9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> >>

流体力学4


第四章

流体动力学基础 流体动力学基础

学习要点: 学习要点 :本章是该门课程的重点,熟练掌握三大方程的应用、伯努利方程的物理意义和流体力学意

义、适用条件及其修正等;掌握流函数与速度势函数的存在条件及其计算等;了解应力与应 变之间的关系、理想流体的无漩流与有漩流、势流叠加原理等。

第一节

流体的运动微分方程

连续性微分方程是控制流体运动的运动学方程,还 需建立控制流体运动的动力学方程,这就是流体的运动 微分方程。 一 、 理想流体运动微分方程 在运动的理想流体中,取微小平行六面体(质点), 正交的三个边长 dx,dy,dz,分别平行于 x,y,z 坐标轴(图 4 ,速度 u 压强 p ,分析该微 —1)。设六面体的中心点 o' 小六面体 x 方向的受力和运动情况。 1.表面力:理想流体内不存在切应力,只有压强。 图 4—1 连续性微分方程

x 方向受压面(abcd 面和 a′b′c′d ′ 面)形心点的压强为:
pM = p 1 2 pN = p +
p x

dx dx

(4—1)

1 p 2 x

(4—2) (4—3) (4—4) (4—5)

受压面上的压力为: PM = p M dydz

PN = p N dydz
质量力: 由牛顿第二定律 [(p
1 p 2 x

FBx = Xρdxdydz

∑F
p x

x

= m dux ,得: dt
du x dt
,化简得:

dx) -( p + 1 2

dx )] dydz + Xρdxdydz = ρdxdydz
1 X ρ p = du x x dt du y p 1 Y ρ y = dt du z 1 p Z ρ z = dt

(4—6)

45

1 X ρ p = utx + u x uxx + u y uyx + u z uzx x u u u u p 1 将加速度项展成欧拉法表达式 Y ρ y = ty + u x xy + u y yy + u z zy u z u z u z u z 1 p Z ρ z = t + u x x + u y y + u z z
1 f ρ p = u t

(4—7)

用矢量表示为:

+ u u

( )

(4—8)

上式即理想流体运动微分方程式,又称欧拉运动微分方程式。该式是牛顿第二定律的表 达式,因此是控制理想流体运动的基本方程式。 1755 年欧拉在所著的《流体运动的基本原理》中建立了欧拉运动微分方程式(4—7),及 上一节所述的连续性微分方程式。对于理想流体的运动,含有 ux , uy , uz 和 p 四个未知量,由 式(3—30)和式(3—36)组成的基本方程组,满足未知量和方程式数目一致,流动可以求解。 因此说,欧拉运动微分方程和连续性微分方程奠定了理想流体动力学的理论基础。 二 、 粘 性 流体运动微分方程 一切实际流体都具有粘性,理想流体运动微分方程存在局限。为此需要建立粘性流体的 运动微分方程,本书不做详细推导,仅从物理概念上做简要说明。 粘性流体 流体的动压强 1. 粘性 流体 的动压强 理想流体因无粘滞性,运动时不出现切应力,只有法向应力,即动压强 p 。用类似分析 流体静压强特性的方法,便可证明任一点动压强的大小与作用面的方位无关,是空间坐标和 时间变量的函数,即: p = p ( x, y, z , t ) 。 粘性流体的应力状态和理想流体不同,由于粘性作用,运动时出现切应力,使任一点的 法向应力的大小与作用面的方位有关。如以应力符号的第—个下角标表示作用面的方位,第 二个角标表示应力的方向,则法向应力 p xx ≠ p yy ≠ p zz ,进—步研究证明,同一点任意三个 正交面上的法向应力之和都不变,即

p xx + p yy + p zz = pξξ + pηη + pζζ

(4—9)

据此,在粘性流体中,把某点三个正交面上的法向应力的平均值定义为该点的动压强以 p 表示:

p=

1 3

(p

xx

+ p yy + p zz )

(4—10)

如此定义,粘性流体的动压强也是空间坐标和时间变量的函数:

p = p( x, y, z , t )
2.应力和变形速度的关系

(4—11)

粘性流体的应力与变形速度有关,其中法向应力与线变形速度有关,切应力则与角变形 速度有关。 流动中某点的动压强 p 是过该点三个相互正交平面上法向应力的平均值,同某一平面上 的法向应力有一定差值,称为附加法向应力,以 p ' xx , p ' yy, p ' zz 。表示,它是流体微团在法线 方向上发生线变形(伸长或缩短)引起的。

46

p xx = p + p ′ = p 2 uxx xx u y p yy = p + p ′yy = p 2 y u p zz = p + p ′ = p 2 zz zz
切应力与角变形速度的关系,在简单剪切流动中符合牛顿内摩擦定律 τ = u 内摩擦定律推广到一般空间流动,得出:

(4—12)

du ,将牛顿 dy

τ yz = τ zy = τ zx = τ xz = τ xy = τ yx =
3. 粘性流体运动微分方程

(

(

u z y

+ + +

u y z u z x u x y

(

u x z u y x

)

) )
(4—13)

采用类似于推导理想流体运动微分方程式(4—6)的方法,取微小平行六面体,根据牛顿 第二定律建立以应力(包括切应力)表示的运动微分方程式,并以式(4—12)、式(4—13)代人 整理,使得到粘性流体运动微分方程:
1 X ρ p + v 2u x = utx + u x uxx + u y uyx + u z uzx x u y u y u y u y p 2 1 Y ρ y + v u y = t + u x x + u y y + u z z u z u z u z u z 2 1 p Z ρ z + v u z = t + u x x + u y y + u z z

(4—14)

用矢量表示为: f +
式中:
2

ρ

1

p + v 2 u =
2

u t

+ u u

( )

(4—15)

=

2 x 2

+ y 2 + z 2
2

——拉普拉斯( Laplace )算子。

自欧拉提出理想流体运动微分方程以来,法国工程师纳维(Claude.Louis.Marie.Henri. Navier,1785.2.10~1836.8.21,法国力学家、工程师)和英国数学家斯托克斯(G.Stokes,1819
-1903 )等人经过近百年的研究,最终完成现在形式的粘性流体运动微分方程,又称为纳维—

斯托克斯方程(简写为 N— S 方程)。

N—S 方程表示作用在单位质量流体上的质量力、表面力(压力和粘性力)和惯性力相平
衡。 N— S 方程式和连续性微分方程式组成的基本方程组, 由 原则上可以求解速度场 ux , uy , uz 和 压强场

p,可以说粘性流体的运动分析,归结为对 N—S 方程的研究。
= ay, uy = bx, uz = 0, a, b 为常数。试求:(1)流动是否可能实现;(2)流

[ 例 4 — 1 ] 理想流体速度场为 ux

线方程;(3)等压面方程(质量力忽略不计) 解 : (1)由连续性微分方程

ux uy uz + + = 0 ,满足连续性条件,流动是可能实现的。 x y z

(2)由流线方程 积分得流线方程:

dx dy dx dy = 得: = , bxdx = aydy , ux uy ay bx

bx 2 ay 2 = c a, b 同号,流线是双曲线, a, b 异号,流线是圆。

47

(3)由欧拉运动微分方程式(4—7),不计质量力:

ρ x

1 p

= uy = ux

u x = abx y u y x = aby

ρ y

1 p


将方程组化为全微分形式:

p 1 p ( dx + dy ) = ab( xdx + ydy ) y 1 dp = ab( xdx + ydy )

ρ x

ρ

积分得: 令 p =常数

p = ρab

x2 + y2 + c' 2 x2 + y2 = c

即得等压面方程:

等压面是以坐标原点为中心的圆。

第二节 元流的伯努利方程
一 、 理想流体运动微分方程的伯努利积分 理想流体运动微分方程式是非线性偏微分方程组,只有特定条件下的积分,其中最为著 名的是伯努利(Daniel Bernoull,1700~1782,瑞士科学家 )积分。
1 X ρ p = u x uxx + u y uyx + u z uzx x u y u y u y p 1 Y ρ y = u x x + u y y + u z z u z u z u z 1 p Z ρ z = u x x + u y y + u z z

(4—16)

由理想流体运动微分方程式(4—1)
1 X ρ p = du x x dt du y 1 p Y ρ y = dt du z 1 p Z ρ z = dt

(4—17)

各式分别乘以流线上微分断面的坐标投影 dx,dy,dz,然后相加,得:

( Xdx + Ydy + Zdz )
1.引入限定条件 1.引入限定条件 引入 限定条件:

ρ

1

(

p x

dx + p dy + p dz = du x dx + y z dt

)

du y dt

dy + du z dz dt

(4—18)

①.作用在流体上的质量力只有重力: X = Y = 0 , Z = g ②.不可压缩,恒定流: ρ = C , p = p ( x, y, z )
ρ
1

( Xdx + Ydy + Zdz ) = gdz

(4—19)

(

p x

1 dx + p dy + p dz = ρ dp = d y z

)

()
p

ρ

(4—20)

③.恒定流流线与迹线重合: dx = u x dt , dy = u y dt , dz = u z dt 则:

48

du x dt

dx +

du y dt

dy +

du z dt

dz = d

(

2 2 u x +u 2 +u z y 2

) d( )
=
u2 2

(4—21)

将式(4—19),式(4—20),式(4—21)带入式(4—18),积分得:

gz γp u2 = C
2

(4—22)

即:

z + γp +
z1 +
p1

u2 2g

=C
= z2 +
p2

(4—23)

或:

γ

+

2 u1 2g

γ

+

2 u2 2g

(4—24)

上述理想流体运动微分方程沿流线的积分称为伯努利积分,所得式(4—23)和式(4—24) 均称为伯努利方程,以纪念在理想流体运动微分方程建立之前,1738 年瑞士物理学家和数学 家伯努利根据动能原理推出的用于计算流动问题的著名方程。 由于元流的过流断面积无限小,所以沿流线的伯努利方程就是元流的伯努利方程。推导 该方程引入的限定条件,就是理想流体元流伯努利方程的应用条件,归纳起来有:理想流体、 恒定流动、质量力中只有重力、沿元流(流线)、不可压缩流体。 二 、 伯努利方程的物理意义和几何意义 1.物理意义 1.物理意义 式(4—23)中的前两项 z 、

p

γ

和z+

p

γ

的物理意义,在第二章第三节中已说明,分别是

单位重量流体具有的比位能、压能和比势能; 单位动能。三项之和 z +

u2 是单位重量流体具有的动能,即比动能和 2g

p

γ

+

u2 是单位重量流体具有的机械能,称为总比能或单位总能量。 2g

式(4—24)则表示理想流体的恒定流动, 沿同一维流(沿同一流线)。 单位重量流体的机械能守 恒。伯努利方程又称为能量方程。 2.流体力学 2.流体力学意义 流体 力学意义 式(4—23)各项的流体力学意义为: 是位置水头, z

p

γ

压强水头; 两项之和 H p = z +

p

γ



测压管水头,

u2 是流速水头,能够直接量测, 2g

量测原理在随后的例题中说明。三项之和

z+

p

γ

+

u2 称为总水头。式(4—23)则表示理想 2g

流体的恒定流动,沿同一维流(沿同一流线)各断 面的总水头相等。 理想流体的水头线是水平线(图 4—2)。 3.几何意义 3.几何意义 式(4—23)各项的几何意义是不同的几何高 图 4—2 水头线

49

度:z 是位置高度,
表 4—1 项 目 z

p

γ

测压管高度。见表 4—1。
能量方程意义表
p

γ

z + γp
单位势能 或比势能 测压管水头 势能高度

u2 2g

z + γp + 2g
单位总能量 总比能 总水头

u2

单位位能 物理意义 或比位能 流体意义 几何意义 位置水头 位置高度

单位压能 或比压能 压强水头 测压管高度

单位动能 或比动能 流速水头

[ 例 4 — 2] 应用毕托(Pito.H. )管测量点流速前文指出,流速水头可 直接量测,现以均匀管流为例加以说明。设均匀管流,欲量测过流断 面上某点 A 的流速(图 4—3)。 解:在该点放置一根两端开口,前端弯转 90°的细管,使前端管口正 对来流方向,另一端垂直向上,此管称为测速管。来流在 A 点受测速 管的阻滞速度为零,动能全部转化为压能。测速管中液面升高

P'

γ



另在 A 点上游的同一流线取距很近的 O 点,因这两点相距很近, O 点 的压强 p 实际上等于放置测速管以前 A 点的压强,应用理想流体元流 伯努利方程: 图 4—3 点流速的测量

u2 p' + = γ 2g γ p u2 p' p = = h0 2g γ γ
头,该点的流速:

(4—25)

(4—26)

式中 0 点的压强水头,由另—根测压管量测,于是测速管和测压管中液面的高度差 h0 ,就是 A 点的流速水

u = 2g

p ' p

γ

= 2 gh 0

(4—27)

根据上述原理,将测速管和测压管组合成测量点流速的仪器,图 4—4 所示,与迎流孔(测速孔)相通的是测速管,与侧面顺流孔(测压孔或 环形窄缝)相通的是测压管。考虑到粘性流体从迎流孔至顺流孔存在 粘性效应,以及毕托管构造对原流场的干扰等影响,引用修正系数 C: 图 4—4 毕托管构造

u = C 2g

p ' p

γ

= C 2 gh0

(4—28)

式中 C 是修正系数。数值接近于 1.0,由实验测定。 【例 4-3】 例 有一贮水装置如图(4—5)所示,贮水池足够大,当阀门

关闭时,压强计读数为 2.8 个大气压强。而当将阀门全开,水从管中 流出时,压强计读数是 0.6 个大气压强,试求当水管直径 d=12cm 时, 通过出口的体积流量(不计流动损失)。

图 4—5
50

【解 】 解

当阀门全开时列 1—l、2—2 截面的伯努利方程:

H +0+0=0+

0.6 pa

γ

+

2 v2 2g

当阀门关闭时,根据压强计的读数,应用流体静力学基本方程 γH

= 2.8 pa ,求出 H 值:

H=

2.8 pa

γ

=

2.8 × 98060 = 28(mH 2O ) ,代入到上式得: 9806
0.6 × 98060 = 2 × 9.806 × 2.8 = 20.78 (m/s) 9806

0.6 p a v2 = 2 g H γ
所以管内流量: qV

=

π
4

d 2 v2 = 0.785 × 20.78 = 0.235 m 3 / s

(

)

三 、 粘性流体元流的伯努利方程 实际流体具有粘性,运动时产生流动阻力,克服阻力作功,使流体的一部分机械能不可 逆地转化为热能而散失。因此,粘性流体流动时,单位重量流体具有的机械能沿程减少,总 水头线沿程下降。 自 19 世纪 30 年代以来,人们从大量经验事实中,总结出一个重要结论。能量可以从一 种形式转换成另一种形式,既不能创造、也不能消灭,总能量是恒定的,这就是能量守恒原 理。因此,设 hw ' 为粘性流体元流单位重量流体由过流断面 1—1 运动至过流断面 2—2 的机 械能损失,称为元流的水头损失,根据能量守恒原理,便可得到粘性流体元流的伯努利方程:

z1 +

p1

γ

+

2 u1 2g

= z2 +

p2

γ

+

2 u2 2g

' + hw

( 4— 29)

恒定总流的伯努利方程 第三节 恒定 总流的伯努利方程
上一节得到了粘性流体元流的伯努利方程式 (4—
29),为了解决实际问题,还需要将其推广到总流中去。

渐变流及其 一 、 渐变流及 其 性 质 在推导总流的伯努利方程之前,作为方程的导出条 件,将流动区分为渐变流和急变流。凡质点的迁移加速 度 (位变加速度 )很小, (u )u ≈ 0 的流动,或者说流线
图 4—7 急变流和渐变 流

近于平行直线的流动定义为渐变流,否则是急变流 (图 4— 7)。 显然,渐变流是均匀流的宽延,所以均匀流的性质,对于渐变流都近似成立,主要是:
1.渐变流的过流断面近于平面,面上各点的速度方向近于平行; 2.恒定渐变流过流断面上的动压强按静压强的规律分布,即:

z + γp =C

( 4— 30)

由定义可知,渐变流没有准确的界定标准,流动是否按均匀流处理,以所得结果能否满 足工程要求的精度而定。 恒定总流的伯努利方程 二 、 恒定 总流的伯努利方程
51

1. 伯努利方程的推导 设恒定总流, 过流断面 1—1、 2—2 为渐变流 断面,面积为 A1, A2 (图 4—8)。在总流内任取元 流,过流断面的微元面积、位置高度、压强及流 速分别为 dA 1 , z 1 , p 1 , u 1 ; dA 2 , z 2 , p 2 , u 2 。 由元流的伯努利方程:
图 4—8 总流的伯努利方程

z1 +

p1

γ

+

2 u1 2g

= z2 +

p2

γ

+

2 u2 2g

' + hw

以 γdQ = γu1dA1 = γu 2 dA2 乘上式即是单位时间通过元流两过流断面的能量关系得:

(z +
1

p1

γ

+

2 u1 2g

)γdQ = (z

2

+

p2

γ

+

2 u2 2g

)γdQ + + h

' w

γdQ

(4—31)

总流是由无数元流构成的,上式对总流过流断面积分,便得到单位时间通过总流两过流 断面的总能量关系:

∫ (z
A1

1

+

p1

γ

)γu dA + ∫
1 1
A1

2 u1 2g

γu1 dA1 = ∫ z 2 +
A2

(

p2

γ

)γu dA + ∫
2 2
A2

2 u2 2g

' γu 2 dA2 + ∫ hwγdQ
Q

(4—32)

分别确定三种类型的积分 ①.第一类积分:

∫ (z + γ )γudA
p A

因所取过流断面是渐变流断面
p

z + γp = c ,则:
(4—33)

∫ (z + γ )γudA =( z + γ ) γQ
p
A

②.第二类积分:


A

u2 2g

γudA

各点的速度不同,引入校正系数 α ,积分按断面平均速度 v 计算:


A

u2 2g

u γudA = ∫ 2 g γdA = αvg γQ 2
3
2

(4—34)
u3

A

式中: α ——流速分布不均匀动能校正系数,α

=

∫ 2 g γdA ∫ u dA A
3

∫ 2 g γdA
A

v3

=

A

v3 A

,是为校正以断面平均速度计算的动能与

实际功能的差异而引入的校正系数,

α = 1.05 ~ 1.10 ,它取决于过流断面上的流速分布情况,分布较均 匀的流动, α = 1.05 ~ 1.10 ,通常取 α =1。
' ③第三类积分: hwγdQ



Q
' 积分式 hwγdQ 单位时间总流由 1—1 至 2—2 的械能损失。 现在定义 hw ' 为总流单位重量



Q

流体由 1—1 至 2—2 断面的平均机械能损失,称总流的水头损失

∫ h γdQ = h γQ
' w

w

(4—35)

Q

52

将(4—33)、(4—34)、(4—35)代人式(4—32),得: ( z1 +
p1

γ

) γQ +

2 αv1

z + 2 g γQ =( 2

p2

γ

) γQ +

αv 2 2
2g

γQ + hwγQ

(4—36)

两断面间无分流及汇流, Q1 = Q2 = Q ,并除以 γQ ,上式得:

z1 +

p1

γ

+

2 α1v1 2g

= z2 +

p2

γ

+

α 2v 2 2
2g

+ hw

(4—37)

2. 伯努利方程的适用条件 式(4—37)即粘性流体总流的伯努利方程。将元流的伯努利方程推广为总流的伯努利方 程,引入了某些限制条件,也就是总流伯努利方程的适用条件包括: ⑴.不可压缩流体恒定流; ⑵.质量力只有重力; ⑶.不可压缩流体(以上引自粘性流体元流的伯努利方程); ⑷.所取过流断面为渐变流断面; ⑸.两断面间无分流和汇流; ⑹.两断面间无能量的输入或支出; ⑺.不存在相对运动。 3. 伯努利方程的方法步骤 式(4—36)是能量守恒原理的总流表达式。下面举例说明伯努利方程的应用。 ⑴ .断面选择 通常选择未知量所在的断面和已知量最多的断面,它们都必须是渐变流断 面; ⑵ .代表点选择 无压流一般选择自由液面,有压流一般选在管道中心; ⑶ .位置基准面选择 习惯选择在过各代表点最低者的水平面。位置准面选择对结果无影 响; ⑷ .压强基准面选择 液体一般选取相对压强;气体一般选取绝对压强。压强准面选择对 结果无影响; ⑸ .列 伯努利方程 对于初学者,应该分项列出,对于零也应该写出。但一般只用符号代 替,而不代入具体数值,以便推导出未知量的计算公式; ⑹ .解 伯努利方程 求解出题目中所要求的未知量; ; 给出答案 ⑺ .给出 答案 给出正确的答案。
[例 4— 4] 用直径 d=100mm 的水管从水箱引水(图 4—9)。 例 — 水箱水面与管道出口断面中心的高差 H=4m 保持 恒定,水头损失 hw =3m 水柱。试求管道的流量。 解 :断面选择 1—1 和 2—2 以及位置基准面的选择如图所示, 1—1 和 2—2 的代表点分别选择在自由液面处和管道出口中 心,按相对压强计算,列伯努利方程得:

H + 0+ 0=0+0+
取α

αv 2
2g

+ hw

= 1.0 得: v = 2 g ( H hw ) = 4.43m / s
图 4—9 管道出流

53

Q=

πd 2
4

v = 0.035m 3 / s
3

答 :管道的流量 0.035m

/s

伯努利方程应用的修正 四 、 伯努利方程应用的 修正 伯努利方程是古典水动力学应用最广的基本方程。应用伯努利方程要重视方程的应用条 件,切忌不顾应用条件,随意套用公式,要对实际问题做具体分析,灵活运用。下面结合三 种情况加以讨论。 1.气体的伯努利方程 气体的伯努利方程 总流的伯努利方程式(4—36)是对不可压缩流体导 出的,气体是可压缩流体,但是对流速不很大( v <60m /s),压强变化不大的系统,如工业通风管道、烟道等, 气流在运动过程中密度的变化很小,在这样的条件下, 伯努利方程仍可用于气流。由于气流的密度同外部空气 的密度是相同的数量级,在用相对压强进行计算时,需 要考虑外部大气压在不同高度的差值。 设恒定气流(图 4—10)、气流的密度为 ρ 外部空气的密度为 ρa ,过流断面上计算点的绝 对压强 P1abs, P 2 abs 。 列 1—1 和 2—2 断面的伯努利方程式:
图 4—10 恒定气流

z1 +

p1

γ

+ 21g = z 2 +
v2

p2

γ

+ 2 g + hw

v2 2



α1 = α 2 = 1
2 ρv2

(4—38)

进行气流计算,通常把上式表示为压强的形式

γz1 + p1abs +
压强损失

ρv12
2

= γz 2 + p 2 abs +

2

+ pw

(4—39) (4—40)

p w = γh w

将式(4—39)中的压强用相对压强 p1 , p 2 表示,则:

p1abs = p1 + p a p 2 abs = p 2 + p a γ a ( z 2 z1 )

(4—41)

(4—42)

式中入 p a 为 z1 处的大气压, p a γ a ( z 2 z1 ) 为高程 z 2 处的大气压,代人式(4—37),整 理得:

p1 +
式中:

2 ρv1

2

+ (γ a γ )( z 2 z1 ) = p 2 +
2 ρv12 ρv 2

2 ρv2

2

+ pw

(4—43)

p1 , p 2 称为静压;

(ρ a ρ )g 为单位体积气体所受有效浮力, (z 2 z1 ) 为气体沿浮力方向升高的距离,乘 积 (ρ a ρ )g ( z 2 z1 ) 为 1—1 断面相对于 2—2 断面单位体积气体的位能,称为位压。
式(4—43)就是以相对压强计算的气流伯努利方程。

2

,

2

称为动 压, 静压与动压之和称为全压。

54

当气流的密度和外界空气的密度相同 ρ = 为零,式(4—43)化简为:

ρ a ,或两计算点的高度相同 z1 = z 2 时,位压

p1 +

2 ρv1

2

= p2 +

2 ρv2

2

+ pw ;

(4—44)

当气流的密度远大于外界空气的密度( ρ >> ρa ),此时相当于流体总流,式(4—44)中 ρa 可忽略不计,认为各点的当地大气压相同,式(4—43)化简为:

p1 +
除以 γ ,即:

2 ρv1

2

γ ( z 2 z1 ) = p 2 +

2 ρv2

2

+ pw

(4—45)

z1 +

p1

γ

+

α1v12
2g

= z2 +

p2

γ

+

2 α 2 v2

2g

+ hw

(4—46)

由此可见,对于流体总流来说,压强 p1 , p2 不论是绝对压强,还是相对压强,伯努利方 程的形式不变。 2.有 2.有 能量输入或输出 总流伯努利方程式(4—36)是在两过流断面间除水头损失之外,在无能量输入或输出的条 件下导出的。 当面过流断面间有水泵、 风机等被动机(图 4—11)或水轮机、 气轮机等原动机(图 4—12)时,存在能量的输入或输出。

图 4—11 有能量输入的总流

图 4—12 有能量输出的总流

此种情况,根据能量守恒原理,计入单位重量流体经流体机械获得或失去的机械能,式(4— 29)便扩展为有能量输入或输出的伯努利方程式:

z1 +

p1

γ

+ α21v1 ± H = = z 2 + g
2

p2

γ

+

α 2v 2 2
2g

+ hw

(4—47)

式中: “±”——由于原动机给流体输出能量,故选负号;而被动机吸收流体的能量,故选正号。

3.两断面间有分流或汇流 3.两断面间有分流或汇流 总流的伯努利方程式(4—36),是在两过流断面间 无分流和汇流的条件下导出的。而实际的供水供气管 道沿程多有分流和汇流,对于两断面间有分流的流动 (图 4—13),设想 1—1 断面的来流,分为两股(以虚线 划分),分别通过 2—2、3—3 断面。
图 4—13 沿程分流

对 1'1' (1—l 断面中的一部分)和 2—2 断面列伯努利方程,其间无分流:

55

z1 +

p1

γ

+ 21g = z 2 +
v2

p2

γ

+

2 v2 + hw12 2g

(4—48)

因所取 1—1 断面为渐变流断面。向 l 各点的势能相等,则:

z1 '+

p'

γ

= z1 +

p1

γ

(4—49)

如 1—1 断面流速分布较为均匀流,则:
'2 p v21 ′ p' v 1 z1 + + = Z1 + 1 + γ 2g γ 2g

(4—50) ( 4— 51)



z1 +

p1

γ

+

v12 p v2 = z 2 + 2 + 2 + hw1 2 2g γ 2g

近似成立。同理可得:

z1 +

p1

γ

+

p v2 v12 = z3 + 3 + 3 + hw1 3 2g γ 2g

(4—52)

由以上分析,对于实际 I 程中沿程分流的总流,当所取过流断面为渐变流断面,断面上 流速分布较为均匀,并计人相应断而之间的水头损失。 若是汇流,即设想 1—1、2—2 断面的来流,合为 3—3 断面,同理可推导出伯努利方程:

z1 +

p1

γ

+

p v2 v12 p v2 p v2 = z 2 + 2 + 2 + hw1 2 , z 2 + 2 + 2 = z 3 + 3 + 3 + hw 23 2g γ 2g γ 2g γ 2g

恒定总流的动量方程 第四节 恒定 总流的动量方程
总流的动量方程是继连续性方程式、伯努利方程式(4—36)之后的第三个积分形式基本方 程,它们在流体力学及水力学中习惯地被称为三大方程,应用极为广泛。下面由动量原理, 推导总流的动量方程。 恒定总流的动量方程 一 、 恒定 总流的动量方程 1.总流的动量方程及其推导 总流的动量方程及其推导 设恒定总流,取过流断面 Ⅰ - Ⅰ 、 Ⅱ - Ⅱ 为渐变流 断面,面积为 A1, A2 ,以过流断面及总流的侧表面围成 的空间为控制体(图 4—14)。控制体内的流体,经 dt 时 间,由 Ⅰ — Ⅰ 运动到 Ⅱ — Ⅱ 位置。 在流过控制体的总流内,任取元流 1—2,断面面积 为 dA1 、 dA2 ,点流速为 u1 、 u 2 ,时间 dt ,元流动量的 增量为:
图 4—14 总流动量方程推导

d K = K 1' 2' K 12 = K 1' 2 + K 22' K 11' + K 1' 2
因为是恒定流, dt 前后 K 1'2 无变化,则:

(

) (

)

(4—53)

d K = K 22' K 11' = ρ 2 u 2 dtdA2 u 2 - ρ1u1 dtdA1 u 1

(4—54)

dt 时间,总流动量的增量,因为过流断面为渐变流断面,各点的流速平行,按平行矢量
56

合成的法则,定义速度 u1 为 u 2 方向的基本单位向量分别为 i1 为 i2 ,得:

∑ d K = ∫ ρ u dtdA u
A2
2 2



2 2

i2 ∫ ρ1u1dtdA1u1 i1 A1

(4—55)

对于不可压缩流体 ρ1 =

ρ 2 = ρ ,并引入校正系数,以断面平均流速代替点流速积分得

∑ d K = ρdtβ
量校正系数。

2 2

v A2 v 2 ρdtβ 1v1 A1 v1 = ρdtQ β 2 v 2 β 1 v1 = ∑ F dt

(

)

(4—56)

式中 β 是为校正以断面平均速度计算的动量与实际动量的差异而引入的校正系数,称为流速分布不均匀动

β=

∫u
A

2

dA
(4—57)

v2 A

β 值取决于过流断面上的速度分布,速度分布较均匀的流动, β = 1.02 ~ 1.05 ,通常取 β = 1.0 。
由动量原理,质点系动量的增量等于作用于该质点系上的外力的冲量:

∑ Fdt = ρdtQ(β ∑ F = ρQ(β
投影式
2

2

v 2 β 1 v1

)

(4—58)

v 2 β 1 v1

)
(4—59)

∑ Fx = ρQ(β 2 v 2 x β 1v1x ) ∑ Fy = ρQ (β 2 v 2 y β 1v1 y ) ∑ Fz = ρQ(β 2 v 2 z β 1v1z )

式(4—58)、式(4—59)就是恒定总流的动量方程。此方程表明,作用于控制体内流体上的 外力,等于单位时间控制体流出动量与流入动量之差。综合推导式(4—59)规定的条件,总流 动量方程的应用条件有:恒定流、过流断面为渐变流断面和不可压缩流体。 2.动量方程应用举例 动量方程应用举例
【例 4— 5】 水平放置在混凝土支座上的变直 例 — 径弯管, 弯管两端与等直径管相连接处的断面 1—1 上压力表读数 p 1=17.6×10 4Pa , 管中流量 q v=0.1m3/s,若直径 d 1=300 ㎜ ,d 2=200 ㎜ , 转角 θ =60°,如图 4—14 所示。求水对弯管作 用力 F 的大小。 【解 】 水流经弯管,动量发生变化,必然产 解 生作用力 F。而 F 与管壁对水的反作用力 R 平衡。管道水平放置在 xoy 面上,将 R 分解成 Rx 和 Ry 两个分 力。 取管道进、出两个截面和管内壁为控制面,如图所示,坐标按图示方向设置。 ⑴.根据连续性方程可求得: 图 4— 14

57

v1 =

π
4

qv d 12

=

0 .1 × 4

π × 0 .3 2

= 1 . 42 (m / s )

v2 =

π

qv d
2 2

=

0 .1 × 4

π × 0 .2 2

= 3 . 18 (m / s )

4

⑵.列管道进出口的伯努利方程

p1

2 p 2 = p1 + ρ v12 v 2 2 = 17.6 × 10 3 + 1000 × 1.42 2 3.18 2 2 = 17.2 × 10 3 (Pa )

(

)

2 v12 p 2 v2 + = + γ 2g γ 2g

,则:

(

)

⑶.所取控制体受力分析,进、出口控制面上得总压力:

P1 = p1 A1 = 17.6 × 10 3 ×

π
4

× 0.3 2 = 12.43 (kN) × 0.2 2 = 5.40 (kN)

P2 = p 2 A2 = 17.6 × 10 3 ×

π
4

壁面对控制体内水的反力 Rx、 Ry,其方向先假定如图(4—14)所示。 ⑷.写出动量方程 选定坐标系后,凡是作用力(包括其分力)与坐标轴方向一致的,在方程中取正值;反之,为负值。 沿 x 轴方向: P cos θ 1

P2 + R x = ρqV v 2 v 1 cos θ

(

)

R x = ρqV v 2 v 1 cos θ + P2 P1 cos θ = 0.1 × 3.18 1.42 cos 60 + 5.40 12.43 cos 60 = 0.568 (KN) 沿 y 轴方向: P sin θ R x = ρqV (0 v1 sin θ ) 1 R y = P1 sin θ + ρqV v1 sin θ = 12.43 sin 60 + 0.1 × 1.42 sin 60 = 10.88
管壁对水的反作用力: R
2 = Rx2 + R y =

(

)

(

)

(KN)

( 0.568)2 + 10.882

= 10.89 (KN)

水流对弯管的作用力 F 与 R 大小相等,方向相反。

总流动量方程是动量原理的总流表达式, 方程给出了总流动量变化与作用力之间的关系。 根据这一特点,求总流与边界面之间的相互作用力问题,以及因水头损失难以确定.运用伯 努利方程受到限制的问题,适于用动量方程求解。 三 、 动量矩方程 上面对动量定理的推导过程中所用之方法、步骤,对动量矩定理也完全适用,而所得结 果与动量定理完全相似,将动量换成动量矩就成为动量矩定理;这里不作重复的推导。 恒定流动的动量矩定理为:

∫ ρ (r × v )v dA ∫ ρ (r × v )v dA = ∑ (r × F )
n n i i Aou AIN

(4—60)

上式表明,在流出面上的流出动量矩与流入面上的流入动量矩之差等于外力矩之和。 常见的流体机械中,离心式水泵、风机等都是将其机械能转换为流体的动能和压能的。 水轮机、气轮机等则是利用流体的动能使叶片机械转动向外输出功率,其工作原理都是相同
58

的。 图 4—15 表示水轮机叶轮的两个叶片所形成的槽道,流体 自叶轮外径 r1 的圆周面流入槽道, 经叶轮内径 r 2 的圆周面流出 槽道,进入叶轮中心区域的导管沿轴向流出;叶轮叶片就是在 流体流动时获得力矩而转动向外做功的。 假定叶片数目足够多, 则叶片间的槽道可近似为一维流动, 各截面上的速度是均匀的。还假定叶轮作等角速 ω 的漩转,则 叶轮中流场虽为不恒定, 但叶轮中的总体动量矩不随时间变化, 可适用恒定的动量矩公式,下面我们来导出水轮机(也称涡轮机)的动量矩公式。 先选取控制面:半径 r1 的进口圆周团和半径 r2 的出口圆周团之间的流体表面,其中包括 各叶片与流体之接触面; 现在分析控制面上的运动情况及受力情况。设流体以相对速度 vr 经半径 r1 的圆周团流入 叶片槽道,由于半径 r1 的圆周速度即牵连速度 ve1 = r1ω ,则流体流入槽道的绝对速度为
图 4—15

v1 = vr1 + ve1

(4—61)

设绝对速度为 v1 与圆周切向夹角为 θ 1 .则其径向 vn1 分量和周向分量 Vt1 的大小分别为

vn1 = v1 sin θ 1 vt1 = v1 cos θ 1 vr 2 = ve 2 vn 2 = v2 sin θ 2 , vt 2=v2 cos θ 2

(4—62) (4—63)

同理,流体在流出半径 r 2 圆周面上的相对速度 vr 2 ,牵连速度 ve 2 = r2ω ,则绝对速度为 (4—64) 设绝对速度为 V 2 与圆周切向夹角为 θ 2 ,则其径向分量 Vn2 和周向分量 Vt 2 的大小分别为 (4—65) (4—66)

在流量为 Q 的情况下,流出控制面的动量矩为其切向动量 ρQvt 2 与半径 r 2 的乘积,即:

ρQvt 2 r2 = ρQv2 r2 cos θ 2
同理,流入控制团的动量矩为其切向动量 ρQVt1 与半径 r1 之乘积,即 :

(4—67)

ρQvt1 r1 = ρQv1r1 cos θ 1
的作用力矩 M ' 。则根据动量矩定理,(4—64)式减(4—65)式等于外力矩:

(4—68)

假定无粘性力作用,则控制面中的两圆周面上的压力合力不产生力矩,只有叶片对流体

M '0 = ρQ (v 2 r2 cos θ 2 v1r1 cos θ 1) = ρQ (vt 2 r 2 vt1r 1)

(4—69) (4—70) (4—71)

根据作用反作用原理,叶片上获得流体所给的作用力矩力

M 0 = ρQ (V 1r 1 cos θ 1 V 2 r 2 cos θ 2 ) = ρQ (Vt 1r 1 Vt 2 r 2 )
这就是欧拉涡轮方程式,是涡轮机械的基本方程式。叶轮所获得的功率为

P = M 0ω = ρQ (v1ve1 cos θ 1 v1ve 2 cos θ 2 ) = ρQ (vt1ve1 vt 2 ve 2 )
Ο

当流出叶片槽道的绝对速度 V 2 的方向取半径方向,即 θ = 90 时,则叶轮获得的力矩公式变 为:

M 0 = ρQV 1r 1 cos θ 1 = ρQVt1r 1
相应地,叶轮所获得的功率公式为

(4—72)

P = ρQV 1Ve1 cos θ 1 = ρQVt1Ve1
59

(4—73)

理想流体的无漩 第五节 理想流体的无 漩 流动
在第三章中,在微团运动分析的基础上,流体的运动分为有漩流动和无漩流动。理论研 究证明只有不可压缩理想流体,运动初始无漩流动。严格地说,粘性流体的运动都是有漩流 动,但在实际流动中,多有粘性的影响很小,从静止转入流动(初始无漩)的情况,诸如通 风车间,用吸风装置抽气,工作区内形成的气流;水库中的静水,因闸门开启形成的闸孔出 流或堰流;以及空气或水绕物体流动时,在边界层外面,广阔区域的流动等,都可视为无漩 流动。 一 、 势函数 根据曲线积分定理,无漩流的条件是表达式 uxdx + uydy + uzdz 成为某一函数 ( x, y , z ) 的 全微分的必要和充分条件

d = u x dx + u y dy + u z dz

(4—74)

d =
得: u x =

x

dx + dy + dz y z
y

(4—75)
z

x

, uy =

, uz =

(4—76)

即: u = grad

(4—77)

函数 ( x, y , z ) 仿照应力场势函数,静电场势函数的定义,称为速度势函数。由此得出, 无漩流是有速度势的流动,简称势流;反之,有速度势的流动是无漩流,两者含义相同。 将式(4—37)不可压缩流体连续性微分方程 :
2 x 2
u x x

+

u y y

+

u z z

=0
(4—78)

+

2 y 2

+

2 z 2

=0

即:
式中
2

2 = 0
2 x 2

=

+ y 2 + z 2
2 2

——拉普拉斯算子

式(4—78)是著名的拉普拉斯方程,满足拉普拉斯方程的函数是调和函数。所以,调和 函数的一切性质,也是速度势函数拥有的性质。 由以上分析可知,不可压缩流体无漩流动的问题,归结为在给定的边界条件下,求解拉 普拉斯方程,一旦求得速度势 ,就可由式(4—76)求得流速 u (ux, uy , uz ) 。 二 、 流函数 1.流函数的表达式 1.流函数的表达式 对于平面运动,有连续性微分方程
u x x

+

u y y

= 0 ,移项得 uxx =-

u y y

根据曲线积分定理,前

式是表达式 u x dy u y dx 成为某一函数 ψ ( x, y ) 的全微分的必要和充分条件:

60

dψ = u x dy u y dx


(4—80)

dψ =
ux =

ψ x

dx + ψ dy y
, uy =
ψ y

(4—81)



ψ x



(4—82)

函数 ψ ( x, y ) 称为流函数。由流函数的引出条件可知,凡是不可压缩流体的平面的流动, 连续性微分方程成立,不论无漩流动或有漩流动,都存在流函数,而只有无漩流动才有速度 势,可见流函数比速度势更具有普遍意义。 2.流函数具有以下性质 2.流函数具有以下性质 ①.流函数的等值线是流线 证明: 流函数值相等 ψ = c, dψ = 0 ,由式得流函数等值线方程 u x dy u y dx = 0 则:

dx dy = ux uy
上式即平面流动的流线方程, 流函数的等值线是流线, 给流线函数以不同值,便得到流线族。 ②.两条流线的流函数的差值, 等于通过该两流线间的 单宽流量:

dq = u n dl = u x cos(n, x ) + u y cos(n, y ) dl
= ux

[

]

图 4—16 流函数

[

dy dl

+ u y ( dx ) dl = u x dy u y dx = dψ dl
ψ2 ψ1

]

q = ∫ dq = ∫ dψ = ψ 2 ψ 1
q1

q2

(4—83)

这一性质也可表述为:平面流动中,通过任一曲线的单宽流量,等于该曲线两端流函数 的差值。 ③.平面无漩流动的等流函数线(流线)与等势线正交。 证明:对于平面无漩流动,同时存在速度势函数和流函数,由等流函数线方程:

dψ = u x dy u y dx = 0
某一点的斜率 由等势线方程

m1 =

dy u y = dx u x

d = u x dx + u y dy = 0

同一点等势线斜率

m2 =

uy dy = dx ux

61

m1 m2 =

u y ux ux uy

= 1

(4—84)

等流函数线与等势线正交,故等势线也就是过流断面线。 ④.平面无漩流动,流函数是调和函数。 证明:因为平面无漩流动:
u x 1 u y 2 x y

ωz =

=0

则 得

u y x



u x =0 y
ψ ψ ,uy = 带入上式,得 x y =0
(4—85)

ux =
2ψ x
2

+

2ψ y 2

即:

2ψ = 0

平面无漩流动的流函数满足拉普拉斯方程,是调和函数。 式中 2 =
2 x 2

+ y 2 ——拉普拉斯算子
2

ψ = x y ψ = y x

(4—86)

式即柯西—黎曼条件。 ,ψ 满足拉普拉斯方程和柯西—黎曼条件, 是一对共轭调和函数。 三 、 几种常见的基本平面势流 拉普拉斯方程在复杂的边界条件下,虽然难以求解。 一些简单的平面势流,其速度势和流函数却不难求得。研 究这些简单的平面势流的意义在于通过简单势流的叠加, 往往能组合成符合某些给定边界条件的复杂流场。 均匀直线流 1. 均匀直线 流 均匀直线流是流场中各点速度大小相等,方向相同的 流动,是一种最简单的平面势( 图 4—17) 。 速度场
图 4—17 均匀直线流

ux = a , uy = b ;

速度势

= ∫ u x dx + u y dy = ax + by ψ = ∫ u x dy u y dx = ay bx

(4—87)

(4—88)

若均匀直线流流速平行于 x 轴,

uy = 0, = ax,ψ = ay
若均匀直线流流速平行于 y 轴,

(4—89)

62

ux = 0, = by,ψ = bx
2. 源流

(4—90)

如 图 4—18 所示, 在平面势流中,源流就是流体从同一点均匀地向各个方向出流的流动。 组成这种流型的线,就是源点所在 i 面上,从源点 O 出发的一族射线。 速度场

ur =

q 2πr

, uθ = 0 ;
q 2πr

速度势 = ur dr + u rdθ =



∫ ∫

dr =

q 2π

ln r ;

流函数 ψ = u r rdθ uθ dr =



qr 2πr

dθ =

q 2π

θ;
图 4—18 平面源流

等势线方程 = c, r = c ,等势线是以 o 点为圆心的同心圆。

流线方程 ψ = c, θ = c ,流线是由 o 点引出的射线以直角坐标系表示

( x, y ) =

q 2π

ln x 2 + y 2
y x

(4—91) (4—92)

ψ ( x, y ) =
3. 汇流

q 2π

arctan

如图 4—19 所示 , 流体从四向沿经向均匀的流入的流动称 之为汇流。流入汇点单位厚度流量称为汇流强度-q。汇流的速 度势和流函数的表达式与源流的相同,符号相反。

= 2qπ ln r ψ = 2qπ θ
以直角坐标系表示:



(4—93)

图 4—19 平面汇流

( x, y ) = 2qπ ln x 2 + y 2 ψ ( x, y ) =
4.漩流 4.漩流
q 2π

y arctan x



(4—94)

流体绕固定点逆时针作圆周运动,且速度与圆周半径成反比的流动称之为漩流。把坐标 原点置于环流中心,则: 速度场 式中 Γ 为不随半径变化的常数,称为漩流强度, Γ > 0 速度势 = 2Γ θ ; π 流函数 等势线方程 流线方程 以直角坐标系表示:

u r = 0 , uθ =

Γ 2π

r;

ψ = 2Γ ln r π = c, r = c ,等势线是以 o 点引出的射线。 ψ = c,θ = c ,流线是由 o 点为圆心的同心圆。

63

( x, y ) =

Γ 2π

ln arctan

y x

(4—95)

ψ ( x, y ) = 2Γ ln x 2 + y 2 π
5.涡流 5.涡流

(4—96)

流体绕固定点顺时针作圆周运动,且速度与圆周半径成反比的流动称之为涡流。把坐标 原点置于环流中心,则: 速度场

u r = 0 , uθ =

Γ 2π

r;

式中 Γ 为不随半径变化的常数,称为涡流强度, Γ > 0 。 速度势 流函数 等势线方程 流线方程 以直角坐标系表示:

= 2Γ θ ; π ψ = 2Γ ln r π
= c, r = c ,等势线是以 o 点引出的射线。 ψ = c,θ = c ,流线是由 o 点为圆心的同心圆。

( x, y ) = 2Γ ln arctan π ψ ( x, y ) =
四 、 势流叠加原理
Γ 2π

y x

(4—97)

ln x 2 + y 2

(4—98)

因为描述平面无漩流动的拉普拉斯方程是线性方程,几个平面无漩流动的速度势与流函 数相叠加,得到新的速度势和流函数,仍满足拉普拉斯方程和柯西—黎曼条件,由此得到新 的平面无漩流动。 1. 证明 1 设连个基本平面势流,速度势函数和流函数分别是 1,ψ 1, 2,ψ 2 满足:

∵ x21 + y21 = 0 , x22 +
2 2 2

2 2 y 2

ψ ψ = 0 , x 21 + yψ21 = 0 , x 22 +
2 2 2

2ψ 2 y 2 2ψ 2 y 2

=0 =0
(4—99)

则:

2 1 x
2

+ y21 +
2

2 2 x
2

+ y22 =
2

2ψ 1 x
2

+ yψ21 +
2

2ψ 2 x
2

+



= 1 + 2

,得:
2 x 2 2ψ

+ y = 0 2
2

(4—100) (4—101) (4—102)

同理:

x 2

+ yψ = 0 2
2

ψ = ψ1 +ψ 2
2.证明 2 . 由柯西—黎曼条件
1 x

=

ψ 1 y



1 y

ψ = x1 ;

2 x

=

ψ 2 y



2 y

ψ = x2

64

则 得

1 x

+

2 x

=

ψ 1 y

ψ + y2 ;
x ψ y

1 y

+

2 y

ψ = ( x1 +

ψ 2 x

)
(4—103)

=
y



同理

= ψ x
x

(4—104)
1 x

速度场

ux =

=

+ x2 = u x1 + u x 2
2 y

(4—105) (4—106)

uy =

y

=

1 y

+

= u y1 + u y 2

3.均匀直线流与源的叠加 . 下面讨论均匀直线流与源的叠加。设无穷远处均匀直线流速度 U 0 ,平行于 x 轴,为简便 其间,把点源放在坐标原点。 已知:均匀直线流的速度势和流函数 1 = U 0 x = U 0 r cos θ ,

ψ 1 = U 0 y = U 0 r sin θ ;
源流的速度势和流函数

2 = ψ2 =
叠加后的流动

q 2π

ln r ,

(4—107)

q 2π

θ

(4—108)

= 1 + 2 = U 0 r cosθ + 2qπ ln r ψ = ψ 1 + ψ 2 = U 0 r sin θ + 2qπ θ
速度场: u r = 驻点坐标: 由 uθ = 0 得 θ = 0 或 θ = π 由 u r = 0 得 rs =
q 2πU 0 cos θ
r

(4—109)

(4—110)

= U 0 cosθ +

q 2πr



uθ =

1 r θ

= U 0 sin θ

; θ = 0 时, rs < 0 不可能;故驻点坐标为:
q 2

θ = π , rs =

q 2πU 0 cos θ

。所以, ψ =
q 4U 0

驻点的流线方程为: U 0 r cos θ +
q 2πU 0

q 2π

θ=q 2

π θ = π , 32 ; r = ± y = 2

, θ = π , rs = x s =
q 4U 0

θ → 0 , 2π , r → ∞,流线以 ± y =

为渐近线。

注意到通过驻点的流线在驻点一分为二,将整个流动分为两个区域:这条流以内是源的 流区,以外是均匀来流的流区。如用同一形状的固体边界代替这条流线,流线图形不会因此
65

而不同。设想“内区”固化,则这种固体的形状称为半体,半体相当于桥墩,闸墩前半部。 故均匀直线流和源流的叠加, 表示了半体的绕流运动 , 叠加后的速度势和流函数就是半体套 流动的解。

66


赞助商链接

更多相关文章:
工程流体力学 第四版 孔珑 作业答案 详解_图文
工程流体力学 第四版 孔珑 作业答案 详解 - 第二章 2-1.已知某种物质的密度ρ =2.94g/cm3,试求它的相对密度 d。 解:d=ρ /ρ w=2.94(g/cm3)/1(...
2016年4月自考流体力学(03347)试卷及答案解释完整版
2016年4月自考流体力学(03347)试卷及答案解释完整版_教育学_高等教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2016年4月自考流体力学(03347)试卷及答案解释...
流体力学第四章习题答案
流体力学第四章习题答案 - 第四章习题答案 选择题(单选题) 4.1 等直径水管,A-A 为过流断面,B-B 为水平面,1、2、3、4 为面上各点,各点的流动参 数有...
流体力学作业4 答案
流体力学作业4 答案 - 作业 4 答案 (第 7 章、第 8 章、第 9 章、第 10 章) 第7章 一、选择题 选择题 1. 对于管道无压流,当充满度 α 分别为( ...
流体力学习题及答案-第四章
流体力学习题及答案-第四章 - 第四章 流体动力学基本定理及其应用 4-1 欧拉运动微分方程和伯努利方程的前提条件是什么,其中每一项代表什么意义? 答:(1)欧拉运动...
工程流体力学_第四版_孔珑_作业答案_详解_图文
工程流体力学_第四版_孔珑_作业答案_详解 - 第二章 2-1.已知某种物质的密度ρ =2.94g/cm3,试求它的相对密度 d。 解:d=ρ /ρ w=2.94(g/cm3)/1(...
工程流体力学第四版.
工程流体力学第四版. - 2 — 1 已知某种物质的密度 ? ? 2.94 g / cm 3 ,试求它的相对密度 d。 2 — 2 2 已知某厂 , 2 1 号炉水平烟道 ...
流体力学习题解答4
流体力学习题解答4 - 习题四 1. 油( ? =3 × 10 ?3 kg/m*s)和水( ? =1.14 × 10 ?3 kg/m*s)在管径 d=100mm 的圆管中流动, 如果...
工程流体力学(孔珑版)第四章_题解
工程流体力学(孔珑版)第四章_题解 - 第四章 【4-2】 流体运动学和流体动力学基础 ? ? ? y ? ? x v ?? i? j 2 2 2 2 2? x ? y 2? x ?...
流体力学试卷四
流体力学流体力学隐藏>> 流体力学试卷四姓名___ 学号___ 班级___ 专业___ 得分___ 1. 一、 选择题 1. 静止流场中的压强分布规律: A.仅适用于不可压缩...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图