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高考数学一轮复习:2.3函数的奇偶性与周期性课件(文) (共51张PPT)

2.3函数的奇偶性与周期性 高三一轮(文) 考纲展示 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、 应用简单函数的周期性. 考点 1 函数奇偶性的判断 知识梳理 函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定义 图象特点 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 f(-x)=f(x) ,那么函数 f(x) 关于________ y 轴 对称 x,都有____________ 就叫做偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有____________ ,那么函数 f(x) 关于________ f(-x)=-f(x) 原点 对称 就叫做奇函数 奇函数 教材链接 1 1 [教材习题改编] 函数 f(x)=x3, f(x)=x4,f(x)=x2-x2,f(x)=x+|x|中, 2 偶函数的个数是__________. 1 解析:f(x)=x4 和 f(x)=x2-x2为偶函数. 易错剖析 判断函数奇偶性的易错点:忽略定义域;变形错误. (1)函数 f(x)=(x+1) 1-x 在定义域上是非奇非偶 __________ 1+x 函数.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) 1-x x-1 解析: 要使函数有意义, 必须使 ≥0, 即 ≤0, 解得-1<x≤1. 1+x x+1 因为定义域不关于原点对称,所以函数 f(x)为非奇非偶函数. 易错剖析 (2) 函 数 x -2,x<-1, ? ? f(x) = ?0,|x|≤1, ? ?-x2+2,x>1 2 在 定 义 域 上 是 ______ 奇 函 数.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) 解析:当 x>1 时,-x<-1, 所以 f(-x)=(-x)2-2=-(-x2+2)=-f(x); 当 x<-1 时, -x>1, 所以 f(-x)=-(-x)2+2=-(x2-2)=-f(x); 当|x|≤1 时,f(-x)=0=-f(x). 综上可知 f(x)是奇函数. 典例精析 [典题 1] 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=xlg(x+ x2+1); (2) f(x)=x3-x; ?-x2+2x+1,x>0, (3)f(x)=? 2 ?x +2x-1,x<0; 4-x2 (4)f(x)= . |x+3|-3 典例精析 [解] (1)∵ x2+1>|x|≥0, ∴函数 f(x)的定义域为 R,关于原点对称, 又 f(-x)=(-x)lg(-x+ ?-x?2+1) =-xlg( x2+1-x) =xlg( x2+1+x)=f(x). 即 f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数. 典例精析 (2)定义域为 R,关于原点对称, 又 f(-x)=(-x)3-(-x) =-x3+x=-(x3-x) =-f(x), ∴函数为奇函数. 典例精析 (3)函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称, 当 x>0 时,-x<0, f(-x)=x2-2x-1=-f(x), 当 x<0 时,-x>0, f(-x)=-x2-2x+1=-f(x). ∴f(-x)=-f(x),即函数是奇函数. 典例精析 ?4-x2≥0, (4)∵? ?-2≤x≤2 且 x≠0, ?|x+3|≠3 ∴函数的定义域关于原点对称. 4-x2 4-x2 ∴f(x)= = x , x+3-3 4-?-x?2 4-x2 又 f(-x)= =- x , -x ∴f(-x)=-f(x),即函数是奇函数. 归纳小结 [点石成金] 判定函数奇偶性的三种常用方法 (1)定义法: 归纳小结 (2)图象法: (3)性质法: ①设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的公共定义域 上:奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 归纳小结 ②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇,一偶则偶”. 提醒:(1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的. (2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明 f(-x)与 f(x)的关系, 只有对各 段上的 x 都满足相同的关系时,才能判断其奇偶性. (3)识记一些特殊的函数的奇偶性对解题带来很大的方便.一些重要类型 的奇偶函数: 归纳小结 ①函数 f(x)=ax+a-x 为偶函数,函数 f(x)=ax-a-x 为奇函数; ax-a-x a2x-1 ②函数 f(x)= x -x= 2x (a>0,且 a≠1)为奇函数; a +a a +1 1-x ③函数 f(x)=loga 为奇函数(a>0,且 a≠1); 1+x ④函数 f(x)=loga(x+ x2+1)为奇函数(a>0,且 a≠1). 知识梳理 考点 2 函数的周期性 知识梳理 函数的周期性 (1)周期函数: 对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域 f(x+T)=f(x) 内的任何值时, 都有______________ , 那么就称函数 y=f(x)为周期函 数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期: 最小 的正数,那 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个________ 最小正数 就叫做 f(x)的最小正周期. 么这个__________ 教材链接 (1)[教材习题改编]已知函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x), 当 x∈(0,1]时, 1 f(x)=log4(x2+3),则 f(2 017)=______. 解析: 因为 f(x+2)=f(x), 所以 f(x)是以 2 为周期的周期函数, 所以 f(2 017)=f(1 008×2+1)=f(1)=log4(12+3)=1. (2)[教材习题改编]设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时, 1 5? - f(x)=2x(1-x),则 f -2? = _______


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