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2017年北京高考模拟试题一模数学试题文科分类教师用书


2017 年北京市高考一模文科数学试题分类汇编 目录
一、集合 .......................................................................................................................................... 3 (一)试题细目表................................................................................................................... 3 (二)试题解析....................................................................................................................... 3 二、逻辑 .......................................................................................................................................... 4 (一)试题细目表................................................................................................................... 4 (二)试题解析....................................................................................................................... 4 三、函数与不等式 .......................................................................................................................... 5 (一)试题细目表................................................................................................................... 5 (二)试题解析....................................................................................................................... 5 四、导数 .......................................................................................................................................... 9 (一)试题细目表................................................................................................................... 9 (二)试题解析....................................................................................................................... 9 五、三角函数 ................................................................................................................................ 17 (一)试题细目表................................................................................................................. 17 (二)试题解析..................................................................................................................... 17 六、平面向量 ................................................................................................................................ 23 (一)试题细目表................................................................................................................. 23 (二)试题解析..................................................................................................................... 23 七、数列 ........................................................................................................................................ 24 (一)试题细目表................................................................................................................. 24 (二)试题解析..................................................................................................................... 24 八、线性规划 ................................................................................................................................ 29 (一)试题细目表................................................................................................................. 29 (二)试题解析..................................................................................................................... 29 九、算法 ........................................................................................................................................ 30 (一)试题细目表................................................................................................................. 30 (二)试题解析..................................................................................................................... 30 十、复数 ........................................................................................................................................ 32 (一)试题细目表................................................................................................................. 32 (二)试题解析..................................................................................................................... 32 十一、概率统计 ............................................................................................................................ 33 (一)试题细目表................................................................................................................. 33 (二)试题解析..................................................................................................................... 33 十二、三视图 ................................................................................................................................ 42 (一)试题细目表................................................................................................................. 42 (二)试题解析..................................................................................................................... 42 十三、立体几何 ............................................................................................................................ 45 (一)试题细目表................................................................................................................. 45 (二)试题解析..................................................................................................................... 45 十四、直线与圆的方程................................................................................................................. 53
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(一)试题细目表................................................................................................................. 53 (二)试题解析..................................................................................................................... 53 十五、圆锥曲线 ............................................................................................................................ 54 (一)试题细目表................................................................................................................. 54 (二)试题解析..................................................................................................................... 54 十六、解析几何综合题................................................................................................................. 55 (一)试题细目表................................................................................................................. 55 (二)试题解析..................................................................................................................... 55 十七、创新题 ................................................................................................................................ 64 (一)试题细目表................................................................................................................. 64 (二)试题解析..................................................................................................................... 64

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一、集合 (一)试题细目表
区县+题号 2017· 西城一模· 1 2017· 丰台一模· 1 2017· 石景山一模· 1 2017· 东城一模· 1 2017· 朝阳一模· 1 2017· 海淀一模· 1 类 选 择 选 择 选 择 选 择 选 择 选 择 型 考 点 集合的运算 集合的运算 集合的运算 集合的运算 集合的运算 集合的运算 思 想 方 法

(二)试题解析
1. ( 2017· 西城一模 · 1 )已知全集 U ? {1,2,3,4,5,6} ,集合 A ? {1,3,5} , B ? {1,4} ,那么

A

U

B?
B. {2, 4,6} D. {1, 2,3,5,6}

A. {3,5} C. {1,2,4,6}
【答案】A

2.(2017·丰台一模·1)如果集合 A ? ?x ? Z ? 2 ? x ? 1? , B ? ??1,0, 1? ,那么 A A. ??2,?1,0, 1? 【答案】D B. ??1,0, 1? C. ?0, 1? D. ??1,0?

B=

1} ,那么 A 3. 1) (2017· 石景山一模· 已知集合 A ? {x | 2 x ? 1 ? 0} ,B ? {x | 0≤x≤
等于( )

B

A. {x | x≥0} C. { x | 0 ? x ? } 【答案】D

1} B. {x | x≤

1 2

D. {x | 0≤x ? }

1 2

4.(2017·东城一模·1)如果 A ? ? x ? R | x ? 0? , B ? ?0,1, 2,3? ,那么集合 A ? B ? A.空集 C. ?0,1? 【答案】D 5.(2017·朝阳一模·1)已知集合 A ? {x | ? 1 ? x ? 3} , B ? {x ? Z | x2 ? 4} ,则 A A. {0,1} B. {?1,0,1, 2}
第 3 页共 66 页

B. ?0? D. ?1, 2,3?

B?

C. {?1, 0,1} 【答案】C

D. {?2, ?1,0,1, 2}

6.(2017·海淀一模·1). 设集合 A ? ?x |1 ? x ? 3? ,集合 B ? ?x | x2 ? 4? ,则集合 A B 等 于 A.

?x | 2 ? x ? 3?

B.

?x x ? 1?

C.

?x 1 ? x ? 2?

D.

?x | x ? 2?

【答案】A

二、逻辑 (一)试题细目表
区县+题号 2017· 丰台一模· 4 2017· 石景山一模· 4 2017· 东城一模· 6 2017· 西城一模· 5 2017· 海淀一模· 4 2017· 朝阳一模· 4 类 选 选 选 选 选 选 型 择 择 择 择 择 择 考 点 全称命题的否定 命题、充要条件、三角 充要条件、三角 函数的性质 充要条件、函数性质 充要条件、直线和圆 思 想 方 法

(二)试题解析
1.(2017·丰台一模·4)设命题 p: ?x ?[0,??) , e x ? 1 ,则 ? p 是 A. ? x0 ?[0,??) , e x0 ? 1 C. ? x0 ?[0,??) , e x0 ? 1 【答案】C 2.(2017·石景山一模·4)设 ? ? R ,“ sin ? ? cos ? ”是“ cos 2? ? 0 ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】A 3.(2017·东城一模·6) “ sin ? ? cos ? ? 0 ”是 “ cos 2? ? 0 ”的 A.充分而不必要条件 C.充分且必要条件 【答案】A
第 4 页共 66 页

B. ? x ?[0,??) , e x ? 1 D. ? x ?[0,??) , e x ? 1



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.(2017· 西城一模· 5) 函数 f ( x) 定义在 (??, ??) 上.则“曲线 y ? f ( x) 过原点”是“ f ( x) 为 奇函数”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件
【答案】B

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.(2017·海淀一模·4)若实数 a, b 满足 a ? 0, b ? 0 ,则“ a ? b ”是“ a ? ln a ? b ? ln b ”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】C
6.(2017·朝阳一模·4)已知直线 l 过定点 (0,1) , 则“直线 l 与圆 ( x ? 2) “直线 l 的斜率为
2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? y 2 ? 4 相切”是

3 ”的 4
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

【答案】B

三、函数与不等式
(一)试题细目表
区县+题号 类 型 考 点 思 想 方 法

(二)试题解析
1.(2017· 西城一模· 9)函数 f ( x) ? 【答案】 {x | x ≥ 0 ,且 x ? 1} 2.(2017·石景山一模·3)下列函数中,偶函数是(
x A. y ? 2 ?

x 的定义域为____. x ?1



1 2x

B. y ? x sin x

第 5 页共 66 页

C. y ? e x cos x 【答案】B

D. y ? x 2 ? sin x

3.(2017· 西城一模· 5) 函数 f ( x) 定义在 (??, ??) 上.则“曲线 y ? f ( x) 过原点”是“ f ( x) 为 奇函数”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件
【答案】B

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 4.(2017· 西城一模· 4)函数 f ( x) ? ( ) x ? log 2 x 的零点个数为 2
A. 0
【答案】B

B. 1

C. 2

D. 3

5.(2017·海淀·4)若实数 a, b 满足 a ? 0, b ? 0 ,则“ a ? b ”是“ a ? ln a ? b ? ln b ”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】C
6.(2017·朝阳一模·4)已知直线 l 过定点 (0,1) , 则“直线 l 与圆 ( x ? 2) “直线 l 的斜率为
2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? y 2 ? 4 相切”是

3 ”的 4
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

【答案】B 7.(2017·海淀·2)圆心为 (0,1) 且与直线 y ? 2 相切的圆的方程为 A. ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 C. x2 ? ( y ? 1)2 ? 1 【答案】C 8.(2017· 西城一模· 8)函数 f ( x) 的图象上任意一点 A( x, y ) 的坐标满足条件 | x | ≥ | y | , 称函数 f ( x) 具有性质 P .下列函数中,具有性质 P 的是 A. f ( x) ? x 2 C. f ( x) ? sin x
【答案】C
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B. ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 D . x2 ? ( y ? 1)2 ? 1

B. f ( x) ?

1 x ?1
2

D. f ( x) ? ln( x ? 1)

9.(2017·东城一模·8)如果函数 值域是 [2a,2b] ,那么称

y ? f ( x) 在定义域内存在区间 [a, b] ,使 f ( x) 在 [a, b] 上的

f ( x) 为“倍增函数”.若函数 f ( x) ? ln(e x ? m) 为“倍增函数”,则实数

m 的取值范围是
A. (?

1 ,??) 4

B. (?

1 ,0) 2

C. (?1,0)

D. (?

1 ,0) 4

【答案】D 10.(2017·朝阳一模·5)已知函数 f ( x) ? ? x ? 4 x,
2

?

log 2 x ? a,

x ? 2, 有两个不同的零点,则实 x>2

数 a 的取值范围是 A. ? ?1, 0 ? B. ?1, 2?

, +? ? C. ?1
【答案】C

+? ? D. ? 2,

?cos x, x ? a, ? 11.(2017·海淀·7)若函数 f ( x) ? ? 1 的值域为 [?1,1] ,则实数 a 的取值范围是 , x?a ? ? x

A. [1, ??) 【答案】A

B. (??, ?1]

C. (0,1]

D.

? ?1,0 ?

1 12.(2017·丰台一模·5)如果 a ? 21.2 ,b ? ( )0.3 ,c ? 2log 2 3 ,那么 2

A. c ? b ? a 【答案】D

B. c ? a ? b

C. a ? b ? c

D. a ? c ? b

13.(2017·东城一模·3)如果 a ? log 4 1 , b ? log 2 3 , c ? log 2 ? ,那么三个数的大小关 系是 A. c ? b ? a 【答案】A 14.(2017·丰台一模·11)设 a ? b ? M (a ? 0,b ? 0) , M 为常数,且 ab 的最大值为 2,则 M 等于 【答案】 2 2 . B. a ? c ? b C. a ? b ? c D. b ? c ? a

第 7 页共 66 页

? x 2 ? x, x≥0, ? 15.(2017·石景山一模·12)已知函数 f ( x) ? ? 若 f (a) ? f (2 ? a) ,则 a 的取 2 ? ? x ? x , x ? 0.
值范围是 【答案】 a ? 1 16.(2017·东城一模·5)设函数 .

? 2 x ? 3,x ? 0, f ( x) ? ? 若 f ( a) ? 1 ,则实数 a 的取值范 ? x ? 1,x ? 0.

围是 A. (0, 2) B. (0, ??) C. (2, ??) D. (??, 0) ∪ (2, +?)

【答案】B

? ?( x ? 2a)(a ? x), x ? 1, 17.(2017·丰台一模·14)已知函数 f ( x) ? ? ? ? x ? a ? 1, x ? 1.

(1)若 a ? 0 ,x ?[0,4] ,则 f ( x) 的值域是________; (2)若 f ( x) 恰有三个零点,则实数 a 的取值范围是_________. 【答案】 [?1, 1] ; (??,0) 18.(2017·朝阳一模·11)已知函数 f ( x) ? 2 ?
x

2 ? a 的一个零点在区间 (1,2) 内,则实 x

数 a 的取值范围是 【答案】 (0,3)

.

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四、导数
(一)试题细目表
区县+题号 2017·西城一模·20 类 型 考 点 思 想 方 法 解答题

(二)试题解析

1.(2017· 西城一模· 20)已知函数 f ( x) ? e x ? x 2 .设 l 为曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的 切线,其中 x0 ?[?1,1] . (Ⅰ)求直线 l 的方程(用 x0 表示) ; (Ⅱ)求直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围; (Ⅲ)设直线 y ? a 分别与曲线 y ? f ( x) 和射线 y ? x ? 1 ( x ?[0, ??)) 交于 M , N 两点,求

1 2

| MN | 的最小值及此时 a 的值.
解: (Ⅰ) 对 f ( x) 求导数,得 f ?( x) ? e x ? x , 所以切线 l 的斜率为 f ?( x0 ) ? e x0 ? x0 ,
1 2 由此得切线 l 的方程为: y ? (e x0 ? x0 ) ? (e x0 ? x0 )( x ? x0 ) , 2

[ 1 分] [ 2 分]

即 y ? (e x0 ? x0 ) x ? (1 ? x0 )e x0 ?

1 2 x0 . 2 1 2 x0 . 2

[ 3 分] [ 4 分]

(Ⅱ) 由(Ⅰ)得,直线 l 在 y 轴上的截距为 (1 ? x0 )e x0 ? 设 g ( x) ? (1 ? x)e x ?

1 2 x , x ?[?1,1] . 2

所以 g ?( x) ? x(1 ? e x ) ,令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 .

g ( x) , g ?( x) 的变化情况如下表:
x

?1

( ? 1, 0)
?

0 0

(0,1)
?

1

g ?( x)

第 9 页共 66 页

g ( x)

2 1 ? e 2



1



1 2
[ 6 分]

所以函数 g ( x) 在 [?1,1] 上单调递减,

2 1 1 ? , [ g ( x)]min ? g (1) ? , e 2 2 1 2 1 所以直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围是 [ , ? ] . 2 e 2
所以 [ g ( x)]max ? g (?1) ? (Ⅲ)过 M 作 x 轴的垂线,与射线 y ? x ? 1 交于点 Q , 所以△ MNQ 是等腰直角三角形.

[ 8 分]

[ 9 分] [10 分]

1 所以 | MN | ? | MQ | ? | f ( x) ? g ( x) | ? | e x ? x 2 ? x ? 1| . 2 1 设 h( x) ? e x ? x 2 ? x ? 1 , x ?[0, ??) , 2
所以 h?( x) ? e x ? x ? 1 . 令 k ( x) ? e x ? x ? 1 ,则 k ?( x) ? e x ? 1 ? 0 ( x ? 0) , 所以 k ( x) ? h?( x) 在 [0, ??) 上单调递增, 所以 h?( x) ≥ h?(0) ? 0 , 从而 h( x) 在 [0, ??) 上单调递增, 所以 [h( x)]min ? h(0) ? 2 ,此时 M (0,1) , N (2,1) . 所以 | MN | 的最小值为 2 ,此时 a ? 1 . 2.(2017·丰台一模·20) (本小题共 13 分)
x ?1 ,A ( x1 ,m) ,B ( x2 ,m) 是曲线 y ? f ( x) 上两个不同的点 . ex (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间,并写出实数 m 的取值范围;

[12 分]

[13 分]

已知函数 f ( x) ?

(Ⅱ)证明: x1 ? x2 ? 0 . 解: f ( x) 的定义域为 R . (Ⅰ) f ?( x) ? ?
x , ex

由 f ?( x) ? 0 得, x ? 0 , 由 f ?( x) ? 0 得, x ? 0 , 由 f ?( x) ? 0 得, x ? 0 , 所以 f ( x) 的单调增区间为(-∞,0) ,单调减区间为(0,+∞).
m 的取值范围是 (0,1) .

……………………6 分
第 10 页共 66 页

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知, x1 ? (?1,0) ,要证 x2 ? ? x1 ? 0 ,只需证 f ( x2 ) ? f (? x1 ) 因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? m ,所以只需证 f ( x1 ) ? f (? x1 ) , 只需证
x1 ? 1 ? x1 ? 1 2x ? ? x1 ,只需证 (x1 ? 1)e 1 ? x1 ? 1 ? 0 ( x1 ? (?1,0) ) x1 e e

令 h( x) ? (x ? 1)e2 x ? x ? 1 ? 0 ,则 h?( x) ? (2 x ? 1)e2 x ? 1 , 因为 (h?( x))? ? 4 xe2 x ? 0 , 所以 h?( x) 在 (?1,0) 上单调递减,所以 h?( x) ? h?(0) ? 0 , 所以 h( x) 在 (?1,0) 上单调递增,所以 h( x) ? h(0) ? 0 , 所以 e2 x ?
x ?1 ? 0 ,故 x1 ? x2 ? 0 x ?1

……………………13 分

3.(2017·石景山一模·19) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? e .
x

(Ⅰ)过原点作曲线 y ? f ( x) 的切线,求切线方程; (Ⅱ)当 x ? 0 时,讨论曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? mx2 (m ? 0) 公共点的个数. 【答案】 (Ⅰ)由题意,设切点为 M ( x0 , y0 ) ,由题意可得

y0 ? 0 e x0 x0 ,即 e ? ,解得 x0 ? 1 ,即切点 M (1, e) . f '( x0 ) ? x0 ? 0 x0
所以 k ?

e?0 ? e ,所以切线方程为 y ? ex . 1? 0

……………..........…5 分

(Ⅱ)当 x ? 0, m ? 0 时, 曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? mx2 (m ? 0) 的公共点个数 即方程 f ( x) ? mx 根的个数.
2

由 f ( x) ? mx 得 m ?
2

ex . x2

令 g ( x) ?

ex xe x ( x ? 2) ,则 ,令 g '( x) ? 0 ,解得 x ? 2 . g '( x ) ? x2 x4

随 x 变化时, g '( x) , g ( x) 的变化情况如下表:

x

(0, 2)
?

2
0

(2, ??)
?

g '( x)

第 11 页共 66 页

g ( x)
其中 g(2) ?



极小值 g (2)



e2 ex .所以 g(2) 为 g ( x) ? 2 在 (0, ??) 的最小值. 4 x

所以对曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? mx2 (m ? 0) 公共点的个数,讨论如下: 当 m ? (0,

e2 e2 ) 时,有 0 个公共点; 当 m ? 时,有 1 个公共点; 4 4
……………..........…13 分

当 m?(

e2 , ??) 时,有 2 个公共点. 4

4.(2017·东城一模·20) (本小题 14 分) 设函数 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? x ? ax , a ? R . 3 2

(Ⅰ)若 x ? 2 是 f ( x) 的极值点,求 a 的值,并讨论 f ( x) 的单调性;
(Ⅱ)已知函数 g ( x) ? (Ⅲ )设

1 2 f ( x) ? ax 2 ? ,若 g ( x) 在区间 (0,1) 内有零点,求 a 的取值范围; 2 3

f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ,试讨论过两点 ( x1, f ( x1 )) , ( x2 , f ( x2 )) 的直线能否过点

(1,1) ,若能,求 a 的值;若不能,说明理由.
(20) (共 14 分) 解析:(Ⅰ) 由 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? x ? ax 求得 f ' ( x) ? x2 ? x ? a 3 2

? f ' (2) ? 4 ? 2 ? a ? 0 ? a ? ?2 ,代入 f ' ( x) ? x2 ? x ? 2 ? ( x ? 2)( x ? 1)
令 f ' ( x) ? 0 得 x1 ? 2 , x2 ? ?1

?当x ? (??,?1), (2,??) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; 当x ? (?1,2) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减.
……………………4 分 (Ⅱ) 由 g ( x) ? f ( x) ?
2

1 2 2 1 3 1 1 2 ax ? ? x ? ( ? a) x 2 ? ax ? 2 3 3 2 2 3 2 ?0 3

求得 g ' ( x) ? x ? (1 ? a) x ? a ? ( x ? 1)( x ? a)

?当a ? 1 时,当 x ? (0,1) 时, g ' ( x) ? 0 恒成立, g ( x) 单调递增,又 g (0) ?
此时 g ( x) 在区间 (0,1) 内没有零点; 当 0 ? a ? 1 时,当 x ? (0, a) 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 单调递增; 当 x ? (a,1) 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 单调递减.又 g (0) ?
第 12 页共 66 页

2 ?0 3

此时欲使 g ( x) 在区间 (0,1) 内有零点,必有 g (1) ? 0 .

1 1 1 2 1 1 g (1) ? 0 ? ? ( ? a) ? a ? ? a ? ? 0 ? a ? ?1 3 2 2 3 2 2 当 a ? 0 时,当 x ? (0,1) 时, g ' ( x) ? 0 恒成立, g ( x) 单调递减
综上, a 的取值范围为 (??,?1) . ……………………9 分 (Ⅲ)不能.原因如下:

无解

此时欲使 g ( x) 在区间 (0,1) 内有零点,必有 g (1) ? 0 ? a ? ?1 .

设 f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ,则导函数 f ' ( x) ? x ? x ? a 有两个不同的零点
2

1 ? ? ? 0 ? 1 ? 4a ? 0 ? a ? ,且 x1 , x2 为方程 x2 ? x ? a ? 0 的两根 4
x12 ? x1 ? a ? 0 ? x12 ? x1 ? a
1 1 1 1 1 2 1 2 ? f ( x1 ) ? x13 ? x12 ? ax1 ? x1 ( x1 ? a) ? x12 ? ax1 ? ? x12 ? ax1 ? ? ( x1 ? a) ? ax1 3 2 3 2 6 3 6 3 2 1 1 ? f ( x1 ) ? ( a ? ) x1 ? a 3 6 6 1 a 6 2 1 1 由此可知过两点 ( x1, f ( x1 )) , ( x2 , f ( x2 )) 的直线方程为 y ? ( a ? ) x ? a 3 6 6 2 1 1 5 7 7 若直线过点 (1,1) ,则 1 ? ( a ? ) ? a ? a ? ? a ? 3 6 6 6 6 5 1 前面已经讨论过若 f ( x) 有两个极值点,则 a ? ,显然不合题意. 4
同理 f ( x2 ) ? ( a ? ) x2 ? 综上,过两点 ( x1, f ( x1 )) , ( x2 , f ( x2 )) 的直线不能过点 (1,1) . ……………………14 分 5.(2017·朝阳一模·20) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? e, g ( x) ? 1 ? ln x ,其中 e 为自然对数的底数.
3

2 3

1 6

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 l : x ? 2 y ? 0 垂直,求实数 a 的值; (Ⅱ)设函数 F ( x) ? ? x[ g ( x) ? 极值点,求 m 的值; (Ⅲ)用 max ?m, n? 表示 m,n 中的较大者,记函数 h( x) ? max{ f ( x), g ( x)}( x ? 0) .若函 数 h( x) 在 (0, ??) 上恰有 2 个零点,求实数 a 的取值范围. 解:
第 13 页共 66 页

1 x ? 2] ,若 F ( x) 在区间 (m, m 1)(m Z) 内存在唯一的 2

(Ⅰ) 易得, f ?( x) ? 3x ? 3a ,所以 f ?(1) ? 3 ? 3a ,
2

依题意, (3 ? 3a)(? ) ? ?1 ,解得 a ? (Ⅱ)因为 F ( x) ? ? x[ g ( x) ?

1 2

1 ; 3

??????????3 分

1 1 1 ? ? x ? 2] ? ? x ?(1 ? ln x) ? x ? 2 ? ? x ln x ? x 2 ? x , 2 2 2 ? ?

则 F ?( x) ? ln x ? 1 ? x ? 1 ? ln x ? x ? 2 .设 t ( x) ? ln x ? x ? 2 , 则 t ?( x) ?

1 1? x . ?1 ? x x

令 t ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 . 则由 t ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 , F ?( x) 为增函数; 由 t ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 , F ?( x) 为减函数; 而 F ?(

1 1 1 ) ? ?2 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 0 , F ?(1) ? 1 ? 0 . 2 e e e

则 F ?( x) 在 (0,1) 上有且只有一个零点 x1 , 且在 (0, x1 ) 上 F ?( x) ? 0 , F ( x) 为减函数; 在 ( x1 ,1) 上 F ?( x) ? 0 , F ( x) 为为增函数. 所以 x1 为极值点,此时 m ? 0 . 又 F ?(3) ? ln 3 ? 1 ? 0 , F ?(4) ? 2ln 2 ? 2 ? 0 , 则 F ?( x) 在 (3, 4) 上有且只有一个零点 x2 , 且在 (3, x2 ) 上 F ?( x) ? 0 , F ( x) 为增函数; 在 ( x2 , 4) 上 F ?( x) ? 0 , F ( x) 为减函数. 所以 x2 为极值点,此时 m ? 3 . 综上 m ? 0 或 m ? 3 . ????????9 分 (Ⅲ) (1)当 x ? (0,e) 时, g ( x) ? 0 ,依题意, h( x) ? g ( x) ? 0 ,不满足条件; (2)当 x ? e 时, g (e) ? 0 , f (e) ? e ? 3ae ? e ,
3

①若 f (e) ? e ? 3ae ? e ? 0 ,即 a ?
3

e2 ? 1 ,则 e 是 h( x) 的一个零点; 3

第 14 页共 66 页

②若 f (e) ? e3 ? 3ae ? e ? 0 ,即 a ?

e2 ? 1 ,则 e 不是 h( x) 的零点; 3

(3)当 x ? (e, ??) 时, g ( x) ? 0 ,所以此时只需考虑函数 f ( x) 在 (e, ??) 上零点 的情况.因为 f ?( x) ? 3x ? 3a ? 3e ? 3a ,所以
2 2

①当 a ? e2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (e, ??) 上单调递增. 又 f (e) ? e ? 3ae ? e ,所以
3

(i)当 a ?

e2 ? 1 时, f (e) ? 0 , f ( x) 在 (e, ??) 上无零点; 3

(ii)当

e2 ? 1 ? a ? e2 时, f (e) ? 0 , 3
3 3 3

又 f (2e) ? 8e ? 6ae ? e ? 8e ? 6e ? e ? 0 , 所以此时 f ( x) 在 (e, ??) 上恰有一个零点; ②当 a ? e2 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? a . 由 f ?( x) ? 0 ,得 e ? x ? 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

a;

a;

所以 f ( x) 在 (e, a ) 上单调递减,在 ( a , ??) 上单调递增. 因为 f (e) ? e ? 3ae ? e ? e ? 3e ? e ? 0 ,
3 3 3

f (2a) ? 8a3 ? 6a 2 ? e ? 8a 2 ? 6a 2 ? e ? 2a 2 ? e ? 0 ,
所以此时 f ( x) 在 (e, ??) 上恰有一个零点; 综上, a ?

e2 ? 1 . 3

????????????13 分

6.(2017·海淀一模·20)已知函数 f ( x) ? ex ? x2 ? ax , 曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切 线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若 g ( x) ? e x ? 2 x ? 1 ,求函数 g ( x) 的最小值; (Ⅲ)求证:存在 c ? 0, 当 x ? c 时, f ( x) ? 0.

第 15 页共 66 页

【答案】 (Ⅰ) f ?( x) ? e x ? 2 x ? a , 由已知可得 f ?(0) ? 0 , 所以 1 ? a ? 0 , 得 a ? ?1 . (Ⅱ) g ?( x) ? e x ? 2 ,令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? ln 2 , 所以 x , g ?( x) , g ( x) 的变化情况如下表所示:

x
g ?( x)

(??,ln 2)
?

ln 2

(ln 2, ??)

0

?


g ( x)



极小值

所以 g ( x) 的最小值为 g (ln 2) ? eln 2 ? 2ln 2 ? 1 ? 1 ? 2ln 2 . (Ⅲ)证明:显然 g ( x) ? f ?( x) 且 g (0) ? 0 , 由(Ⅱ)知, g ( x) 在 (??,ln 2) 上单调递减,在 (ln 2, ??) 上单调递增. 又 g (ln 2) ? 0 , g (2) ? e2 ? 5 ? 0 , 由零点存在定理,存在唯一实数 x0 ? (ln 2, ??) ,满足 g ( x0 ) ? 0 , 即 e x0 ? 2 x0 ? 1 ? 0 , e x0 ? 2 x0 ? 1 , 综上, g ( x) ? f ?( x) 存在两个零点,分别为 0, x0 . 所以 x ? 0 时, g ( x) ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (??,0) 上单调递增;
0 ? x ? x0 时, g ( x) ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, x0 ) 上单调递减; x ? x0 时, g ( x) ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 ( x0 , ??) 上单调递增,

所以 f (0) 是极大值, f ( x0 ) 是极小值,
1 5 f ( x0 ) ? e x0 ? x0 2 ? x0 ? 2 x0 ? 1 ? x0 2 ? x0 ? ? x0 2 ? x0 ? 1 ? ?( x0 ? )2 ? , 2 4
3 3 因为 g (1) ? e ? 3 ? 0, g ( ) ? e 2 ? 4 ? 0 , 2 3 所以 x0 ? (1, ) ,所以 f ( x0 ) ? 0 ,因此 x ? 0 时, f ( x) ? 0 . 2

因为 f (0) ? 1 且 f ( x) 在 (??,0) 上单调递增, 所以一定存在 c ? 0 满足 f (c) ? 0 , 所以存在 c ? 0 ,当 x ? c 时, f ( x) ? 0 .

第 16 页共 66 页

五、三角函数
(一)试题细目表
区县+题号 类 型 考 点 思 想 方 法

(二)试题解析
1.(2017·石景山一模·4)设 ? ? R ,“ sin ? ? cos ? ”是“ cos 2? ? 0 ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】A 2.(2017·东城一模·6) “ sin ? ? cos ? ? 0 ”是 “ cos 2? ? 0 ”的 A.充分而不必要条件 C.充分且必要条件 【答案】A
π 3.(2017·丰台一模·7)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ) ,点 A(m,n) , B(m ? π,n) (| n |? 1) 都在 3



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

曲线 y ? f ( x) 上,且线段 AB 与曲线 y ? f ( x) 有五个公共点,则 ? 的值是 A.4 【答案】A B.2 C.
1 2

D.

1 4

y

4.(2017·石景山一模·13)若函数 y ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的部分图象如图所示,则 ? = 【答案】3 .

y0
x0 ?
0

x0

π 3

x

? y0
第 17 页共 66 页

5.(2017·西城一模·12)函数 f ( x) ? 【答案】

sin 4 x 的最小正周期是____. 1 ? cos 4 x

π 2

6.(2017·海淀·13)已知函数 f ( x) ? sin ? x ( ? ? 0 ) ,若函数 y ? f ( x ? a) (a ? 0) 的部分图 象如图所示,则 ? ? ___, a 的最小值是
? 【答案】2, 12



7.(2017·朝阳一模·15)已知函数 f ( x) ? sin x(cos x ? 3 sin x) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 x ?[0, π] 上的单调递增区间. 解:(Ⅰ)因为 f ( x) ? sin x(cos x ? 3 sin x) ? sin x cos x ? 3 sin x
2

1 3 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 π 3 , ? sin(2 x ? ) ? 3 2
所以函数 f ( x) 的最小正周期为 T ? (Ⅱ)令 2kπ ?

2π ? π. 2

?????????????6 分

π π π ? 2 x ? ? 2kπ ? , k ? Z 得, 2 3 2 5π π 2kπ ? ? 2 x ? 2kπ ? , k ? Z , 6 6 5π π 所以 kπ ? ? x ? kπ ? , k ? Z . 12 12
又因为 x ?[0, π] ,

所以函数 f ( x) 在 x ?[0, π] 上的单调递增区间是 [0, 8.(2017·朝阳一模·12)在△ ABC 中, ?A ?

? , BC ? 3 , AB ? 6 ,则 ?C ? ____, 3

π 7π ] 和 [ , π] .?????13 分 12 12

AC ? _____.
【答案】

? , 4

6 ?3 2 2
第 18 页共 66 页

9.(2017·海淀一模·17)已知 ?ABC 中, A ? 2B . (Ⅰ) 求证: a ? 2b cos B ; (Ⅱ) 若 b ? 2 , c ? 4, 求 B 的值. 【答案】 (Ⅰ) 因为 A ? 2B , 所以由正弦定理 得 得
a b , ? sin A sin B

a b , ? sin A sin 2 B a b , ? 2sin B cos B sin B

所以 a ? 2b cos B . (Ⅱ)法 1:由余弦定理, b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B , 因为 b ? 2, c ? 4 , 所以 4 ? 16cos2 B ? 14 ? 32cos2 B , 所以 16cos2 B ? 12 ,即 cos 2 B ?
3 , 4 ? , 3

因为 A ? B ? 2B ? B ? ? ,所以 B ? {或因为 b ? c ,所以 B ? 所以 cos B ?
? } 2

3 ? ,所以 B ? . 2 6

法 2:由余弦定理, a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A , 因为 b ? 2, c ? 4, A ? 2B , 所以 16cos2 B ? 4 ? 16 ? 16cos 2B , 所以 cos 2 B ?
3 . 4 ? , 3

因为 A ? B ? 2B ? B ? ? ,所以 B ? 所以 cos B ?
3 ? ,所以 B ? . 2 6

法 3:因为 a ? 2b cos B , 所以由余弦定理, b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B , 可得 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ?
a2c a ,即 b2 ? a 2 ? c 2 ? , b 2b

又因为 b ? 2, c ? 4 ,所以计算可得 a 2 ? 12 ,即 a ? 2 3 , 因为 a2 ? b2 ? c2 ,所以 ?C ? 90 ,
第 19 页共 66 页

所以 cos B ? 所以 B ?
? . 6

a 3 , ? c 2

法 4:因为 a ? 2b cos B ,根据余弦定理 cos B ?
a ? 2b ? a 2 ? c 2 ? b2 , 2ac

a 2 ? c2 ? b2 ,可得 2ac

又因为 b ? 2, c ? 4 ,所以计算可得 a 2 ? 12 ,即 a ? 2 3 , 因为 a2 ? b2 ? c2 ,所以 ?C ? 90 , 所以 cos B ? 所以 B ?
? . 6

a 3 , ? c 2

10.(2017·东城一模·15) (本小题 13 分) 已知点 (

?
4

,1) 在函数 f ( x) ? 2a sin x cos x ? cos 2 x 的图象上.

(Ⅰ) 求 a 的值和 f ( x) 最小正周期; (Ⅱ) 求函数 f ( x) 在 (0 , ?? 上的单调减区间.

π ,1) 在函数 f ( x) 的图象上, 4 π π π π ? f ( )=2a sin cos ? cos ? 1 . 4 4 4 2 ? a ? 1.
解:(Ⅰ) 点(

? f ( x) ? 2sin x cos x ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x π ? 2 sin(2 x ? ) 4
?T ? π .------------------6 分 ? ? 3? (Ⅱ)由 ? 2k ? ≤ 2 x ? ≤ ? 2k ? , 2 4 2 ? 5? 得 ? 2k ? ≤ 2x ≤ ? 2 k? , 4 4 ? 5? ? ? k? ≤ x ≤ ? k ?? 8 8

第 20 页共 66 页

? 函数 f ( x) 的单调减区间为

5? ?? ? ? k ?, ? k ?? ( k ?Z ) . ? 8 ?8 ?

? ? 5? ? ? 函数 f ( x) 在 (0 , ?? 上的单调减区间为 ? , ? . ?8 8 ?
11.(2017· 西城一模· 16) 在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 a tan C ? 2c sin A . (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin A ? sin B 的最大值. 解: (Ⅰ) 由 a tan C ? 2c sin A , 得
a sin C ? ? 2sin A . c cos C sin A sin C ? ? 2sin A . sin C cos C

[ 1 分] [ 3 分] [ 4 分] [ 5 分] [ 6 分]

由正弦定理得

所以 cos C ? 因为 C ? (0, π) , 所以 C ?

1 . 2

π . 3
2π ? A) 3

(Ⅱ) sin A ? sin B ? sin A ? sin(

[ 7 分]
[ 9 分] [11 分]

3 3 ? sin A ? cos A 2 2 π ? 3 sin( A ? ) . 6 π 2π 因为 C ? ,所以 0 ? A ? , 3 3 π 所以 当 A ? 时, sin A ? sin B 取得最大值 3 . 3
12.(2017·丰台一模·15) (本小题共 13 分) 在 △ABC 中,角 A,B,C 对应的边长分别是 a,b,c,且 C ? (Ⅰ)若 sin A ?

[12 分] [13 分]

? ,c ? 4. 3

3 ,求 a ; 4

(Ⅱ)若 △ABC 的面积等于 4 3 ,求 a , b . 解: (Ⅰ)由正弦定理

a 4 a c 可知: ? , ? 3 sin A sin C 3 4 2
第 21 页共 66 页

从而求得 a ? 2 3

……………………6 分

(Ⅱ)由 ?ABC 的面积等于 4 3 ,可知 S?ABC ? 从而 ab ? 16 ①,

1 3 ab sin C ? ab ? 4 3 , 2 4

由余弦定理 c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C 可得,

16=a 2 ? b2 ? ab ②,
联立①②得 a ? b ? 4 . 13.(2017·石景山一模·16) (本小题共 13 分) 已知 a, b, c 分别是 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的三条对边,且 c 2 ? a 2 ? b2 ? ab . (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 cos A ? cos B 的最大值. 【答案】 (Ⅰ)因为 c ? a ? b ? ab ,
2 2 2

……………………13 分

a 2 ? b 2 ? ab 1 所以 cos C ? ? . 2ab 2
又因为 C ? (0, π) ,所以 C ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 C ?

π . 3

…………6 分

又 A? B ?C ? π, 所以 B ?

π , 3

2π 2π ? A 且 A ? (0, ) , 3 3 2π ? A) 3 2π 2π cos A ? sin sin A 3 3

故 cos A ? cos B ? cos A ? cos(

? cos A ? cos

?
又 A ? (0,

1 3 π cos A ? sin A ? sin( ? A) . 2 2 6

2π π π 5π ) , ? A?( , ) , 3 6 6 6

所以当

π π π ? A ? 即 A ? 时, cos A ? cos B 的最大值为 1 .…..................13 分 6 2 3

第 22 页共 66 页

六、平面向量
(一)试题细目表
区县+题号 类 型 考 点 思 想 方 法

(二)试题解析
1.(2017· 西城一模· 6)在 △ ABC 中,点 D 满足 BC ? 3 BD ,则 A. AD ? C. AD ?
【答案】C
?? ? ?? ? ? 2 ?? ? 1 ?? AB ? AC 3 3 ? 1 ?? ? 2 ?? AB ? AC 3 3
?? ? ?? ?

B. AD ? D. AD ?
?? ?

?? ?

? 2 ?? ? 1 ?? AB ? AC 3 3 ? 1 ?? ? 2 ?? AB ? AC 3 3

2.(2017·丰台一模·12)如图,在直角梯形 ABCD 中, AD ∥ BC , ?ADC =90? , AD=2 ,
BC =CD=1 , P 是 AB 的中点,则 DP AB =

. F C

【答案】 ?1

D
B P

C

E
A

D

A

B

3.(2017·石景山一模·7)如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 2 ,点 E 为 BC 的 中点,点 F 在边 CD 上,若 AB ? AF ? 2 ,则 AE ? BF 的值是( )

A. 2 ? 2 【答案】C

B. 1

C. 2

D. 2

B ? A C 4. (2017· 东城一模· 13) 已知 ?ABC 中,?A=120? , 且A

? 2, 那么 BC ? _______,

BC ? CA ? ____ .
【答案】 2 3 , ?6

第 23 页共 66 页

5.(2017·海淀·6)在 ?ABC 中,点 D 满足 AD ? 2 AB ? AC ,则 A.点 D 不在直线 BC 上 C.点 D 在线段 BC 上 【答案】D 6.(2017·朝阳一模·14) 如图, ?AB1C1 , ?B1 B2C2 , ?B2 B3C3 是三个边长为 2 的等边三 角形,且有一条边在同一直线上,边 B3C3 上有 5 个不同的点 P 1, P 2, P 3, P 4, P 5 ,设 B.点 D 在 BC 的延长线上 D.点 D 在 CB 的延长线上

mi ? AC2 ? APi ( i ? 1, 2,
C1

,5 ) ,则 m1 ? m2 ?
C2

? m5 ? ________.
C3 P5 P4 P3 P2 P1 B3

A

B1

B2

【答案】 90

七、数列
(一)试题细目表
区县+题号 类 型 考 点 思 想 方 法

(二)试题解析
1.(2017·海淀·10)已知等比数列 ?an ? 中, a2 a4 ? a5 , a4 ? 8 ,则公比 q ? 和 S4 ? ___. 【答案】2,15 ,其前 4 项

第 24 页共 66 页

2.(2017·朝阳一模·10)已知 { an } 为等差数列,S n 为其前 n 项和.若 S6 ? 51 ,a1 ? a9 ? 26 , 则数列 { an } 的公差 d ? 【答案】 3, 3n ? 2 3.(2017·朝阳一模·16) (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ?1 ? (Ⅰ)证明 {bn } 是等比数列; (Ⅱ)求数列 {log 2 bn } 的前 n 项和 Tn . 解: (Ⅰ)由 an ?1 ? ,通项公式 an ? .

a 2(n ? 1) an , 设 bn ? n , n ? N? . n n

2(n ? 1) a a an ,得 n ?1 ? 2 ? n . n n ?1 n
bn ?1 ? 2. bn

所以 bn?1 ? 2bn ,即 又因为 b1 ?

a1 ?1, 1

所以数列 {bn } 是以 1 为首项,公比为 2 的等比数列.????????7 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 bn ? 1? 2 所以 log 2 bn ? log 2 2
n ?1

? 2n?1 .

n ?1

? n ?1 .

则数列 {log 2 bn } 的前 n 项和

Tn ? 1 ? 2 ? 3 ?

? (n ? 1) ?

n(n ? 1) . 2

?????????????13 分

4.(2017·海淀一模·15)已知等差数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 6, a2 ? a3 ? 10 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {an ? an ?1} 的前 n 项和. 【答案】 (Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d , 因为 a1 ? a2 ? 6 , a2 ? a3 ? 10 ,所以 a3 ? a1 ? 4 , 所以 2d ? 4 , d ? 2 . 又 a1 ? a1 ? d ? 6 ,所以 a1 ? 2 , 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n .

第 25 页共 66 页

(Ⅱ)记 bn ? an ? an ?1 所以 bn ? 2n ? 2(n ? 1) ? 4n ? 2 , 又 bn?1 ? bn ? 4(n ? 1) ? 2 ? 4n ? 2 ? 4 , 所以 {bn } 是首项为 6 ,公差为 4 的等差数列, 其前 n 项和 Sn ?
n(b1 ? bn ) 2 n(6 ? 4n ? 2) ? 2n 2 ? 4n . 2

?

a1 ? 3 ,a4 ? 24 . 5. (2017· 西城一模· 15) 已知 {an } 是等比数列, 数列 {bn } 满足 b1 ? 1 , b4 ? ?8 ,
且 {an ? bn } 是等差数列. (Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {bn } 的前 n 项和. 解: (Ⅰ)设等比数列 {an } 的公比为 q ,由题意得

q3 ?

a4 ? 8 , 解得 q ? 2 . a1
).

[ 2 分]

所以 an ? a1 ? q n?1 ? 3 ? 2n?1 ( n ? 1,2, 设等差数列 {an ? bn } 的公差为 d ,由题意得

[ 4 分]

d?

(a4 ? b4 ) ? (a1 ? b1 ) 16 ? 4 ? ?4. 4 ?1 3
所以 an ? bn ? (a1 ? b1 ) ? (n ? 1)d ? 4n .

[ 6 分] [ 8 分] [ 9 分]

从而 bn ? 4n ? 3 ? 2n?1 ( n ? 1,2,

). ).

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? 4n ? 3 ? 2n?1 ( n ? 1,2,

数列 {4n } 的前 n 项和为 2n(n ? 1) ;数列 {3 ? 2n ?1} 的前 n 项和为 3 ? (2n ? 1) .[12 分] 所以,数列 {bn } 的前 n 项和为 2n2 ? 2n ? 3 ? 2n ? 3 . [13 分]

第 26 页共 66 页

6.(2017·丰台一模·16) (本小题共 13 分) 已知 ?an ? 是各项均为正数的等比数列, a11 ? 8 ,设 bn ? log 2 an ,且 b4 ? 17 . (Ⅰ)求证:数列 ?bn ? 是以-2 为公差的等差数列; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,求 S n 的最大值. 解: (Ⅰ)设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,则

bn?1 ? bn ? log 2 an?1 ? log 2 an ? log 2
因此数列 ?bn ? 是等差数列. 又 b11 ? log 2 a11 ? 3 , b4 ? 17 , 又等差数列 ?bn ? 的公差 d ?

an ?1 ? log 2 q , an

b11 ? b4 ? ?2 , 7

即 bn ? 25 ? 2n . 即数列 ?bn ? 是以-2 为公差的等差数列.…………………6 分 (Ⅱ)设等差数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,则

Sn ?

(b1 ? bn ) (23 ? 25 ? 2n)n ? 2 2

? (24 ? n)n ? ?(n ? 12)2 ? 144 ,
于是当 n ? 12 时, S n 有最大值,最大值为 144. 7.(2017·石景山一模·15) (本小题共 13 分) 数列 {an } 中, a1 ? 2, an?1 ? an ? c ? 2 ( c 是常数, n ? 1,2,3…… ) ,且 a1 , a2 , a3 成
n

……………………13 分

公比不为 1 的等比数列. (Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)求 {an } 的通项公式. 【答案】 (Ⅰ)? a1 ? 2, an?1 ? an ? c ? 2
n

第 27 页共 66 页

? a2 ? a1 ? c ? 2 ? 2c , a3 ? a2 ? c ? 22 ? 2 ? 6c .
依题意, a1,a2,a3 成公比不为 1 的等比数列,

(2+2c)2 ? 2(2 ? 6c) , ? a2 2 ? a1 a3 , 即: 2 化简,得: c ? c ? 0 , 解得, c ? 0 或 c =1 .
由于公比不为 1,因此, c =1 . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知: an?1 ? an ? 2 .
n

..............................................................................6 分

因此, a2 ? a1 ? 2

a3 ? a2 ? 22 a4 ? a3 ? 23
...... ( n≥2 ,且 n ? N* ) an ? an?1 ? 2n?1 , “叠加”: an ? a1 ? 2+22 +23 +......+2n ?1 =2+

( 2 1-2n?1 ) n . =2 ( n ? 2且n ? N* ) 1-2

a1 ? 2 ? n=1 时也满足 an ? 2n .
故,数列 {an } 的通项公式为: an ? 2 ( n ? N ) ................................................13 分
n

*

8.(2017·东城一模·16) (本小题 13 分) 已知数列 {an } 是等差数列,前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 9, S3 ? 21 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a5 , a8,Sk 成等比数列,求 k 的值. 解: (Ⅰ) 等差数列 {an } 中, a1 ? 9, S3 ? 21 ,

?3a1 ? 3d ? 21 .
?9 ? d ? 7 .
? d ? ?2.

? 数列 {an } 的通项公式为 an ? ?2n ? 11 .------------------6 分
(Ⅱ) 数列 {an } 是等差数列, a1 =9,d ? ?2 ,

? Sn ? ?n2 ? 10n .

第 28 页共 66 页

? Sk ? -k 2 ? 10k .

an ? ?2n ? 11 ,
? a5 ? 1 , a8 ? ?5 .

a5,a8,Sk 成等比数列,
? a82 ? a5 ? Sk .
2 (? 5) ? ?k 2 ? 10k . ?

即 k ? 10k ? 25 ? 0 ,
2

解得 k ? 5 .------------13 分

八、线性规划
(一)试题细目表
区县+题号 类 型 考 点 思 想 方 法

(二)试题解析
? x ≤ 1, ? 1.(2017·西城一模·13)实数 x, y 满足 ? y ≤ 2, 则 x 2 ? y 2 的最大值是____;最小 ?2 x ? y ? 2 ≥ 0, ?
值是____.

4 【答案】 5 ; 5

?2 x ? 3 y ? 6≥0, ? 2.(2017·石景山一模·10)已知实数 x , y 满足 ? x≤0, 那么 z ? y ? x 的最大值 ? y≥0, ?
是 【答案】3 .

第 29 页共 66 页

?2 x ? y ≤ 0, ? 3.(2017·朝阳一模·2)若 x, y 满足 ? x ? y ≤ 3, 则 y ? x 的最大值为 ? x ≥ 0, ?
A. 0 【答案】B
? x ? 2 y ? 4 ? 0, y ? 4.(2017·海淀·12)若 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 0, 则 的最大值是___. x ? x ? 1, ?
3 【答案】 2

B. 3

C. 4

D. 5

九、算法
(一)试题细目表
区县+题号 类 型 考 点 思 想 方 法

(二)试题解析
1.(2017·丰台一模·3) 执行如图所示的程序框图,则输出的 i 值是 A.3 【答案】B B.4 C.5 D.6 开始

k ?1
k ? k ?1

m?

1 3 ?1
k

m?

1 ? 200




输出 k 结束

第 30 页共 66 页

2.(2017·东城一模·10)如果执行如图所示的程序框图,那么输出的 k ? ___. 【答案】 5 3.(2017·朝阳一模·3)执行如图所示的程序框图,若输入 m ? 4 , n ? 6 ,则输出 a ? A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
【答案】C

开始 输入 m,n

开始
x ? 0, y ? 5
x? y ? xy 2

i?0 i ? i ?1
a ? m?i
a 能被 n 整除? 是 输出 a 结束 否




x ? x ?1
y? y?x

输出x 结束

4.(2017·海淀一模·3)执行如右图所示的程序框图,输出的 x 值为 A. 4 【答案】C B. 3 C. 2 D. 1

1 5.(2017· 西城一模· 10)执行如图所示的程序框图. 当输入 x ? ln 时,输出的 y 值为____. 2

第 31 页共 66 页

6.(2017·石景山一模·5)我国南宋数学家秦九韶(约公元 开始 1202—1261 年 ) 给 出 了 求 n (n ? N* ) 次 多 项 式

an xn ? an?1 x n?1 ?
当x?

? a1 x ? a0

输入x
k ? 0, S ? 1

x0 时的值的一种简捷算法.该算法被后人命名为“秦九

韶算法”,例如,可将 3 次多项式改写为:

k ? k ?1

a3 x ? a2 x ? a1 x ? a0 ? ((a3 x ? a2 ) x ? a1 ) x ? a0
3 2

然后进行求值. 运行如图所示的程序框图,能求得多项式( A . x 4 ? x 3 ? 2 x 2 ? 3x ? 4 B. x 4 ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 4 x ? 5 C. x 3 ? x 2 ? 2 x ? 3 D. x 3 ? 2 x 2 ? 3x ? 4 【答案】A )的值.

S ? x?S ? k

k?4





输出S
结束

十、复数
(一)试题细目表
区县+题号 类 型 考 点 思 想 方 法

(二)试题解析
1.(2017·丰台一模·9)在复平面内,复数 z ? 1 ? 2i 对应的点到原点的距离是 【答案】 5 2.(2017· 西城一模· 2)在复平面内,复数 A.第一象限 C.第三象限
【答案】D
第 32 页共 66 页



1? i 的对应点位于 i
B.第二象限 D.第四象限

3.(2017·石景山一模·9)若复数 【答案】1

a?i 是纯虚数,则实数 a ? 1? i



4.(2017·东城一模·9)如果 ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1)i 是纯虚数,那么实数 x ?



【答案】 ?1
5.(2017·朝阳一模·9)复数 z

1 ? 1 ? 在复平面内对应的点的坐标是_______. i

【答案】 (1, ?1) 6.(2017·海淀一模·9)已知复数 z ? a(1 ? i) ? 2 为纯虚数,则实数 a ? ___. 【答案】2

十一、概率统计
(一)试题细目表
区县+题号 类 型 考 点 思 想 方 法

(二)试题解析
1.(2017·东城一模·2)某高校共有学生 3000 人,新进大一学生有 800 人.现对大学生社 团活动情况进行抽样调查, 用分层抽样方法在全校抽取 300 人, 那么应在大一抽取的人数为 A.200 【答案】C
第 33 页共 66 页

B.100

C.80

D.75

2.(2017·东城一模·12)“墨子号”是由我国完全自主研制的世界上第一颗空间量子科学实 验卫星,于 2016 年 8 月 16 日发射升空.“墨子号”的主要应用目标是通过卫星中转实现可覆 盖全球的量子保密通信.量子通信是通过光子的偏振状态,使用二进制编码,比如,码元 0 对应光子偏振方向为水平或斜向下 45 度,码元 1 对应光子偏振方向为垂直或斜向上 45 度. 如下图所示 编码方式 1 码元 0 编码方式 2

码元 1

信号发出后,我们在接收端将随机选择两种编码方式中的一种来解码,比如,信号发送端如 果按编码方式 1 发送,同时接收端按编码方式 1 进行解码,这时能够完美解码;信号发送端 如果按编码方式 1 发送,同时接收端按编码方式 2 进行解码,这时无法获取信息.如果发送 端发送一个码元,那么接收端能够完美解码的概率是____;如果发送端发送 3 个码元,那么 恰有两个码元无法获取信息的概率是____. 【答案】

1 3 , 2 8

3.(2017·东城一模·18)(本小题 13 分)

某校学生在进行“南水北调工程对北京市民的影响”的项目式学习活动中, 对某居民小区进行 用水情况随机抽样调查,获得了该小区 400 位居民某月的用水量数据(单位:立方米) ,整 理得到如下数据分组及频数分布表和频率分布直方图: 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 分组 [0.5,1) [1,1.5) [1.5,2) [2,2.5) [2.5,3) [3,3.5) [3.5,4) [4,4.5) 频数 20 40 80 120 60 40 20 20

第 34 页共 66 页

(Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)从该小区随机选取一名住户,试估计这名住户一个月用水量小于 3 立方米的概率; (Ⅲ)若小区人均月用水量低于某一标准,则 称该小区为 “节水小区 ”.假设同组中的每个数 据用该组区间的右端点值代替,经过估算,该 小区未达到“节水小区”标准,而且该小区居民 月用水量不高于这一标准的比例为 65%, 经过 同学们的节水宣传,三个月后,又进行一次同 等规模的随机抽样调查,数据如右图所示,估 计这时小区是否达到 “ 节水小区 ” 的标准?并 说明理由.

解答: (Ⅰ)由数据分组及频数分布表可知,

40 120 a ? 400 ? 0.2 ; b ? 400 ? 0.6 0.5 0.5

……………………4 分

(Ⅱ)设这名住户一个月用水量小于 3 立方米为事件 A,那么

P( A) ?

20 ? 40 ? 80 ? 120 ? 60 ? 0.8 400

……………………8 分

(Ⅲ)因为该小区居民月用水量低于这一标准的比例为 35%, 所以由图可知, 小区人均月用水量低于 2.5 立方米,则称为“节水小区”. 由图可知,三个月后的该小区人均月用水量为 …………………10 分

1? 0.1 ? 1.5 ? 0.15 ? 2 ? 0.25 ? 2.5 ? 0.3 ? 3? 0.1 ? 3.5 ? 0.05 ? 4 ? 0.05 ? 2.25 ? 2.5
所以三个月后该小区达到了“节水小区”标准. ……………………13 分

第 35 页共 66 页

4.(2017·海淀一模·16)某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地出现 a , b 两 种“共享单车”(以下简称 a 型车, b 型车).某学习小组 7 名同学调查了该地区共享单车的使用 情况. (Ⅰ)某日该学习小组进行一次市场体验,其中 4 人租到 a 型车,3 人租到 b 型车.如果从组 内随机抽取 2 人,求抽取的 2 人中至少有一人在市场体验过程中租到 a 型车的概率; (Ⅱ)根据已公布 2016 年全年市场调查报告,小组同学发现 3 月,4 月的用户租车情况呈现 下表使用规律.例如:第 3 个月租用 a 型车的人中,在第 4 个月有 60%的人仍租用 a 型车. 第 3 个月 第 4 个月 租用 a 型车 租用 b 型车 租用 a 型车 60% 40% 租用 b 型车 50% 50%

若认为 2017 年该地区租用单车情况与 2016 年大致相同.已知 2017 年 3 月该地区租用

a, b 两种车型的用户比例为 1:1 ,根据表格提供的信息,估计 2017 年 4 月该地区租用
两种车型的用户比例.

【答案】(Ⅰ)法 1:依题意记租到 a 型车的 4 人为 A1,A2,A3,A4; 租到 b 型车的 3 人为 B1,B2,B3; 设事件 A 为“7 人中抽到 2 人,至少有一人租到 a 型车”, 则事件 A 为“7 人中抽到 2 人都租到 b 型车”. 如表格所示:从 7 人中抽出 2 人共有 21 种情况, 事件 A 发生共有 3 种情况, 所以事件 A 概率 p(A)= 1 ? P( A )= 1 ?
3 21 ? 6 7
A1 A2 A3 A4 B1 B2 B3

A1 A2 A3 A4 B1 B2 B3

X X X

.

法 2:依题意记租到 a 型车的 4 人为 A1,A2,A3,A4; 租到 b 型车的 3 人为 B1,B2,B3; 设事件 A 为“7 人中抽到 2 人,至少有一人租到 a 型车”, 事件 A 包含两类情形:2 人都租到 a 型车;一人租用 a 型车,一人租用 b 型车。两类情 形共有 18 种情况.

第 36 页共 66 页

从 7 人中抽出 2 人共有 21 种情况, 所以事件 A 发生的概率 P( A) ?

18 6 ? . 21 7

(Ⅱ)依题意,市场 4 月份租用 a 型车的比例为 50%60%+50%50%=55%, 租用 b 型车的比例为 50%40%+50%50%=45%, 所以市场 4 月租用 a,b 型车的用户比例为
55% 11 . = 45% 9

{说明:如果学生假设 a 型车和 b 型车的具体数值,然后计算数值再求比例,不扣分} 5.(2017·朝阳一模·17) (本小题满分 13 分) 某校高三年级共有学生 195 人,其中女生 105 人,男生 90 人.现采用按性别分层抽 样的方法,从中抽取 13 人进行问卷调查.设其中某项问题的选择分别为“同意” 、 “不 同意” 两种, 且每人都做了一种选择. 下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息. 同意 女学生 男学生 (Ⅰ)完成上述统计表; (Ⅱ)根据上表的数据估计高三年级学生该项问题选择“同意”的人数; (Ⅲ) 从被抽取的女生中随机选取 2 人进行访谈,求选取的 2 名女生中至少有一人选 择“同意”的概率. 解:(Ⅰ)统计表如下: 同意 女学生 男学生 4 4 不同意 3 2 合计 7 6 4 2 不同意 合计

???????????????????????????????????3 分 (Ⅱ)高三年级学生该项问题选择“同意”的人数估计有

? ? ???? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??? (人) . ? ?

?????????7 分

(Ⅲ)设“同意”的 4 名女生分别为 A1 , A2 , A3 , A4 , “不同意”的 3 名女生分别为 B1 , B2 , B3 . 从 7 人中随机选出 2 人的情况有

A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 , A1B1 , A1B2 , A1B3 , A2 A3 , A2 A4 , A2 B1 , A2 B2 , A2 B3 , A3 A4 , A3 B1, A3 B2 , A3 B3 , A4 B1, A4 B, ,3 B1 B , 2 B1 ,B3 ,共 B2 B3 21 种结果. 2 A4 B
其中 2 人都选择“不同意”的情况有 B1B2 , B1B3 , B2 B3 ,共 3 种结果. 设 2 名女生中至少有一人选择“同意”为事件 M ,

第 37 页共 66 页

所求概率 P ( M ) ? 1 ?

? 6 ? . ?? 7

?????????13 分

6.(2017·石景山一模·17) (本小题共 13 分) “累积净化量(CCM)”是空气净化器质量的一个重要衡量指标,它是指空气净化器从 开始使用到净化效率为 50%时对颗粒物的累积净化量, 以克表示. 根据 GB/T18801-2015 《空 气净化器》国家标准,对空气净化器的累计净化量(CCM)有如下等级划分: 累积净化量(克) 等级 (3,5] P1 (5,8] P2 (8,12] P3 12 以上 P4

为了了解一批空气净化器(共 2000 台)的质量,随机抽取 n 台机器作为样本进行估计, 已知这 n 台机器的累积净化量都分布在区间(4,14]中.按照(4,6], (6,8],(8,10], (10, 12], (12,14] 均匀分组,其中累积净化量在(4,6]的所有 数据有:4.5,4.6,5.2,5.3,5.7 .. 和 5.9,并绘制了如下频率分布直方图:
频率 组距

0.15 0.14 0.12 x 0.03 4 6 8 10 12 14


(Ⅰ)求 n 的值及频率分布直方图中的 x 值; (Ⅱ)以样本估计总体,试估计这批空气净化器(共 2000 台)中等级为 P2 的空气净化器 有多少台? (Ⅲ)从累积净化量在(4,6]的样本中随机抽取 2 台,求恰好有 1 台等级为 P2 的概率.

(4,6] 之间的数据一共有 6 个, 【答案】 (Ⅰ)因为在 (4,6] 之间的频率为 0.03 ? 2=0.06 . 再由频率分布直方图可知:落在
因此, n ?

6 ? 100 . 0.06

(0.03+x ? 0.12 ? 0.14 ? 0.15) ? 2 ? 1? x ? 0.06 ..........................................4 分

第 38 页共 66 页

(6,8] 之间共: 0.12 ? 2 ?100=24 台, (Ⅱ)由频率分布直方图可知:落在 (5,6] 之间共 4 台, 又因为在 (5,8] 之间共 28 台, ? 落在

故,这批空气净化器等级为 P 2 的空气净化器共有 560 台....................................8 分 (Ⅲ)设“恰好有 1 台等级为 P 2 ”为事件 B

(4,6] 之间共有 6 台,记为: A1,A2,A3 , A4,A5,A6 ,属于国标 P 2 级有 依题意,落在
4 台,我们记为: A3 , A4,A5,A6 ,

(4,6] 中随机抽取 2 个,所有可能的结果有 15 种, 它们是: ( A1 , A2 ) , ( A1 , A3 ) , 则从
( A1 , A4 ) , ( A1 , A5 ) , ( A1 , A6 ) , ( A2 , A3 ) , ( A2 , A4 ) , ( A2 , A5 ) , ( A2 , A6 ) , ( A3 , A4 ) , ( A3 , A5 ) , ( A3 , A6 ) , ( A4 , A5 ) , ( A4 , A6 ) , ( A5 , A6 ) ,
而事件 B 的结果有 8 种, 它们是:( A1 , A3 ) ,( A1 , A4 ) , ( A1 , A5 ) ,( A1 , A6 ) ,( A2 , A3 ) ,( A2 , A4 ) ,

(B) = ( A2 , A5 ) , ( A2 , A6 ) 因此事件 B 的概率为 P
7.(2017·丰台一模·18) (本小题共 13 分)

8 . 15

......................................13 分

某校学生营养餐由 A 和 B 两家配餐公司配送. 学校为了解学生对这两家配餐公司的满意 度,采用问卷的形式,随机抽取了 40 名学生对两家公司分别评分. 根据收集的 80 份问卷的 评分,得到 A 公司满意度评分的频率分布直方图和 B 公司满意度评分的频数分布表: 满意度 评分分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] A 公司 B 公司 频数 2 8 14 14 2

(Ⅰ)根据 A 公司的频率分布直方图,估计该公司满意度评分的中位数; (Ⅱ) 从满意度高于 90 分的问卷中随机抽取两份, 求这两份问卷都是给 A 公司评分的概率; (Ⅲ)请从统计角度,对 A、B 两家公司做出评价.

第 39 页共 66 页

解: (Ⅰ)设 A 公司调查的 40 份问卷的中位数为 x

(x ? 70) =0.5 则有 0.015 ?10+0.025 ?10+0.03 ?
解得: x ? 73.3 所以, 估计该公司满意度得分的中位数为 73.3 ……………………4 分

(Ⅱ)满意度高于 90 分的问卷共有 6 份,其中 4 份评价 A 公司,设为 a1 ,a2 ,a3 ,a4 ,2 份 评价 B 公司,设为 b1 ,b2 .

(a1 ,b1 ) , 从这 6 份问卷中随机取 2 份, 所有可能的结果有: (a1 ,a2 ) , (a1 ,a3 ) , (a1 ,a4 ) ,

(a1 ,b2 ) ,(a2 ,a3 ) ,(a2 ,a4 ) ,(a2 ,b1 ) ,(a2 ,b2 ) ,(a3 ,a4 ) ,(a3 ,b1 ) ,(a3 ,b2 ) ,(a4 ,b1 ) ,
(a4 ,b2 ) , (b1 ,b2 ) ,共有 15 种.
其中 2 份问卷都评价 A 公司的有以下 6 种: (a1 ,a2 ) , (a1 ,a3 ) , (a1 ,a4 ) , (a2 ,a3 ) ,

(a2 ,a4 ) , (a3 ,a4 ) .
设 两 份 问 卷 均 是 评 价 A 公 司 为 事 件 C , 则 有

P(C ) ?

6 2 ? . 15 5

……………………9 分

(Ⅲ)由所给两个公司的调查满意度得分知: A 公司得分的中位数低于 B 公司得分的中位数, A 公司得分集中在 ? 70,80 ? 这组, 而 B 公司得分集中在 ? 70,80 ? 和 ?80,90 ? 两个组,A 公司得分的平均数数低于 B 公司得分的平均数,A 公司得分比较分散,而 B 公司得分相对集中,即 A 公司 得分的方差高于 B 公司得分的方差. ……………………13 分

(注:考生利用其他统计量进行分析,结论合理的同样给分.)

第 40 页共 66 页

8.(2017· 西城一模· 17) (本小题满分 13 分) 在测试中,客观题难度的计算公式为 Pi ? 人数, N 为参加测试的总人数. 现对某校高三年级 120 名学生进行一次测试, 共 5 道客观题.测试前根据对学生的了解,预估了 每道题的难度,如下表所示: 题号 考前预估难度 Pi 表示答对,“×”表示答错) :
学生编号 题号

Ri ,其中 Pi 为第 i 题的难度, Ri 为答对该题的 N

1 0.9

2 0.8

3 0.7

4 0.6

5 0.4

测试后,从中随机抽取了 10 名学生,将他们编号后统计各题的作答情况,如下表所示(“√” 1 2 √ √ √ √ √ 3 √ √ √ √ √ 4 √ √ √ 5 √

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

×
√ √ √ √ √

×
√ √ √

× × ×


×


×


×
√ √ √

×
√ √

× ×


× ×


× × × × ×

(Ⅰ)根据题中数据,将抽样的 10 名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表, 并估计这 120 名学生中第 5 题的实测答对人数; 题号 实测答对人数 实测难度 (Ⅱ)从编号为 1 到 5 的 5 人中随机抽取 2 人,求恰好有 1 人答对第 5 题的概率;
1 2 2 ??P (Ⅲ) 定义统计量 S ? [( P1? ? P 1 ) ? ( P2 2) ? n
2 ??P 其中 Pi? 为第 i 题的实测难 ? ( Pn n) ],

1

2

3

4

5

度, Pi 为第 i 题的预估难度 ( i ? 1,2,

, n ) .规定:若 S ? 0.05 ,则称该次测试的难度预估合理,

否则为不合理.判断本次测试的难度预估是否合理. 解:(Ⅰ)每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表: 题号 实测答对人数 实测难度 1 8 0.8 2 8 0.8 3 7 0.7 4 7 0.7 5 2 0.2 [ 4 分] 所以, 估计 120 人中有120 ?0.2 ? 24 人答对第 5 题. (Ⅱ)记编号为 i 的学生为 Ai (i ? 1,2,3,4,5) , 从这 5 人中随机抽取 2 人,不同的抽取方法有 10 种.
第 41 页共 66 页

[ 5 分]

其中恰好有 1 人答对第 5 题的抽取方法为 ( A1 , A2 ) , ( A1 , A3 ) , ( A1 , A4 ) , ( A2 , A5 ) ,

( A3 , A5 ) , ( A4 , A5 ) ,共 6 种.

[ 9 分]

所以,从抽样的 10 名学生中随机抽取 2 名答对至少 4 道题的学生,恰好有 1 人答对第 5 题 的概率为 P ?

6 3 ? . 10 5

[10 分]

(Ⅲ) Pi? 为抽样的 10 名学生中第 i 题的实测难度,用 Pi? 作为这 120 名学生第 i 题的实测难度.

1 S ? [(0.8 ? 0.9)2 ? (0.8 ? 0.8)2 ? (0.7 ? 0.7)2 ? (0.7 ? 0.6)2 ? (0.2 ? 0.4)2 ] 5

? 0.012 .
因为 S ? 0.012 ? 0.05 , 所以,该次测试的难度预估是合理的.

[12 分]

[13 分]

十二、三视图
(一)试题细目表
区县+题号 类 型 考 点 思 想 方 法

(二)试题解析
1, (2017· 西城一模· 7)在正方形网格中,某四面体的三视图 如图所示.如果小正方形网格的边长为 1,那么该四面体最长 棱的棱长为 A. 4 3 C. 4 2
【答案】B
第 42 页共 66 页

B. 6 D. 2 5

2.(2017·丰台一模·6)由一个正方体截去一个三棱锥所得的几何体的直观图如图所示, 则该几何体的三视图正确的是
B.
侧视图

A. 正视图 A.

正视图 B.

侧视图

C. 俯视图 C. 侧视图

D. 俯视图 D. 侧视图

【答案】D 3.(2017·石景山一模·6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥 的表面积是 ( A. 2 ? 5 B. 4 ? 5 C. 2 ? 2 5 D. 5 【答案】C
俯视图

) 2
正(主)视图

1 1 1

侧(左)视图

4.(2017·东城一模·7)如果某四棱锥的三视图如图所示,那么该四棱锥的四个侧面中是 直角三角形的有 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】D

第 43 页共 66 页

5.(2017·朝阳一模·7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的底面的面积是
1

0.5 0.5 正视图 侧视图

1

俯视图

A.

1 2

B.

3 2

C.

1 4

D.

3 4

【答案】D 6.(2017·海淀·5)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥中最长棱的长度为 A. 5 C. 2 2 【答案】B
俯视图

B. 6
2 主视图

1 1 左视图

D. 3

第 44 页共 66 页

十三、立体几何
(一)试题细目表
区县+题号 类 型 考 点 思 想 方 法

(二)试题解析
1. (2017· 西城一模· 14) 如图, 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 2, 点 P 在正方形 ABCD 的 边界及其内部运动.平面区域 W 由所有满足 A1 P ≥ 5 的点 P 组成,则 W 的面积是 ____. 【答案】 4 ?

π 4

2. (2017· 西城一模· 18) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为正方形, PA ? 底面 ABCD ,
PA ? AC .过点 A 的平面与棱 PB, PC, PD 分别交于点 E, F , G ( E, F , G 三点均不在棱的

端点处) . (Ⅰ)求证:平面 PAB ? 平面 PBC ; (Ⅱ)若 PC ? 平面 AEFG ,求
PF 的值; PC

(Ⅲ)直线 AE 是否可能与平面 PCD 平行?证明你的结论.

解: (Ⅰ)因为 PA ? 平面 ABCD , 所以 PA ? BC . 因为 ABCD 为正方形, [ 1 分]

第 45 页共 66 页

所以 AB ? BC , 所以 BC ? 平面 PAB . 所以平面 PAB ? 平面 PBC . (Ⅱ) 连接 AF . 因为 PC ? 平面 AEFG , 所以 PC ? AF . 又因为 PA ? AC , 所以 F 是 PC 的中点. 所以
PF 1 ? . PC 2

[ 2 分] [ 3 分] [ 4 分] [ 5 分]

[ 7 分]

[ 8 分] [ 9 分] [10 分]

(Ⅲ) AE 与平面 PCD 不可能平行. 证明如下: 假设 AE // 平面 PCD , 因为 AB//CD , AB ? 平面 PCD . 所以 AB // 平面 PCD . 而 AE,AB ? 平面 PAB , 所以 平面 PAB // 平面 PCD , 这显然矛盾! 所以假设不成立, 即 AE 与平面 PCD 不可能平行. 3.(2017·丰台一模·17) (本小题共 14 分)

[12 分]

[13 分]

[14 分]

如图 1,平行四边形 ABCD 中, AC ? BC , BC ? AC ? 1 ,现将△ DAC 沿 AC 折起,得 到三棱锥 D ? ABC (如图 2),且 DA
BC ,点 E 为侧棱 DC 的中点.

(Ⅰ)求证:平面 ABE ? 平面 DBC ; (Ⅱ)求三棱锥 E ? ABC 的体积; (Ⅲ)在 ?ACB 的角平分线上是否存在点 F ,使得 DF ∥平面 ABE ?若存在, 求 DF 的长;若不存在,请说明理由.

图1
第 46 页共 66 页

图2

解: (Ⅰ)证明:在平行四边形 ABCD 中,有 AD ? BC ? AC ,又因为 E 为侧棱 DC 的中点, 所以 AE ? CD ; 又因为 AC ? BC , AD ? BC ,且 AC 因为 BC
CD ? C , AD ? A ,所以 BC ? 平面 ACD .

又因为 AE ? 平面 ACD ,所以 AE ? BC ; 所以 AE ? 平面 BCD , 又因为 AE ? 平面 ABE , 所以平面 ABE ? 平面 BCD .
1 故 VB ? ACE ? ? BC ? S?ACE , 3

……………………5 分

(Ⅱ)解:因为 VE ? ABC ? VB ? ACE , BC ? 平面 ACD ,所以 BC 是三棱锥的高,

又因为 BC =1 , CD= 2 , AE ?

1 1 1 2 1 1 2 ,所以 S?ACE ? ? AE ? CD= ? ? ? 2= , 2 2 2 2 2 4 2

1 1 所以有 VB ? ACE ? ? BC ? S?ACE = 3 12

……………………9 分

(Ⅲ)解:取 AB 中点 O ,连接 CO 并延长至点 F ,使 CO ? OF ,连接 AF , DF , BF . 因为 BC ? AC ,所以射线 CO 是角 ?ACB 的角分线. 又因为点 E 是的 CD 中点,所以 OE ∥ DF ,
D

E

A O F B

C

因为 OE ? 平面 ABE , DF ? 平面 ABE , 所以 DF ∥平面 ABE . 因为 AB 、 FC 互相平分, 故四边形 ACBF 为平行四边形,有 BC ∥ AF . 又因为 DA ? BC ,所以有 AF ? AD , 又因为 AF ? AD ? 1 ,故 DF ? 2 . ……………………14 分

第 47 页共 66 页

4.(2017·石景山一模·18) (本小题共 14 分) 如图,在△ ABC 中, ?C 为直角, AC ? BC ? 4 .沿△ ABC 的中位线 DE , 将△ ADE 折起到△ A?DE 的位置,使得 ?A?DC ? 90? ,得到四棱锥 A? ? BCDE . (Ⅰ)求证: BC ? 平面 A?CD ; (Ⅱ)求三棱锥 E ? A?BC 的体积; (Ⅲ) M 是棱 CD 的中点,过 M 做平面 ? 与平面 A? BC 平行,设平面 ? 截四棱锥

A? ? BCDE 所得截面面积为 S ,试求 S 的值. A’
A

D

E E B · M C

C

B

D

(Ⅰ)证明:因为 DE / / BC ,且 ?C ? 90? , 所以 DE ? A?D ,同时 DE ? DC , 又 A?D ? DC ? D , 又因为 DE / / BC , 所以 BC ? 平面 A?CD . 5.(2017·东城一模·17) (本小题 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 是平行四边形, AD ? BD 且 AD=BD , ......................4 分 所以 DE ? 面 A?CD.

AC

BD ? O ,

PO ? 平面 ABCD .
(I) E 为棱 PC 的中点,求证: OE // 平面 PAB ; (II)求证:平面 PAD ? 平面 PBD ; (III) 若 PD ? PB , AD=2 ,求四棱锥 P ? ABCD 的体积. D O A B C P

第 48 页共 66 页

解: (I) 因为 O 是平行四边形 ABCD 对角线交点,所以 O 为 AC 中点 又 E 为棱 PC 中点,所以 OE / / PA 因为 OE ? 平面 PAB , PA ? 平面 PAB , 所 以

OE / /

平 ……………………5 分



PAB
(II) 因为 PO ? 面ABCD , 所以 PO ? AD 又 BD ? AD , BD ? PO ? O , 所以 AD ? 面PBD 因为 AD ? 面PAD , 所以 面PAD ? 面PBD

……………………10 分

(III)因为 O 是平行四边形 ABCD 对角线交点,所以 O 为 BD 中点 又 PD ? PB , AD ? BD ? 2 ,可求得 PO ? 因为 PO ? 面ABCD ,所以 VP ? ABCD ?

1 BD ? 1 2

1 S ABCD PO 3

1 S ABCD ? 2S?ABD ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 4 2 1 1 4 所 以 VP ? ABCD ? S四边形ABCD PO ? ? 4 ?1 ? 3 3 3
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知: BC ? 平面 A?CD ,又 A?D ? 平面 A?DC , 所以 A?D ? BC , 又因为 ?A?DC ? 90? ,所以 A?D ? DC .

……………………14 分

又因为 BC ? DC ? C ,所以 A?D ? 平面 BCDE .
1 所以, VE ? A?BC ? VA?? EBC ? 3 S?EBC ? A?D . 1 1 依题意, S?EBC = BC ? CD ? ? 4 ? 2 ? 4 . 2 2 1 8 所以, VE ? A?BC ? 3 ? 4 ? 2 ? 3 ..............................................................9 分

(Ⅲ)分别取 A?D , EA? , A?B 的中点 N , P , Q ,并连接 MN , NP , PQ , QM . 因为平面 ? //平面 A?CD ,所以平面 ? 与平面 A?CD 的交线平行于 A?C , 因为 M 是中点,所以平面 ? 与平面 A?CD 的交线是 ?A?CD 的中位线 MN .
第 49 页共 66 页

同理可证,四边形 MNPQ 是平面 ? 截四棱锥 A? ? BCDE 的截面. 即: S =SMNPQ . 由(I)可知: BC ? 平面 A?CD ,所以 BC ? A?C , 又 QM / / A?C, MN / / BC ?QM ? MN .

? 四边形 MNPQ 是直角梯形.
在 Rt ?A?DC 中, A?D ? CD ? 2 ? A?C ? 2 2 .
MN ? 1 1 1 A?C ? 2 , NP ? DE ? 1 , MQ ? ( BC ? DE ) ? 3 . 2 2 2 1 ? 2 2 . ...................................................................................14 分 2

? S ? (1 ? 3) ? 2 ?

6.(2017·朝阳一模·18) (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAB ? 平面 ABCD , AD

BC ,

PA ? AB , CD ? AD , BC ? CD ?
(Ⅰ)求证: PA ? CD ;

1 AD , E 为 AD 的中点. 2
P

(Ⅱ)求证:平面 PBD ? 平面 PAB ; (Ⅲ)在平面 ..PAB 内是否存在 M ,使得直 线 CM 平面 PBE ,请说明理由.

C D
证明: (Ⅰ)因为平面 PAB ? 平面 ABCD , 平面 PAB 平面 ABCD ? AB ,

B E A

P

又因为 PA ? AB , 所以 PA ? 平面 ABCD . 则 PA ? CD . (Ⅱ)由已知,BC ???????5 分 ED,且 BC=ED,所以四边形 BCDE 是平行四边形, M

又 CD ? AD , BC ? CD ,所以四边形 BCDE 是正方形, 连接 CE ,所以 BD ? CE , 又因为 BC

C D

B A

AE, BC ? AE ,

所以四边形 ABCE 是平行四边形,

E

第 50 页共 66 页

所以 CE

AB ,则 BD ? AB .

由(Ⅰ)知 PA ? 平面 ABCD , 所以 PA ? BD , 又因为 PA

AB ? A ,

则 BD ? 平面 PAB , 且 BD ? 平面 PBD , 所以平面 PBD ? 平面 PAB . ???????10 分 (Ⅲ)在梯形 ABCD 中,AB 与 CD 不平行.延长 AB,DC,相交于点 M(M∈平面 PAB), 点 M 即为所求的一个点. 理由如下:由已知,BC 所以四边形 BCDE 是平行四边形,所以 CD 又 EB ? 平面 PBE , CM ? 平面 PBE , 所以 CM 平面 PBE . ????????????????????????14 分 7.(2017·海淀·18)已知四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, PA ? 平面ABCD ,
PA ? AB ? 2 , E , F 分别是 PB, PD 的中点.
P

ED,且 BC=ED.

EB ,即 CM

EB ,

(Ⅰ)求证: PB

平面 FAC ;
F E D C

(Ⅱ)求三棱锥 P ? EAD 的体积; (Ⅲ)求证:平面 EAD ? 平面 FAC .

A B

【答案】(Ⅰ)连接 BD ,与 AC 交于点 O ,连接 OF , 在 ?PBD 中, O , F 分别是 BD , PD 中点, 所以 OF
P

PB ,
E A B

F

又因为 OF ? 平面 FAC ,---1 分 PB ? 平面 FAC , 所以 PB 平面 FAC .

D

{说明:本题下面过程中的标灰部分不写不扣分}

O
C

(Ⅱ)法 1:因为 PA ? 平面 ABCD , AB, AD ? 平面 ABCD ,

第 51 页共 66 页

所以 PA ? AB , PA ? AD , 又因为 AB ? AD , PA 所以 AD ? 平面 PAB , 在直角 ?PAB 中, PA ? AB ? 2 , E 为 PB 中点, 所以 S?PAE ? 1 ,
1 2 所以三棱锥 P ? EAD 的体积为 VP ? EAD ? ? S?PAE ? AD ? . 3 3

AB ? A , PA, AB ? 平面 PAB ,

法 2:因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 PA 为棱锥 P ? ABD 的高. 因为 PA ? AB ? 2 ,底面 ABCD 是正方形,
1 1 1 4 所以 VP ? ABD ? ? S?ABD ? PA ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? , 3 3 2 3

因为 E 为 PB 中点,所以 S?PAE ? S?ABE , 所以 VP ? EAD ? (Ⅲ)证明: 因为 AD ? 平面 PAB , PB ? 平面 PAB , 所以 AD ? PB , 在等腰直角 ?PAB 中, AE ? PB , 又 AE
1 2 ? VP ? ABD ? . 2 3

AD ? A , AE, AD ? 平面 EAD ,

所以 PB ? 平面 EAD , 又 OF

PB ,

所以 OF ? 平面 EAD , 又 OF ? 平面 FAC , 所以平面 EAD ? 平面 FAC .

第 52 页共 66 页

十四、直线与圆的方程
(一)试题细目表
区县+题号 类 型 考 点 思 想 方 法

(二)试题解析
1.(2017·丰台一模·2)在平面直角坐标系 xOy 中,与原点位于直线 3x +2 y ? 5 ? 0 同一侧 的点是 A. ( ? 3,4) 【答案】A 2. (2017· 丰台一模· 13) 已知点 A(1,0) ,B(3,0) , 若直线 y ? kx ? 1 上存在点 P, 满足 PA ? PB , 则 k 的取值范围是 . B. (? 3, ? 2) C. (? 3, ? 4) D. (0,? 3)

4 【答案】 [? ,0] 3
3.(2017·东城一模·4)如果过原点的直线 l 与圆 x ? ( y ? 4) ? 4 切于第二象限,那么
2 2

直线 l 的方程是 A. y ? 3x 【答案】B 4.(2017· 西城一模· 11)圆 C : x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的圆心坐标是____;直线 l : x ? y ? 0 与圆 C 相交于 A, B 两点,则 | AB | ? ____. 【答案】 (1,1) ; 2 5.(2017·石景山一模·2) 以 B. y ? ? 3x C. y ? 2 x D. y ? ?2 x

? ?1,1? 为圆心且与直线 x ? y ? 0 相切的圆的方程是(
B. ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 D. ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 4



A. ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 C. ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 【答案】A

第 53 页共 66 页

十五、圆锥曲线
(一)试题细目表
区县+题号 类 型 考 点 思 想 方 法

(二)试题解析
1.(2017· 西城一模· 3)双曲线 y 2 ? A. (0, 2) , (0, ? 2) C. (0, 2) , (0, ?2)
【答案】C

x2 ? 1 的焦点坐标是 3
B. ( 2,0) , (? 2,0) D. (2,0) , (? 2,0)

2.(2017·丰台一模·10)抛物线 y 2 ? 2x 的准线方程是 【答案】 x ? ?



1 2

3. (2017· 石景山一模· 11) 若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与双曲线 则p? 【答案】4 .

x2 ? y 2 ? 1 的右顶点重合, 4

x2 y 2 4.(2017·东城一模·11)如果直线 l: y ? kx ? 1 (k ? 0) 与双曲线 ? ? 1 的一条渐近 16 9
线平行,那么 k = __ . 【答案】

3 4
2

PA ? l , 5. (2017· 朝阳一模· 6) 设抛物线 y ? 8 x 的焦点为 F ,准线为 l , P 为抛物线上一点,

A 为垂足.如果直线 AF 的斜率为 3 ,那么 PF ?
A.

8

B.

16

C. 4 3

D. 8 3

【答案】A

第 54 页共 66 页

6. ( 2017 ·海淀· 11 )若抛物线 y 2 ? 2 px 的准线经过双曲线 x 2 ?
p ? ___.

y2 ? 1 的左焦点,则实数 3

【答案】4

十六、解析几何综合题
(一)试题细目表
区县+题号 类 型 考 点 思 想 方 法

(二)试题解析
1.(2017· 西城一模· 19. (本小题满分 14 分) 如图,已知椭圆 C:

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 , F 为 椭 圆 C 的 右 焦 2 a b 2

点. A(?a,0) , | AF | ? 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 O 为原点, P 为椭圆上一点, AP 的中点为 M .直线 OM 与直线 x ? 4 交于点

D ,过 O 作 OE ? DF ,交直线 x ? 4 于点 E .求证:OE //AP .

解:(Ⅰ)设椭圆 C 的半焦距为 c .依题意,得

c 1 ? , a ? c ? 3. a 2
解得 a ? 2 , c ? 1 . 所以 b2 ? a2 ? c2 ? 3 ,

[ 2 分]

第 55 页共 66 页

所以椭圆 C 的方程是

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

[ 5 分]

(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)得 A(?2,0) .设 AP 的中点 M ( x0 , y0 ) , P( x1 , y1 ) . 设直线 AP 的方程为: y ? k ( x ? 2) (k ? 0) ,将其代入椭圆方程,整理得

(4k 2 ? 3) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 12 ? 0 ,
所以 ?2 ? x1 ? 所以 x0 ? 即 M(

[ 7 分] [ 8 分]

?16k 2 . 4k 2 ? 3

6k ?8k 2 , y0 ? k ( x0 ? 2) ? 2 , 2 4k ? 3 4k ? 3
[ 9 分]

?8k 2 6k , ). 4k 2 ? 3 4 k 2 ? 3

6k 2 4 k ?3 ?? 3 , 所以直线 OM 的斜率是 ?8k 2 4k 2 4k ? 3
所以直线 OM 的方程是 y ? ?

[10 分]

3 3 x .令 x ? 4 ,得 D(4, ? ) . 4k k

[11 分]

3 k ??1 , 由 F (1,0) , 得直线 DF 的斜率是 4 ?1 k ?
因为 OE ? DF , 所以直线 OE 的斜率为 k , 所以直线 OE //AP .

[12 分] [13 分] [14 分]

解法二:由(Ⅰ)得 A(?2,0) .设 P( x1 , y1 ) ( x1 ? ?2) ,其中 3x12 ? 4 y12 ? 12 ? 0 . 因为 AP 的中点为 M ,所以 M ( 所以直线 OM 的斜率是 kOM ?

x1 ? 2 y1 , ). 2 2

[ 6 分]

y1 , x1 ? 2

[ 7 分]

所以直线 OM 的方程是 y ?

y1 4 y1 x .令 x ? 4 ,得 D(4, ) . x1 ? 2 x1 ? 2

[ 8 分]

由 F (1,0) ,得直线 DF 的斜率是 k DF ?

4 y1 . 3( x1 ? 2)

[ 9 分]

因为直线 AP 的斜率是 k AP ?

y1 , 2 ? x1

[10 分]

所以 k DF ? k AP ?

4 y12 ? ?1 , 3( x12 ? 4)
第 56 页共 66 页

[12 分]

所以 AP ? DF . 因为 OE ? DF , 所以 OE //AP . 2.(2017·石景山一模·20) (本小题共 14 分) 已知椭圆 E :

[13 分]

[14 分]

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (0,1) ,且离心率为 . 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ?
1 x ? m 与椭圆 E 交于 A、C 两点,以 AC 为对角线作正方形 ABCD . 2

记直线 l 与 x 轴的交点为 N ,问 B, N 两点间距离是否为定值?如果是,求出 值;如果不是,请说明理由. 【答案】 (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c . 因为点( 0,1 )在椭圆 E 上,所以 b ? 1 . 故 a ? c ? 1.
2 2



又因为 e ?

c 3 ,所以 c ? 3 , a ? 2 . ? a 2
x2 ? y2 ? 1 . 4
……………..........…5 分

所以椭圆 E 的标准方程为:

(Ⅱ) 设 A( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) ,线段 AC 中点为 M ( x0 , y0 ) . 联立 y ?

1 x ? m和x 2 ? 4 y 2 ? 4 ? 0 ,得: x2 ? 2mx ? 2m2 ? 2 ? 0 . 2
2 2 2

由 ? ? (2m) ? 4(2m ? 2) ? 8 ? 4m ? 0 ,可得 ? 2 ? m ? 所以 x1 ? x2 ? ?2m , x1 x2 ? 2m2 ? 2 . 所以 AC 中点为 M (?m,
2

2

1 m) . 2
2

弦长 | AC |? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 又直线 l 与 x 轴的交点 N (?2m,0) . 所以 | MN |? (?m ? 2m) ? ( m) ?
2 2

5 [( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 10 ? 5m2 , 4

1 2

5 2 m . 4

第 57 页共 66 页

所以 | BN | ?| BM | ? | MN | ?
2 2 2

1 5 | AC |2 ? | MN |2 ? . 4 2

所以 B 、 N 两点间距离为定值

10 . 2

……...…14 分

3.(2017·丰台一模·19) (本小题共 14 分) 已知 P(0, 1) 是椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点,点 P 到椭圆 C 的两个焦点的距 a 2 b2

离之和为 2 2 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 A,B 是椭圆 C 上异于点 P 的两点,直线 PA 与直线 x ? 4 交于点 M, 是否存在点 A,使得 S?ABP ? 解: (Ⅰ)由椭圆 C:

1 S?ABM ?若存在,求出点 A 的坐标;若不存在,请说明理由 . 2
2 2

x a

2 2

?

y b

? 1(a ? b ? 0) 过点 P(0,1)可得 b=1,

又点 P 到两焦点距离和为 2 2 ,可得 a ? 所以椭圆 C 的方程

2,
……………………4 分

x

2

2

? y ? 1.

2

(Ⅱ)设 A(m,n) ,依题意得:直线 PA 的斜率存在, 则直线 PA 的方程为: y ?

n ?1 m

x ?1 ,

令 x=4, y ?

4n ? 4 ? 4n ? 4 ? ? 1 ,即 M ? 4, ? 1? , m m ? ?

又 S?ABP ?

1 2

PA
S?ABM 等价于

PM

?

1 3

且点 A 在 y 轴的右侧,

从而

x A ? xP

xM ? xP

?

m 4

?

1 , 3

因为点 A 在 y 轴的右侧, 所以

m 4

?

1 3



解得 m ?

4 3

,

由点 A 在椭圆上,解得: n ? ?

1 3

,

第 58 页共 66 页

于是存在点 A(

4 3

,?

1 3

) ,使得 S?ABP ?

1 2

S?ABM .

……………………14 分

4.(2017·东城一模·19) (本小题 13 分) 已知椭圆 W :

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左右两个焦点为 F1 , F2 ,且 F1F2 ? 2 ,椭圆上一动 a 2 b2

点 P 满足 PF1 ? PF2 ? 2 3 . (Ⅰ)求椭圆 W 的标准方程及离心率; (Ⅱ) 如图, 过点 F1 作直线 l1 与椭圆 W 交于点 A, C , 过点 F2 作直线 l2 ? l1 , 且 l2 与椭圆 W 交于点 B, D , l1 与 l2 交于点 E ,试求四边形 ABCD 面积的最大值.

?2c ? 2 ?c ? 1 ? ? 解: (Ⅰ)由已知, ? 2a ? 2 3 ,解得 ? a ? 3 . ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ?b ? 2
所以椭圆 W 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,离心率 3 2

e?

c 3 ? . a 3

……………………4 分

(Ⅱ)由题意可知 EF1 ? EF2 ,由此可求得 | EO | ?

1 | F1F2 |? 1 2 所以 E 点轨迹为以原点为圆心,半径为 1 的圆,显然 E 点在椭圆 W 的内部 1 1 1 所以 S四边形ABCD ? S?ABC ? S?ADC ? | AC | | BE | ? | AC | | DE |? | AC | | BD | 2 2 2
当直线 l1 , l2 一条为椭圆的长轴,一条与 x 轴垂直时,例如 AC 为长轴, BD ? x轴 时 把 x ? 1 代入椭圆方程,可求得 y ? ? 所以此时 S ABCD ?

2 3 4 3 ,由此 | BD | ? ,又 | AC | ? 2 3 3 3

1 | AC | | BD |? 4 2

当直线 l1 , l2 的斜率都存在时, 设直线 l1 : x ? my ? 1,(m ? 0) ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

? x ? my ? 1 ? 2 2 联立 ? x 2 y 2 消去 x 可得 (2m ? 3) y ? 4my ? 4 ? 0 ?1 ? ? ?3 2
第 59 页共 66 页

4m ? y1 ? y2 ? ? ? 2m 2 ? 3 ? 所以 . ? y y ? ?4 1 2 2 ? 2m ? 3 ?

AC ? (1 ? m2 ) ? y1 ? y2 ? ?
2

4 3(m2 ? 1) 2m 2 ? 3

同理,由 l2 : x ? ?

4 3(m2 ? 1) 1 x ? 1 可求得 BD ? 2 ? 3m2 m

S四边形ABCD ? ?

1 1 4 3(m2 ? 1) 4 3(m2 ? 1) 24(m 2 ? 1) 2 | AC | | BD |? ? ? ? 2 2 2m 2 ? 3 2 ? 3m2 (2m2 ? 3)(3m 2 ? 2) 24(m4 ? 2m2 ? 1) 4(6m4 ? 12m 2 ? 6) m2 ? ? 4(1 ? )?4 6m4 ? 13m2 ? 6 6m4 ? 13m2 ? 6 6m4 ? 13m2 ? 6

综上,四边形 ABCD 面积的最大值为 4 ,此时直线 l1 , l2 一条为椭圆的长轴,一条与 x 轴垂 直. 5.(2017·朝阳一模·19) (本小题满分 14 分)

x2 过点 A(1, 0) 的直线 l 与椭圆 C : ? y 2 ? 1 相交于 E , F 两点,自 E , F 分别向直线 3
x ? 3 作垂线,垂足分别为 E1 , F1 .
(Ⅰ)当直线 l 的斜率为 1 时,求线段 EF 的中点坐标; (Ⅱ)记 ?AEE1 , ?AFF1 的面积分别为 S1 , S 2 .设 ? ? S1S2 ,求 ? 的取值范围. 解: (Ⅰ)依题意,直线 l 的方程为 y ? x ? 1 ,由 ?

? y ? x ? 1, 2 ,得 2 x ? 3x ? 0 . 2 2 ?x ? 3y ? 3 ? 0

设 E ( x1, y1 )、F ( x2 , y2 ) ,线段 EF 的中点为 M ( x0 , y0 ) , 则 x1 ? x2 ?

3 3 , x0 ? , 2 4 1 3 1 y0 ? x0 ? 1 ? ? .所以 M ( , ? ) . 4 4 4

??????6 分

(Ⅱ)设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 ,由 ?
2 2

? x ? my ? 1, 2 2 ?x ? 3y ? 3 ? 0

得 (m ? 3) y ? 2my ? 2 ? 0 ,显然 m ? R . 设 E ( x1, y1 ), F ( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ?

?2m ?2 , y1 y2 ? 2 . 2 m ?3 m ?3

E1 (3, y1 ), F1 (3, y2 ) .

第 60 页共 66 页

因为 ? ? S1S2 ?

1 1 (3 ? x1 ) y1 ? (3 ? x2 ) y2 2 2
y
E O A F E1

1 ? (2 ? my1 )(2 ? my2 ) y1 y2 4 1 ? [4 ? 2m( y1 ? y2 ) ? m2 y1 y2 ] y1 y2 4
2m 2 ? 6 ? 2m 2 ? m 2 2 ? ? 2 2 2(m ? 3) m ?3 ? 3m2 ? 6 (m2 ? 3) 2

x
F1

??
因为

3 3 . ? 2 2 (m ? 3) m ? 3
2

1 1 ? (0, ] , m ?3 3
2

所以实数 ? 的取值范围是 (0, ] . 6.(2017·海淀一模·19)已知椭圆 C: 且 | AB |? 4 ,离心率为
1 . 2

2 3

???????????????14 分
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别为 A,B, a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设点 Q(4,0) , 若点 P 在直线 x ? 4 上,直线 BP 与椭圆交于另一点 M . 判断是否存在 点 P ,使得四边形 APQM 为梯形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由. 【答案】(Ⅰ) 由 | AB |? 4, 得 a ? 2 . 又因为 e ?
c 1 ? , a 2

所以 c ? 1 , 所以 b2 ? a2 ? c2 ? 3 , 所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 3

(Ⅱ)法 1:假设存在点 P, 使得四边形 APQM 为梯形. 由题可知,显然 AM , PQ 不平行,所以 AP 与 MQ 平行, k AP ? kMQ . 设点 P(4, y0 ) , M ( x1 , y1 ) , k AP ? 则
y0 y ? 1 ① 6 x1 ? 4 y y0 , kMQ ? 1 , x1 ? 4 6

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直线 PB 方程为 y ?

y0 ( x ? 2) , 2 y0 ( x1 ? 2) ② 2

由点 M 在直线 PB 上,则 y1 ?

y0 ( x1 ? 2) y0 ①②联立, ? 2 ,显然 y0 ? 0 ,可解得 x1 ? 1 . 6 x1 ? 4

又由点 M 在椭圆上,

1 y12 3 ? ? 1 ,所以 y1 ? ? , 4 3 2

3 即 M (1, ? ) ,将其代入①,解得 y0 ? ?3 , 2

所以 P(4, ?3) .

法 2:假设存在点 P, 使得四边形 APQM 为梯形. 由题可知,显然 AM , PQ 不平行,所以 AP 与 MQ 平行, k AP ? kMQ . 显然直线 MB 存在斜率且斜率不为 0 ,设 M ( x1 , y1 ) , 设直线 MB 方程为 x ? ty ? 2 (t ? 0) .
? x ? ty ? 2 由? 2 2 ?3x ? 4 y ? 12 ? 0

得 (3t 2 ? 4) y 2 ? 12ty ? 0 ,
?12t , 3t 2 ? 4

又因为 B(2,0) , 所以 y1 ?

x1 ? ty1 ? 2 ?
所以 M (

?6t 2 ? 8 , 3t 2 ? 4

?6t 2 ? 8 ?12t , ). 3t 2 ? 4 3t 2 ? 4

? x ? ty ? 2 2 ,所以 P(4, ) . ? t ?x ? 4

所以 k AP

2 1 ? t ? , 6 3t
?12t 1 3 t2 ? 4 , ? kMQ ,所以 ? 2 3t ?6t ? 8 ?4 3t 2 ? 4

因为 k AP

2 解得 t ? ? , 3

所以 P(4, ?3) . 法 3:假设存在点 P, 使得四边形 APQM 为梯形.
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由题可知,显然 AM , PQ 不平行,所以 AP 与 MQ 平行, k AP ? kMQ , 显然直线 AP 斜率存在,设直线 AP 方程为 y ? k ( x ? 2) .

? y ? k ( x ? 2) 则? ,所以 y ? 6k ,所以 P(4,6k ) , ?x ? 4
又因为 B(2,0) ,所以 kPB ?
6k ? 3k . 2

? y ? 3k ( x ? 2) 所以直线 PB 方程为 y ? 3k ( x ? 2) , ? 2 , 2 ?3x ? 4 y ? 12 ? 0

消 y , (12k 2 ? 1) x2 ? 48k 2 x ? 48k 2 ? 4 ? 0 . 又因为 B(2,0) , 所以 2 ? x1 ? 所以 y1 ? 3k ( x1 ? 2) ? 所以 M (

48k 2 24k 2 ? 2 x ? ,即 , 1 12k 2 ? 1 12k 2 ? 1

?12k . 12k 2 ? 1

24k 2 ? 2 ?12k , ). 12k 2 ? 1 12k 2 ? 1

由 k AP

?12k 2 6k ? kMQ 可得 ? 122k ? 1 , 6 24k ? 2 ?4 12k 2 ? 1

1 解得 k ? ? , 2

3 所以 M (1, ? ) , P(4, ?3) , 2

法 4:假设存在点 P, 使得四边形 APQM 为梯形. 由题可知,显然 AM , PQ 不平行,所以 AP 与 MQ 平行, 所以
| BM | 1 | BQ | | BM | ,所以 ? ? . | BP | 2 | AB | | BP |

设点 M ( x1 , y1 ) , P(4, t ) . 过点 M 作 MH ? AB 于 H ,则有 所以 | BH |? 1 , 所以 H (1,0) ,所以 x1 ? 1 ,
| BH | | BM | 1 ? ? , | BQ | | BP | 2

3 代入椭圆方程,求得 y1 ? ? , 2
所以 P(4, ?3) .

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十七、创新题
(一)试题细目表
区县+题号 类 型 考 点 思 想 方 法

(二)试题解析
1.(2017·丰台一模·8)某校举行了以“重温时代经典,唱响回声嘹亮”为主题的“红歌” 歌咏比赛. 该校高一年级有 1,2,3,4 四个班参加了比赛,其中有两个班获奖. 比赛结 果揭晓之前,甲同学说: “两个获奖班级在 2 班、3 班、4 班中” ,乙同学说: “2 班没有获奖,
3 班获奖了” ,丙同学说: “1 班、4 班中有且只有一个班获奖” ,丁同学说: “乙说得对”. 已 知这四人中有且只有两人的说法是正确的,则这两人是

A.乙,丁 【答案】B

B.甲,丙

C.甲,丁

D.乙,丙

2.(2017·石景山一模·8)21 个人按照以下规则表演节目:他们围坐成一圈,按顺序从 1 到 3 循环报数,报数字“3”的人出来表演节目,并且表演过的人不再参加报数.那么在 仅剩两个人没有表演过节目的时候,共报数的次数为( A.19 【答案】D (2017·石景山一模·14)在环境保护部公布的 2016 年 74 城市 PM2.5 月均浓度排名情况 中,某 14 座城市在 74 城的排名情况如下图所示,甲、乙、丙为某三座城市.
2 月份名次 第 1 季度名次

) D.57

B.38

C.51

60

60 丙

40

甲 乙

40

20

20

0

20

40

60

1 月份名次

0



20

40

60

1 月份名次

从排名情况看,

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① 在甲、乙两城中, 2 月份名次比 1 月份名次靠前的城市是__________; ② 在第 1 季度的三个月中,丙城市的名次最靠前的月份是__________. 【答案】乙,二月份 3.(2017·海淀·8)如图,在公路 MN 两侧分别有 A1 , A2 ,..., A7 七个工厂,各工厂与公路 MN (图中粗线)之间有小公路连接. 现在需要在公路 MN 上设置一 个车站,选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越 好”. 则下面结论中正确的是 ①车站的位置设在 C 点好于 B 点; ②车站的位置设在 B 点与 C 点之间任何一点效果一样; ③ 车站位置的设置与各段小公路的长短无关. A. ① 【答案】C 4.(2017·海淀·14)阅读下列材料,回答后面问题: 在 2014 年 12 月 30 日 CCTV13 播出的“新闻直播间”节目中,主持人说:“……假如 此次亚航失联航班 QZ8501 被证实失事的话, 2014 年航空事故死亡人数将达到 1320 人。 尽管如此,航空安全专家还是提醒人们:飞机仍是相对安全的交通工具。①世界卫生组 织去年公布的数据显示,每年大约有 124 万人死于车祸,而即使在航空事故死亡人数最 多的一年,也就是 1972 年,其死亡数字也仅为 3346 人;②截至 2014 年 9 月,每百万 架次中有 2.1 次(指飞机失事) ,乘坐汽车的百万人中其死亡人数在 100 人左右。” 对上述航空专家给出的①、②两段描述(划线部分) ,你认为不 能够支持“飞机仍是相对 . 安全的交通工具”的所有描述的序号为______,你的理由是____. 【答案】选①,数据①虽是同类数据,但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系; 选②,数据②两个数据不是同一类数据,这与每架次飞机的乘机人数有关 不选②,数据②两个数据虽表面不是同一类数据,但是可以做如下大致估算,考虑平均每架 次飞机的乘机人数为 x,这样每百万人乘机死亡人数 2.1 人,要远远少于乘车每百万人中死 亡人数。 B.② C. ①③ D.②③
A2 A3 A4 A5 A6
C

M

A1

B

A7
N

5. (2017· 西城一模· 14) 如图, 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 2, 点 P 在正方形 ABCD 的 边界及其内部运动.平面区域 W 由所有满足 A1 P ≥ 5 的点 P 组成,则 W 的面积是 ____. 【答案】

4?

π 4

第 65 页共 66 页

6.(2017·朝阳一模·8)如图, A, B, C 三个开关控制着1, 2,3, 4 号四盏灯.若开关 A 控制着 2,3, 4 号灯(即按一下开关 A , 2,3, 4 号灯亮,再按一下开关 A , 2,3, 4 号灯熄灭) ,同样,开关 1,3, 4 1, 2, 4 号灯,开关 C 控制着 号灯.开始时,四盏灯都亮着,那么下列说法正确 B 控制着 的是 A.只需要按开关 A, C 可以将四盏灯全部熄灭 B.只需要按开关 B, C 可以将四盏灯全部熄灭 C.按开关 A, B, C 可以将四盏灯全部熄灭 D.按开关 A, B, C 无法将四盏灯全部熄灭

1

2

3

4

A

B

C

【答案】D 7.(2017·东城一模·14)已知甲、乙、丙三人组成考察小组,每个组员最多可以携带供本 人在沙漠中生存 36 天的水和食物, 且计划每天向沙漠深处走 30 公里, 每个人都可以在沙漠 中将部分水和食物交给其他人然后独自返回. 若组员甲与其他两个人合作, 且要求三个人都 能够安全返回,则甲最远能深入沙漠_________公里. 【答案】 810 8.(2017·朝阳一模·13)为了促销某电子产品,商场进行降价,设 m ? 0 ,n ? 0 ,m ? n , 有三种降价方案: 方案①:先降 m% ,再降 n% ; 方案②:先降

m+n m+n % ,再降 %; 2 2

方案③:一次性降价 (m+n)% . 则降价幅度最小的方案是_________.(填出正确的序号) 【答案】②

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