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19.1.1(1)平行四边形的性质 人教新课标版


19.1.1平行四边形的性质(1)

复习回顾
1、四边形的内角和为 ,外角和为 2、已知:a∥b,c∥d则 ∠1=∠2( ∠2=∠3 ( ∠1+∠4= ( ), ), ), .

∠3+∠4= ( 所以∠1=∠3 (

),
)。

认识平行四边形
平行四边形是我们常见的图形,小 区的伸缩门、庭院的竹篱笆等,都是平 行四边形的形象。

平行四边形相关概念
1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
如图:四边形ABCD是平行四边形 记作: ABCD
B A

D

2.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫
平行四边形的对角线. 线段AC、BD就是 ABCD的两条对角线。

C

3.平行四边形相对的边称为 对边, 相对的角称为 对角.
对边:AB与CD; BC与DA. 对角: ∠ABC与∠CDA; ∠BAD与∠DCB.

理解定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
A B C D 记作: ABCD

读作:平行四边形ABCD ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB∥CD



AB∥CD

AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形

AD∥BC

A

D

B

C

如图




AB AD

CD BC

ABCD AB CD BC

ABCD

AD

平行四边形的边、角有怎样的数 量关系?

求证:平行四边形的对边相等、对角相等.
A D

分析:先根据题目画
B
已知: C 图,并写出“已知”与 “求证”。

ABCD.

求证:AD=BC,AB=DC; ∠A=∠C,∠B=∠D。 该怎样证呢?

分析:要 证的是不在同一三角形的边 相等、角相等,可作辅助线,

构建全等三角形.
证明:连接AC ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD,AD∥BC ∴∠1=∠2,∠3=∠4 在△ABC和△CDA中 ∠1=∠2 AC=CA ∠3=∠4 ∴ △ABC≌△CDA(ASA)

4 1 2 3

∴AB=CD,BC=DA,
∠B=∠D 又∵∠1=∠2,∠3=∠4 ∴∠1+∠4=∠2+∠3

即∠BAD=∠DCB



ABCD中∠B=∠D还有什么方法?

证法一:因为四边形ABCD是平行四边形, 所以AB∥CD,AD∥BC。 所以∠A+∠B=180°, ∠A+∠D=180°。 所以∠B=∠D(同角的补角相等)。

A
B C

D

证法二 :延长DC到点E。 因为四边形ABCD是平行四边形, 所以AB∥CD,AD∥BC。 所以∠B=∠DCE, ∠DCE=∠D 。 所以∠B=∠D(等量代换)。

A B

D

C

E

定理1:平行四边形的两组对边分别相等 定理2:平行四边形的两组对角分别相等
D C

几何语言:
∵ 四边形ABCD是平行四边形
A B

∴ AB=CD,AD=BC.(平行四边形的对边相等)
∠A= ∠C, ∠B= ∠D(平行四边形的对角相等)

∠A= ∠C, ∠B= ∠D(平行四边形的对角相等)

在 ABCD中, AB=CD,AD=BC. (平行四边形的对边相等)

1.如图:在 ABCD中,根据已知你能得到哪 些结论?为什么?

A 30cm B

124°

32cm

56° 124°

D

30cm

56°

32cm

C

例: 如图,小明用一根36m长的绳子围 成了一个平行四边形的场地,其中一条 边AB长为8m,其他三条边各长多少?

解:∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD, AD=BC
A
D

∵AB=8m
∴CD=8m 又AB+BC+CD+AD=36 ∴ AD=BC=10m
B C

有一块形状如图所示的玻璃,不小心把EDF部分 打碎了,现在只测得AE=60cm、BC=80cm, ∠B=60°且AE∥BC、AB∥CF,你能根据测得的数据 计算出DE的长度和∠D的度数吗?

∠B=60°

解:AE∥BC
AB∥CF

四边形ABCD
是平行四边形

∠B= ∠ D AD=BC=80cm DE=AD-AE AE=60cm

∠D=60°

DE=20cm

练习巩固
已知:如图,在 ABCD中,E,F分别是 BC,AD上的点,且BE=DF。 求证:AE=CF 证明:∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB=CD,∠B=∠D
∵BE=DF

A

F

D

∴△ABE≌△CDF
∴AE=CF
B
E

C

如图 E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点, AE=CF, 求证:DF=BE. .

本课小结
定 义 两组对边分别平行的四 边形叫做 平 行 四边形。 平行四边形ABCD, 记为“□ABCD”, 读作“平行四边形ABCD”

表示方法





平行四边形的对边相等,对角 相等, 相邻两角互补,


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