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2017_2018学年高中数学3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算课件新人教A版选修1_2_图文

3.2.2 复数代数形式的乘除运算 1.掌握复数代数形式的乘、除运算. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 3.理解共轭复数的概念. 1.复数代数形式的乘法及其运算律 (1)复数代数形式的乘法运算法则. 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积 (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i. (2)复数乘法的运算律. 对于任意z1,z2,z3∈C,有 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 z1· z2=z2· z1 (z1· z2)· z3=z1· (z2· z3) z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 【做一做1-1】 i是虚数单位,则i(1+i)等于( ) A.1+i B.-1-I C.1-i D.-1+i 解析:i(1+i)=i+i2=-1+i. 答案:D 【做一做1-2】 已知复数z1=2+i,z2=1-i,则z=z1· z2在复平面上对应 的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:∵z=z1· z2=(2+i)(1-i)=3-i,∴z在复平面上所对应的点位于第 四象限. 答案:D 名师点拨复数的运算包括四种运算:加、减、乘、除.两个复数 相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减).两个复数 相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中,把i2换成-1,并且把实 部与虚部分别合并.两个复数乘、除的结果仍是复数. 1.如何理解复数代数形式的乘、除法运算法则? 剖析:(1)当复数的虚部为零时,复数的乘、除法法则与实数的乘、 除法法则一致. (2)实数乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律在复数 集中仍成立. (3)两个复数的积(商)是唯一确定的复数. (4)可以推广到多个复数进行乘、除法运算. (5)多项式的乘法公式在复数集中仍成立. 名师点拨实数集内乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复 数集内不一定成立.如: (1)当z∈R时,|z|2=z2, 而当z∈C时,|z|2∈R,但z2∈C, 则|z|2≠z2. 如当z=-2时,|-2|2=(-2)2; 而当z=1+i时,|z|2=|1+i|2=2,z2=(1+i)2=2i,显然|z|2≠z2. z1=0,且z2=0, (3)当z∈R时,zm=zn?m=n(|z|≠0,且|z|≠1),而当z∈C时,zm=zn (4)当z∈R时,|z|<a?-a<z<a,而当z∈C时,|z|<a -a<z<a. m=n. 复数代数形式的乘除运算 【例1】 (1)复数z=-1+i1+i-1在复平面内对应的点在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:把 z 化为 a+bi(a,b∈R)的形式再判断. z= = -1+i ?1 1+i ) = (-1+i)(1-i) ?1 (1+i)(1-i) -1+i+i-i2 2 ? 1=i-1=-1+i, 则复数 z 对应的点为(-1,1),此点在第二象限,故选 B. 答案:B (2)计算:①(1-i)2; ② - + 1 2 3 i 2 3 1 + i 2 2 (1+i). 分析:利用复数代数形式的乘法法则进行计算. 解:①(1-i)2=1-2i+i2=-2i. ② - + = = = =? 1 2 3 i 2 3 1 + i 2 2 (1+i) (1+i) 3 1 3 3 - i + i + i2 4 4 4 4 3 1 3 + i4 2 4 3 1 + i 2 2 (1+i) (1+i) =? 1+ 3 1- 3 + i. 2 2 3 3 1 1 ? i+ i? 2 2 2 2 反思1.复数乘法运算法则的记忆. 复数的乘法运算可以把i看作字母,类比多项式的乘法进行,注意 要把i2化为-1后,再进行化简. 2.复数除法运算法则的记忆. 复数的除法运算一般先写成分式形式,再把分母实数化,即分子、 分母同时乘分母的共轭复数,若分母为纯虚数,则只需同时乘i即可. 【变式训练 1】 计算: (1)(1+i)(1-i)+(-1+i); (2)(-2+3i)÷ (1+2i); (3) 3+2i 3-2i ? . 2-3i 2+3i 解:(1)(1+i)(1-i)+(-1+i)=1-i2+(-1+i)=2-1+i=1+i. (2)(-2+3i)÷ (1+2i) -2 + 3i (-2 + 3i)(1-2i) = 1 + 2i (1 + 2i)(1-2i) (-2 + 6) + (3 + 4)i 4 7 = = + i. 2 2 5 5 1 +2 = (3)(方法一) 3+2i 3-2i ? 2-3i 2+3i (3 + 2i)(2 + 3i)-(3-2i)(2-3i) (2-3i)(2 + 3i) 6 + 13i-6-6 + 13i + 6 26i = = = 2i. 4+9 13 = (方法二) 3+2i 3-2i ? 2-3i 2+3i i(2-3i) -i(2 + 3i) = ? = i + i = 2i. 2-3i 2 + 3i 设出 z1,z2 的代数形式 → 化简 A,B → 判断 → A,B 是否同为实数 → 结论 解:(方法一)设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则1 = ? i, 2 = ? i, ∴A=z1· 2 + 2 ·1 =(a+bi)(c-di)+(c+di)(a-bi) =ac-adi+bci-bdi2+ac-bci+adi-bdi2 =2ac+2bd∈R, B=z1· 1 + 2 ·2 = | 1|2+|z2|2=a2+b2+c2+d2∈R,∴A 与 B 可以比较大小. (方法二)∵z1,z2∈C, ∴设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), ∴B=z1· 1 + 2 ·2 =


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