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2017-2018学年高中数学 第二章 空间向量与立体几何 6 距离的计算 北师大版选修2-1

§ 6

第 二

距 离

章的





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知识点一 知识点二
考点一 考点二

§6

距离的计算

点到直线的距离
如图,设 l 是过点 P 平行于向量 s 的直线, A 是直线 l 外一定点.如图,作 AA′⊥l,垂足 为 A′.
问题 1:点 A 到直线 l 的距离与线段 AA′的长度有何关系? 提示:相等.

问题 2:若 s0 为 s 的单位向量,你能得出 PA在 s 上的投影长 吗?
提示:向量 PA在 s 上的投影长为| PA||cos〈 PA,s〉|= | PA|·||PPAA|·|ss||=| P|As|·s|=| PA·|ss||=| PA·s0|.
问题 3:设点 A 到直线 l 的距离为 d,你能根据问题 2 的答案 写出 d 的表达式吗?
提示:d=|AA′|= | PA|2-| PA·s0|2.

点到直线的距离 设 l 是过点 P 平行于向量 s 的直线,A 是直线 l 外一定点, 向量 PA在 s 上的投影的大小为 | PA·s0| ,则点 A 到直线 l 的距离 d= | PA|2-| PA·s0|2 .

点到平面的距离
如图,设 π 是过点 P 垂直于向量 n 的 平面,A 是平面 π 外一定点.作 AA′⊥π, 垂足为 A′.

问题 1:点 A 到平面 π 的距离 d 与线段 AA′的长度有何关 系?
提示:相等.
问题 2:n0 是 n 的单位向量,则向量 PA在向量 n 上的投影大 小是什么?与|AA′|相等吗?
提示:| PA·n0|,相等.

点到平面的距离 设 n 为过点 P 的平面的一个法向量,A 是该平面外一定点,向 量 PA在 n 上的投影的大小为 | PA·n0| ,则点 A 到该平面的距离 d = | PA·n0| .

1.用向量法求点到直线的距离,在直线上选点时,可视情况 灵活选择,原则是便于计算,s0 是 s 的单位向量, s0=|ss|.
2.用向量法求点到平面的距离,关键是找到平面的法向量和 平面的斜线段的方向向量.

点到直线的距离 [例 1] 如图,在空间直角坐标系中, 有长方体 ABCD-A′B′C′D′,AB=2, BC=3,AA′=4,求点 B 到直线 A′C 的 距离.
[思路点拨] 用点到直线的距离公式计算点 B 到直线 A′C 的 距离 d.

[精解详析] 因为 AB=2,BC=3,AA′=4,

所以 B(2,0,0),C(2,3,0),A′(0,0,4).

CA? =(0,0,4)-(2,3,0)=(-2,-3,4).

CB=(2,0,0)-(2,3,0)=(0,-3,0).

所以CB 在CA? 上的投影:

CB

·CA? |CA?

=(0,-3,0)· |

?-2,-3,4? ?-2?2+?-3?2+42

=(0,-3,0)·???? -229,

-3 , 29

4

? ?

29 ??

=0× -229+(-3)× -239+0×

4= 29

9; 29

所以点 B 到直线 A′C 的距离为

d= |CB|2-|CB·CA? |2 |CA? |



32-????

929????2=6

145 29 .

[一点通] 1.用向量法求直线外一点 A 到直线 l 的距离的步骤 (1)确定直线 l 的方向向量 s 及 s0; (2)在 l 上找一点 P,计算 PA的长度; (3)计算 PA·s0 的值; (4)由公式 d= | PA|2-| PA·s0|2求解. 2.用向量法求点到直线的距离的好处在于回避了用直接法 求距离的难点(即过 A1 点作 l 的垂线,难在垂足的位置的确定).

1.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,则点 A1 与对角

线 BC1 所在的直线间的距离为

()

6 A. 2 a

B.a

C. 2a

D.a2

解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则

A1(a,0,a),B(a,a,0),C1(0,a,a). ∴ A1B=(0,a,-a), BC1 =(-a,0,a). ∴| A1B|= 2a,|BC1 |= 2a. ∴点 A1 到 BC1 的距离 d



|

A1

B

? |2-?
?

A1 B ·BC1 | BC1 |

? ?2 ?



2a2-12a2=

6 2 a.

答案:A

2.正方体 A1B1C1D1-ABCD 中,E,F 分别是 C1C,D1A1 的中点, 求点 A 到 EF 的距离. 解:以 D 点为原点,DA,DC,DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图.

设 DA=2,则 A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),则 EF =(1,-2,1),

FA=(1,0,-2),| EF |= 12+?-2?2+12= 6,

FA·EF =1×1+0×(-2)+(-2)×1=-1,

FA在 EF

上的投影长=| FA·EF | EF |

|=

16.

∴点 A 到 EF 的距离=

|FA|2-???? 16????2=

269=

174 6.

求点到平面的距离 [例 2] 如图,已知△ABC 是以∠ABC 为直 角的直角三角形,SA⊥平面 ABC,SA=BC=2, AB=4,M,N,D 分别是 SC,AB,BC 的中 点,求 A 到平面 SND 的距离.
[思路点拨] 建立空间直角坐标系,用向量法求点到面的距离.

[精解详析] 建立如图所示的空间直角坐标 系,则 N(0,2,0),S(0,0,2),D(-1,4,0),

∴ NS =(0,-2,2), SD =(-1,4,-2).设 平面 SND 的法向量为 n=(x,y,1).

∴n·NS =0,n·SD=0,

∴?????--2xy++42y=-02,=0. ∴?????xy==12,

∴n=(2,1,1).∵ AS =(0,0,2).

∴A

到平面

SND

的距离为|n·|nA|S

|=

2= 6

6 3.

[一点通] 用向量法求平面 π 外一点 A 到平面的距离的步骤: (1)计算平面 π 的法向量 n 及 n0; (2)在平面 π 上找一点 P,计算 PA; (3)由公式计算 d=| PA·n0|. 利用这种方法求点到平面的距离,不必作出垂线段,只需求出 垂线段对应的向量和平面的法向量,代入公式求解即可.

3.已知 PD⊥正方形 ABCD 所在平面,PD=AD=1,则 C 到平

面 PAB 的距离 d=

()

A.1

B. 2

2 C. 2

3 D. 2

解析:以 D 为原点,以 DA,DC,DP 所在

直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的

空间直角坐标系.

则 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),

∴ AP=(-1,0,1), AB=(0,1,0), AC =(-1,1,0),

设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z),

∴???nn··AABP==00,, 即?????- y=x0+,z=0,

令 x=1,则 z=1,∴n=(1,0,1).

∴d=|

A|Cn|·n|=|-21|=

2 2.

答案:C

4.在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若 AB=2,AA1=1,则点 A 到 平面 A1BC 的距离为________. 解析:建立如图所示的空间直角坐标 系. A(0,0,0),B( 3,1,0),C(0,2,0), A1(0,0,1),∴ A1B=( 3,1,-1),A1C =(0,2,-1).

设平面 A1BC 的法向量 n=(x,y,z),

则??n·A1 B =0, ?n·A1C =0,

即???x= 33y, ??z=2y,

令 y=3,则

n=( 3,3,6),n0=????14, 43, 23????.



AA1

=(0,0,1),∴d=|

AA1

·n0|=

3 2.

答案:

3 2

5.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,E,F,G 分别是 C1C, D1A1,AB 的中点,求点 A 到平面 EFG 的距离. 解:建立空间直角坐标系如图, 则 A(2,0,0),E(0,2,1), F(1,0,2),G(2,1,0), ∴ AG =(0,1,0), GE =(-2,1,1), GF =(-1,-1,2).

设 n=(x,y,z)是平面 GEF 的法向量, 点 A 到平面 EFG 的距离为 d,

则???n·GE =0, ??n·GF =0.

∴?????- -2xx-+y+y+2zz= =00, ,

∴?????xy==zz.,

令 z=1,则 n=(1,1,1),

∴d=|

A|Gn|·n|=

1= 3

3 3.

即点 A 到平面 EFG 的距离为 33.

1.空间距离包括:点到点、点到线、点到面、线到线、 线到面、面到面之间的距离.其中以点到面的距离最为重要, 其他距离,如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距 离.

2.空间一点 A 到直线 l 的距离的算法:



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