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2017


3.2.2 复数代数形式的乘除运算 1.掌握复数代数形式的乘、除运算. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 3.理解共轭复数的概念. 1.复数代数形式的乘法及其运算律 (1)复数代数形式的乘法运算法则. 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积 (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i. (2)复数乘法的运算律. 对于任意z1,z2,z3∈C,有 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 z1· z2=z2· z1 (z1· z2)· z3=z1· (z2· z3) z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 【做一做1-1】 i是虚数单位,则i(1+i)等于( ) A.1+i B.-1-I C.1-i D.-1+i 解析:i(1+i)=i+i2=-1+i. 答案:D 【做一做1-2】 已知复数z1=2+i,z2=1-i,则z=z1· z2在复平面上对应 的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:∵z=z1· z2=(2+i)(1-i)=3-i,∴z在复平面上所对应的点位于第 四象限. 答案:D 名师点拨复数的运算包括四种运算:加、减、乘、除.两个复数 相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减).两个复数 相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中,把i2换成-1,并且把实 部与虚部分别合并.两个复数乘、除的结果仍是复数. 1.如何理解复数代数形式的乘、除法运算法则? 剖析:(1)当复数的虚部为零时,复数的乘、除法法则与实数的乘、 除法法则一致. (2)实数乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律在复数 集中仍成立. (3)两个复数的积(商)是唯一确定的复数. (4)可以推广到多个复数进行乘、除法运算. (5)多项式的乘法公式在复数集中仍成立. 名师点拨实数集内乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复 数集内不一定成立.如: (1)当z∈R时,|z|2=z2, 而当z∈C时,|z|2∈R,但z2∈C, 则|z|2≠z2. 如当z=-2时,|-2|2=(-2)2; 而当z=1+i时,|z|2=|1+i|2=2,z2=(1+i)2=2i,显然|z|2≠z2. z1=0,且z2=0, (3)当z∈R时,zm=zn?m=n(|z|≠0,且|z|≠1),而当z∈C时,zm=zn (4)当z∈R时,|z|<a?-a<z<a,而当z∈C时,|z|<a -a<z<a. m=n. 复数代数形式的乘除运算 【例1】 (1)复数z=-1+i1+i-1在复平面内对应的点在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:把 z 化为 a+bi(a,b∈R)的形式再判断. z= = -1+i ?1 1+i ) = (-1+i)(1-i) ?1 (1+i)(1-i) -1+i+i-i2 2 ? 1=i-1=-1+i, 则复数 z 对应的点为(-1,1),此点在第二象限,故选 B. 答案:B (2)计算:①(1-i)2; ② - + 1 2 3 i 2 3 1 + i 2 2 (1+i). 分析:利用复数代数形式的乘法法则进行计算. 解:①(1-i)2=1-2i+i2=-2i. ② - + = = = =? 1 2 3 i 2 3 1 + i 2 2 (1+i) (1+i) 3 1 3 3 - i + i + i2 4 4 4 4 3 1 3


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