9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

2015-2016学年高中数学人教A版选修1-1课件:第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例精品教育文档_图文

成才之路 ·数学
人教A版 ·选修1-1 1-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
导数及其应用 第三章
第三章 导数及其应用

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
3.4 生活中的优化问题举例 第三章
第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 课时作业

第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
自主预习学案
第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
1.了解导数在实际问题中的应用,对给出的实际问题,如 使利润最大、效率最高、用料最省等问题,体会导数在解决实 际问题中的作用.
2.能利用导数求出某些特殊问题的最值.
第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
重点:利用导数知识解决实际中的最优化问题. 难点:将实际问题转化为数学问题,建立函数模型.
第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
优化问题 思维导航 1.生活中,我们经常遇到面积、体积最大,周长最小, 利润最大,用料最省,费用最低,效率最高等等一系列问题, 这些问题通常统称为优化问题,解决这些问题的基本思路、途 径、过程是什么?
第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
新知导学 1.在解决实际优化问题中,不仅要注意将问题中涉及的 变量关系用函数关系式给予表示,还应确定函数关系式中 ___自__变__量___的取值范围. 2.实际优化问题中,若只有一个极值点,则极值点就是 ____最__优____点. 3.解决优化问题的基本思路:
第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

牛刀小试

1.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单

位:万件)的函数关系式为 y=-13x3+81x-234,则使该生产厂

家获取最大年利润的年产量为( )

A.13 万件

B.11 万件

C.9 万件

D.7 万件

[答案] C

第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
[解析] ∵y=-13x3+81x-234, ∴y′=-x2+81(x>0). 令 y′=0 得 x=9,令 y′<0 得 x>9,令 y′>0 得 0<x<9, ∴函数在(0,9)上单调递增,在(9,+∞)上单调递减, ∴当 x=9 时,函数取得最大值.故选 C. [点评] 利用导数求函数最值时,令y′=0得到x的值,此x 的值不一定是极大(小)值时,还要判定x值左、右两边的导数的 符号才能确定.
第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

2.某公司生产某种产品,固定成本为 20 000 元,每生产 一单位产品,成本增加 100 元,已知总收益 R 与年产量 x 的关

系是 R(x)=???400x-12x2 ?0≤x≤400? ,则总利润最大时,每 ??80 000 ?x>400?

年生产的产品是( ) A.100 C.200

B.150 D.300

[答案] D

第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

[解析] 由题意,总成本为:C=20 000+100x,所以总利 润为 P=R-C=???300x-x22-20 000 0≤x≤400 ,
??60 000-100x x>400

P′=?????-30100-0x

0≤x≤400 x>400

,令 P′=0,当 0≤x≤400 时,

得 x=300;当 x>400 时,P′<0 恒成立,易知当 x=300 时,总

利润最大.

第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
3.某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y=f(x), 假设f(x)>0恒成立,且f ′(10)=10,f ′(20)=1,则这些数据说明 第20天与第10天比较( )
A.公司已经亏损 B.公司的盈利在增加,且增加的幅度变大 C.公司在亏损且亏损幅度变小 D.公司的盈利在增加,但增加的幅度变小 [答案] D [解析] 导数为正说明盈利是增加的,导数变小说明增加 的幅度变小了,但还是增加的.
第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

4.在周长为l的矩形中,面积的最大值为__________.

[答案]

l2 16

[解析] 设一边长为 x,则另一边长为12(l-2x),其面积 S =12x(l-2x) (0<x<2l ),
由 S′=12l-2x=0 得 x=4l ,此时 S=1l26.

第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
典例探究学案
第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
面积、容积最大问题 有一块边长为a的正方形铁板,
现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形,做成一个长方 体形的无盖容器.为使其容积最大,截下的小正方形边长应为 多少?
第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
[解析] 设截下的小正方形边长为 x,容器容积为 V(x),则 做成的长方体形无盖容器底面边长为 a-2x,高为 x,
V(x)=(a-2x)2x,0<x<a2. 即 V(x)=4x3-4ax2+a2x,0<x<a2. 实际问题归结为求 V(x)在区间???0,a2???上的最大值点.为此, 先求 V(x)的极值点.在开区间???0,a2???内, V′(x)=12x2-8ax+a2.
第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
令 V′(x)=0,得 12x2-8ax+a2=0. 解得 x1=16a,x2=12a(舍去). x1=16a 在区间???0,a2???内,x1 可能是极值点.且 当 0<x<x1 时,V′(x)>0; 当 x1<x<a2时,V′(x)<0.
第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
因此 x1 是极大值点,且在区间???0,a2???内,x1 是唯一的极值 点,所以 x=16a 是 V(x)的最大值点.
即当截下的小正方形边长为16a 时,容积最大.
第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
[方法规律总结] 1.利用导数解决实际问题中的最值的一 般步骤:
(1)分析实际问题中各量之间的关系,找出实际问题的数学 模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);
(2)求函数的导数f ′(x),解方程f ′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小,最大(小) 者为最大(小)值; (4)把所得数学结论回归到数学问题中,看是否符合实际情 况并下结论.
第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
其基本流程是
第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
2.面积、体积(容积)最大,周长最短,距离最小等实际几 何问题,求解时先设出恰当的变量,将待求解最值的问题表示 为变量的函数,再按函数求最值的方法求解,最后检验.
第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
已知矩形的两个顶点位于x轴上,另两个顶点位于抛物线y = 4 - x2 在 x 轴 上 方 的 曲 线 上 , 求 这 个 矩 形 面 积 最 大 时 的 长 和 宽.
[解析] 如图所示,设出AD的长,进而求出AB,表示出面 积S,然后利用导数求最值.
第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
设 AD=2x(0<x<2),则 A(x,0), AB=y=4-x2, ∴矩形面积为 S=2x(4-x2)(0<x<2), 即 S=8x-2x3, S′=8-6x2,令 S′=0, 解得 x1= 23,x2=- 23(舍去).

第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

当 0<x< 23时,S′>0;



2 3<x<2

时,S′<0,

所以,当 x= 23时,S 取得最大值,此时

S 最大值=329 3.

即矩形的长和宽分别为83、4 3 3时,矩形的面积最大.

第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
利润最大问题 某汽车生产企业上年度生产一品
牌汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为13万元/辆,年销售 量为5 000辆,本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适 当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1), 则出厂价相应提高的比例为0.7x,年销售量也相应增加.已知 年利润=(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)×年销售量.
第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
(1)若年销售量增加的比例为 0.4x,写出本年度的年利润 p(万元)关于 x 的函数关系式;
(2)若年销售量关于 x 的函数为 y=3 240×???-x2+2x+53???, 则当 x 为何值时,本年度年利润最大?最大年利润是多少?
[解析] (1)由题意得:本年度每辆车的投入成本为10×(1 + x) ; 出 厂 价 为 13×(1 + 0.7x) , 年 销 售 量 为 5 000×(1 + 0.4x).因此本年度的年利润为:
p=[13×(1+0.7x)-10×(1+x)]×5 000×(1+0.4x)=(3- 0.9x)×5 000×(1+0.4x)=-1 800x2+1 500x+15 000(0<x<1).
第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
(2) 本 年 度 的 年 利 润 为 f(x) = (3 - 0.9x)×3240× ???-x2+2x+53???=3 240×(0.9x3-4.8x2+4.5x+5),则 f ′(x)=3 240×(2.7x2-9.6x+4.5)=972(9x-5)(x-3),令 f ′(x)=0.所以 x=59或 x=3(舍).
当 0<x<59时 f ′(x)>0,当59<x<1 时 f ′(x)<0,所以 x=59时 f(x)有最大值 f???59???=20 000.
第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
所以当 x=59时,本年度的年利润最大,最大年利润为 20 000 万元.
[方法规律总结] 利润最大,效率最高等实际问题,关键 是弄清问题的实际背景,将实际问题用函数关系表达,再求 解.
第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
某厂生产某种电子元件,如果生产出一件正品,可获利 200 元,如果生产出一件次品,则损失 100 元.已知该厂制造电子 元件过程中,次品率 p 与日产量 x 的函数关系是:p=4x+3x32(x ∈N+).
(1)写出该厂的日盈利额 T(元)用日产量 x(件)表示的函数关 系式;
(2)为获最大日盈利,该厂的日产量应定为多少件?
第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
[解析] (1)由意可知次品率 p=日产次品数/日产量,每天 生产 x 件,次品数为 xp,正品数为 x(1-p).
因为次品率 p=4x+3x32,当每天 x 件时, 有 x·4x+3x32件次品,有 x????1-4x+3x32????件正品. 所以 T=200x????1-4x+3x32????-100x·4x+3x32 =25·64xx+-8x2(x∈N+).
第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
(2)T′=-25·?x+?3x2+?·?8x?-2 16?,由 T′=0 得 x=16 或 x= -32(舍去).当 0<x≤16 时,T′≥0;当 x≥16 时,T′≤0; 所以当 x=16 时,T 最大.即该厂的日产量定为 16 件,能获得 最大日盈利.
第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

费用(用料)最省问题

统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中,每

小时耗油量 y(L)关于行驶速度 x(km/h)的函数解析式可以表示

为:

y



1 128000

x3



3 80

x+

8(0<x≤120)







甲、











100km.

(1)当汽车以 40km/h 的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要

耗油多少升?

(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最

少?最少为多少升?

第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
[分析] (1)汽车的耗油量关于行驶速度x的函数解析式是什 么?其定义域是什么?(2)利用什么方法求出上述函数的最小 值?
[解析] (1)当 x=40 时,汽车从甲地到乙地行驶了14000= 2.5(h),
要耗油???1281000×403-830×40+8???×2.5=17.5(L). 答:当汽车以 40km/h 的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗 油 17.5L.
第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
(2)当速度为 xkm/h 时,汽车从甲地到乙地行驶了10x0h,设 耗油量为 h(x)L.
依题意得 h(x)=???1281000x3-830x+8???·10x0 =12180x2+80x0-145 (0<x≤120), h ′(x)=64x0-8x020=x63-408x023(0<x≤120).
第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
令h ′(x)=0,得x=80. 当x∈(0,80)时,h ′(x)<0,h(x)是减函数; 当x∈(80,120]时,h ′(x)>0,h(x)是增函数. ∴当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25. 因为h(x)在(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值. 故当汽车以80km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 最少,最少为11.25L. [方法规律总结] 本题属于费用最低问题,此种类型的题 目解决的关键是正确地理解题意列出函数的解析式,利用导数 求其最值时,要注意函数的定义域的限制.
第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
某工厂要围建一个面积为128m2的矩形堆料场,一边可以 用原有的墙壁,其他三边要砌新的墙壁,要使砌墙所用的材料 最省,堆料场的长、宽应分别为__________.
[答案] 16m 8m
第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
[解析] 设场地宽为 xm,则长为12x8m, 因此新墙总长度为 y=2x+12x8(x>0), y′=2-1x228,令 y′=0,∵x>0,∴x=8. 因为当 0<x<8 时,y′<0;当 x>8 时,y′>0, 所以当 x=8 时,y 取最小值,此时宽为 8m,长为 16m. 即当堆料场的长为 16m,宽为 8m 时,可使砌墙所用材料 最省.
第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
含参数的函数求最值时,注意极值与参数取值的关系 甲、乙两地相距skm,汽车从甲
地匀速行驶到乙地,速度不得超过ckm/h,已知汽车每小时的 运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分 与速度v(km/h)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元.
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km/h)的函数,并指 出这个函数的定义域;
(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?
第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

[错解] (1)依题意得汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间

为vs,全程运输成本为 y=a·vs+bv2·vs=s???av+bv???,所求函数及其

定义域为 y=s???av+bv???,v∈(0,c]. (2)由题意知 s、a、b、v 均为正数,

由 y′=s????b-va2????=0 得 v=± 时,全程运输成本 y 最小.

ab,又 0<v≤c,所以当 v=

ab b

[辨析] 第(2)问中 bab与 c 未进行比较大小而直接得出结 论,故错误.

第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
[正解] ①若 bab≤c,则 v= bab是使 y 的导数为 0 的点, 且当 v∈????0, ab????时,y′≤0;v∈???? ab,c????时,y′≥0.所以当 v= bab时,全程运输成本 y 最小.
第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

②若 bab>c,v∈(0,c],此时 y′<0,即 y 在(0,c]上为减

函数.

所以当 v=c 时,y 最小.

综上可知,为使全程运输成本 y 最小.



bab≤c 时,行驶速度 v=

bab;当

ab b >c

时,行驶速度

v

=c.

第三章 3.4

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
课时作业
(点此链接)
第三章 3.4



学霸百科 | 新词新语

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图