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高中数学1-4-1,1-4-2平均数、中位数、众数、极差、方差标准差课件北师大版必修


§4

数据的数字特征

4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差

4.2 标准差

【课标要求】 1.掌握各种基本数字特征的概念、意义以及它们各自的 特点.

2.要重视数据的计算,体会统计思想.
【核心扫描】

1.各种数字特征的意义以及计算.(重点)
2.学习标准差的概念,通过实例理解样本标准差的意义 和作用,会由方差求标准差.(重点、难点)

自学导引
1. 平均数、中位数、众数、极差
1 - (1)平均数:样本数据 x1,x2,…,xn 的平均数是 x =n(x1+ x2+…+xn);

在中间位置 大小 (2)中位数:将一组数据按____ 顺序排列,处____________ 的数 或___________________) 中间两个数的平均数 叫做这组数据的中位数; _____( 出现次数最多 的数据叫做这组 (3)众数:在一组数据中,______________
数据的众数;

最大值与最小值 的差称为极差. (4)极差:一组数据中________________

试一试:已知一组数据从大到小为-1,0,4,x,6,
15,且这组数据的中位数为5,求这组数据的众数. 4+x 提示 由 =5 得 x=6,故数字 6 出现了两次,所以众数 2 为 6. 方差与标准差 2. (1)方差:一组数据x1,x2,…,xn中,各数据与它们的平 均数的差的平方的平均数,叫做这组数据方差,表示为

(2)标准差:方差的算术平方根叫做这组数据的标准差, 用“s”表示,即:

想一想:一组数据的众数可以是一个或几个,也可以没 有,那么中位数是否也具有相同的结论? 提示 中位数在一组数据中一定存在且是唯一的.

名师点睛
平均数、中位数、众数的异同 1.

(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的
量; (2)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系,任何 一个数据的变动都会相应引起平均数的变动; (3)中位数仅与数据的排列位置有关,某些数据的变动对 中位数没有影响,中位数可能出现在所给数据中,也可能 不在所给数据中,当一组数据中的个别数据变动较大时, 可用中位数描述其集中趋势;

(4)众数考查各数据出现的频率,大小只与这组数据中的 部分数据有关,当一组数据中有某些数据多次重复出现 时,众数往往更能反映问题;

(5)实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单
位. 方差与标准差的区别与联系 2.

(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大
小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、 方差越小,数据的离散程度越小.

(2)标准差、方差的取值范围:[0,+∞). 标准差、方差为0时,样本各数据全相等,表明数据没有 波动幅度,数据没有离散性. (3)因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大

了偏差的程度,所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的
离散程度上是一样的,但在解决实际问题时,一般多采用 标准差.

3. 极差与方差、标准差的关系 数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述.其 中极差是数据组的最大值与最小值的差,它反映了一组数

据的变化的最大幅度,它对一组数据中的极端值非常敏
感.方差与标准差则反映一组数据围绕平均数波动的大 小,为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度,通常采

用标准差.

题型一 求一组数据的平均数、中位数和众数
【例1】在一次乒乓球单打比赛中,甲选手在1比3落后的情况 下连扳三局,4比3击败乙选手成功卫冕,这七局的比分 是:4∶18,8∶11,11∶5,4∶11,11∶9,11∶8,

11∶6.试分别计算这两位运动员成绩的平均数、众数和中
位数.
[思路探索] 分析比分数据 → 确定双方得分 → 根据公式计算



甲选手各局的得分分别是:4,8,11,4,11,11,11;

按照从小到大的顺序排列是:4,4,8,11,11,11,11;
乙选手各局的得分分别是:11,11,5,11,9,8,6; 按照从小到大的顺序排列是:5,6,8,9,11,11,11; 1 60 - (1)平均数 x 1= (4+8+11+4+11+11+11)= , 7 7 1 61 - x 2= (11+11+5+11+9+8+6)= ; 7 7 (2)两者的众数都是11; (3)甲的中位数是11;乙的中位数是9.

规律方法 理解并掌握平均数、众数、中位数的概念,平
均数、众数、中位数可能相同,也可能不同,注意某几个 数据的平均数就是这些数的算术平均数,样本平均数代表 了数据更多的信息,在实际问题中计算时,应按照实际要 求进行计算.

【训练1】 2010年青年歌手大奖赛民族唱法组中,6位评委现
场给每位歌手打分,去掉一个最高分和一个最低分后,其 余分数的平均数作为歌手的成绩,已知6位评委给某位歌 手的打分是: 9.2 9.5 9.4 9.6 9.8 9.5

求这位歌手的得分及6位评委打分的众数和中位数. 1 - 解 这 位 歌 手 的 得 分 为 x = (9.5 + 9.4 + 9.6 + 9.5) = 4 9.5(分). 在这组数据中, 9.5 出现了 2 次, 出现的次数最多, 所以 6 位评委打分的众数是 9.5 分,将这组数据按照从小到 大的顺序排列后,位于最中间的两个数都是 9.5,所以 6 位 评委打分的中位数是 9.5 分.

题型二

方差、标准差的计算

【例2】2009年底CCTV举办的全国钢琴、小提琴大赛比赛现场
上七位评委为某选手打出的分数的茎叶图如图,去掉一个 最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为 ( ).

7 9 8 4 4 4 6 7 9 3
A.84,4.84 C.85,1.6 B.84,1.6 D.85,4

[思路探索] 利用茎叶图列出数据,根据平均数、方差的公

式求解.

解析

这组数据去掉一个最高分和一个最低分后为 84,84, 84+84+84+86+87 - 84,86,87,平均数为 x = =85,方差 5 1 2 s = [(84 - 85)2 + (84 - 85)2 + (84 - 85)2 + (86 - 85)2 + (87 - 5 85)2]=1.6,故选 C.

答案

C

规律方法 (1)求样本数据 x1, x2, …, xn 的标准差的计算步骤. ①求样本数据的平均数- x; ②求每个样本数据与样本平均数- x 的差: (xi-- x ), 其中 i=1, 2,…,n; ③求出(2)中(xi-- x )的平方,其中 i=1,2,…,n; ④求出(3)中 n 个平方数的平均数,即为样本方差; ⑤样本方差的算术平方根,即为样本标准差. (2)方差计算公式的化简 1 2 s =n[(x1-- x )2+(x2-- x )2+…+(xn-- x )2] 1 2 2 -2 = [(x1+x2+…+x2 n)-n x ] n 2 2 x2 1+x2+…+xn 2 - = - x . n

【训练2】一个样本a,3,5,7的平均数是b,且a、b是方程x2

-5x+4=0的两根,则这个样本的方差是
A.3 B.4 C.5 D.6

(

).

解析 x2-5x+4=0 的两根是 x1=1,x2=4. 当 a=1 时,a,3,5,7 的平均数是 4;当 a=4 时,a,3, 5,7 的平均数不是 1. 1 2 故 a=1,b=4,则方差 s = ×[(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2 4 +(7-4)2]=5.

答案

C

题型三 平均数、方差的应用
【例3】(12分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,现分别从他 们培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录 如下:

甲:82,91,79,78,95,88,83,84
乙:92,95,80,75,83,80,90,85 (1)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图;

(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学角度看,
你认为应派哪位学生参加数学竞赛,请说明理由. 审题指导 平均数与方差都是重要的数学特征数,是对总

体的一种简明的描述.它们所反映的情况有着重要的实际
意义,所以,不仅需要掌握其计算公式和方法,还要学会 通过这些数据分析其含义,从而为正确决策提供依据.

[解题流程] 数据 → 画茎叶图 → 求平均数、方差等 → 结论

[规范解答](1)茎叶图如下图所示 甲 9 8 4 3 5 8 2 1 7 8 9 5 0 0 0 2 3 5 5 乙

4分

1 - (2)因为 x 甲= (82+91+79+78+95+88+83+84) 8 =85(分), 1 - x 乙= (75+80+80+83+85+90+92+95)=85(分), 8

所以- x 甲=- x 乙;
2

6分

1 又 s甲= [(78-85)2+(79-85)2+(82-85)2+(83-85)2+(84- 8 85)2+(88-85)2+(91-85)2+(95-85)2]=30.5(分 2), 8分 1 s2 = [(75 - 85)2 + 2×(80 - 85)2 + (83 - 85)2 + (85 - 85)2 + (90 乙 8 -85)2+(92-85)2+(95-85)2]=41(分 2), 10 分 2 所以 s2 甲<s乙,由于甲、乙两人平均水平相同,但甲更稳定,故 应派甲去. 12 分

【题后反思】 用样本估计总体时,样本的平均数、标准 差只是总体的平均数、标准差的近似值.实际应用中,当 所得数据平均数不同时,须先分析平均水平,再计算标准 差(方差)分析稳定情况.

【训练3】甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件,为了 检验质量,各从中抽取6件进行测量,分别记录数据为: 甲:99 100 98 100 100 103

乙:99 100

102

99

100

100

(1)分别计算两组数据的平均数及方差; (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定. 1 - 解 (1) x 甲= (99+100+98+100+100+103)=100(cm), 6 1 - x 乙= (99+100+102+99+100+100)=100(cm), 6 1 2 s 甲= [(99 - 100)2 + (100 - 100)2 + (98 - 100)2 + (100 - 100)2 6 7 2 2 +(100-100) +(103-100) ]= (cm2), 3

1 s乙= [(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+ 6 (100-100)2+(100-100)2]=1(cm2). 2 (2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同,又 s2 甲>s乙,所 以乙机床加工零件的质量更稳定.
2

误区警示

对样本特征理解不透,造成应用错误

【示例】某单位员工的月工资情况如下(单位:元):

月工资/元 2 500 2 000 1 500 1 200 1 000
员工/人 3 5 7 20 10

800
5

(1)计算该单位员工月工资的平均数、中位数和众数; (2)假如你去这家单位应聘职位,你会如何看待员工的收 入情况?
1 [错解] (1)该单位员工的月工资的平均数为 ×(5×800+ 50 10×1 000+20×1 200+7×1 500+5×2 000+3×2 500)= 1 320(元),中位数为 1 200 元,众数为 1 200 元.

(2)用该单位的最高工资与同类单位工资待遇比较即可.

在研究实际问题时,根据实际要解决的问题与 平均数、中位数、众数的特点分别作以比较,应用相关知

识求出有关量.
[正解] (1)同错解. (2)由于该单位员工月工资的中位数和众数与平均数比较

接近,所以考虑把月工资的平均数1 320元作为月工资的
代表,这样以该单位月平均工资1 320元与同类单位的工 资待遇作比较即可.

平均数是将所有的数据都考虑进去得到

的特征数,它是反映数据集中趋势最常用的
量.中位数可靠性较差,当一组数据中个别数据 变动较大时,常用中位数表示数据的集中趋 势.而众数求法较简便,也经常被用到.考查一 组数据的特征时,这三个数字特征要结合在一起

考虑,不明确各概念的特点就会产生应用错误.



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