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2015-2016学年四川省成都七中高二(下)期中考试数学(理)试题(解析版)


2015-2016 学年四川省成都七中高二下期中考试 数学(理)试题
一、选择题 1.椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6,则点 P 到另一个焦点 F2 的距离 25
C.4 D.3

为( ) A.10 B.8 【答案】C

【解析】试题分析: PF 1 ? PF 2 ? 2a ? 10 ,所以 PF2 ? 4 ,故选 C. 【考点】椭圆的定义 2.以下各点,在曲线 x2 ? xy ? 2 y ? 1 ? 0 上的点为( A. (2, ?3) 【答案】B 【解析】试题分析:将各点代入只有 32 - 3 ? 10 ? 2 ? 10 ? 1 ? 0 ,故选 B. 【考点】曲线与方程 3.双曲线 x 2 ? y 2 ? ?2 的离心率为( A. 2 【答案】A 【解析】试题分析:化简为双曲线的标准方程是 心率 e ? B. 3 C.2 D. 2 2 ) B. (3,10) C. (1, 0) D. (2, 2) )

y2 x2 ? ? 1 ,为等轴双曲线,所以离 2 2

c ? 2 ,故选 A. a
) D. y ? 2 x
2

【考点】双曲线的性质 4.焦点为 (2, 0) 的抛物线的标准方程为( A. y ? 16 x
2

B. y ? 8 x
2

C. y ? 4 x
2

【答案】B 【解析】试题分析: p ? 2 ,并且焦点在 x 轴,所以抛物线的标准方程是 y ? 8x ,故
2

选 B. 【考点】抛物线方程 5.方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 m 的取值范围是( 2 ? m m ?1



A. (??, ?2) ? (?1, ??) 第 1 页 共 15 页

B. (?2, ??) C. (??, ?1) D. (?2, ?1) 【答案】D 【解析】试题分析:方程若表示双曲线,则 ?2 ? m??m ? 1? ? 0 ,解得 ? 2 ? m ? ?1 , 故选 D. 【考点】双曲线方程 6.抛物线 y 2 ? 12 x 上与焦点的距离等于 9 的点的坐标是( A. (6,6 2) 或 (6, ?6 2) C. (3, 6) 或 (3, ?6) 【答案】A 【解析】试题分析:设点的横坐标为 x0 ,那么 x 0 ? B. (4, 4 3) 或 (4, ?4 3) D. (9,6 3) 或 (9, ?6 3) )

p ? x 0 ? 3 ? 9 ,解得 x0 ? 6 ,代 2

入抛物线方程得到 y 2 ? 12? 6 ? 72 ,解得 y ? ?6 2 ,故选 A. 【考点】抛物线的几何性质 7.短轴长等于 8,离心率等于

3 的椭圆的标准方程为( 5



A.

x2 y 2 ? ?1 100 64 x2 y 2 ? ?1 25 16

B.

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1或 ? ?1 100 64 64 100 x2 y 2 x2 y 2 ? ?1或 ? ?1 25 16 16 25
c 3 ? ,解得 b 2 ? 16 ,a 2 ? 25 ,若焦点在 x 轴, a 5

C.

D.

【答案】D 【解析】试题分析:2b ? 8 ,b ? 4 ,

那么方程是

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ,若焦点在 y 轴,那么方程是 ? ? 1 ,故选 D. 25 16 16 25

【考点】椭圆的标准方程 8.若 C (?2, ?2) , CA ? CB ? 0 ,且直线 CA 交 x 轴于 A ,直线 CB 交 y 轴于 B ,则线 段 AB 中点 M 的轨迹方程是( A. x ? y ? 2 ? 0 【答案】A ) C. x ? y ? 2 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0

??? ? ??? ?

B. x ? y ? 2 ? 0

2 y ? , CA ? ?2x ? 2,2? , 【 解 析 】 试 题 分 析 : 设 M ?x, y ? , 那 么 A?2 x,0? , B?0,
而根据条件可得 2?2 x ? 2? ? 2?2 y ? 2? ? 0 , 化简为:x ? y ? 2 ? 0 , CB ? ?2, 2 y ? 2?, 第 2 页 共 15 页

故选 A. 【考点】1.轨迹法;2.向量数量积. 9.已知集合 C ? {( x, y) | f ( x, y) ? 0} ,若对于任意 ( x1 , y1 ) ? C ,存在 ( x2 , y2 ) ? C , 使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成 立 , 则 称 集 合 C 是 “ 好 集 合 ” . 给 出 下 列 4 个 集 合 :

C1 ? {( x, y) | x2 ? y 2 ? 9} , C2 ? {( x, y) | x2 ? y 2 ? 9} , C3 ? {( x, y) | 2x2 ? y 2 ? 9} , C4 ? {( x, y) | x2 ? y ? 9} ,其中为“好集合”的个数为(
A.1 【答案】C B.2 C.3 D.4 )

【解析】 试题分析: 将问题转化为设 A?x1 , y1 ? ,B?x2 , y2 ? , 满足条件 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 , 即转化为对曲线 C 上的任一点 A,存在点 B,满足 OA ? OB ,则称集合 C 是 “好集合” , C1 表示圆,满足条件, C 2 表示等轴双曲线,渐近线互相垂直,那么对于曲线上的任一点 A,都不会存在点 B,满足 OA ? OB , C3 是椭圆,对于椭圆上的任一点 A,总存在点 B,满 足 OA ? OB , C 4 是开口向下的抛物线,同样满足条件,故满足条件的有 C1 , C3 , C4 , 故选 C. 【考点】1.曲线与方程;2.新定义. 【思路点睛】主要考察了曲线与方程,属于基础题型,这类新定义问题,是我们一部分 学生的难点,满足条件 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ,即转化为对曲线 C 上的任一点 A,存在点 B,满 足 OA ? OB ,则称集合 C 是“好集合” ,明白题意后,我们只需画出方程的曲线,直接 判定即可,所以对于新定义的问题,认真审题是关键. 10.若直线 x ? y ? 1 ? 0 与抛物线 y ? 2 x 交于 A, B 两点,则点 M (1,0) 到 A, B 两点的
2

距离之积为( A. 4 2 【答案】D

) B. 2 2 C.4 D.2

【解析】试题分析: ?

?x ? y ? 1 ? 0
2 ? y ? 2x

2 联立方程得到: 2 x ? x ? 1 ? 0 ,解得 x1 ? ?1 或

x2 ?

1 2

, 那 么 设

?1 1? A?? 1, 2? , B ? , ? , 根 据 两 点 间 距 离 ?2 2?
2

MA ?

?1 ? ?? 1??

2

? ?0 ? 2?

1? 2 ? 1? ? ? 2 2 , MB ? ?1 ? ? ? ? 0 ? ? ? ,那么 2? 2 ? 2? ?

2

2

MA MB ? 2 ,故选 D.
【考点】直线与抛物线相交的基本问题

第 3 页 共 15 页

x2 y 2 11 .经过双曲线 ? ? 1 右焦点 F 的直线 l 交双曲线于 A, B 两点,点 M 是直线 9 16
x? 9 上任意一点,直线 MA, MF , MB 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 ,则( 5
B. k1 ? k3 ? 2k2 C. k1k3 ? k2 )

A. k1 ? k3 ? k2 【答案】B

2 D. k1k3 ? k2

【 解 析 】 试 题 分 析 : F ?5, 0? , 设 直 线 l 的 方 程 为 x ? m y ? 5 , 代 入 双 曲 线 方 程

16x 2 ? 9 y 2 ? 144,可得 16m 2 ? 9 y 2 ? 160my ? 256 ? 0 ,设 A?x1 , y1 ? ,B?x2 , y2 ? ,
则 y1 ? y 2 ? ? 设

?

?

160 m 256 , y1 y 2 ? , 2 16 m ? 9 16 m 2 ? 9
, 可 得

?9 ? M ? ,t ? ?5 ?

k2 ?

t 9 ?5 5

??

5t 16



32 ? 16 ? 2m y1 y 2 ? ? ? m t?? y1 ? y 2 ? ? t y ?t y ?t y1 ? t y2 ? t 5 ?5 ? k1 ? k 3 ? 1 ? 2 ? ? ? 9 9 16 16 16 256 x1 ? x2 ? m y1 ? m y2 ? m 2 y1 y 2 ? m? y1 ? y 2 ? ? 5 5 5 5 5 25
, 代 入 韦 达 定 理 , 可 得

32t ? 16 ? 2m ? 256 ? ? ? m t? ? ?? 160m ? ? ? 16m 2 ? 9 5t 5 5 ? ? k1 ? k 3 ? ?? 256 8 256m 2 ? 2 ? 256m 2 ? ? 16m 2 ? 9 25

?

?

?

?







k1 ? k3 ? 2k 2 ,故选 B.
【考点】1.直线与双曲线的位置关系;2.韦达定理. 【一题多解】本题主要考察了直线与双曲线的位置关系,属于中档题型,当以选择题的 形式考察圆锥曲线时,有些侧重性质的考察,计算量会少点,而本题,主要考察了直线 与双曲线联立,韦达定理,以及代数式的化简能力,计算量比较大,比如本题的方法, 或是选择特殊直线和特殊点,比如,直线选择 x ? 5 或是 y ? 0 与双曲线相交于两点, 点 M 可以是 ? , 0? 或 ? , 1? ,代入可得斜率,即可得到选项,这样在考试时避免了大 量的计算,快速选出选项.

?9 ? ?5 ?

?9 ? ?5 ?

x2 ? y 2 ? 1, 12. 已知椭圆 过右焦点 F 作一条与 x 轴不垂直的直线交椭圆于 A, B 两点, 2
线段 AB 的中垂线分别交直线 x ? ?2 和 AB 于 P, C ,则

| PC | 的取值范围是( | AB |



第 4 页 共 15 页

A. [2, ??) 【答案】A

B. [1, ??)

C. [ ,5)

1 2

D. [ , ??)

3 2

【解析】 试题分析: 有直线 AB 与 x 轴不垂直, 设直线方程为: y ? k ?x ? 1? , A?x1 , y1 ? ,

B?x2 , y2 ? ,将直线方程代入椭圆方程可得, ?1 ? 2k 2 ?x 2 ? 4k 2 x ? 2?k 2 ? 1? ? 0 ,则
4k 2 x1 ? x 2 ? 1 ? 2k 2
AB ? 1 ? k 2 ?


2 k 2 ?1 x1 x 2 ? 1 ? 2k 2
?

?

?
?





? 2k 2 ?k ? C? ? 1 ? 2k 2 , 1 ? 2k 2 ? ? ? ?



?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2

2 2 1? k 2 ,若 k ? 0 ,则 AB 的垂直平分线 1 ? 2k 2

?

为 y 轴 , 与 左 准 线 平 行 , 不 合 题 意 , 若 k ?0 , 那 么 直 线

y?

k 1? 2k 2 ? ? ? ? ? x ? k? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ? ? ?



? 2 ? 5k 2 P? ? 2 , ? k 1 ? 2k 2 ?

?

?

? ? ? ?



1 2 3k 2 ? 1 1 ? k 2 PC ? 1 ? 2 ? xC ? x P ? k k 1 ? 2k 2

?

?

?

?



PC AB

?

1 ? 3k 2 2 k 1? k 2

?

2 1 ? 6k 2 ? 9k 4 2 1 ? 3k 4 ? 6 ? 2 2 k2 ? k4 k2 ? k4





f ?k ? ? g ?t ? ?

1 ? 3k 4 2 ,令 t ? k , 2 4 k ?k

1 ? 3t 2 2? ?t ? 0? , g ??t ? ? ?t ? 1??32t ? ,令 g ??t ? ? 0 ,可得 t ? 1 ,当 t ? 1 时, 2 2 t ?t t ?t

?

?

g ??t ? ? 0 ,g ?t ? 单调递增, 当 0 ? t ? 1 时,g ??t ? ? 0 ,g ?t ? 单调递减, 当 t ? 1 即 k ? ?1
时, g ?t ? 取得极小值,也为最小值 2, f ?k ? ? 2 ,所以

PC AB

?

2 6 ? 2 ? 2 ,故选 A. 2

【考点】1.直线与椭圆的位置关系;2.导数与最值. 【方法点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及利用导数求函数的最值,换元等综 合问题的考察, 属于压轴题, 当以选择题的形式考察圆锥曲线时, 有些侧重性质的考察, 计算量会少点,而本题计算量则比较大,本题入手同样是设直线,得到弦长公式,以及

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韦达定理,同时根据交点得到两点间的距离,将 简,根据导数求函数的最值.

PC AB

表示为 k 的函数,再通过换元化

二、填空题 13.点 M 的极坐标 (4, 【答案】 (?2 3, 2) 【解析】 试题分析:x ? ? cos? ? 4 ? cos ? ? ? 故填: (?2 3, 2) . 【考点】极坐标与直角坐标的互化 14.方程 ?

5? ) 化成直角坐标的结果是 6

.

5 6

5 3 , y ? ? sin ? ? 4 ? sin ? ? 2 , 6 2

? x ? sin ? ? cos ? ( ? 为参数)所表示曲线的准线方程是 ? y ? 1 ? sin 2?
1 4
2

.

【答案】 y ? ?

【解析】试题分析: x 2 ? ?sin ? ? cos? ? ? 1 ? sin 2? ? y ,所以曲线方程是 x 2 ? y ,

1 x ? ? 2 , 2 ,那么准线方程是 y ? ? . 4
【考点】参数方程与普通方程的互化 15.已知圆锥曲线 x ? ay ? 1 的一个焦点坐标为 F (
2 2

?

?

2 ,0) ,则该圆锥曲线的离心率 |a|

为 【答案】

.

2 3 2 5 或 3 5

【解析】试题分析:当 a ? 0 且 a ? 1 时,曲线为椭圆,并且焦点在 x 轴,标准方程为:

x2 ?

1 4 2 y2 ? 5 ,当 a ? 0 时,曲 ,解得 a ? 5 ,那么离心率 e ? ? 1 ,那么 1 1 5 a a a
2

线为焦点在 y 轴的双曲线,表示方程为:x -

1 4 y2 ? 1 ,那么 1 - ? ? ,解得 a ? ?3 , 1 a a a

那么离心率 e ?

2 2 2 3 ,故填: e ? 5 或e ? 3. 3 5 3

【考点】1.圆锥曲线方程;2.圆锥曲线的性质. 【易错点睛】考察了圆锥曲线的性质,属于基础题型,当出现曲线方程时,会误认为其

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是椭圆方程,这样就会出现丢解的情况,条件出现焦点坐标 F (

2 ,0) ,表示焦点落 |a|

在 x 轴, 方程里的 a 可以表示正数, 也可以表示负数, 引导着我们对 a 进行分情况讨论, 得到结果. 16. 已知椭圆 C :

x2 ? y2 ? 1, 过点 D(0, 4) 的直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 M , N( M 4

在 D, N 之间) ,有以下四个结论: ①若 DN ? ? DM ,则 ? 的取值范围是 1 ? ? ?

????

???? ?

5 ; 3

②若 A 是椭圆 C 的右顶点,且 ?MAN 的角平分线是 x 轴,则直线 l 的斜率为 ?2 ; ③若以 MN 为直径的圆过原点 O ,则直线 l 的斜率为 ?2 5 ;

? x' ? x ④若 ? ' , 椭圆 C 变成曲线 E , 点 M , N 变成 M ' , N ' , 曲线 E 与 y 轴交于点 P, Q , y ? 2 y ?
则直线 PN 与 QM ' 的交点必在一条定直线上.
'

其中正确的序号是 【答案】①④

.

2 【解析】试题分析:①根据③ ??0 得到 k ?

15 ,又根据条件可得 4

32k ? x ? x ? ? 1 2 ? 1 ? 4k 2 ? 2 ? 1? ?? 256k 2 256 ? x x ? 60 ? ? ,代入整理为 ,整理为 ? 1 2 2 2 1 ? 4k ? 15 1 ? 4k ? 1 ? ? 15? 2 ? 4 ? ? x 2 ? ?x1 ?k ? ?? ? 1 ?

?

?

2 ? 1? ?? 4?

?

?

3 5 5 64 ,解得 ? ? ? ,又 ? ? 1 ,所以 1 ? ? ? ,当斜率不存在时, 5 3 3 15

此时 ? ?

5 5 , 故 1 ? ? ? ;②根据椭圆关于 x 轴对称, 若角平分线是 x 轴, 那么 M , N 关 3 3

于 x 轴对称,直线斜率不存在,显然错误;③设直线方程 y ? kx ? 4 ,与椭圆方程联立, 得 到 x 2 ? 4?kx ? 4? ? 4 ? 1 ? 4k 2 x 2 ? 32kx ? 60 ? 0 , x1 ? x 2 ? ?
2

?

?

32 k ①, 1 ? 4k 2

x1 x 2 ?

60 2 ②,y1 y2 ? ?kx1 ? 4??kx2 ? 4? ? k x1 x2 ? 4k ?x1 ? x2 ? ? 16 , 根据条件, 2 1 ? 4k

当过原点时, 满足 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 , 代入根与系数的关系, 得到 k ? ? 19 , 故不正确; ④根据点的坐标变换,代入椭圆方程

x? 2 ? y ? ? ? ? ? ? 1 , 得 到 x? 2 ? y ? 2 ? 4 , 设 4 ?2?

2

第 7 页 共 15 页

M ?x1 , y1 ?, N ?x2 , y2 ? , M ??x1 ,2 y1 ? , N ??x2 ,2 y2 ? , P?0,2? , Q?0, ? 2? , 得 到 直 线
l PN ?:y ? 2 y2 ? 2 2y ? 2 x ? 2 , lQM ? : y ? 1 x?2 , 两 式 变 形 得 到 x2 x1
k?

3 ?kx2 ? 3?x1 kx1 x2 ? 3x1 x x2 y ? 2 y2 ? 1 ? ? ③,由以上根与系数的 ? ? 1 ? y?2 x2 y1 ? 1 ?kx1 ? 5?x 2 kx1 x 2 ? 5 x 2 k ? 5 x1
关系①/②得到

y?2 3 1 1 1 8 ? ? ,解得 y ? ,故交点在一条 ? ? ? k 代入③得到 2 y?2 5 x1 x2 15

直线 y ?

1 上,正确.故填:①④. 2

【考点】1.命题;2.圆锥曲线的综合问题. 【易错点睛】主要考察了圆锥曲线的命题问题,属于高档题型,比较好判断中间两个命 题,而对于第一个命题考察了直线与圆锥曲线的位置关系问题,设直线方程与椭圆方程 联立,根据韦达定理,消参后得到关于 ? 的不等式,计算量比较大,容易出错在忘了当 斜率不存在时的情况, 导致错误, 所以在有限的时间判断此题时也可考虑两个临界情况, 一是相切时, ? ? 1 ,因为有两个交点,所以 ? ? 1 ,二是斜率不存在时,此时 ? ? 能取到,这样就比较好选择此问. 三、解答题 17.甲、乙两人各掷一枚骰子,试解答下列各问: (1)列举所有不同的基本事件; (2)求事件“向上的点数之差为 3”的概率; (3)求事件“向上的点数之积为 6”的概率. 【答案】(1)详见解析; (2)

5 , 3

1 1 ; (3) . 6 9

【解析】试题分析:(1)每掷一个骰子有 6 种不同的数字,两个骰子就有 6 ? 6 ? 36 种 不同的情况组合,以 ? x, y ? 的形式列举所有的情况; (2)求 x ? y ? 3 所包含的基本事 件的个数,并求其概率; (3)求 xy ? 6 所包含的基本事件的个数,并求其概率. 试题解析: (1)共有 36 个不同的基本事件,列举如下:

(1,1),(1, 2),(1,3),(1, 4),(1,5),(1,6) , (2,1),(2, 2),(2,3),(2, 4),(2,5),(2,6) , (3,1),(3, 2),(3,3),(3, 4),(3,5),(3,6) , (4,1),(4, 2),(4,3),(4, 4),(4,5),(4,6) , (5,1),(5, 2),(5,3),(5, 4),(5,5),(5,6) ,

第 8 页 共 15 页

(6,1),(6, 2),(6,3),(6, 4),(6,5),(6,6) .
(2)组成事件“向上的点数之差为 3”的基本事件有 (1, 4),(2,5),(3,6) .

(6,3),(5, 2),(4,1) 共 6 种.
∴向上的点数之差为 3 的概率为

6 1 ? . 36 6

(3)组成事件“向上的点数之积为 6”的基本事件有 (2,3),(3, 2),(1,6),(6,1) 共 4 种. ∴向上的点数之积为 6 的概率为

4 1 ? . 36 9

【考点】1.列举法求基本事件;2.古典概型. 18 .已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的实轴长为 2 3 ,一个焦点的坐标为 a 2 b2

(? 5,0) .
(1)求双曲线的方程; (2)若斜率为 2 的直线 l 交双曲线 C 交于 A, B 两点,且 | AB |? 4 ,求直线 l 的方程.

x2 y2 210 210 ? ? 1; 【答案】 (1) (2) y ? 2 x ? 或 y ? 2x ? . 3 2 3 3
【解析】试题分析: (1)根据待定系数法求双曲线方程,知道 2a ? 2 3 ,c ? (2) 5;

设 直 线 方 程 y ? 2x ? m , 与 双 曲 线 方 程 联 立 , 得 到 韦 达 定 理 , 根 据 弦 长 公 式

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x 2 ,求出直线方程.
试题解析: (1)由 2a ? 2 3 ,得 a ? 3 ,又 c ? 5 ,
2 2 2 ∴b ? c ? a ? 2,

∴双曲线 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 3 2

(2)设直线 l 的方程为 y ? 2 x ? m , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

? y ? 2x ? m ? 2 2 由 ? x2 y2 ,得 10x ? 12mx ? 3(m ? 2) ? 0 , ?1 ? ? 2 ?3
∴ ? ? 24(m ?10) ? 0 ,得 | m |? 10 ,
2

5 24(m2 ? 10) 210 ∴弦长 | AB |? , ? 4 ,解得 m ? ? 3 10
第 9 页 共 15 页

∴直线 l 的方程为 y ? 2 x ?

210 210 或 y ? 2x ? . 3 3

【考点】1.双曲线的定义;2.弦长公式. 【方法点睛】主要考察了双曲线的基本问题,属于基础题型,尤其对于第二问,根据弦 长 公 式 求 直 线 方 程 时 , 设 直 线 方 程 , 根 据 弦 长 公 式

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x 2

? 1? k 2

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2







AB ? 1 ?

1 y1 ? y 2 ,这样根据直线方程与圆锥曲线方程联立,可以求参数. k2

19.已知 P 为抛物线 y 2 ? 6 x 上一点,点 P 到直线 l : 3x ? 4 y ? 26 ? 0 的距离为 d1 . (1)求 d1 的最小值,并求此时点 P 的坐标; (2)若点 P 到抛物线的准线的距离为 d2 ,求 d1 ? d2 的最小值. 【答案】 (1)当 P( , 4) 时, (d1 )min ? 3.6 ; (2) (d1 ? d2 )min ? 6.1 . 【解析】试题分析:(1)表示点 P 到直线 l 的距离,表示为坐标的函数,求函数的最小 值,以及点 P 的坐标, (2)将点 P 到焦点的距离转化为点 P 到准线的距离,根据图像 分析, d1 ? d 2 的最小值就是点 F 到直线的距离. 试题解析: (1)设 P (
2 y0 , y0 ) , 6

8 3

1 2 y0 ? 4 y0 ? 26 | 1 2 则 d1 ? ? | ( y0 ? 4)2 ? 36 | , 5 10 |
当 y0 ? 4 时, (d1 )min ? 3.6 ,此时 x0 ? ∴当 P( , 4) 时, (d1 )min ? 3.6 . (2)设抛物线的焦点为 F ,则 F ( ,0) ,且 d2 ?| PF | , ∴ d1 ? d2 ? d1 ? | PF | ,
2 y0 8 ? , 6 3

8 3

3 2

9 | ? 26 | 它的最小值为点 F 到直线 l 的距离 2 ? 6.1 . 5
∴ (d1 ? d2 )min ? 6.1 . 【考点】抛物线的几何性质 【方法点睛】主要考察了抛物线内的距离的最值,属于基础题型,当涉及直线上的点到 抛物线 y ? 2 px 距离的最小值问题,法一,设点的坐标,代入点到直线的距离,转化
2

为关于坐标的函数,根据函数特点求最值,法二,设与已知直线平行的直线,当直线与 第 10 页 共 15 页

抛物线相切时,这时切点到直线的距离最小,所以可以令直线方程与抛物线方程联立, 令 ? ? 0 ,求出参数,即切线方程,再求切点;若是到 x 2 ? 2 py 的距离的最小值,可 以写成 y ?

1 2 x ,设切点坐标,利用切点处的导数就是在这点处的切线的斜率,求切 2p

点坐标,对于第二问的最值问题,可以根据抛物线的几何意义转化,将到抛物线准线的 距离转化为到焦点的距离. 20.在一个盒子中装有 6 枚圆珠笔,其中 4 枚一等品,2 枚二等品,从中依次抽取 2 枚, 求下列事件的概率. (1)恰有一枚一等品; (2)有二等品. 【答案】(1)

8 3 ;(2) . 15 5

【解析】试题分析:法一:先将圆珠笔编号,抽取两枚,用 ? x, y ? 表示抽取的编号, (1) 恰有一枚一等品,表示一枚一等品,一枚二等品,通过列举法求其基本事件的个数,最 后除以总的基本事件的个数, (2)有二等品,表示有一个二等品或有两个二等品,也同 样列举事件所表示的基本事件的个数,法二:也可用组合数表示以上事件包含的基本事 件的个数. 试题解析:解法一:把每枚圆珠笔上号码,一等品分别记作 A, B, C , D ,二等品分别记 作 E, F . 依次不放回从盒子中取出 2 枚圆珠笔,得到的两个标记分别为 x 和 y ,则 ( x, y) 表示一 次抽取的结果,即基本事件. 由于是随机抽取,所以抽取到任何事件的概率相等. 用 M 表示“抽到的 2 枚圆珠笔中有二等品” , M 1 表示“仅第一次抽取的是二等品” , , M 3 表示“两次抽取的都是二等品”. M 2 表示“仅第二次抽取的是二等品” 全部基本事件的总数为 30. M 1 和 M 2 中的基本事件个数都为 8,M 3 中的基本事件为 2, (1)由于 M 1 和 M 2 是互斥事件,记 N ? M1 ? M 2 , ∴恰有一枚一等品的概率 P( N ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ?

8 8 8 ? ? . 30 30 15

(2)由于 M 1 , M 2 和 M 3 是互斥事件,且 M ? M1 ? M 2 ? M 3 , ∴ P( M ) ? P( M 1 ) ? P( M 2 ) ? P( M 3 ) ?

8 8 2 3 ? ? ? . 30 30 30 5
1 1 C4 C2 8 ? . 2 C6 15

解法二: (1)恰有一枚一等品的概率 P 1 ?

(2)有二等品的概率 P2 ?

1 1 2 C4 C2 ? C2 3 ? , 2 C6 5

第 11 页 共 15 页

或P 2 ? 1?

2 C4 2 3 ? 1? ? . 2 C6 5 5

【考点】古典概型 21.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点 O ,其图像关于 y 轴对称且经过点 M (2,1) . (1)求抛物线 C 的方程; (2)若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点,另两个顶点在抛物线上,求该等边 三角形的面积; (3) 过点 M 作抛物线 C 的两条弦 MA, MB , 设M AM ,B 所在直线的斜率分别为 k1 , k2 ,

当 k1k2 ? ?2 时,试证明直线 AB 恒过定点,并求出该定点坐标. 【答案】(1) x 2 ? 4 y ; (2) S ? 48 3 ; (2)定点 ?- 2,9? ,证明详见解析. 【解析】试题分析:(1)根据对称轴和点的位置,设抛物线方程为 x 2 ? 2 py( p ? 0) , 代入点 M 的坐标,得到抛物线方程; (2)设 P(x p , y p ), Q( xQ, yQ ) ,根据 OP ? OQ , 可得到 P 与 Q 关于 x 轴对称,这样得到点的横坐标和纵坐标的关系,代入抛物线方程 后,得到点的坐标,并计算面积; (3)设 A(x1, y1), B( x 2, y 2) ,用坐标表示 k1k 2 ? ?2 , 并得到 x1 x2 ? ?2( x1 ? x2 ) ? 36 和 k AB ,根据以上两点,化简直线 AB 方程,得到定点坐 标. 试题解析: (1)设抛物线 C 的方程为 x ? 2 py( p ? 0) ,
2

由点 M (2,1) 在抛物线 C 上,得 4 ? 2 p ,则 p ? 2 . ∴抛物线 C 的方程为 x ? 4 y .
2

(2)设该等边三角形 OPQ 的顶点 P, Q 在抛物线上,且 P( xp , y p ), Q( xQ , yQ ) , 则 x p ? 4 y p , xQ ? 4 yQ ,
2 2

由 | OP |?| OQ | ,得 xp ? y p ? xQ ? yQ ,即 ( y p ? yQ )( y p ? yQ ? 4) ? 0 .
2 2 2 2

又 y p ? 0, yQ ? 0 ,则 y p ? yQ , | x p |?| xQ | ,即线段 PQ 关于 y 轴对称. ∴ ?poy ? 30 , y p ? 3x p ,代入 x p ? 4 y p ,得 x p ? 4 3 .
0

2

∴该等边三角形边长为 8 3 , S?POQ ? 48 3 .
2 2 (3)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? 4 y1 , x2 ? 4 y2 ,

第 12 页 共 15 页

1 2 1 2 x ? 1 x2 ?1 y1 ? 1 y2 ? 1 4 1 1 4 ? ? ? ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? ?2 . ∴ k1k2 ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2 16
∴ x1 x2 ? ?2( x1 ? x2 ) ? 36 ①

又 k AB

1 2 1 2 x ? x y2 ? y1 4 2 4 1 1 ? ? ? ( x1 ? x2 ) , x2 ? x1 x2 ? x1 4

x1 ? x2 ( x ? x1 ) , 4 x ? x2 ( x ? 2) , 代入①,化简得: y ? 9 ? 1 4
∴直线 AB 方程为: y ? y1 ? 所以直线 AB 恒过定点 (?2,9) . 【考点】1.抛物线方程;2.直线与抛物线的位置关系. 22.已知椭圆 C 的一个焦点为 (0, 3) ,且经过点 P( , 3) . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知 A(1, 0) ,直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点,且 AM ? AN ; (ⅰ)若 | AM |?| AN | ,求直线 l 的方程; (ⅱ)求 ?MAN 面积的最大值. 【答案】 (1)

1 2

y2 3 3 5 ? 0 或 5x ? y ? 5 ? 0 ,或 ? x2 ? 1; (2) (ⅰ) 5 x ? y ? 5 5 4

3 64 x ? ? .; (ⅱ) . 5 25
2 2 2 【解析】试题分析: (1)根据焦点的位置设出椭圆方程,并且 a ? b ? c ,然后代入

点的坐标,解出 a 和 b ; (2) (ⅰ)当直线 l 垂直于 x 轴时,与椭圆交于两点 M , N ; 根据等腰直角三角形的斜边的中线是斜边的一半, 得到直线方程, 当直线 l 不垂直于 x 轴 时,再就是设直线与椭圆方程联立,得到韦达定理,根据 AM ? AN , AM ? AN ? 0 , 和斜率的中线于斜边垂直,解得直线方程; (ⅱ)由上一问可得直线是过定点 ? - , 0? 的 直线,所以设直线方程 x ? my ? 表示为 S ?

2

2

? 3 ? ? 5 ?

3 ,与椭圆方程联立,得到根与系数的关系,将面积 5

1 8 ? ? y1 ? y 2 ,代入韦达定理,可得关于 m 的函数,通过换元,令 2 5 1 1 t ? ? m 2 ? ,化简函数后求函数的最大值. 4 4

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y 2 x2 试题解析: (1)设椭圆 C 为: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , a b
∵椭圆 C 过点 P( , 3) ,且一个焦点为 (0, 3) ,

1 2

? a 2 ? 3 ? b2 ?a 2 ? 4 ? ∴? 3 ,解得 ? 2 . 1 ?b ?1 ? 2 ? 2 ?1 4b ?a
∴椭圆 C 的标准方程为

y2 ? x 2 ? 1. 4

(2) (Ⅰ)当 l ? x 轴时,设 l : x ? m , 代入椭圆得 y ? ?2 1 ? m2 , ∵ | MN |? 4 1 ? m2 ? 2(1 ? m) ,解得 m ? 1 (舍去)或 m ? ? ∴直线 l 方程为 x ? ? . 当 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m .

3 , 5

3 5

? y ? kx ? m ? 由 ? y2 ,得 (4 ? k 2 ) x2 ? 2kmx ? m2 ? 4 ? 0 . 2 ? ? x ?1 ?4

? ? 4k 2m2 ? 4(4 ? k 2 )(m2 ? 4) ? 0 ,得 k 2 ? 4 ? m2 .
设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,线段 MN 的中点为 Q( x0 , y0 ) . 则 x1 ? x2 ? ?

m2 ? 4 2km km 4m x x ? , ,所以 x0 ? ? , y0 ? kx0 ? m ? , 1 2 2 2 2 4?k 4?k 4 ? k2 4?k

2 由 | AM |?| AN | ,得 AQ ? MN ,则 kAQ ? k ? ?1 ,化简得 3km ? k ? 4 ().

由 AM ? AN ,得 AM ? AN ? ( x1 ?1)( x2 ?1) ? y1 y2 ? 0 , ∴ ( x1 ?1)( x2 ?1) ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 , 化简得 (1 ? k 2 ) x1x2 ? (km ?1)( x1 ? x2 ) ? 1 ? m2 ? 0 .

???? ? ????

(1 ? k 2 )(m2 ? 4) 2km(km ? 1) ? ? 1 ? m2 ? 0 , ∴ 2 2 4?k 4?k
2 2 化简得 5m ? 2km ? 3k ? 0 ,解得 m ? ?k 或 m ?

3 k. 5

当 m ? ?k 时, ()式不成立. 当m ?

3 k 时,代入()式,得 k 2 ? 5 , k ? ? 5 . 5
第 14 页 共 15 页

3 3 5 或 y ? ? 5x ? 5. 5 5 3 3 3 5 ? 0 或 5x ? y ? 5 ? 0 ,或 x ? ? . 综上所述,直线 l 的方程为 5 x ? y ? 5 5 5 3 (Ⅱ)当直线 l 与 x 轴不垂直时,由(Ⅰ)知, AM ? AN 时, m ? ?k 或 m ? k . 5
∴直线 l 的方程为 y ?

5x ?

当 m ? ?k 时,直线 l 为 y ? k ( x ? 1) 过点 A(1, 0) ,矛盾,故舍去.

3 3 k 时,直线 l 为 y ? k ( x ? ) , 5 5 3 当 l ? x 轴时,直线 l 的方程为 x ? ? , 5 3 ∴直线 l 过定点 Q(? , 0) . 5
当m ? 设直线 l 方程为 x ? my ?
2 2 化简得: ( ? m ) y ?

y2 3 ? x2 ? 1 , ,代入椭圆 C : 5 4

6 16 my ? ?0, 5 25 6 16 m 则 y1 ? y2 ? 5 , y1 y2 ? 25 , 1 1 ? m2 ? m2 4 4

1 4

∴ S ?MAN

6 16 m 1 8 4 4 ? ? ? | y1 ? y2 |? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? ( 5 ) 2 ? 4 ? 25 , 1 2 5 5 5 1 ? m2 ? m2 4 4

令t ?

1 1 1 ? m 2 ,则 t ? ,且 m 2 ? t ? , 4 4 4

∴ S ?MAN ? ∴当 t ?

4 5

36 1 16 (t ? ) 2 25 4 ? 4 ? 25 ? 8 ? 9 (1 ? 50 ) 2 ? 25 (t ? 1 ) , t2 t 25 4 t 9 9 4

1 3 64 ,即 m ? 0 ,直线 l 的方程为 x ? ? 时, ( S ?MAN ) max ? . 4 5 25 64 所以 S?MAN 的最大值为 . 25
【考点】1.椭圆方程;2.直线与椭圆的位置关系.

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