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湖北省部分重点中学2013-2014学年上学期高一期中考试数学试卷

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湖北省部分重点中学 2013—2014 学年度上学期高一期中考试

数学试卷
命题人:武汉中学 潘良铭 审题人:洪山高中 胡仲武__

一.选择题:本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知

A ? {x x ? 1 ? 0}, B ? {?2, ?1,0,1} ,则 (CR A) ? B ?
(B) ??2?





(A) ??2, ?1?

(C) ??1, 0,1?
2..函数 y ?

(D) ?0,1?


1 的定义域为( log 2 ( x ? 1)

(A) ( ??,1) (C) (1,3) ? (3, ??)

(B) (1, ??) (D) (1, 2) ? (2, ??) ( )

3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是 a (A) y ? (a ? 0) (B) y ? e? x x (C) y=lg∣x∣
2

(D) y ? ?ax 2 ? 1(a ? 0)
m2 ?m?2

4.若幂函数 y ? (m ? 3m ? 3) x A. ?1 ? m ? 2 C. m ? 1或m ? 2
5.已知函数 f ? x ? ? ln (A) ?2

的图象不过原点,则 ( B. m ? 2 D. m ? 1



?

1 ? 9 x 2 ? 3x ? 1,.则f ( x) ? f ? ? x ? ? (

?



(B) 0

(C) 1

(D) 2
则( )

6.已知函数 f ( x) ? ?

?1 ? 2 ? x ( x ? 0) , x ? 2 ? 1( x ? 0)

A.是奇函数,且单调递减; C.是奇函数,且单调递增;

B.是偶函数,且单调递减; D.是偶函数,且单调递增;

1 ? 1 1 ? x ? , x ? A, f ( x ) ? 7.设集合 A ? [0, ) , B ? [ ,1] ,函数 若 x0 ? A ,且 f [ f ( x0 )] ? A , 则 2 ? 2 2 ? ?2(1 ? x), x ? B.

x0 的取值范围是 (
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A. (0, ]

1 4

B. [ 0 , ]

3 8

1 3 C. ( , ] 4 8

D. ( , )

1 1 4 2

8.偶函数 f ( x) ? log a ( x ? A f (b ? 1) ? f ( a )

2

b x ? 1) 在 (0,??) 上单减。则 f (b ? 1) 与 f (a ) 的大小关系为( 2
C。 f (b ? 1) ? f ( a ) )
2



B. f (b ? 1) ? f ( a )

D 不能确定

9.下列四个命题:正确命题的个数为(

2 ①若函数 f ( x) ? ax ? bx ? 2 与 x 轴没有交点,则 a ? 0 且 b ? 8a ? 0 ;

②若 log m 3 ? log n 3 ? 0 ,则 0 ? n ? m ? 1 ;七彩教育网
x ?x f ( x1 ) ? f ( x2 ) ③对于函数 f ( x) ? ln x 的定义域中任意的 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 必有 f ( 1 2 ) ? ; 2 2

④若函数 f ( x) ? 3 ? 2 x ? 3 ,则方程 f ( x) ? 0 有 2 个实数根.。
x

A. 1 10.已知函数

B. 2

C. 3

D. 4

f (n) ? log n ? 2 (n ? 3)(n ? Ν* ) ,使 f (1) ? f (2) ??? f (k ) 为整数的数 k (k ? N* ) 且满
) D. 4

足 k 在区间 ?1,100? 内,则 k 的个数为 ( A. 1 B. 2 C. 3

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置. m ? 11、 m,n ? R ,集合 P ? ? ? , ?1? , Q ? ?n,0? ,若 P ? Q ,则 m ? n 的值等于________; ?n ?
2 1 1 3 (2 2) ? (6 ) 2 ? ln e ? 3 3 3 6 3 =___________; 12. 4

13已知函数f ( x)定义在[ ?1,1]上,设g ( x) ? f ( x ? c)和h( x) ? f ( x ? c )两个函数

2

的定义域分别为A和B, 若A ? B ? ?,则实数c的取值集合为 ___________ .
14。已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数。当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4 x ,则不等式
2

f ( x) ? x 的解集

用区间表示为________________. 15.对于函数 f ( x) ,若在其定义域内存在两个实数 a, b(a ? b) ,使得当 x ? [a, b] 时, f ( x) 的值域是 [a, b] ,则称函数 f ( x) 为“ M 函数”. 给出下列四个函数
2 f ( x) ? x ? 1 ② f ( x) ? ? x ? 1 1 x f ( x) ? 2 ? 2 ④ f ( x) ? x ? 8 其中所有“ M 函数”的序号为_____________.

① ③

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
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2

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x

16 (本题满分 12 分) 函数 f ( x) ? lg( x ? 2 x ? 3) 的定义域为集合 A, 函数 g ( x) ? 2 ? a ( x ? 2) 的 值域为集合 B.七彩教育网 (1)求集合 A,B; (2)若集合 A,B 满足

A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围.

17.(本题满分 12 分)已知函数错误!未找到引用源。 (1)若错误!未找到引用源。为奇函数,求实数错误!未找到引用源。的值; (2)判断并证明错误!未找到引用源。的单调性。

x 2 18.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ( ) , x ? [?1,1], 函数 g ( x) ? f ( x) ? 2af ( x) ? 3 。

1 3

(1)若 f (2 x 0 ? 1) ? 3 , 求x 0 ; (2)求 g ( x) 的最小值 h(a ) 。

19.(本题满分 12 分)武汉某文具生产企业,上年度某商品生产的投入成本为 3 元/件,出厂价 为 4 元/件,年销售量为 1000 万件,本年度此企业为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成 本.若每件投入成本增加的比例为 x(0 ? x ? 0.5) ,则出厂价相应提高的比例为 0.625 x ,同时预计销售量增 加的比例为 0.75 x ;若每件投入成本增加的比例为 x(0.5 ? x ? 1) ,则出厂价相应提高的比例为 0.75 x ,但 预计销量增加的比例为 0.04 x 。七彩教育网 (1)写出本年度该企业预计的年利润 y (万元)与投入成本增加的比例 x 的关系式; (2)为使本年度的年利润达到最大值,则每件投入成本增加的比例 x 应是多少?此时最大利润是 多少?(结果精确到 0.001)

20.(本题满分 13 分)设函数 f ( x) ? log 2 (

1? x 1 ) ( a ? R ),若 f (? ) ? ?1 1 ? ax 3

(1)求 f ( x) 解析式并判断其奇偶性;七彩教育网
x (2)当 x ? [ ?1,0) 时,求 f (3 ) 的值域

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(3) g ( x) ? log

2

1? x 1 2 , 若x ? [ , ]时,f ( x) ? g ( x)有解,求实数k取值集合。 k 2 3

21、 (本小题满分 14 分) 已 知 f ( x) 是 定 义 在 [ ? 1, 1]上 的 奇 函数 , 且 f (1) ? 1 。 若 对 任 意 a, b ? [ ?1,1], a ? b ? 0 都 有

f (a ) ? f (b) ? 0。 a?b
(1).判断函数 f ( x) 的单调性,并说明理由; (2).解不等式 f ( x ?

1 1 ) ? f (x ? ) ? 0 2 4

(3). 若不等式 f ( x) ? (2a ? 1)t ? 2 ? 0 对所有 x ? [ ?1,1] 和 a ? [ ?1,1] 都恒成立,求实数 t 的取值范 围。

数学参考答案
一:选择:CDDCA,CDBBC 二:填空: 11

?1

12 -3 13 : (??,?1) ? (2,??)
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14: [?5, 0] ? [5, ??) 15:②③④
2 三:解答题:16【解】 (Ⅰ)A= {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} ,

= {x | ( x ? 3)( x ? 1) ? 0} = {x | x ? ?1, 或x ? 3} ,

?????????2 分

? x ? 2,? 0 ? 2 x ? 2 2 ? 4 ? ?a ? 2 x ? a ? 4 ? a
.

? B ? { y ? a ? y ? 4 ? a}

..????????5 分

(Ⅱ) ...? A ? B

? A;? B ? A

.???????????????? 7 分

? 4 ? a ? ?1或 ? a ? 3
∴实数 a 的取值范围为 {a a ? 5或a ? ?3} ??????12 分

?函数f 17; (1)解:
a? 2 2
?x

( x)为奇函数, ? f (? x) ? ? f ( x)恒成立。
2 2 ?1
x

?1

? ?a ?

? 2a ? 2 ? 0

?a ? 1

----------------------------------------------------------------------------------4 分 -------------------------------5 分

(2) f ( x)为定义域上的增函数

证明:设x1 , x 2 ? R, 且x1 ? x 2,
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? (a ? 2 2
x1

?1

) ? (a ?

2 2
x2

?1

)

?

2(2 x1 ? 2 x2 ) (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)
-------------------------------------8 分

? x1 ? x 2 ? 0 ? 2 x1 ? 2 x2

? (2 x1 ? 2 x2 ) ? 0.(2 x1 ? 1) ? 0, (2 x2 ? 1) ? 0

? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0, f ( x1 ) ? f ( x 2 )
? a取任意实数,f ( x)为定义域上的增函数。 ----------------------------------12 分

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1 2 x0 ?1 1 ?2 1 ( 1 ) 解: f ( 2 x ? 1 ) ? ( ) ? 3 ? ( ) ? 2x0 ? 1 ? ? 0 18 3 3 2
? x0 ? 1 4

1

? f ( x)定义域为[?1,1] ? (2 x o ? 1) ? [?1,1]
? x 0 ? [0,1] ? f ( x 0 )定义域为[0,1] ? x 0 ?
1 符合题意。 --------------------4 分 4

1 1 x ? ? 1 ? x ? 1 ? ? ( ) ?3 (2) 3 3
1 1 1 g ( x) ? [( ) x ? a ] 2 ? 3 ? a 2 ? 令t ? ( ) x , t ? [ ,3] 3 3 3

? g ( x) ? ? (t ) ? (t ? a) 2 ? 3 ? a 2


--------------------6 分

a ? 3时,h(a) ? ? (3) ? 12 ? 6a

1 1 28 2 a ? 时, h ( a ) ? ? ( ) ? ? a ② 3 3 9 3


1 ? a ? 3时,h(a ) ? ? (a) ? 3 ? a 2 3

? ?12 ? 6a ? ? 28 2 综上:h(a ) ? ? ? a ?9 3 ? 2 ?3 ? a ?
19 解: 当0 ? x ?

(a ? 3) 1 (a ? ) 3 ---------------------------12 分 1 ( ? a ? 3) 3

1 时,y ? [4(1 ? 0.625 x) ? 3(1 ? x)] ? 1000 ? (1 ? 0.75 x) 2
=125(2-x)(4+3x)= 125( ?3 x ? 2 x ? 8) )
2



1 ? x ? 1时,y ? [4(1 ? 0.75 x) ? 3(1 ? x)] ? 1000(1 ? 0.04 x) 2
=1000(1+0.04x)=40(25+x)

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1 ? 125(?3 x 2 ? 2 x ? 8) x ? (0, ) ? ? 2 ?y ?? 1 ?40(25 ? x) x ? [ ,1] ? 2 ?
(2) 当0 ?

------------------6 分

x?

1 1 1 时,y ? 125(?3 x 2 ? 2 x ? 8)对称轴为x ? ? (0, ) 2 3 2

1 1 ?当x ? 时,区间内最大函数值y ? 125 ? (8 ? ) ? 1041.667 3 3
当 1 ? x ? 1时,y ? 40(25 ? x)单调递增,故区间内最大函数值为当x ? 1时 2

y ? 40(25 ? 1) ? 1040 < ? 1041.667
综上:当 x=

1 时,最大利润为 1041.667 万元。 答略-----------------------------12 分 3
1?

1 2 1 a 3 ? ?1? 3 ? 1 4 ? ? 1? ?a ? 1 20.解: (1) f (? ) ? log 2 a a 3 2 3 3 1? 1? 3 3

? f ( x) ? log 2
f (? x) ? log 2

1? x ? 定义域为(?1,1), 定义域关于原点对称, 1? x

1? x 1 ? x ?1 1? x ? log 2 ( ) ? ? log 2 ? ? f ( x) 1? x 1? x 1? x

? f ( x)为奇函数。 ----------------------------------------3 分
(2)

f ( x) = log 2 (?1 ?

2 2 ) ? f (3 x ) ? log 2 (?1 ? x ) x ?1 3 ?1

? ?1 ? x ? 0. ? ?1 ?

2 3 x ?1

?2

? log 2 (?1 ?
(3) log 2

2 3 ?1
x

) ? log 2 2 ? 1 ? 值域为[1,??) -----------------7 分
1? x 2 1? x 1? x ? log 2 ( ) ? 2 log 2 k k k
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1? x ? log 1? x

2

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?

2 1? x 1? x 2 1 ?( ) ? ? x ? ? x ?1 ? 0 2 3 1? x k
----------------------------------9 分

令 h( x )

1 2 1 ? 1 ? x 2 在[ , ]上单减, ? h( x) max ? h( ) ? 3 ? 只需k 2 ? 3 2 3 2 4 4
3 . -----------------------13 分 2

又由g ( x)定义域知k ? 0 ? 0 ? k ?

21、解: (1)设任意 x1 , x2 满足 ?1 ? x1 ? x2 ? 1,由题意可得

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (? x2 )
? f ( x1 ) ? f (? x2 ) ( x1 ? x2 ) x1 ? (? x2 )

?0,
∴ f ( x ) 在定义域 [ ?1,1] 上位增函数。??????????????????4 分 (2) f ( x ?

1 1 1 ) ? ? f ( x ? ) ? f ( ? x) 2 4 4

1 ? ?- 1 ? x ? 2 ? 1 ? 1 ? ? f ( x)在[?1,1]上单调递增,故?? 1 ? ? x ? 1 ? ? 1 ? x ? 3 --------8 分 4 ? 2 8 ? 1 1 ?x ? 2 ? 4 ? x ?

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