 线 AB 于 点 H1 , H 2 , 使 ?AH1K1 ? ?BH2 K2 ? ?A CD 1M ? K1H1 , D2 N ? K 2 H 2 ,垂足分别为点 M,N. D1M ? D2 N 是否仍成立? 1 .作 D
①如图 2,若将“问题探究”中的正方形改为正三角形,过点 C 作直线 若成立,给出证明;若不成立,说明理由.

②如图 3,若将①中的“正三角形”改为“正五边形”,其他条件不变. D1M 母,直接写出结论,不需证明)

? D2 N 是否仍成立?(要求:在图 3 中补全图形,注明字

【变式一】(2011 江苏盐城,27 题,12 分) 情境观察

将矩形 ABCD 纸片沿对角线 AC 剪开,得到△ABC 和△ 使点 D、A(

A' C ' D ,如图 1 所示,将△ A' C ' D 的顶点 A' 与点 A 重合,并绕点 A 按逆时针方向旋转,
, ∠CAC′= °.

、B 在同一条直线上,如图 2 所示.观察图 2 可知:与 BC 相等的线段是 A' )

问题探究 如图 3,△ABC 中,AG⊥BC 于点 G,以 A 为直角顶点,分别以 AB、AC 为直角边,向△ABC 外作等腰 Rt△ABE 和等腰 Rt△ACF,过点 E、F 作射线 GA 的 垂线,垂足分别为 P、Q. 试探究 EP 与 FQ 之间的数量关系,并证明你的结论.

拓展延伸 如图 4, △ABC 中, AG⊥BC 于点 G, 分别以 AB、 AC 为一边向△ABC 外作矩形 ABME 和矩形 ACNF, 射线 GA 交 EF 于点 H. 若 试探究 HE 与 HF 之间的数量关系,并说明理由.

AB ? kAE ,AC ? kAF



第 30 题 “特例引路”含规律, “强化条件”助突破 【例题】 (2012 吉林,26 题,10 分)

x 轴上有两点 A(m, 0) , B(n, 0)( n ? m ? 0 ).分别过点 A ,点 B 作 x 轴的垂线,交抛物线 y ? x2 于点 C 、点 D . 直线 OC 交直线 BD 于点 E ,直线 OD 交直线 AC 于点 F ,点 E 、点 F 的纵坐标分别记为 yE . 、 yF .
问题情境如图, 在 特例探究 填空:当 m 归纳证明对任意 拓展应用

? 1 , n ? 2 时, yE . =____, yF =______.当 m ? 3 , n ? 5 时, yE . =____, yF =______.[来

m , n ( n ? m ? 0 ),猜想 yE . 与 yF 的大小关系,并证明你的猜想

y ? x2 ”改为“抛物线 y ? ax2 (a ? 0) ”,其它条件不变,请直接写出 yE . 与 yF 的大小关系. (2)连接 EF , AE .当 S四边形OFEB. ? 3S△OFE 时,直接写出 m 和 n 的关系及四边形 OFEA 的形状.
(1)若将“抛物线

【 变 式 】( 2012

y ? t x ? 3x ? 2 ? ?1 ? t ??? 2x ? 4? 称为这两个函数的“再生二次函数”,其中 t 是不为零的实数,其图象记作抛物线 E.现有点 A(2, 2 0)和抛物线 E 上的点 B(-1,n) ,请完成下列任务: 【尝试】 (1)当 t=2 时,抛物线 y ? t x ? 3x ? 2 ? ? 1 ? t ??? 2x ? 4? 的顶点坐标
2

?

江 苏 镇 江 , 27

?

题 , 9

分 ) 对 于 二 次 函 数

y ? x 2 ? 3x ? 2

和 一 次 函 数

y ? ?2 x ? 4

, 把

?

?

为 . (2)判断点 A 是否在抛物线 E 上; (3)求 n 的值. 【发现】通过(2)和(3)的演算可知,对于 t 取任何不为零的实数,抛物线 E 总过 定点,坐标为 . 【应用 1】二次函数

y ? ?3x 2 ? 5x ? 2 是二次函数 y ? x 2 ? 3x ? 2 和一次函数 y ? ?2 x ? 4 的一个“再生二次函数”吗?如果是,

求出 t 的值;如果不是,说明理由; 【应用 2】以 AB 为边作矩形 ABCD,使得其中一个顶点落在 y 轴上,若抛物线 E 经过 A、B、C、D 其中的一点,求出所有符合条件的 t 的值.



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