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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课件1新人教A版选修1_1_图文

2.1 椭圆 2.1.1 椭圆及其标准方程 1.了解椭圆的实际背景,感受椭圆在刻画现 实世界和解决实际问题中的作用.(重点) 2.掌握椭圆的定义,会求椭圆的标准方程. (重点、难点) 实验操作 (1)取一条定长的细绳; (2)把它的两端都固定在图板的同一点处; (3)套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点) 画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距 离,分别固定在图板的两点处套上铅笔,拉紧绳子, 移动笔尖,画出的轨迹是椭圆. 探究点1 椭圆的定义 根据刚才的实验请同学们回答下面几个题: 1.在画椭圆的过程中,细绳的两端的位置是固定的 还是运动的? 2.在画椭圆的过程中,绳子的长度变了没有?说明 了什么? 3.在画椭圆的过程中,绳子长度与两定点距离有怎 样的大小关系? 结合实验及上面的 问题,你能给椭圆 下一个定义吗? 椭圆定义: 我们把平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点. 两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距. 【总结提升】 思考:在平面内动点M到两个定点F1,F2的距离之 和等于定值2a的点的轨迹是否一定为椭圆? |MF1|+ |MF2|>|F1F2| |MF1|+ |MF2|=|F1F2| 椭圆 线段 在知道了椭圆的 定义及一些基本 的性质之后,我 们怎样用方程来 表示呢? |MF1|+ |MF2|<|F1F2| 不存在 探究点2 椭圆的标准方程 思考:求曲线的方程的基本步骤是什么呢? (1)建系设点 (2)写出点集 (3)列出方程 (4)化简方程 结合椭圆的 定义你能求 出椭圆的方 程吗? (5)检验 第一步: 如何建立适当的坐标系呢? 建立坐标系的原则是:对称,简洁 y y M M F2 x O F1 O F2 x F1 方案一 方案二 设M(x, y)是椭圆上任意一点,椭圆的两个焦 点分别为F1和F2,椭圆的焦距为2c(c>0),M与F1和 F2 的距离的和等于2a(2a>2c>0). 请同学们自己完成剩下的步骤,求出椭圆的方程. 解:以焦点F1,F2的所在直线为x轴,线段F1F2的垂直 平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy(如图). 设M(x,y)是椭圆上任意一点,椭圆的 焦距为2c(c>0),M与F1和F2的距离的和 等于正常数2a (2a>2c),则F1,F2的坐 F1 O y M F2 x 标分别是(?c,0)、(c,0). 由椭圆的定义得 | MF1 | ? | MF2 |? 2a. 因为 | MF1 |? ( x ? c ) 2 ? y 2 ,| MF 2 |? ( x ? c ) 2 ? y 2 , 所 以 ( x ? c ) ? y ? ( x ? c ) ? y ? 2a . 2 2 2 2 移项,再平方 ( x ? c ) ? y ? 4a ? 4a ( x ? c ) ? y ? ( x ? c ) ? y , 2 2 2 2 2 2 2 a 2 ? cx ? a ( x ? c )2 ? y 2 , 两边再平方,得 a ? 2 a cx ? c x ? a x ? 2 a cx ? a c ? a y , 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 整理得 ( a ? c ) x ? a y ? a ( a ? c ), 2 2 2 2 2 2 2 2 两 边 同 除 以 a 2 ( a 2 ? c 2 ), 得 : x y ? 2 ? 1. 2 2 a a ?c 2 2 请 看 图 片 : 你 能 从 图 中 找 出 表 示 a , c , a 2 - c 2的 线 段 吗 ? 解 : 令 b 2 ? a 2 - c 2 (a ? b ? 0 ), 2 P a ?c F 1 2 y a O c F2 x x2 y2 所以 椭圆 的方程 为 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ). a b 类似的也可以得到方案二椭圆的方程 y2 x2 为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). a b x2 y2 1 .我们把形如 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的方程叫做椭圆的标准方程, a b y M F2 它表示焦点在x轴上的椭圆. F 1 o x y2 x2 2 .也把形如 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )叫做椭圆的标准方程, a b y 它表示焦点在y轴上的椭圆. F2 M o F1 x 【总结提升】 思考:椭圆的标准方程有哪些特征呢? (1)椭圆的标准方程的形式:左边是两个分式 的平方和,右边是1; (2)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大, 则焦点在哪一个轴上; (3)椭圆的标准方程中a,b,c满足a2=b2+c2. 例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), 2 2 (2,0), 并且经过点 ( 5 , ? 3 ) .求它的标准方程. 解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设 待定 系数 法 x2 y2 它的标准方程为 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0). a b 由椭圆的定义知 5 3 2 5 3 2 2 2 2 a ? ( ? 2) ? ( ? ) ? ( ? 2) ? ( ? ) ? 2 10 2 2 2 2 所以 又因为 2 2 a ? 10 . 能用其他方 c ? 2 ,所以 2 法求它的方 程吗? b ? a ? c ? 10 ? 4 ? 6. 因此, 所求椭圆的标准方程为 x2 y2 ? ?1 . 10 6 另解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它 x2 y2 的标准方程为: 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0). a b 又∵焦点的坐标为 ( ? 2, 0), (2, 0), ? a 2 ?


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