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高中数学选修2-3教案1.3.1 二项式定理


1.3.1 二项式定理 学习目标: 1 掌握二项式定理和二项式系数的性质。 王新敞 奎屯 新疆 2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 王新敞 奎屯 新疆 学习重点:如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 学习难点:如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 教学过程: 一、复习引入: 1.二项式定理及其特例: (1) (a ? b) (2) (1 ? x) n 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 具:多媒体、实物投影仪 王新敞 奎屯 新疆 0 n 1 n r n ?r r n n ? Cn a ? Cn a b ??? Cn a b ? ?? Cn b (n ? N ? ) , 1 r r ? 1 ? Cn x ? ?? Cn x ? ?? xn . r n ?r r ? Cn a b 王新敞 奎屯 新疆 n 2.二项展开式的通项公式: Tr ?1 指数及项数的整数性 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 3.求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对 r 的限制;求有理项时要注意到 王新敞 奎屯 新疆 4 二项式系数表(杨辉三角) (a ? b)n 展开式的二项式系数,当 n 依次取 1, 2,3 ?时,二项式系数表,表 中每行两端都是 1 ,除 1 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 王新敞 奎屯 新疆 5.二项式系数的性质: 0 1 2 n r , Cn , Cn ,?, Cn . Cn 可以看成以 (a ? b)n 展开式的二项式系数是 Cn r 为自变量的函数 f (r ) ,定义域是 {0,1, 2,?, n} ,例当 n ? 6 时,其图象 是 7 个孤立的点(如图) (1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵ Cn 直线 r ? m n ?m ). ? Cn n 是图象的对称轴. 2 n 2 n (2)增减性与最大值:当 n 是偶数时,中间一项 C 取得最大值;当 n 是奇数时,中间两项 n ?1 n ?1 Cn 2 , Cn 2 取得最大值. (3)各二项式系数和: ∵ (1 ? x) n 1 r r ? 1 ? Cn x ? ?? Cn x ? ?? xn , n 令 x ? 1 ,则 2 0 1 2 r n ? Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ? ?? Cn 王新敞 奎屯 新疆 二、讲解范例: 例 1. 设 ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ? ? ?1 ? x ? ? 2 3 n a0 ? a1x ? a2 x2 ??? an xn , 当 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 254 时,求 n 的值 王新敞 奎屯 新疆 解:令 x ? 1 得: a0 ? a1 ? a2 ??? an ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? 2n ? ∴2 n 2(2n ? 1) ? 254 , 2 ?1 ? 128, n ? 7 , f ( x) ? a0 ( x ? a)n ? a1 ( x ? a)n?1 ??? an ,令 x ? a ? 1, 即 x ? a ? 1 可得各项系数的 王新敞 奎屯 新疆 点评:对于 和 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? an 的值;令 x ? a ? ?1, 即 x ? a ? 1 ,可得奇数项系数和与偶

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