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空间几何体第一章练习好


1.1 空间几何体的结构
1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征

1.空间几何体 (1)空间几何体的定义: 空间中的物体,若只考虑这些物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么由这些物体 抽象出来的空间图形就叫做空间几何体. (2)空间几何体的分类: 分类 结构特征 有关概念 面: 围成多面体 的各个多边形 棱: 相邻两个面 的公共边 顶点: 棱与棱的 公共点

多 面 体 空 间 几 何 体 像上图这样,由若干个平面多边形围成的几何体,叫做 多面体

旋 转 体 像上图这样, 由一个平面图形绕着它所在平面内的一条 定直线旋转所形成的封闭几何体,叫做旋转体

轴: 形成旋转体 所绕的定直线

2.柱、锥、台、球的结构特征 (1)棱柱的结构特征: 结 如图,一般地,有两个面互相平行,其余各面都是平行 构 四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行, 特 由这些面所围成的多面体叫做棱柱 征 有 棱柱中,两个互相平行的面叫做棱柱的底面,简称底; 关 其余各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱柱 概 的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点 念 用表示底面各顶点的字母表示棱柱,如上图中的棱柱可记为棱柱 ABCDE- 表示 A′B′C′D′E′ (2)棱锥的结构特征: 结 构 如图,一般地,有一个面是多边形其余各面都是有一个 特 公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥 征 有 关 概 念 表示 多边形面叫做棱锥的底面或底;有公共顶点的各个三角 形面叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶 点;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱

用表示顶点和底面各顶点的字母表示,如图中的棱锥可记为棱锥 S-ABCD

(3)棱台的结构特征: 结 构 如图,用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与 特 截面之间的部分叫做棱台 征 有 关 概 念 表示 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面; 其他各面叫做梭台的侧面,相邻侧面的公共边叫做棱台 的侧棱;底面与侧棱的公共顶点叫做棱台的顶点

用表示底面各顶点的字母表示棱台,如上图中的棱台可记为棱柱 ABCD- A′B′C′D′ (4)圆柱的结构特征:

结 构 特 征 如图,以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫 做圆柱

有 旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;平行于轴的 关 边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做 概 圆柱侧面的母线 念 表 用表示它的轴的字母,即表示两底面圆心的字母表示,上图中的圆柱可记作圆柱 示 O′O 法 柱体 圆柱和棱柱统称为柱体 (5)圆锥的结构特征:

结 构 特 征 如图,以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围 成的旋转体

有 关 概 念 表 示 法 锥体

如上图所示,轴为 SO,底面为⊙O,SA 为母线.另外,S 叫做圆锥的顶点,OA(或 OB)叫做底面⊙O 的半径

圆锥用表示它的轴的字母表示,上图中的圆锥可记作圆锥 SO 棱锥和圆锥统称为锥体 (6)圆台的结构特征:

结 构 特 征 如图,用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分 有 关 概 念 表 示 法 台体 原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面.与圆柱和圆锥一样,圆台也 有轴、侧面母线,如上图所示,轴为 OO′,AA′为母线

用表示轴的字母表示,上图中的圆台可记作圆台 OO′ 圆台和棱台统称为台体

(7)球的结构特征:

结 构 特 征 如图,以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转 体叫做球体,简称球 有 关 概 念 表 示 法 半圆的圆心叫做球的球心;半圆的半径叫做球的半径;半圆的直径叫 做球的直径

球常用表示球心的字母表示,如上图中的球记作球 O

1.下面的几何体哪些是多面体?哪些是旋转体?

提示:(1)(3)为旋转体,(2)(4)为多面体. 2.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱?为什么? 提示:不是.因为判断一个几何体是否是棱柱,关键是紧扣棱柱的三个本质特征:

(1)有两个面互相平行; (2)其余各面是平行四边形; (3)这些平行四边形面中,每相邻两个面的公共边都互相平行. 这三个特征缺一不可,如图所示的几何体有两个面互相平行,其余各面是平行四边形, 但不具备特征(3),故不是棱柱. 3.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是不是棱锥? 提示:不是;如图,将图 a 所示的正方体 ABCDA1B1C1D1 截去两个三棱锥 AA1B1D1 和 C1B1CD1,得如图 b 所示的几何体.

图 b 所示的几何体有一个面 ABCD 是四边形,其余各面都是三角形,很明显这个几何体 不是棱锥,因此说有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥.

由此看,判断一个几何体是否是棱锥,关键是紧扣棱锥的三个本质特征: (1)有一个面是多边形; (2)其余各面是三角形; (3)这些三角形有一个公共顶点. 这三个特征缺一不可.

考点一

对多面体的识别和判断

根据下列关于多面体的描述,说出多面体的名称: (1)由 6 个平行四边形围成的几何体; (2)由 7 个面围成,其中一个面是六边形,其余 6 个面都是有一个公共顶点的三角形. [自主解答] (1)棱锥的侧面形状只能是三角形,则该多面体不是棱锥;棱台的侧面形状 是梯形,则该多面体不是棱台;所以该几何体只能是棱柱,由于 6 个面均是平行四边形,则 该棱柱的底面是平行四边形,即该几何体是底面是平行四边形的四棱柱. (2)棱柱和棱台的面中最多有 2 个面是三角形(即底面),则该多面体不是棱柱和棱台,而 是棱锥, 这 6 个三角形面是侧面,六边形是底面,即该棱锥是六棱锥. 若本例(1)中几何体是由四个三角形围成的呢? 解:由定义知该几何体为三棱锥.又称四面体. 识别和判断多面体时,要结合棱柱、棱锥、棱台的结构特征(侧面、底面形状,侧棱、棱 之间的关系)来确定,并要充 分发挥空间想象能力,必要时可以做几何模型通过演示进行准确判断.

1.如图是三个几何体的侧面展开图,请问各是什么几何体?

解:①五棱柱;②五棱锥;③三棱台. 如图所示.

考点二

对旋转体的识别与判断

一个有 30° 角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转 360° 所得几何体是圆锥吗?如 果以斜边上的高所在的直线为轴旋转 180° 得到什么几何体?旋转 360° 又得到什么几何体? [自主解答] 如图(1)和(2)所示,绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何体是圆锥;如图(3)

所示,绕其斜边所在直线旋转一周围成的几何体是两个同底相对的圆锥;如图(4)所示,绕其 斜边上的高所在直线旋转 180° 围成的几何体是两个半圆锥, 旋转 360° 围成的几何体是一个圆 锥.

判断旋转体形状的步骤:(1)明确旋转轴 l;(2)确定平面图形中各边(通常是线段)与 l 的位 置关系;(3)依据圆柱、圆锥、圆台、球的定义和下列结论来确定形状:①与 l 垂直且相交的 线段旋转一周得圆面;②与 l 垂直且不相交的线段旋 转一周得圆环面;③与 l 平行的线段旋转一周得圆柱侧面;④与 l 斜交且有交点的线段 旋转一周得圆锥侧面. 2.根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称: (1)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转 180° 形成的封闭面所围成的几 何体; (2)一个圆面绕其一条直径所在的直线旋转 180° 所围成的几何体. 解:(1)等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形,每个直角梯形旋转 180° 形成半个圆台,故该几何体为圆台,如图(1). (2)几何体为球,如图(2).

【解题高手】 【易错题】 如图,甲、乙、丙、丁是不是棱锥、棱台、圆柱、圆锥等几何体?

[错解] 图甲,因为一面 ABCD 是四边形,其余各面都是三角形;所以图甲是棱锥;图 乙是棱台;图丙是圆柱;图丁是圆锥. [错因] 上述错误答案都是依据相应几何体结构特征的某一特征去判断几何体,判断的 依据不充分,应该按照空间几何体的全部结构特征去判断. [正解] 图甲中的六个三角形没有一个公共点,故不是棱锥,只是一个多面体;图乙不 是棱台,因为侧棱的延长线不能相交于同一点;图丙不是圆柱,因为上、下两面不平行(或不 是由一个矩形旋转而成);图丁不是由一个直角三角形旋转而成,故不是圆锥.

1.下列几何体中,柱体有(

)

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析:结合棱柱的结构特征知,此四个几何体均为棱柱. 答案:D 2.由 5 个面围成的多面体,其中上、下两个面是相似三角形,其余三个面都是梯形,并 且这些梯形的腰延长后能相交于一点,则该多面体是( ) A.三棱柱 B.三棱台 C.三棱锥 D.四棱锥 解析:由棱台的结构特征知,该几何体为三棱台. 答案:B 3.下列叙述中正确的个数是( ) ①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥; ②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台; ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; ④用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台. A.0 B.1 C.2 D.3 解析: 序号 判断 原因分析 ① 错误 若依直角三角形的斜边为轴旋转则得不到圆锥; ② 错误 必须以垂直于底边的腰为轴旋转才能得到圆台; ③ 错误 圆柱、圆锥、圆台的底面是圆面而非圆; ④ 错误 须用平行于圆锥底面的平面截才能得到圆锥和圆台. 答案:A 4.五棱锥由________个面围成. 解析:观察各棱锥可以归纳出,几棱锥就有几个侧面,几条侧棱,因此五棱锥有 5 个侧 面,5 条侧棱. 答案:6 5 . 由一个平面图形绕一条轴旋转而围成的几何体称为旋转体,我们学过的旋转体有 ____________,旋转体最少有____________个面. 解析:我们学过的旋转体有圆柱、圆锥、圆台和球,旋转体最少有一个曲面,如球. 答案:圆柱、圆锥、圆台和球 1 6.说出下列 7 种几何体的名称.

解:a 是圆柱,b 是圆锥,c 是球,d、e 是棱柱,f 是圆台,g 是棱锥.

一、选择题 1.四棱柱的底面和侧面共有多少个面,四棱柱共有多少条侧棱( ) A.6,4 B.7,3 C.6,6 D.6,12 解析:根据四棱柱的结构特征知,四棱柱有两个底面、4 个侧面共 6 个面,四条侧棱, 故 A 正确.

答案:A 2.下面几何体的截面一定是圆面的是( ) A.圆柱 B.圆锥 C.球 D.圆台 解析:无论用怎样的平面去截球,截面一定是圆面.其他三个旋转体截面则不一定是圆 面. 答案:C 3.下列命题: ①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线; ③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线; ④圆柱的任意两条母线相互平行. 其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.②④ 解析:根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征知,①③错误,②④正确. 答案:D 4.下列命题中正确的是( ) A.用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B.两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台 C.棱台的底面是两个相似的正方形 D.棱台的侧棱延长后必交于一点 解析:A 中的平面不一定平行于底面,故 A 错;B 中侧棱不一定交于一点;C 中底面不 一定是正方形. 答案:D 二、填空题 5.一个棱柱至少有________个面,面数最少的一个棱锥有________个顶点,顶点最少的 一个棱台有________条侧棱. 解析:符合条件的几何体分别是:三棱柱、三棱锥、三棱台.故一个三棱柱有 5 个面, 三棱锥有 4 个顶点,三棱台有 3 条侧棱. 答案:5 4 3 6.一个棱柱有 10 个顶点,所有的侧棱长的和为 60 cm,则每条侧棱长为________cm. 解析:n 棱柱有 2n 个顶点,于是知此棱柱为五棱柱,故有 5 条侧棱,又每条侧棱长都相 等,且和为 60 cm,可知每条侧棱长为 12 cm. 答案:12 7.在正方体上任意选择 4 个顶点,它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点,这些几何 形体是________(写出所有正确结论的编号). ①矩形; ②不是矩形的平行四边形; ③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体; ④每个面都是等边三角形的四面体; ⑤每个面都是直角三角形的四面体. 解析:过 4 个顶点的图形若是平行四边形,必须是矩形,所以①可能,②不可能.③④ 可能,⑤不可能. 答案:①③④

8.如图所示,一个正方体的表面展开图的五个正方形为阴影部分,第六个正方形在编号 为 1~5 的适当位置,则所有可能的位置编号为________. 答案:1 或 4 或 5

三、解答题 9.如图所示为长方体 ABCD-A′B′C′D′,当用平面 BCFE 把这个长方体分成两部 分后,各部分形成的多面体还是棱柱吗?如果不是,请说明理由;如果是,指出底面及侧棱.

解:截面 BCFE 右侧部分是棱柱,因为它满足棱柱的定义,它是三棱柱 BEB′CFC′, 其中△BEB′和△CFC′是底面, EF, B′C′, BC 是侧棱, 截面 BCFE 左侧部分也是棱柱. 它 是四棱柱 ABEA′DCFD′.其中四边形 ABEA′和四边形 DCFD′是底面. A′D′, EF, BC, AD 为侧棱. 10.如图所示的四个几何体中,哪些是圆柱与圆锥,哪些不是,并指出圆柱与圆锥的结 构名称.

解: 序号 ① ② ③ ④ 结论 由圆柱定义知①不是圆柱 由圆锥定义知②是圆锥,圆锥 SO,其轴为 SO,底面⊙O,母线为 SA、SB 等 由圆柱定义知③是圆柱, 圆柱 OO′, 底面为⊙O 与⊙O′, 母线为 A′A, BB′ 等 由圆锥定义知④不是圆锥

1.1.2 简单组合体的结构特征

简单组合体的结构特征 (1)定义:由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是由 具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的.

1.下面的几何体哪些是简单组合体?

提示:(2)(3)是简单组合体. 2.上面的简单组合体各是由哪些简单几何体构成的? 提示:②是由一个圆锥和一个圆柱拼接而成;③是一个圆台挖去一个圆锥而得到;④是 由一个球和一个圆柱拼接而成.

考点一

多面体与多面体的组合体

说出下列几何体的主要结构特征.

[自主解答] (1)是由一个四棱柱挖去一个三棱柱形成的简单组合体; (2)是由一个四棱柱与一个四棱锥拼接而成的简单组合体; (3)是由一个三棱柱与一个三棱台拼接而成的组合体.

由两个或两个以上的多面体组成的几何体为多面体与多面体的组合体.其大部分组合形 式是拼接,一般是两个多面体的两个面叠加在一起拼接成的组合体.

1.如图是一个矩形的游泳池,池底为一斜面,装满水后形成的几何体由哪些简单几何体 组成?

解:泳池装满水后形成的几何体是一个棱柱(两底面水平放置),但这个棱柱可看成由一 个长方体补上一个三棱柱得到(如图(1));也可由长方体切割去一个三棱柱得到(如图(2)).

考点二

旋转体与旋转体的组合体

说出下列几何体的主要结构特征:

[自主解答] 图(1)是由一个球体和一个圆柱体组合而成的,图(2)是由一个圆台和两个圆 柱组合而成的,图(3)是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的. 由两个或两个以上的旋转体组合而成的旋转体与旋转体的组合体, 其一般由圆柱、 圆锥、 圆台、球通过拼接或挖去一部分形成的组合体.

2.(1)图①是由图②中的哪个平面图形旋转得到的

(

)

(2)如图是一枚公章,这个几何体是由简单的几何体________、________、________组合 而成的. 解析: (1)此几何体是一个圆锥和圆台的组合体, 故分别为直角三角形绕直角边所在直线, 直角梯形绕垂直于两底的腰所在直线旋转得到. (2)此几何体是由一个半球、一个圆柱、一个圆台拼接而成的简单组合体. 答案:(1)A (2)半球 圆柱 圆台

考点三

多面体与旋转体的组合体

说出下列几何体的主要结构特征.

[自主解答] (1)是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的.图(2)是一个圆锥与一个棱柱组合 而成的.而图(3)是一个球与一个棱锥组合而成的.

一般地, 球与多面体的组合体组合形式有两种: 球在多面体的内部, 球在多面体的外部(如 本题).圆柱、圆锥、圆台等旋转体与多面体的组合形式大多是旋转体的一个面与多面体的一 个面叠加组合而成.

3.如图是一个数学奥林匹克竞赛的奖杯.请指出它是由哪些简单几何体组合而成的.

解:将该几何体分解成简单几何体可知,它是由一个球,一个四棱柱和一个四棱台组合 而成. 【解题高手】 【妙解题】 如图所示,绕虚线旋转一周后形成的旋转体是由哪些简单几何体组成的?

[巧思] 作出这个平面图形的各顶点关于这条直线的对称点,再把这些相互对称的两点 用圆弧连结起来,也就得到相应的几何体,进而便可判断它是由哪些简单的旋转体所组成的 几何体. [妙解] 过原图中的顶点向旋转轴引垂线,并找其对称点,即可得到旋转以后的图形, 如下图所示:

其中(1)由一个圆柱 O1O2 和圆台 O2O3、圆台 O3O4 组成;(2)由一个圆锥 O4O5、一个圆柱 O3O4 及一个圆台 O1O3 中挖去圆锥 O1O2 组成.

1.下列几何体是组合体的是(

)

答案:D 2.如图所示的蒙古包可以看作是由哪些几何体构成的组合体.(

)

A.三棱锥、圆锥 B.三棱锥、圆柱 C.圆锥、圆柱 D.圆锥、三棱柱 解析:蒙古包上部可看作一个圆锥,下部可看作圆柱.

答案:C 3.一个直角三角形绕斜边旋转 360° 形成的空间几何体是( A.一个圆锥 B.一个圆锥和一个圆柱 C.两个圆锥 D.一个圆锥和一个圆台 答案:C 4.如图所示的组合体的结构特征是________.

)

答案:上部是一个圆柱,下部是一个长方体. 5.如图所示的组合体的结构特征是________.

答案:上部是一个三棱柱,下部是一个四棱柱组合而成的. 6.说出下列组合体是由哪些简单几何体组成的.

解:图①是由一个四棱柱和一个四棱台组合而成. 图②是由一个圆锥和一个圆柱组合而成. 图③是由一个圆柱和两个圆台组合而成.

1.如图所示的平面图形中阴影部分绕中间轴旋转一周,形成的旋转体形状为( A.一个球体 B.一个球体中挖去一个圆柱 C.一个圆柱 D.一个球体中间挖去一个棱柱

)

解析:该旋转体形状为一个球体中挖去一个圆柱. 答案:B 2.一个正方体内有一个内切球,作正方体的对角面,所得截面图形是下图中的(

)

解析:由组合体的结构特征知,球只与正方体的上、下底面相切,面与侧棱相离,故正 确答案为 B. 答案:B 3.以钝角三角形的较小边所在的直线为轴,其他两边旋转一周所得到的几何体是( ) A.两个圆锥拼接而成的组合体

B.一个圆台 C.一个圆锥 D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥 解析:如图以 AB 为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥. 答案:D 4.如图所示,模块①~⑤均由 4 个棱长为 1 的小正方体构成,模块⑥由 15 个棱长为 1 的小正方体构成.现从模块①~⑤中选出三个放到模块⑥上,使得模块⑥成为一个棱长为 3 的大正方体.则下列选择方案中,能够完成任务的为( )

A.模块①②⑤ B.模块①③⑤ C.模块②④⑤ D.模块③④⑤ 解析:逐个选择考验可知,①②⑤符合要求. 答案:A 二、填空题 5.如图所示的组合体的结构特征是___________________________.

解析:由一个棱台和一个球组成. 答案:一个棱台上面放一个球 6.直角梯形绕其较长底边所在直线旋转一周,所得旋转体的结构特征是 ____________________________________. 解析:由旋转体的定义知,该几何体为一个圆锥和一个圆柱拼接成的组合体. 答案:一个圆锥和一个圆柱拼接成的组合体 7.

如图所示为某一桥梁的护栏立柱,其主要的结构特征是 ____________________________________. 答案:一个球,一个圆台,一个四棱台和一个正四棱柱拼接而成的组合体. 8 . 不在棱柱同一个平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的体对角线,则长方体共有 ________条体对角线. 答案:4

三、解答题 9.如图所示的平面图形绕轴 l 旋转 180° 后形成一个几何体,请描述该几何体的特征.

解:平面图形绕 l 旋转 180° 后的组合体,自上而下可分解为一个倒圆锥,一个球、一个 半球、一个圆柱、一个圆台. 10.如图直角梯形绕着上底所在直线旋转一周后形成的旋转体是由哪些简单的几何体组 成的?

解:旋转后的旋转体如图所示: 该旋转体由一个圆柱挖去一个同底圆锥形成.

1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.2.1 & 1.2.2 中心投影与平行投影 空间几何体的三视图

1.投影 定 义 分 类 由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种现象 叫做投影,其中,我们把光线叫做投影线,把留下物体影子的屏幕叫做投影面 中心投影 光由一点向外散射形成的投影,叫做中心投影.中心投影的投影线交 于一点 在一束平行光线照射下形成的投影,叫做平行投影.平行投影的投影 线是平行的.在平行投影中,投影线正对着投影面时,叫做正投影, 否则叫做斜投影

平行投影 2.三视图 (1)分类:

①正视图:光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图 ②侧视图:光线从几何体的左面向右面正投影,得到的投影图 ③俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图 (2)规律:一个几何体的正视图和侧视图高度一样,正视图和俯视图长度一样,侧视图与 俯视图宽度一样.

1.平行投影和中心投影有什么区别? 提示:①中心投影的投影线交于一点,平行投影的投影线互相平行. ②平行投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子,与这个平面图形的形状和大小完 全相同;而中心投影则不同. ③画实际效果图时,一般用中心投影法,画立体几何中的图形时,一般用平行投影法. 2.当图形中的直线或线段不平行于投影线时,其平行投影有什么性质? 提示:(1)直线或线段的平行投影仍是直线或线段. (2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线. (3)平行于投影面的线段,它的投影与这条线段平行且等长. (4)与投影面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等. 3.甲、乙两位同学分别站在一个几何体的左右两侧,他们画出的三视图一样吗? 提示:不一定.选择不同的视角,所得的三视图可能不一样,但有些几何体的三视图一 样.如长方体的三视图不同,而球的三视图都是圆,是相同的.

考点一

判断投影的形状

在正方体 ABCD-A′B′C′D′中,E、F 分别是 A′A、C′C 的中点,则下列 判断正确的是__________. ①四边形 BFD′E 在底面 ABCD 内的投影是正方形 ②四边形 BFD′E 在面 A′D′DA 内的投影是菱形 ③四边形 BFD′E 在面 A′D′DA 内的投影与在面 ABB′A′内的投影是全等的平行四 边形

[自主解答] ①四边形 BFD′E 的四个顶点在底面 ABCD 内的投影分别是点 B、C、D、 A,故投影是正方形,正确; ②设正方体的边长为 2, 则 AE=1, 取 D′D 的中点 G, 则四边形 BFD′E 在面 A′D′DA 内的投影是四边形 AGD′E,由 AE∥D′G,且 AE=D′G,∴四边形 AGD′E 是平行四边 形.但 AE=1,D′E= 5,故四边形 AGD′E 不是菱形.对于③,由②知是两个边长分别 相等的平行四边形,从而③正确. [答案] ①③

判断一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点的投影,如顶点等的投 影画出这些关键点的投影,再依次连接这些投影点即可得此图形在该平面上的投影.

1.如图,E、F 分别是正方体 AC1 的面 ADD1A1 和面 BCC1B1 的中心,则四边形 BFD1E 在 该正方体的各面上的正投影(投射线垂直于投影面的投影)可能是______.(把所有可能图形的 序号都填上)

解析:四边形 BFD1E 在上、下底面及前、后面上的正投影可能是(2).而在左、右面上 的投影可能为(3). 答案:(2)(3)

考点二 画出下列几何体的三视图.

画空间几何体的三视图

[自主解答] 三视图如图(1)(2)(3)所示.

若本例(3)中几何体的正视、侧视、俯视如图所示,请画出该几何体的三视图.

解:

1.三视图的排列规则是:先画正视图,俯视图安排在正视图的正下方,长度与正视图一 样;侧视图安排在正视图的正右方,高度与正视图一样.正视图反映物体的主要形状特征, 是三视图中最重要的视图;俯视图与侧视图共同反映物体的宽度要相等. 2.画几何体的三视图时, 能看见的轮廓线和棱用实线表示, 看不见的轮廓线和棱用虚线 表示. 2.画出右图中几何体的三视图.

解:该几何体的三视图如图所示.

考点三

识别三视图表示的空间几何体的结构特征

某几何体的三视图如图所示,试分析该几何体的结构特征.

[自主解答] 由正视图和侧视图可知,该物体的下半部分为柱体,上半部分为锥体,又 因俯视图为一个正六边形,故该几何体是由一个正六棱柱和一个正六棱锥组合而成的,如图 所示. 由三视图还原几何体的步骤:

提醒:通常是根据俯视图判断是多面体还是旋转体,再结合正视图和侧视图确定具体的 几何结构特征,最终确定是简单几何体还是简单组合体.

3.下面是一几何体的三视图,想象该几何体的几何结构特征,画出该几何体的形状.

解:由于俯视图有一个圆和一个四边形,则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合 体,结合侧视图和正视图,可知该几何体上面是一个圆柱,下面是一个四棱柱拼接成的组合 体.该几何体的形状如图所示.

审题要严,做题要细,一招不慎,满盘皆输,试试能否走 出迷宫! 【解题高手】 【易错题】 画出如图所示几何体的三视图.

[错解] 三视图如图所示:

[错因] 三视图出现多处错误.首先,正视图和侧视图的高应该是相等的,而所画的视 图没有做到这一点.其次,侧视图的宽应该与俯视图的宽一致,这一点也没有做到.最后, 侧视图中有一条看不到的棱,应该用虚线表示出来. [正解] 三视图如图所示:

1.下面哪个几何体的三视图可能都是一样的平面图形( ) A.长方体 B.圆柱 C.正四棱锥 D.正方体 答案:D 2.(湖南高考)已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的 正视图的面积不可能等于( ) 2-1 2+1 A.1 B. 2 C. D. 2 2 解析:由题可知正方体的底面与水平面平行,先把正方体正放,然后将正方体按某一侧 棱逆时针旋转,易知当正方体正放时,其正视图的面积最小,为 1×1=1;当正方体逆时针 2-1 旋转 45° 时,其正视图的面积最大,为 1× 2= 2.而 <1,所以正方体的正视图的面积 2 2-1 不可能等于 . 2 答案:C 3.已知△ABC,选定的投影面与△ABC 所在平面平行,则经过中心投影后所得三角形 与△ABC( ) A.全等 B.相似 C.不相似 D.以上都不对 答案:B 4.如图,左侧三个平面图形分别是右侧图 a 所示的几何体的三视图,则:

图(1)是图 a 的________图;图(2)是图 a 的________图;图(3)是图 a 的________图.

答案:侧视 俯视 正视 5.根据如图所示俯视图,找出对应的物体.

(1)对应________;(2)对应________;(3)对应________; (4)对应________;(5)对应________. 答案:(1)D (2)A (3)E (4)C (5)B 6.螺栓是棱柱和圆柱构成的组合体,如图,画出它的三视图.

解:该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的,正视图反映正六棱柱的三个侧面 和圆柱侧面,侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面,俯视图反映该物体投影后是一个 正六边形和一个圆(中心重合). 它的三视图如图所示:

一、选择题 1.若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形,俯视图是圆和圆心,则这个几何体 可能是( ) A.圆柱 B.三棱柱 C.圆锥 D.球体 解析:由三视图概念知,C 正确. 答案:C 2.(福建高考)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是 ( ) A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 解析:球的三视图是三个相同的圆;三棱锥的三视图是三个全等的三角形;正方体的三 视图可能是三个相同的正方形;而当圆柱的底面放置在水平面上时,其俯视图是圆,正视图 是矩形. 答案:D 3.①从投影的角度看,三视图是在平行投影下画出来的空间图形; ②平行投影的投影线互相平行,中心投影的投影线相交于一点; ③空间图形经过中心投影后,直线变成直线,但平行线可能变成了相交的直线; ④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式. 其中正确的命题有( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析:根据中心投影和平行投影的定义知.①②④都正确. 答案:C 4.如图,几何体的正视图和侧视图都正确的是( )

解析:侧视时,看到一个矩形且不能有实对角线,故 A、D 排除,而正视时,有半个平 面是没有的,所以应该有一条实对角线,且其对角线位置应为 B 中所示. 答案:B 二、填空题 5.下列图形:①线段;②直线;③圆;④梯形;⑤长方体.其中投影不可能是线段的是 ________. 解析:根据投影的定义知②⑤不可能. 答案:②⑤ 6.如果一个几何体的三视图如下图所示(单位长度:cm),则此几何体是________.

解析:由三视图可知,此几何体为一个正方体和正四棱锥的组合体. 答案:正方体和正四棱锥的组合体 7.一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的________. ①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱 解析:三棱锥、四棱锥和圆锥的正视图都是三角形,当三棱柱的一个侧面平行于水平面, 底面对着观察者时其正视图是三角形,其余的正视图均不是三角形. 答案:①②③⑤ 8. 一个组合体由几个相同的小正方体组合而成, 它的正视图、 侧视图、 俯视图如图所示, 则这个组合体包含的小正方体有________个.

解析:由三视图可知小正方体的排列情况如图.

答案:5 三、解答题 9.在下面图中,图(b)是图(a)中实物画出的正视图和俯视图,你认为正确吗?如果不正 确,请找出错误并改正,然后画出侧视图(尺寸不作严格要求).

解:图(a)是由两个长方体组合而成的,正视图正确,俯视图错误,俯视图应该画出不可 见轮廓线(用虚线表示),侧视图轮廓是一个矩形,有一条可视的交线(用实线表示),正确画法 如图所示.

10.用小方块搭一个几何体,使得它的正视图和俯视图如图所示,这样的几何体只有一 种吗?它至少需要多少个小立方块?最多需要多少个小立方块?

解:由俯视图可知此几何体应是有三行和三列,且第三列的第一行、二行都没有小立方 块,其余的各列各行都有小立方块,再根据正视图,第一列中至少有一行是三层,第二列中 至少有一行是两层,第三列第三行只有一层,这样就可推出小立方块的个数.最少要 10 个小 立方块,最多要 16 个小立方块. 1.2.3 空间几何体的直观图

1.空间几何体的直观图 表示空间图形的平面图形,叫做空间图形的直观图. 2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤

3.画空间几何体的直观图的步骤 (1)在几何体中取水平平面,作互相垂直的轴 Ox,Oy,再作 Oz 轴,使∠xOy=90° ,∠xOz =90° . (2)画出与 Ox, Oy, Oz 对应的轴 O′x′, O′y′, O′z′, 使∠x′O′y′=45° (或 135° ), ∠x′O′z′=90° ,x′O′y′所确定的平面表示水平平面. (3)几何体中,平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 x′轴、y′ 轴或 z′轴的线段,并使它们和所画坐标轴的位置关系,与已知图形中相应线段和原坐标轴 的位置关系相同. (4)几何体中平行于 x 轴和 z 轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于 y 轴的线段, 长度为原来的一半. (5)擦除作为辅助线的坐标轴,就得到了空间几何体的直观图.

1.空间几何体的直观图一定唯一吗? 提示:不一定唯一.作直观图时,由于选轴不同,所画直观图就不一定相同. 2.如何将直观图还原为平面图? 提示:将直观图还原成平面图的过程是由平面图到直观图问题的逆过程.解决由空间几 何体的直观图还原空间几何体的问题要注意画法步骤中有关规则的逆向转换,比如:直观图 中 x′轴与 y′轴的夹角为 45° (或 135° ),则需还原成 90° ,与 y′轴平行的线段还原时应为原 线段长度的 2 倍,且保持与 y 轴平行. 3.三视图与直观图有什么异同点? 提示:异同点如下表所示 两种视图 相同点与联系 都是空间几何体 的表现形式, 已知 一种形式可转化 为另一种形式. 三 视图需有一定的 空间想象能力才 能看懂, 供较专业 的人们使用 不同点 从三个不同位置观察得出的是三视图,它能体现各部分的 准确比例

三视图

直观图

从一个位置观察而得出的是直观图,它能直观地体现几何 体的形状,但某些方向上的尺寸失真

考点一

水平放置的平面图形的直观图的画法

用斜二测画法画出如图所示的正五边形的直观图.

[自主解答] (1)如图(1)所示,在已知正五边形 ABCDE 中,取中心 O 为原点,对称轴 FA 为 y 轴,过点 O 与 y 轴垂直的是 x 轴,分别过 B、E 作 BG∥y 轴,EH∥y 轴,与 x 轴分别交 于点 G、H.画对应的轴 O′x′,O′y′,使∠x′O′y′=45° . (2)如图(2)所示,以点 O′为中点,在 x′轴上取 G′H′=GH,分别过 G′、H′在 x′ 1 1 轴的上方作 G′B′∥y′轴使 G′B′= GB、作 H′E′∥y′轴使 H′E′= HE,在 y′ 2 2 1 1 轴的点 O′上方取 O′A′= OA,在点 O′下方取 O′F′= OF,并且以点 F′为中点, 2 2 画 C′D′∥x′轴,且使 C′D′=CD. (3)连接 A′B′,B′C′,C′D′,D′E′,E′A′,所得五边形 A′B′C′D′E′ 就是正五边形 ABCDE 的直观图,如图(3)所示.

1.在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的坐标系是关键,一般要使得平面多 边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点. 2.在直观图中确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容 易,但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上,就需要我们经过这些 点作坐标轴和平行线段与坐标轴相交,先确定这些平行线段在坐标轴上的端点的对应点,再 确定这些点的对应点. 3.同一个图形选取坐标系的角度不同,得到的直观图可能不同.

1. 如图所示, 梯形 ABCD 中, AB∥CD, AB=4 cm, CD=2 cm, ∠DAB=30° , AD=3 cm, 试画出它的直观图.

解:画法:步骤: (1)如图①所示,在梯形 ABCD 中,以边 AB 所在的直线为 x 轴,点 A 为原点,建立平面 直角坐标系 xOy.如图②所示,画出对应的 x′轴,y′轴,使∠x′O′y′=45° . (2)在图①中, 过 D 点作 DE⊥x 轴, 垂足为 E.在 x′轴上取 A′B′=AB=4 cm, A′E′ 3 1 1 3 =AE= 3≈2.598(cm);过点 E′作 E′D′∥y′轴,使 E′D′= ED= × =0.75(cm), 2 2 2 2 再过点 D′作 D′C′∥x′轴,且使 D′C′=DC=2 cm. (3)连接 A′D′、B′C′,并擦去 x′轴与 y′轴及其他一些辅助线,如图③所示,则四 边形 A′B′C′D′ 就是所求作的直观图.

考点二

空间几何体的直观图的画法

如图所示,已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.

[自主解答] 由这个三视图可以看出,该几何体是由一个长方体和一个以长方体的上底 面为底面的四棱锥拼接而成的. 步骤是:

(1)作出长方体的直观图 ABCD-A1B1C1D1,如图①. (2)再以上底面 A1B1C1D1 的对角线交点为原点建立空间直角坐标系,如图②所示,在 z′ 轴上取点 V′,使得 V′O′的长度为棱锥的高,连接 V′A1、V′B1、V′C1、V′D1 得到四 棱锥的直观图,如图②. (3)擦去辅助线和坐标轴,遮住部分用虚线表示,得到几何体的直观图,如图③. 1.利用斜二测画法画空间图形的直观图应遵循的基本原则 (1)画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下,长度和角度可适当选取.为了增强立 体感,被挡住的部分通常用虚线表示. (2)画法规则可简记为:两轴夹角为 45° ,竖轴垂直仍不变,平行不变,长度变,横竖不 变,纵折半. (3)画空间几何体的直观图,要注意选取适当的原点,建系画轴. 2.由三视图画几何体的直观图,首先要认清几何体的形状与大小,这是解决此类问题的 关键,然后按斜二测画法规则及其步骤作出其直观图.

2.某几何体的三视图如图所示,用斜二测画法画出它的直观图.

解:画法:(1)画轴.如图①,画 x 轴、y 轴、z 轴,使∠xOy=45° ,∠xOz=90° . (2)画圆台的两底面.利用斜二测画法,画出底面⊙O,在 z 轴上截取 OO′,使 OO′等 于三视图中相应的高度, 过 O′作 Ox 的平行线 O′x′, 作 Oy 的平行线 O′y′, 利用 O′x′ 与 O′y′画出上底面⊙O′(与画⊙O 一样). (3)画圆锥的顶点.在 Oz 上取点 P,使 PO′等于三视图中相应的高度. (4)成图.连接 PA′,PB′,A′A,B′B,整理得到三视图表示的几何体的直观图,如 图②.

【解题高手】 【妙解题】 如图是一梯形 OABC 的直观图,其直观图面积为 S,求梯形 OABC 的面积.

[巧思] 由直观图画平面图形,实际上就是斜二测画法画直观图的逆过程. 其过程主要包括: 45° (或 135° )的斜坐标系→平面直角坐标系; 平行于 x′轴的线段→平行于 x 轴,长度不变; 平行于 y′轴的线段→平行于 y 轴,长度加倍. [妙解] 设 O′C′=h, 则原梯形是一个直角梯形且高为 2h.C′B′=CB, O′A′=OA. 过 C′作 C′D⊥O′A′于 D,则 C′D= 2 h. 2

1 由题意知 C′D(C′B′+O′A′)=S, 2 2 即 h(C′B′+O′A′)=S. 4 又原直角梯形面积为 1 4S S′= · 2h(CB+OA)=h(C′B′+O′A′)= =2 2S. 2 2 所以梯形 OABC 的面积为 2 2S.

1.利用斜二测画法画边长为 3 cm 的正方形的直观图,正确的是(

)

答案:C 2.下面的说法中正确的是( ) A.水平放置的正方形的直观图可能是梯形 B.两条相交直线的直观图可能是平行直线 C.互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直 D.平行四边形的直观图仍然是平行四边形 答案:D

3. 如图, 是水平放置的△ABC 的直观图△A′B′C′, A′B′∥y′轴, 则△ABC 是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 解析:根据斜二测画法的规则,水平放置的直角三角形的直角边在直观图中与 y′轴平 行,但不一定是等腰直角三角形,故 D 错. 答案:C

4.如图所示为水平放置的正方形 ABCO,它在直角坐标系 xOy 中,点 B 的坐标为(2,2), 则在用斜二测画法画出的它的直观图中,顶点 B′到 x′轴的距离为________.

解析:画出直观图,BC 对应 B′C′,且 B′C′=1,∠B′C′x′=45° ,故顶点 B′ 2 到 x′轴的距离为 . 2 2 答案: 2 5.如图,是△AOB 用斜二测画法画出的直观图.则△AOB 的面积是________.

解析:由图易知△AOB 中,底边 OB=4,又底边 OB 的高线长为 8,

1 ∴面积 S= ×4×8=16. 2 答案:16 6.画出底面是正方形,侧棱均相等的四棱锥的直观图. 解:画法: (1)画轴.画 Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴,∠xOy=45° (或 135° ),∠xOz=90° ,如图(1).

(1) (2) (2)画底面.以 O 为中心在 xOy 平面内,画出正方形 ABCD 的直观图. (3)画顶点.在 Oz 轴上截取 OP,使 OP 的长度是原四棱锥的高. (4)成图.顺次连接 PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线,将被遮住的部分改为虚线,得四 棱锥的直观图(如图(2)).

一、选择题 1.建立坐标系,得到两个正三角形 ABC 的直观图不是全等三角形的一组是(

)

解析:在直观图中,平行于 x 轴(或在 x 轴上)的线段长不变,平行于 y 轴(或在 y 轴上)的 线段长减半.在 C 中,第一个图中,AB 不变,高减半,第二个图中,AB 减半,高不变,因 此两三角形(直观图)不全等. 答案:C 2.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是下图中的( )

解析:根据画直观图的方法,平行性不变,直观图中平行于 y 轴的原图中要垂直于 x 轴, 知 C 正确. 答案:C 3.已知△ABC 的平面直观图△A′B′C′是边长为 a 的正三角形,那么原△ABC 的面 积为( ) 3 3 6 A. a2 B. a2 C. a2 D. 6a2 2 4 2 解析:如图(1)为直观图,(2)为实际图形,取 B′C′所在直线为 x′轴,过 B′C′中点 O′与 O′x′成 45° 的直线为 y′轴, 过 A′点做 A′N′∥O′x′, 交 y′轴于 N′点, 过 A′ 3 点作 A′M′∥O′y′, 交 x′轴于 M′点. 则在直角三角形 A′O′M′中, ∵O′A′= 2

a,∠A′M′O′=45° ,∴M′O′=A′N′=

3 6 a,故 A′M′= a. 2 2

在直角坐标系中,在 x 轴上方 y 轴左侧取到 x 轴距离为 6a,到 y 轴距离为

3 a 的点 A, 2

1 6 则△ABC 为所求.显然 S△ABC= a· 6a= a2. 2 2 答案:C 4.一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一 样,已知长方体的长、宽、高分别为 20 cm、5 cm、10 cm,四棱锥的高为 8 cm,若按 1∶5 的比例画出它的直观图,那么直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高可分别为( ) A.4 cm,1 cm, 2 cm,1.6 cm B.4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm C.4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm D.4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm 解析:原图形中平行于 x 轴的线段在直观图中平行于 x′轴,且长度不变;原图形中平 行于 y 轴的线段在直观图中平行于 y′轴,且长度变为原来的一半. 答案:C 二、填空题 5.如图,正方形 O′A′B′C′的边长为 1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观 图,则原图形的周长是________.

解析:原图的边长为 1 cm 和 3 cm,所以周长为 8 cm. 答案:8 cm

6.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示,已知 A′C′=3,B′C′=2,则 AB 边上中线的实际长度为________. 解析:由题意知:△ABC 是直角三角形,AC=3,BC=4,AB=5,所以斜边 AB 上的中 线长等于斜边长的一半,即 2.5. 答案:2.5 7.直角坐标系中的点 M(4,4)在直观图中的对应点 M′的坐标为________. 解析:过点 M 分别作 x 轴,y 轴的垂线,垂足分别为 A,B,则 OA=4,OB=4,在直观 图中,过点 M′分别作 y′轴,x′轴的平行线,交点分别为 A′,B′.则 O′A′在 x′轴上, 长度仍为 4,O′B′在 y′轴上,长度变为原来的一半,为 2,则点 M′的坐标为(4,2). 答案:(4,2) 8.用斜二测画法画出的水平放置的一角为 60° ,边长是 4 cm 的菱形的直观图的面积是 ________. 3 2 解析:菱形的面积为 2× ×42=8 3,所以直观图的面积为 ×8 3=2 6. 4 4 答案:2 6

三、解答题 9.如图是由正方体 ABCE 和正三角形 CDE 所构成的平面图形,请画出其水平放置的直 观图.

解:(1)以 AB 所在直线为 x 轴,AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系(如图(1)),再建立坐 标系 x′O′y′,使两轴的夹角为 45° (如图(2)); (2)以 O′为中点,在 x′轴上截取 A′B′=AB; 分别过 A′,B′作 y′轴的平行线, 1 1 1 截取 A′E′= AE,B′C′= BC.在 y′轴上截取 O′D′= OD. 2 2 2 (3)连接 E′D′,E′C′,C′D′,得到平面图形 A′B′C′D′E′. (4)擦去辅助线,就得到所求的直观图(如图(3)).

10.如图所示,直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,且 AD>BC,该梯形绕边 AD 所在直线 EF 旋转一周得一几何体,画出该几何体的直观图和三视图.

解:直观图如图 a 所示,三视图如图 b 所示.

1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

1.多面体与旋转体的表面积公式 图形 多面体 表面积公式 多面体的表面积就是各个面的面积的和, 也就是展开 图的面积 底面积:S 底=πr2 侧面积:S 侧=2πrl 表面积:S=2πrl+2πr2 底面积:S 底=πr2 侧面积:S 侧=πrl 表面积:S=πrl+πr2 上底面面积:S 上底=πr′2 下底面面积:S 下底=πr2 侧面积:S 侧=πl(r+r′)表面积:S=π(r′2+r2+r′l +rl)

圆 柱 旋 转 体

圆 锥

圆 台

2.柱体、锥体、台体的体积 (1)柱体的体积: ①棱柱(圆柱)的高:指两底面之间的距离,即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线, 这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离. ②柱体的底面积为 S,高为 h,其体积 V=Sh,特别地,圆柱的底面半径为 r,高为 h, 其体积 V=πr2h. (2)锥体的体积: ①棱锥(圆锥)的高: 指从顶点向底面作垂线, 顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离. 1 ②锥体的底面积为 S,高为 h, 其体积 V= Sh,特别地,圆锥的底面半径为 r,高为 h, 3 1 2 其体积 V= πr h. 3 (3)台体的体积: ①圆台(棱台)的高:指两个底面之间的距离. 1 ②台体的上、下底面面积分别是 S′,S,高为 h,其体积 V= (S+ S′S+S′)h.特别 3 1 2 地,圆台的上、下底面半径分别为 r,r′,高为 h,其体积 V= π(r +rr′+r′2)h. 3

1.棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图是什么?

提示:棱柱的侧面展开图是平行四边形,一边是棱柱的侧棱,另一边等于棱柱的底面周 长,如图(1)所示;棱锥的侧面展开图是由若干个小三 角形拼成的.如图(2)所示;棱台的侧面展开图是由若干个梯形拼接而成的,如图(3).

2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间有什么关系? 提示:

3.柱、锥、台体的体积公式之间有什么关系? 提示:

考点一 计算空间几何体的表面积 如图所示的几何体是一棱长为 4 cm 的正方体, 若在其中一个面的中心位置上, 挖一个直径为 2 cm、深为 1 cm 的圆柱形的洞,求挖洞后几何体的表面积是多少?(π 取 3.14)

[自主解答] 正方体的表面积为 4×4×6=96(cm2). 圆柱的侧面积为 2π×1×1≈6.28(cm2). 则挖洞后几何体的表面积约为 96+6.28=102.28(cm2). 1. 求几何体的表面积时, 通常将所给几何体分成基本的柱、 锥、 台, 再通过这些基本柱、 锥、台的表面积,进行求和或作差,从而获得几何体的表面积. 2.组合体的表面积是组成它的简单几何体的表面积之和减去公共部分面积.

1. 圆台的上、 下底面半径分别是 10 cm 和 20 cm, 它的侧面展开图的扇环的圆心角是 180° , 那么圆台的表面积是多少?

解:如图所示,设圆台的上底面周长为 c,因为扇环的圆心角是 180° , 故 c=π·SA=2π×10, 所以 SA=20. 同理可得 SB=40, 所以 AB=SB-SA=20. 所以 S 表面积=S 侧+S 上+S 下 2 =π(r1+r2)· AB+πr1 +πr2 2 =π(10+20)×20+π×102+π×202 =1 100π (cm)2. 故圆台的表面积为 1 100π cm2. 考点二 计算空间几何体的体积 如图所示,在长方体 ABCD - A′B′C′D′中,用截面截下一个棱锥 C - A′DD′,求棱锥 C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比.

[自主解答] 设 AB=a,AD=b,DD′=c, 则长方体 ABCD-A′B′C′D′的体积 V=abc, 1 又 S△A′DD′= bc,且三棱锥 C-A′DD′的高为 CD=a. 2 1 1 ∴V 三棱锥 C-A′DD′= S△A′DD′· CD= abc. 3 6 1 5 则剩余部分的几何体体积 V 剩=abc- abc= abc. 6 6 1 5 故 V 棱锥 C-A′D′D∶V 剩= abc∶ abc=1∶5. 6 6 常见的求几何体体积的方法: (1)公式法:直接代入公式求解; (2)等积法:四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和高都易求的形式即 可; (3)补体法:将几何体补成易求解的几何体,如棱锥补成棱柱,三棱柱补成四棱柱等; (4)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积.

2.把由曲线 y=|x|和 y=2 围成的图形绕 y 轴旋转 360° ,所得旋转体的体积为( ) 8π 10π 6π 32π A. B. C. D. 3 3 3 3 1 解析: 由题意可知, 该旋转体为一底面半径为 2, 高为 2 的圆锥, 其体积 V= ×π×22×2 3 8π = . 3 答案:A

考点三

由三视图计算几何体的表面积和体积

(辽宁高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.

[自主解答]

由三视图可知该组合体的上方是一个高为 1,底面直径为 2 的圆柱,下方是一个长宽高 分别为 4,3,1 的长方体,如图所示,它的体积 V=1×π×12+4×3×1=12+π. [答案]12+π 根据几何体的三视图求其表面积与体积是新课标高考的热点考向,解决该类问题的步骤 为:(1)根据三 视图明确几何体的结构特征;(2)明确三视图中各数据所反映几何体的特征;(3)代入相应 的面积公式,体积公式求解.

3.(山东高考)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如右图所示,则 该四棱锥侧面积和体积分别是( )

A.4 5,8

B.4 5,

8 3

8 C.4( 5+1), 3

D.8,8

解析: 由题意可知该四棱锥为正四棱锥, 底面边长为 2, 高为 2, 侧面上的斜高为 22+12 1 1 2 8 ? = 5,所以 S 侧=4×? ?2×2× 5?=4 5,V=3×2 ×2=3. 答案:B 【解题高手】 【易错题】 把长和宽分别为 6 和 3 的矩形卷成一个圆柱的侧面,求这个圆柱的体积. 3 [错解] 设卷成的圆柱的底面半径为 r,母线长为 l,则 2πr=6,l=3,∴r= ,所以 V 圆 π 3 27 2 ?2 3= . l=π·? 柱=πr · ?π? · π [错因] 错解的原因是把宽当成母线,沿着矩形的长卷成圆柱,没有考虑到也可以沿着 矩形的宽卷成圆柱. [正解] 设卷成的圆柱的底面半径为 r,母线长为 l,则 3 ①当 2πr=6 时,r= ,l=3, π 3 27 所以 V 圆柱=πr2· l=π·( )2· 3= . π π

3 ②当 2πr=3 时,r= ,l=6, 2π 3 27 所以 V 圆柱=πr2· l=π·( )2· 6= . 2π 2π 27 27 所以所得圆柱的体积为 或 . π 2π

1.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是 1∶2∶3,对角线长为 2 14,则这个长方体 的体积是( ) A.6 B.12 C.24 D.48 解析:设长方体的棱长为 a,2a,3a,则 a2+(2a)2+(3a)2=(2 14)2, 即 14a2=4×14, ∴a2=4. ∴体积为 a×2a×3a=6a3=48. 答案:D 2.若一个四棱锥的底面的面积为 3,体积为 9,则其高为( ) 1 A. B.1 C.3 D.9 3 1 解析:设高为 h,则有 9= ×3h,故 h=9. 3 答案:D 3.圆柱的一个底面积是 S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是( ) 2 3 A.4πS B.2πS C.πS D. πS 3 S S 解析:底面半径是 ,所以正方形的边长是 2π =2 πS,故圆柱的侧面积是(2 πS)2 π π =4πS. 答案:A 4.三棱锥 S—ABC 中,面 SAB,SBC,SAC 都是以 S 为直角顶点的等腰直角三角形,且 AB=BC=CA=2,则三棱锥 S—ABC 的表面积是__________. 解析:设侧棱长为 a,则 2a=2,a= 2, 1 3 侧面积为 3× ×a2=3,底面积为 ×22= 3, 2 4 表面积为 3+ 3. 答案:3+ 3 5.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 3,则这个圆锥的表面积是________. 解析:设圆锥的底面半径为 r,由于轴截面面积为 3,则 r=1,母线长为 2. 1 ∴S 侧= ×2×2π=2π,S 底=π×12=π, 2 ∴S 表=2π+π=3π. 答案:3π 6.如图是一个几何体的三视图(单位:cm),画出它的直观图,并求出它的体积和表面 积.(精确到 1 cm).

解:直观图为一个正四棱台,如图所示. AB=10 cm,A1B1=6 cm, 棱台的高 h=8 cm,棱台的体积 1 V 台= ×(100+36+ 100×36)×8≈523(cm3). 3 棱台的斜高 h′= 82+22= 68=2 17. 6+10 S 表=10×10+6×6+4× ×2 17=136+64 17≈400(cm2). 2

一、选择题 1 .已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方体,则这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ( ) 1+2π 1+4π 1+2π 1+4π A. B. C. D. 2π 4π π 2π 解析:设圆柱的底面半径为 r,高为 h,则 h=2πr,∴S 全=2πr2+2πrh=2πr2(1+2π), S全 1+2π 又 S 侧=h2=4π2r2,∴ = . 2π S侧 答案:A 2.如图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为 2 和 4,腰 长为 4 的等腰梯形,则该几何体的侧面积是( )

A.6π B.12π C.18π D.24π 解析:由三视图知,该几何体为一母线长等于 4,上、下底底面半径分别为 1 和 2 的圆 台. ∴S 侧=π×4(1+2)=12π. 答案:B 1 3.如下图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 ,则该几何 2 体的俯视图可以是( )

1 1 解析:由三视图的概念可知,此几何体高为 1,其体积 V=Sh=S= ,即底面积 S= , 2 2 结合选项可知,俯视图为三角形. 答案:C 4.(北京高考)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( )

A.28+6 5 C.56+12 5

B.30+6 5 D.60+12 5

解析:该三棱锥的直观图,如图所示,其中侧面 PAC⊥底面 ABC,PD⊥AC,AC⊥BC, 1 1 可得 BC⊥平面 PAC,从而 BC⊥PC.故 S△PAC= ×5×4=10;S△ABC= ×5×4=10;PC=5, 2 2 1 所以 S△PBC= ×4×5=10;由于 PB= PD2+BD2= 16+25= 41,而 AB= 52+42= 41, 2 1 故△BAP 为等腰三角形,取底边 AP 的中点 E,连接 BE,则 BE⊥PA,又 AE= PA= 5,所 2 1 以 BE= 41-5=6,所以 S△PAB= ×2 5×6=6 5.所以所求三棱锥的表面积为 10+10+10 2 +6 5=30+6 5. 答案:B 二、填空题 5.已知圆锥 SO 的高为 4,体积为 4π,则底面半径 r=________. 1 解析:由已知得 4π= πr2×4,解得:r= 3. 3 答案: 3 6.一个正三棱柱的三视图如下图所示,则这个几何体的表面积是________.

解析:由三视图可知该正三棱柱底面边长是 4,高为 2,则其表面积 1 S=3×4×2+2× ×4×4×sin 60° =24+8 3. 2 答案:24+8 3 7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于________.

解析:

根据该几何体的三视图可得其直观图如图所示,是底面为直角梯形的直四棱柱,且侧棱 AA1=4,底面直角梯形的两底边 AB=2,CD=5,梯形的高 AD=4,故该几何体的体积 V= 2+5 ? 4×? ? 2 ×4?=56. 答案:56 8.如图是一个几何体的三视图,若它的体积是 3 3,则 a=________.

解析:由三视图可知,此几何体为直三棱柱,其底面为一边长为 2,高为 a 的等腰三角 1 形,由棱柱的体积公式得: ×2×a×3=3 3,∴a= 3. 2 答案: 3 三、解答题 9. 图中所示的图形是一个底面直径为 20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯, 水中放着 一个底面直径为 6 cm,高为 20 cm 的一个圆锥体铅锤,当铅锤从水中取出后,杯里的水将下 降多少?

解:因为玻璃杯是圆柱形的,所以铅锤取出后,水面下降部分实际是一个小圆柱,这个 圆柱的底面与玻璃杯的底面一样,是一直径为 20 cm 的圆,它的体积正好等于圆锥体铅锤的 体积,这个小圆柱的高就是水面下降的高度. 6?2 1 3 因为圆锥形铅锤的体积为 ×π×? ?2? ×20=60π cm . 3 设水面下降的高度为 x,则小圆柱的体积为 π×(20÷ 2)2×x=100πx cm3.

所以有下列方程 60π=100πx,解此方程得 x=0.6 cm. 答:铅锤取出后,杯中水面下降了 0.6 cm. 10.已知一个几何体的三视图如下,试求它的表面积和体积.(单位: cm)

解:图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱,且直棱柱的某个侧面在水平 面上. 直角梯形的上底为 1,下底为 2,高为 1;棱柱的高为 1. 可求得直角梯形的四条边的长度为 1,1,2, 2. 1 3 所以此几何体的体积 V=S 梯形· h= ×(1+2)×1×1= (cm3). 2 2 1 表面积 S 表面 =2S 底+S 侧= ×(1+2)×1×2+(1+1+2+ 2)×1=(7+ 2)(cm2). 2 1.3.2 球的体积和表面积

4 1.球的体积公式:设球的半径为 R,则球的体积为 V= πR3. 3 2.球的表面积公式:设球的半径为 R,则球的表面积为 S=4πR2.

1.若一个球的体积等于其表面积,则其半径为多少? 4 提示:设半径为 R,则 πR3=4πR2,得 R=3. 3 2.若球与正方体的六个面均相切,则球的直径与正方体的棱长有什么关系? 提示:相等. 3.若长方体的 8 个顶点在同一个球面上,则长方体的对角线与球的直径有什么关系? 提示:相等.

考点一

球的表面积和体积的计算 ) 64π D. 3

A.12π

32π (1)球的体积是 ,则此球的表面积是( 3 16π B.16π C. 3

(2)一个平面截一球得到直径为 6 cm 的圆面,球心到这个圆面的距离为 4 cm,则球的体 积为( ) 100π 208π 500π 416 13π A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 3 3 3 3 [自主解答] (1)设球的半径为 R,则由已知得 4 32π V= πR3= ,R=2. 3 3 ∴球的表面积 S=4πR2=16π. (2)由球的性质知,球的半径 R= 32+42=5, 4π 500π ∴V 球= ×53= (cm3). 3 3 [答案] (1)B (2)C 1. 遇到球的表面积及体积的有关计算问题时, 我们的分析方向就是要充分利用条件去确 定球心的位置和半径,只要这两点确定了,球的表面积及体积问题就会迎刃而解. 2.球半径 R、截面圆半径 r 和球心至截面的距离 d 构成直角三角形,满足 R2=r2+d2. a 1.64 个直径都为 的球,记它们的体积之和为 V 甲,表面积之和为 S 甲;一个直径为 a 4 的球,记其体积为 V 乙,表面积为 S 乙,则( ) A.V 甲>V 乙且 S 甲>S 乙 B.V 甲<V 乙且 S 甲<S 乙 C.V 甲=V 乙且 S 甲>S 乙 D.V 甲=V 乙且 S 甲=S 乙 4 a?3 1 解析:由已知得:V 甲= π·? ×64= πa3, 3 ?8? 6 a?2 2 S 甲=4π·? ?8? ×64=4πa , 4 a?3 1 3 V 乙= π? = πa , 3 ?2? 6 a?2 2 S 乙=4π·? ?2? =πa . ∴V 甲=V 乙,S 甲>S 乙. 答案:C 考点二 与球有关的简单组合体

若半球内有一内接正方体,则这个半球的表面积与正方体的表面积之比是 ) A.5π∶12 B.5π∶6 C.2π∶3 D.3π∶4 [自主解答] 正方体内接于半球,即正方体的四个顶点在半球面上,另外四个顶点在半 球的底面圆上.如图所示的是内接正方体的对角面, (

设正方体的棱长为 a, 2 则 O1B= a, 2 在 Rt△OEB 中,OB=R(球的半径),OE= ∴R2=( 2 2 3 a) +a2= a2, 2 2 2 a,BE=a, 2

而 S 正方体表=6a2, 1 9πa2 S 半球表= ×4πR2+πR2= , 2 2 9π ∴S 半球表∶S 正方体表= a2∶6a2=3π∶4. 2 [答案] D 若半径为 R 的球内有一内接正方体,则这个球与正方体的体积之比是多少? 3 解:设正方体棱长为 a,则有 3a=2R.即 R= a. 2 4 3 3 3 3 故 V 球= π× a = πa3.V 正方体=a3. 3 8 2 V球 3π ∴ = . 2 V正方体 1.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切 点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图.如球内切于正方体, 切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点 均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径. 2.球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面解题,球与多面体的组合,通过多面体的一 条侧棱和球心,或“切点”“接点”作出截面图.

2. 有一个倒圆锥形容器, 它的轴截面是一个正三角形, 在容器内放一个半径为 r 的铁球, 并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度. 解:由题意知,圆锥的轴截面为正三角形,如图所示为圆锥的轴截面.

根据切线性质知,当球在容器内时,水深为 3r,水面的半径为 3r,则容器内水的体积 为 1 4 5 V=V 圆锥-V 球= π·( 3r)2· 3r- πr3= πr3,而将球取出后,设容器内水的深度为 h,则水 3 3 3 3 1 1 3 面圆的半径为 h,从而容器内水的体积是 V′= π·? h?2· h= πh3, 3 3 ?3 ? 9 3 由 V=V′,得 h= 15r. 3 ∴这时容器中水的深度为 15r. 【解题高手】 【妙解题】 正三棱锥的高为 1,底面边长为 2 6,内有一个球与四个面都相切.求球的半径.

[巧思]

过一条侧棱及球心作一截面将空间正三棱锥与球的内切问题转化为三角形与圆

的相切问题求解. [妙解] 过 PA 与球心 O 作截面 PAE 与平面 PCB 交于 PE,与平面 ABC 交于 AE,因△ ABC 是正三角形,易知 AE 即是△ABC 中 BC 边上的高,又是 BC 边上的中线,作 为正三棱锥的高 PD 通过球心 O, 且 D 是三角形 ABC 的重心, 据此根据底面边长为 2 6, 即可算出

1 1 3 DE= AE= × ×2 6= 2, 3 3 2 PE= 1+? 2?2= 3, r 1-r 由△POF∽△PED,知 = , DE PE r 1-r ∴ = . 2 3 r= 6-2.

1.若球的过球心的圆面圆周长是 C,则这个球的表面积是 ( ) C2 C2 C2 2 A. B. C. D.2πC 4π 2π π C 解析:由 2πR=C,得 R= , 2π C2 ∴S 球面=4πR2= . π 答案:C 2.把半径分别为 6 cm,8 cm,10 cm 的三个铁球熔成一个大铁球,这个大铁球的半径为 ( ) A.3 cm B.6 cm C.8 cm D.12 cm 4 3 4 3 4 3 4 3 解析:由 πR = π·6 + π·8 + π·10 , 3 3 3 3 得 R3=1 728,检验知 R=12. 答案:D 3. (新课标全国卷)平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1, 球心 O 到平面 α 的距离为 2, 则此球的体积为( ) A. 6π B.4 3π C.4 6π D.6 3π

解析:利用截面圆的性质先求得球的半径长. 如图,设截面圆的圆心为 O′,M 为截面圆上任一点,则 OO′= 2,O′M=1, ∴OM= ? 2?2+1= 3,即球的半径为 3, 4 ∴V= π( 3)3=4 3π. 3 答案:B

4.(新课标全国卷Ⅰ)已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面 α, H 为垂足,α 截球 O 所得截面的面积为 π,则球 O 的表面积为________.

解析:如图,设截面小圆的半径为 r,球的半径为 R,因为 AH∶HB=1∶2,所以 OH= 1 ?2 1 2 9 R.由勾股定理,有 R2=r2+OH2,又由题意得 πr2=π,则 r=1,故 R2=1+? ?3R? ,即 R =8. 3 9π 由球的表面积公式,得 S=4πR2= . 2 9π 答案: 2 5. 已知一个正方体的 8 个顶点都在同一个球面上, 则球的表面积与这个正方体的全面积 之比为________. 解析:设正方体棱长为 a,外接球半径为 R. 2R 2 3 由题,有: 3a=2R,∴a= = R. 3 3 S球面 4πR2 4πR2 π ∴ = 2= = . S正全 6a 2 3 2 2 6? R? 3 π 答案: 2 6.如图所示,半径为 R 的半圆内的阴影部分以直径 AB 所在直线为轴,旋转一周得到一 几何体,求该几何体的表面积.(其中∠BAC=30° )

解:如图所示,过 C 作 CO1⊥AB 于 O1. 在半圆中可得∠BCA=90° ,∠BAC=30° , AB=2R, 3 ∴AC= 3R,BC=R,CO1= R. 2

∴S 球=4πR2. 3 3π R× 3R= R2, 2 2 3 3π 2 S 圆锥 BO1 侧=π× R×R= R, 2 2 ∴S 几何体表=S 球+S 圆锥 AO1 侧+S 圆锥 BO1 侧 S 圆锥 AO1 侧=π×



11π 2 3π 2 11+ 3 2 R+ R= πR . 2 2 2

11+ 3 2 故旋转所得几何体的表面积为 πR . 2

一、选择题 1.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是(

)

A.32π B.16π C.12π D.8π 解析:由三视图知,该几何体为半径为 2 的半球. ∴S 表=2πR2+πR2=3π×22=12π. 答案:C 2.一个球的外切正方体的全面积等于 6 cm2,则此球的体积为( ) 4 6 1 6 A. π cm3 B. π cm3 C. π cm3 D. π cm3 3 8 6 6 解析:由题意,球的直径与正方体棱长相等,设正方体棱长为 a,则 6a2=6,故 a=1, 4 1?3 1 所以 V 球= π? = π (cm3). 3 ?2? 6 答案:C 3.已知高与底面直径之比为 2∶1 的圆柱内接于球,且圆柱的体积为 500π,则球的体积 为( ) 500 2 500 2 500 5 12 500 A. π B. π C. π D. π 3 3 3 3 解析:设圆柱的底面半径为 r,则高为 4r,由题知 πr2· 4r=500π,则 r=5,设球的半径 4π 2 500 5π 为 R,则 R2=r2+4r2=125,∴R=5 5,故球的体积为 V= ×(5 5)3= . 3 3 答案:C 4.过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的 比为( ) 3 9 3 9 A. B. C. D. 16 16 8 32

解析:如图,设球的半径为 R,O1 为半径 OA 的中点,则截面圆半径 R?2 3 r=O1B= R2-? ? 2 ? = 2 R. 3 π·? R?2 ?2 ? 3 所以所求比为 = . 4πR2 16 答案:A

二、填空题 5. 用过球心的平面将一个球平均分成两个半球, 则两个半球的表面积和是原来整球表面 积的________倍. 解析:设球的半径为 R,则 S 球表=4πR2.分成两个半球后,表面积为原来球的表面积再加 上两个圆面面积,S 圆=πR2. ∴两个半球的表面积和 S=S 球表+2S 圆=6πR2. ∴S∶S 球表=3∶2. 3 答案: 2 3 2 6.(新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为 ,底面边长为 3,则以 O 为 2 球心,OA 为半径的球的表面积为________. 1 解析:过 O 作底面 ABCD 的垂线段 OE,则 E 为正方形 ABCD 的中心.由题意可知 3 3 2 3 2 ×( 3)2×OE= ,所以 OE= ,故球的半径 R=OA= OE2+EA2= 6,则球的表面积 3 2 S=4πR2=24π. 答案:24π 7. 湖面上漂着一个小球, 湖水结冰后将球取出, 冰面上留下了一个直径为 12 cm, 深 2 cm 2 的空穴,则该球的半径是________cm,表面积是________cm . 解析:设球的半径为 R,则 R2=62+(R-2)2, 解得 R=10 cm,表面积 S=4πR2=400π cm2. 答案:10 400π 8.如图所示,一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中,装有适量的水,若放入一个半径为 r R 的实心铁球,水面高度恰好升高 r,则 =________. r

解析:水面高度上升 r,则圆柱体积增加 πR2· r, 恰好是半径为 r 的实心铁球的体积,因此 4 R 2 3 得 πr3=πR2· r,∴ = . 3 r 3 2 3 答案: 3 三、解答题 9.某个几何体的三视图如图所示(单位:m). (1)求该几何体的表面积(结果保留 π); (2)求该几何体的体积(结果保留 π).

解: 由三视图可知, 该几何体的下半部分是棱长为 2 m 的正方体, 上半部分是半径为 1 m 的半球.

1 (1)该几何体的表面积为 S= ×4π×12+6×22-π×12=(24+π)(m2). 2 1 4 (2)该几何体的体积为 V=23+ × ×π×13= 2 3 2π ?8+ ?(m3). 3? ? 10.有三个球,第一个球内切于正方体六个面,第二个球与这个正方体各条棱相切,第 三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比. 解:设正方体的棱长为 a. (1)正方体的内切球球心是正方体的中心, 切点是六个面的中心, 经过四个切点及球心作截面如图①, a 2 所以有 2r1=a,r1= .所以 S1=4πr2 1=πa . 2

(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点, 过球心作正方体的对角面得截面,如图②,2r2= 2a,r2= 2 2 a,所以 S2=4πr2 =2πa2. 2

(3)正方体的各个顶点在球面上, 过球心作正方体的对角面得截面, 3 如图③,所以有 2r3= 3a,r3= a, 2 2 所以 S3=4πr2 3=3πa . 由上知:S1∶S2∶S3=1∶2∶3.

1.空间几何体的结构特征

2.空间几何体的投影

3.空间几何体的度量

考点一

空间几何体的三视图与直观图

如图所示是一个几何体的三视图,试根据三视图说出这个几何体的名称,并 画出这个几何体的大致形状.

[解] 由三视图可知给出的几何体是一个三棱柱,如图所示:

[借题发挥] 简单几何体的三视图与直观图的互化问题应注意:一要确定正视、俯视、 侧视的方向与直观图的对应性,同一物体放置位置的不同,其三视图可能会有不同;二是三 视图和直观图中看不见的轮廓线皆画成虚线. 1.画出下列空间几何体的三视图.

解:图(1)的三视图如图①、②、③. 图(2)的三视图如图④、⑤、⑥.

2.下面是 3 个三视图和 3 个实物图,请将三视图和实物图正确配对.

解:(1)的实物图是 B;(2)的实物图是 C;(3) 的实物图是 A. 考点二 空间几何体的表面积与体积的计算 如图所示,已知一个火箭的上面部分是一个圆锥,其高为 5 m,底面半径为 1 m, 中间部分是一个圆柱,其高为 10 m,底面半径为 1 m,最后部分是一个圆台,其高为 1 m,

上底半径为 1 m,下底半径为 1.2 m,求该火箭的表面积和体积.(保留两位小数)

[解] 该火箭的表面积为 S 表=S 锥侧+S 柱侧+S 台侧+S 圆台下底 =π×1× 52+12+2π×1×10+π× ?1.2-1?2+12×(1+1.2)+π×1.22≈90.42(m2). 1 1 该火箭的体积为 V= π×12×5+π×12×10+ π×1×(12+1×1.2+1.22)≈40.46(m3). 3 3 [借题发挥] 若求柱体、锥体、台体、球体的表面积与体积,只需先找出公式中相关量, 计算即可,而对于不规则的几何体等简单组合体,需采取间接法,如割补法等求解. 3.(浙江高考)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )

A.108 cm3 B.100 cm3 C.92 cm3 D.84 cm3 解析:根据几何体的三视图可知,所求几何体是一个长方体截去一个三棱锥,∴几何体 1 1 的体积 V=6×6×3- × ×4×4×3=100 cm3,故选 B. 3 2 答案:B 4.如图(1)所示,已知正方体面对角线长为 a,沿阴影面将它切割成两块,拼成如图(2) 所示的几何体,那么此几何体的全面积为( )

A.(1+2 2)a2 C.(3-2 2)a2 解析:正方体的边长为 (2+ 2)a2. 答案:B

B.(2+ 2)a2 D.(4+ 2)a2 2 2 a 2 a,新几何体的全面积 S=2× a×a+2×? a?2+2×a× = 2 2 2 ?2 ?

5.如图已知底面半径为 r 的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为 a,最小 值为 b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是________. 解析: 在该几何体的上面,再补一个倒立的同样几何体,则构成底面半径为 r,高为 a +b 的圆柱. 1 ∴其体积为 πr2(a+b). 2 πr2?a+b? 答案: 2

6.如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋,如果冰淇淋融化了,会溢 出杯子吗?请用你的计算数据说明理由. 1 4 1 4 解:因为 V 半球= × πR3= × π×43≈134(cm3), 2 3 2 3 1 2 1 V 圆锥= πr h= π×42×12≈201(cm3). 3 3 因为 V 半球<V 圆锥, 所以,冰淇淋融化了,不会溢出杯子.

(时间 90 分钟,满分 120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. 如图所示, 在三棱台 A′B′C′—ABC 中, 截去三棱锥 A′—ABC, 则剩余部分是( )

A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.组合体 解析:剩余部分是四棱锥 A′—BCC′B′. 答案:B 2.下列说法中正确的是( ) A.直角梯形绕其一边旋转形成圆台 B.直角三角形绕其一边旋转形成圆锥 C.圆柱不是旋转体 D.圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的 解析:圆台是直角梯形绕垂直于底边的腰所在的直线旋转而得到的,故 A 不正确;圆锥 是直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转而得到的,故 B 不正确;而圆柱、圆锥、圆台、 球都是旋转体,故 C 不正确. 答案:D 3.过棱柱不相邻两条侧棱的截面是( ) A.矩形 B.正方形 C.梯形 D.平行四边形 解析:注意平行四边形包括矩形. 答案:D 4. 如图所示的水平放置的三角形 ABC 的直观图, D 是△ABC 的 BC 边的中点, 那么 AB, AD,AC 三条线段的长度关系( )

A.AB>AC B.AC>AB C.AB=AC>AD D.AD>AC>AB 解析:由斜二测画法的规则知,AB=AC>AD. 答案:C 5.面积为 Q 的正方形,绕其一边旋转一周,则所得几何体的侧面积为( ) A.πQ B.2πQ C.3πQ D.4πQ 解析:设正方形边长为 a,则 a= Q,S 侧=2π·a· a=2πQ. 答案:B 6.正六棱台的两底边长分别为 1 cm,2 cm,高是 1 cm,它的侧面积为( ) 9 7 2 A. cm2 B.9 7 cm2 C. 3 cm2 D.3 2 cm2 2 3 7 解析:棱台的斜高为 , 2 1 7 9 7 ∴S 侧=6× ×(1+2)× = . 2 2 2 答案:A 7. 如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面, 下底面圆心为顶点的 圆锥而得到的几何体,现用一个竖直的平面去截这个几何体, 则截面图形可能是( )

A.(1)(2) B.(1)(3) C.(1)(4) D.(1)(5) 解析:当该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为(1),当不过上、下底的中心时,截面 图形为(5),故 D 正确. 答案:D 8.(江西高考)一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.200+9π B.200+18π C.140+9π D.140+18π 解析:这个几何体由上、下两部分组成,下半部分是一个长方体,其中长、宽、高分别 6 为 6+2+2=10、1+2+1=4、5;上半部分是一个横放的半圆柱,其中底面半径为 =3、母 2

1 线长为 2,故 V=10×4×5+ π×32×2=200+9π. 2 答案:A 9.正六棱柱的底面边长为 2,最长的一条对角线长为 2 5,则它的表面积为( A.4(3 3+4) B.12( 3+2) C.12(2 3+1) D.3( 3+8)

)

解析:如图所示, 3 S=12× ×22+6×2×2=12 3+24 4 =12( 3+2). 答案:B 10.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段,那么圆锥被分成的三部分 的体积的比是( ) A.1∶8∶27 B.1∶1∶1 C.1∶7∶19 D.1∶2∶3

解析:如图所示是圆锥的轴截面,两个平行于圆锥底面的平面将圆锥分成了两个圆台和 一个圆锥,设它们的高为 h,小锥体的底面半径以及圆台的底面半径,依次为 r1、r2、r(从上 到下),体积依次为 V1、V2、V3,大圆锥的体积为 V, 1 2 πr h V1 3 1 1 r2 1 h 2 1 1 = = ·2= · ( )= , V 1 2 3 r 3 3h 27 πr · 3h 3 V1+V2 8 同理: = . V 27 V1+V2 19 V2 8 V1 7 V3 ∴ = - = , =1- = . V 27 V 27 V V 27 ∴V1∶V2∶V3=1∶7∶19. 答案:C 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,满分 20 分.把答案填写在题中的横线上) 11.如图(1)、(2)所示的三视图代表的立体图形分别是________.

解析:由三视图的特征想象原几何体的特征分别为正六棱锥和两个圆台的组合体. 答案:正六棱锥、两个圆台的组合体 12.球的半径扩大为原来的 2 倍,它的体积扩大为原来的________倍.

4 32 解析:设原球的半径为 r,则扩大为 2 倍后为 2r,V 扩= π×(2r)3= πr3.原来球的体积 V 3 3 4 = πr3,故体积扩大为原来的 8 倍. 3 答案:8 13.长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3,4,5,且它的 8 个顶点都在同一球面上,则这 个球的表面积是________. 解析:长方体的对角线是球的直径,l= 32+42+52=5 2. 5 2 2R=5 2,∴R= ,∴S=4πR2=50π. 2 答案:50π 14.在棱长为 1 的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去 8 个棱锥后,剩下的凸多面体的体积为________. 1 1 1 1 1 1 1 解析:截去的每个小三棱锥体积为 × × × × = ,所以截去部分的体积为 8× = 3 2 2 2 2 48 48 1 1 5 ,即剩余部分的体积为 1- = . 6 6 6 5 答案: 6 三、解答题(本大题共 4 个小题,满分 50 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤) 15.(本小题满分 12 分)画出如图所示的直三棱柱和正五棱柱的三视图.

解:如图(1)是直三棱柱的三视图,图(2)是正五棱柱的三视图.

16.(本小题满分 12 分)如图,已知几何体的三视图(单位:cm).

(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法); (2)求这个几何体的表面积及体积.

解:(1)这个几何体的直观图如图所示. (2)这个几何体可看成是由正方体 AC1 及直三棱柱 B1C1Q—A1D1P 的组合体. 由 PA1=PD1= 2,A1D1=AD=2,可得 PA1⊥PD1. 故所求几何体的表面积 1 S=5×22+2×2× 2+2× ×( 2)2=22+4 2(cm2), 2 1 所求几何体的体积 V=23+ ×( 2)2×2=10(cm3). 2 17.(本小题满分 12 分)有一个轴截面为正三角形的圆锥容器,内放一个半径为 R 的内切 球,然后将容器注满水,现把球从容器中取出,水不损耗,且取出球后水面与圆锥底面平行 形成一个圆台体,问容器中水的高度为多少. 解:作出圆锥和球的轴截面(如右图所示),设圆锥底面半径为 r,母线长为 l,高为 h, 则

R = 3R,l=2r=2 3r, tan 30° h= 3r=3R, π 4π ∴V 水= r2h- R3 3 3 π 2 4π 3 5π 3 = · 3R · 3R- R = R . 3 3 3 球取出后,水形成一个圆台,设圆台上底面半径为 r′,高为 h′,则下底面半径 r= 3 r= R, h′=(r′-r′) tan 60° = 3( 3R-r′), 5π 3 π 2 2 ∴ R = h′(r +r′ +rr′), 3 3 3 ∴5R = 3( 3R-r′)(r′2+ 3Rr′+3R2), ∴5R3= 3(3 3R3-r′3), 解得 r′= 3 6 16 4 R= R, 3 3

3 ∴h′=(3- 12)R. 18.(本小题满分 14 分)如图,在四边形 ABCD 中,∠DAB=90° ,∠ADC=135° ,AB=5, CD=2 2,AD=2,若四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周成为几何体. (1)画出该几何体的三视图; (2)求出该几何体的表面积.

解:(1)

(2)下底圆面积 S1=25π, 台体侧面积 S2=π×(2+5)×5=35π, 锥体侧面积 S3=π×2×2 2=4 2π, 故表面积 S=S1+S2+S3=(60+4 2)π.



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