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【三维设计】2014届高考数学 (基础知识+高频考点+解题训练)两角和与差的正弦、余弦和正切公式教学案


第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

[知识能否忆起] 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C(α-β):cos(α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_β; (2)C(α+β):cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β; (3)S(α+β):sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β; (4)S(α-β):sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β; tan α+tan β (5)T(α+β):tan(α+β)= ; 1-tan αtan β tan α-tan β (6)T(α-β):tan(α-β)= . 1+tan αtan β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α:sin 2α=2sin_αcos_α; (2)C2α:cos 2α=cos α-sin α=2cos α-1=1-2sin α; 2tan α (3)T2α:tan 2α= . 2 1-tan α 3.常用的公式变形 (1)tan α±tan β=tan(α±β)(1?tan αtan β); 1+cos 2α 1-cos 2α 2 2 (2)cos α= ,sin α= ; 2 2 (3)1+sin 2α=(sin α+cos α) , 1-sin 2α=(sin α-cos α) , π? ? sin α±cos α= 2sin?α± ?. 4? ? [小题能否全取] sin 2α 1.(2011?福建高考)若 tan α=3,则 的值等于( 2 cos α A.2 C.4 B.3 D.6 )
2 2 2 2 2 2

1

解析:选 D

sin 2α 2sin αcos α = =2tan α=2?3=6. 2 2 cos α cos α )

2.sin 68°sin 67°-sin 23°cos 68°的值为( A.- C. 3 2 2 2 B. 2 2

D.1 原式=sin 68°cos 23°-cos 68°sin 23°=sin(68°-23°)=sin 45°

解析: B 选 = 2 . 2

2 3.已知 sin α= ,则 cos(π-2α)等于( 3 A.- C. 1 9 5 3 1 B.- 9 D. 5 3

)

解析: B 选

4 1 2 2 cos(π-2α)=-cos 2α=-(1-2sin α)=2sin α-1=2? -1=- . 9 9

π? 4 ? 4.(教材习题改编)若 cos α=- ,α 是第三象限角,则 sin?α+ ?=________ 4? 5 ? 3 2 解析:由已知条件 sin α=- 1-cos α=- , 5 π? 2 2 7 2 ? sin?α+ ?= sin α+ cos α=- . 4? 2 2 10 ? 7 2 答案:- 10 π? 2 ? 5.若 tan?α+ ?= ,则 tan α=________. 4? 5 ? π? tan α+1 2 ? 解析:tan?α+ ?= = , 4 ? 1-tan α 5 ? 即 5tan α+5=2-2tan α. 3 则 7tan α=-3,故 tan α=- . 7 3 答案:- 7

1.两角和与差的三角函数公式的理解: (1)正弦公式概括为“正余,余正符号同”.“符号同”指的是前面是两角和,则
2

后面中间为“+”号;前面是两角差,则后面中间为“-”号. (2)余弦公式概括为“余余,正正符号异”. (3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令 β=α 所得. 特别地, 对于余弦: 2α cos =cos α-sin α=2cos α-1=1-2sin α,这三个公式各有用处,同等重要,特别是逆用 即为“降幂公式”,在考题中常有体现. 2.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角为:对 角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子 变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是 观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等 变形.
2 2 2 2

三角函数公式的应用

典题导入

?1 π? [例 1] (2011?广东高考)已知函数 f(x)=2sin? x- ?,x∈R. 6? ?3
(1)求 f?

?5π?的值; ? ? 4 ?

π? 10 6 ? π? ? (2)设 α,β∈?0, ?,f?3α+ ?= ,f(3β+2π)= ,求 cos(α+β)的值. 2? 2 ? 13 5 ? ?

?1 π? [自主解答] (1)∵f(x)=2sin? x- ?, 6? ?3
∴f?

?5π?=2sin?5π-π?=2sinπ= 2. ? ? 12 6 ? 4 ? 4 ? ? ?

π? 10 6 ? π? ? (2)∵α,β∈?0, ?,f?3α+ ?= ,f(3β+2π)= , 2? ? 2 ? 13 5 ? π? 6 10 ? ∴2sin α= ,2sin?β+ ?= . 2? 5 13 ? 5 3 即 sin α= ,cos β= . 13 5 12 4 ∴cos α= ,sin β= . 13 5 ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β

3



12 3 5 4 16 ? - ? = . 13 5 13 5 65 由题悟法

两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用 α、β 的三角函数表示

α±β 的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,
完成统一角和角与角转换的目的. 以题试法 3 ?π ? 1.(1)已知 sin α= ,α∈? ,π?,则 5 ?2 ? cos 2α π? ? 2sin?α+ ? 4? ? =________.

(2)(2012?济南模拟)已知 α 为锐角,cos α= A.-3 4 C.- 3 解析:(1) cos 2α π? ? 2sin?α+ ? 4? ? = 1 B.- 7 D.-7 cos α-sin α
2 2

5 ?π ? ,则 tan? +2α?=( 5 ?4 ?

)

2 ? 2 ? 2? sin α+ cos α? 2 2 ? ?

=cos α-sin α,

3 4 ?π ? ∵sin α= ,α∈? ,π?,∴cos α=- . 2 5 5 ? ? 7 ∴原式=- . 5 2 5 2?2 4 ?π ? (2)依题意得,sin α= ,故 tan α=2,tan 2α= =- ,所以 tan? +2α? 5 1-4 3 ?4 ? 4 1- 3 1 = =- . 4 7 1+ 3 7 答案:(1)- 5 (2)B

三角函数公式的逆用与变形应用

典题导入 [例 2] (2013?德州一模)已知函数 f(x)=2cos - 3sin x. 2
4
2

x

(1)求函数 f(x)的最小正周期和值域; π? 1 cos 2α ? (2)若 α 为第二象限角,且 f?α- ?= ,求 的值. 3? 3 1+cos 2α-sin 2α ?

? π? 2x [自主解答] (1)∵f(x)=2cos - 3sin x=1+cos x- 3sin x=1+2cos?x+ ?, 3? 2 ?
∴周期 T=2π,f(x)的值域为[-1,3]. π? 1 1 1 ? (2)∵f?α- ?= ,∴1+2cos α= ,即 cos α=- . 3? 3 3 3 ? 2 2 ∵α 为第二象限角,∴sin α= . 3 ∴ cos 2α cos α-sin α = 2 1+cos 2α-sin 2α 2cos α-2sin αcos α
2 2

1 2 2 - + 3 3 cos α+sin α 1-2 2 = = = . 2cos α 2 2 - 3 由题悟法 运用两角和与差的三角函数公式时, 不但要熟练、 准确, 而且要熟悉公式的逆用及变形, 如 tan α+tan β=tan(α+β)?(1-tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等. 以题试法 π? π? 4 3 ? ? 2.(1)(2012?赣州模拟)已知 sin ?α+ ? +cos α = ,则 sin ?α+ ? 的值为 6? 3? 5 ? ? ( ) A. C. 4 5 3 2 3 B. 5 D. 3 5

3π (2)若 α+β= ,则(1-tan α)(1-tan β)的值是________. 4 解析:(1)由条件得 3 3 4 3 sin α+ cos α= , 2 2 5

1 3 4 即 sin α+ cos α= . 2 2 5 π? 4 ? ∴sin?α+ ?= . 3? 5 ? 3π tan α+tan β (2)-1=tan =tan(α+β)= , 4 1-tan αtan β ∴tan αtan β-1=tan α+tan β.
5

∴1-tan α-tan β+tan αtan β=2, 即(1-tan α)(1-tan β)=2. 答案:(1)A (2)2 角 的 变 换

典题导入 sin α+cos α [例 3] (1)(2012?温州模拟)若 =3, tan(α-β)=2, tan(β-2α) 则 sin α-cos α =________. π? 4 π? ? ? (2)(2012?江苏高考)设 α 为锐角,若 cos ?α+ ? = ,则 sin ?2α+ ? 的值为 6? 5 12? ? ? ________. sin α+cos α tan α+1 [自主解答] (1)由条件知 = =3, sin α-cos α tan α-1 则 tan α=2. 故 tan(β-2α)=tan [(β-α)-α] = tan? β-α? -tan α -2-2 4 = = . 1+tan? β-α? tan α 1+? -2? ?2 3

π? 4 ? (2)因为 α 为锐角,cos?α+ ?= , 6? 5 ? π? 3 π? 24 ? ? 所以 sin?α+ ?= ,sin 2?α+ ?= , 6? 5 6 ? 25 ? ? π? 7 ? cos 2?α+ ?= , 6 ? 25 ? π? π? π? ? ? ? 所以 sin?2α+ ?=sin?2?α+ ?- ? 6? 4? 12? ? ? ? = 24 2 7 2 17 2 ? - ? = . 25 2 25 2 50 17 2 (2) 50 由题悟法 1. 当“已知角”有两个时, 一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式; 2.当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系, 然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 3.常见的配角技巧:

4 [答案] (1) 3

α α=2? ;α=(α+β)-β;
2
6

α=β-(β-α); α= [(α+β)+(α-β)]; β= [(α+β)-(α-β)];
π π ?π π ?π ? ? +α= -? -α?;α= -? -α?. 4 2 ?4 4 ?4 ? ? 以题试法 π? 1 π? 2 ? ? 3.设 tan(α+β)= ,tan?β- ?= ,则 tan?α+ ?=( 4? 4 4? 5 ? ? A. C. 13 18 3 22 B. D. 13 22 1 6 ) 1 2 1 2

π? ? ? 解析:选 C tan?α+ ?=tan?? 4? ? ?

α+β? -?β- ?? 4

? ?

π??

??

π? ? tan? α+β? -tan?β- ? 4? 3 ? = = . ?β-π? 22 1+tan? α+β? tan? 4? ? ?

1.(2012?重庆高考)设 tan α,tan β 是方程 x -3x+2=0 的两根,则 tan (α+β) 的值为( A.-3 C.1 ) B.-1 D.3

2

解析:选 A 由题意可知 tan α+tan β=3,tan α?tan β=2, tan α+tan β tan(α+β)= =-3. 1-tan αtan β 3 ? π? ? π? 2.(2012?南昌二模)已知 cos?x- ?=- ,则 cos x+cos?x- ?的值是( 6? 3? 3 ? ? 2 3 A.- 3 C.-1 2 3 B.± 3 D.±1 )

7

1 3 3 3 ? π? 解析:选 C cos x+cos?x- ?=cos x+ cos x+ sin x= cos x+ sin x= 3 3? 2 2 2 2 ? 1 ? 3 ? ? π? ? cos x+ sin x?= 3cos?x- 6 ?=-1. ? ? 2 2 ? ? 1 ?π ? ?π ? 3.(2012?乌鲁木齐诊断性测验)已知 α 满足 sin α= , 那么 sin? +α?sin? -α? 2 ?4 ? ?4 ? 的值为( A. C. 1 4 1 2 ) 1 B.- 4 1 D.- 2

解析:选 A

?π ? ?π ? ?π ? ?π ? 1 依题意得,sin ? +α? sin ? -α? =sin ? +α? ?cos ? +α? = ?4 ? ?4 ? ?4 ? ?4 ? 2

1 1 ?π ? 1 2 sin? +2α?= cos 2α= (1-2sin α)= . 2 2 4 ? ? 2 4.已知函数 f(x)=x +bx 的图象在点 A(1,f(1))处的切线的斜率为 4,则函数 g(x) = 3sin 2x+bcos 2x 的最大值和最小正周期为( A.1,π C. 2,2π B.2,π D. 3,2π
2 3

)

解析:选 B 由题意得 f′(x)=3x +b,

f′(1)=3+b=4,b=1.
所以 g(x)= 3sin 2x+bcos 2x π? ? = 3sin 2x+cos 2x=2sin?2x+ ?, 6? ? 故函数的最大值为 2,最小正周期为 π. 5. (2012?东北三校联考)设 α、β 都是锐角,且 cos α= 则 cos β=( A. C. 2 5 25 2 5 2 5 或 25 5 ) B. D. 2 5 5 5 5 或 5 25 5 3 ,sin(α+β)= , 5 5

2 5 2 解析:选 A 依题意得 sin α= 1-cos α= , 5 4 2 cos(α+β)=± 1-sin ? α+β? =± . 5 又 α、β 均为锐角,因此 0<α<α+β<π,
8

4 5 4 cos α>cos(α+β),注意到 > >- , 5 5 5 4 所以 cos(α+β)=- . 5 4 5 3 cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=- ? + 5 5 5 2 5 2 5 ? = . 5 25 6.已知 α 为第二象限角,sin α+cos α= A.- 5 9 5 3 B.- 5 3 3 1 2 两边平方,可得 1+sin 2α= ,sin 2α=- , 3 3 3 5 9 3 ,则 cos 2α=( 3 )

C.

D.

解析:选 A 将 sin α+cos α=

5 2 所以(-sin α+cos α) =1-sin 2α= .因为 α 是第二象限角,所以 sin α>0,cos α 3 <0,所以-sin α+cos α=- 15 ,所以 cos 2α=(-sin α+cos α)?(cos α+sin 3

α)=-

5 . 3

π 4π 1 7.(2012?苏锡常镇调研)满足 sin sin x+cos cos x= 的锐角 x=________. 5 5 2 解析:由已知可得 4π 4π 1 cos cos x+sin sin x= , 5 5 2 即 cos?

?4π-x?=1, ? 2 ? 5 ?

4π π 7π 又 x 是锐角,所以 -x= ,即 x= . 5 3 15 7π 答案: 15 2tan? 45°-α? sin αcos α 8.化简 ? =________. 2 2 2 1-tan ? 45°-α? cos α-sin α 1 sin 2α 2 解析:原式=tan(90°-2α)? cos 2α

9

= =

sin? cos?

1 sin 2α 2 90°-2α? ? 90°-2α? cos 2α

cos 2α 1sin 2α 1 ? = . sin 2α 2cos 2α 2

1 答案: 2 9. (2013?烟台模拟)已知角 α, 的顶点在坐标原点, β 始边与 x 轴的正半轴重合, , α

β∈(0,π),角 β 的终边与单位圆交点的横坐标是- ,角 α+β 的终边与单位圆交点的
4 纵坐标是 ,则 cos α=________. 5 解析:依题设及三角函数的定义得: 1 4 cos β=- ,sin(α+β)= . 3 5 π π 2 2 3 又∵0<β<π,∴ <β<π, <α+β<π,sin β= ,cos(α+β)=- . 2 2 3 5 ∴cos α=cos[(α+β)-β] =cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β 3 ? 1? 4 2 2 =- ??- ?+ ? 5 ? 3? 5 3 = 3+8 2 . 15

1 3

3+8 2 答案: 15 π? 1 ? π? ? 10.已知 α∈?0, ?,tan α= ,求 tan 2α 和 sin?2α+ ?的值. 2? 3? 2 ? ? 1 2tan α 解:∵tan α= ,∴tan 2α= = 2 2 1-tan α sin α 1 = ,即 cos α=2sin α, cos α 2
2 2

1 2? 2 4 = , 1 3 1- 4



又 sin α+cos α=1,

? π? 2 ∴5sin α=1,而 α∈?0, ?, 2? ?
∴sin α= 5 2 5 ,cos α= . 5 5

10

∴sin 2α=2sin αcos α=2?

5 2 5 4 ? = , 5 5 5

4 1 3 2 2 cos 2α=cos α-sin α= - = , 5 5 5 π? π π 4 1 3 3 4+3 3 ? ∴sin?2α+ ?=sin 2αcos +cos 2αsin = ? + ? = . 3? 3 3 5 2 5 2 10 ? π? 4 π ? 11.已知:0<α< <β<π,cos?β- ?= . 4? 5 2 ? (1)求 sin 2β 的值; π? ? (2)求 cos?α+ ?的值. 4? ? π? π 2 2 1 ? 解:(1)法一:∵cos?β- ?=cos cos β+sin β= cos β+ sin β= , 4? 4 2 2 3 ? ∴cos β+sin β= 2 2 7 ,∴1+sin 2β= ,∴sin 2β=- . 3 9 9

法二:sin 2β=cos?

?π-2β?=2cos2?β-π?-1=-7. ? ? ? 4? 9 ?2 ? ?

(2)∵0<α< <β<π, 2 ∴

π

π

π 3 π 3π <β<- < π, <α+β< , 4 4 4 2 2

∴sin?β- ?>0,cos(α+β)<0. 4? ?

?

π?

π? 1 4 ? ∵cos?β- ?= ,sin(α+β)= , 4? 3 5 ? π? 2 2 ? ∴sin?β- ?= , 4? 3 ? cos(α+β)=- .
∴cos?α+ ?=cos?? 4? ? ? 3 5

?

π?

? α +β? -?β-π?? ? 4 ?? ? ??
π?

=cos(α+β)cos?β- ? 4? ? 3 1 4 2 2 8 2-3 =- ? + ? = . 5 3 5 3 15 x? ? x? ? 12.(2012?衡阳模拟) 函数 f(x)=cos?- ?+sin?π- ?,x∈R. 2? ? 2? ? (1)求 f(x)的最小正周期;

?

11

π? 2 10 ? π? ? (2)若 f(α)= ,α∈?0, ?,求 tan?α+ ?的值. 2? 4? 5 ? ?

x? x x ? x? ? ?x π? 解:(1)f(x)=cos?- ?+sin?π- ?=sin +cos = 2sin? + ?, 2? 2 2 ? 2? ? ?2 4 ?
2π 故 f(x)的最小正周期 T= =4π. 1 2 2 10 α α 2 10 (2)由 f(α)= ,得 sin +cos = , 5 2 2 5

α?2 ?2 10?2 ? α 则?sin +cos ? =? , 2 2? ? 5 ? ? ?
8 3 即 1+sin α= ,解得 sin α= , 5 5

? π? 2 又 α∈?0, ?,则 cos α= 1-sin α= 2? ?
sin α 3 故 tan α= = , cos α 4 π? ? 所以 tan?α+ ?= 4? ? π 3 tan α+tan +1 4 4 = =7. π 3 1-tan αtan 1- 4 4

9 4 1- = , 25 5

π ?1? 1.若 tan α=lg(10a),tan β=lg? ?,且 α+β= ,则实数 a 的值为( 4 ?a? A.1 1 C.1 或 10 B. 1 10

)

D.1 或 10 lg?

解析: C tan(α+β)=1? 选

tan α+tan β = 1-tan αtan β 1-lg?

?1? 10a? +lg? ?

?a? 2 =1? lg a+lg 1? ? 10a? ?lg? ? ?a?

a=0,
1 所以 lg a=0 或 lg a=-1,即 a=1 或 . 10 π? π? 2? 2? 2 2.化简 sin ?α- ?+sin ?α+ ?-sin α 的结果是________. 6? 6? ? ? π? π? ? ? 1-cos?2α- ? 1-cos?2α+ ? 3? 3? ? ? 2 解析:原式= + -sin α 2 2
12

π? π?? 1? ? ? 2 =1- ?cos?2α- ?+cos?2α+ ??-sin α 3? 3 ?? 2? ? ? π cos 2α 1-cos 2α 1 2 =1-cos 2α?cos -sin α=1- - = . 3 2 2 2 1 答案: 2 3.已知 sin α+cos α= π? 3 3 5 ? π? ? ?π π? ,α∈?0, ?,sin?β- ?= ,β∈? , ?. 4? 4? 5 5 ? ? ?4 2?

(1)求 sin 2α 和 tan 2α 的值; (2)求 cos(α+2β)的值. 9 2 解:(1)由题意得(sin α+cos α) = , 5 9 4 即 1+sin 2α= ,∴sin 2α= . 5 5 3 ? π? 2 又 2α∈?0, ?,∴cos 2α= 1-sin 2α= , 2? 5 ? sin 2α 4 ∴tan 2α= = . cos 2α 3 π? 3 π ? π? ?π π? ? (2)∵β∈? , ?,β- ∈?0, ?,sin?β- ?= , 4? 4? 5 4 ? ?4 2? ? π? 4 ? ∴cos?β- ?= , 4? 5 ? π? π? ? π? 24 ? ? 于是 sin 2?β- ?=2sin?β- ?cos?β- ?= . 4? 4? ? 4 ? 25 ? ? π? ? 又 sin 2?β- ?=-cos 2β, 4? ? 24 ∴cos 2β=- , 25 7 ?π ? 又∵2β∈? ,π?,∴sin 2β= , 25 ?2 ? 1+cos 2α 4? ? π?? 2 又∵cos α= = ?α∈?0, ??, 4 ?? 2 5? ? 2 5 5 ∴cos α= ,sin α= . 5 5 ∴cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β = 2 5 5 7 11 5 ? 24? ??- ?- ? =- . 25? 5 25 5 25 ?

13

1.(2012?北京西城区期末)已知函数 f(x)= 3sin x+sin xcos x,x∈?
2

?π,π?. ? ?2 ?

(1)求 f(x)的零点; (2)求 f(x)的最大值和最小值. 解:(1)令 f(x)=0,得 sin x?( 3sin x+cos x)=0, 所以 sin x=0 或 tan x=- 3 . 3

?π ? 由 sin x=0,x∈? ,π?,得 x=π; ?2 ?
由 tan x=- 3 5π ?π ? ,x∈? ,π?,得 x= . 2 3 6 ? ?

5π 综上,函数 f(x)的零点为 ,π. 6 (2)f(x)= π? 3 1 3 ? (1-cos 2x)+ sin 2x=sin?2x- ?+ . 3? 2 2 2 ?

π ?2π 5π? ?π ? 因为 x∈? ,π?,所以 2x- ∈? , ?. 2 3 ? 3 ? 3 ? ? π 2π π 所以当 2x- = ,即 x= 时,f(x)的最大值为 3; 3 3 2 π 3π 11π 3 当 2x- = ,即 x= 时,f(x)的最小值为-1+ . 3 2 12 2

β? π 1 ? ?α ? 2 求 2. 已知 0<β< <α<π, cos?α- ?=- , ? -β?= , cos(α+β)的值; 且 sin 2? 2 2 9 ? ? ? 3
π 解:∵0<β< <α<π, 2 π α π π β ∴- < -β< , <α- <π. 4 2 2 4 2

? ? ∴cos? -β?= ?2 ?
α


1-sin ?
2

?α-β? ? ?2 ?

5 ?2?2 1-? ? = , 3? 3 ?

sin?α- ?= 2? ? = ∴cos

?

β?

1-cos ?α- ? 2? ?
2

?

β?

? 1?2 4 5. 1-?- ? = 9 ? 9?
α+β
2 =cos??α- ?-? -β?? 2? ?2 ?? ??

??

β? ?α

??

14

=cos?α- ?cos? -β?+sin?α- ?sin? -β? 2? ?2 2? ?2 ? ? ? ? 1 5 4 5 2 7 5 =- ? + ? = . 9 3 9 3 27 ∴cos(α+β)=2cos
2

?

β?



?

?

β?



?

α+β
2

49?5 239 -1=2? -1=- . 729 729

15



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