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【志鸿优化设计—赢在高考】2014届高考一轮复习数学(人教A版·理)【配套训练】第九章 平面解析几何9.2


第2讲

两直线的位置关系及交点、距离

基础巩固 1.已知直线 l1:y=x,若直线 l2⊥l1,则直线 l2 的倾斜角为( A. C. B.kπ +(k∈Z) D.kπ +(k∈Z) )

【答案】C 【解析】∵l1⊥l2,∴k2=-1. 故倾斜角为. 2.过点 A( 4,a)和 B(5,b)的直线与直线 y=x+m 平行,则|AB|的值为( A.6 C.2 B. D.不能确定 )

【答案】B 【解析】∵直线 AB 与直线 y=x+m 平行,∴=1,即 b-a=1. ∴|AB|=. 3.已知直线 3x+4y-3=0 与直线 6x+my+14=0 平行,则它们之间的距离是( A.1 B.2 【答案】B C. D.4 )

【解析】∵,∴m=8,直线 6x+my+14=0 可化为 3x+4y+7=0,两平行线之间的距离 d==2. 4.点(4,t)到直线 4x-3y=1 的距离不大于 3,则 t 的取值范围是( A.≤t≤ B.0<t<10 C.0≤t≤10 D.t<0 或 t>10 【答案】C 【解析】由题意,得≤3,即|15-3t|≤15, ∴0≤t≤10. 5.直线 x-2y+1=0 关于直线 y-x=1 对称的直线方程 是 ( ) B.3x-y+3=0 D.x-2y-1=0 A.2x-y+2=0 C.2x+y-2=0 【答案】A )

【解析】设所求直线上任一点的坐标为(x,y),则它关于 y-x=1 对称的点为(y-1,x+1),且在直线 x-2y+1=0 上,∴y-1- 2(x+1)+1=0,化简得 2x-y+2=0. 6.经过两直线 2x-3y-3=0 和 x+y+2=0 的交点且与直线 3x+y-1=0 平行的直线方程是( A.15x+5y+16=0 C.15x+5y+6=0 B.5x+15y+16=0 D.5x+15y+6=0 )

【答案】A 【解析】由方程组 设所求直线为 l, ∵直线 l 和直线 3x+y-1=0 平行, ∴直线 l 的 斜率 k=-3. ∴根据直线点斜式有 y-=-3, 即所求直线方程为 15x+5y+16=0. 7.(2013 届·湖北武汉检测)点 P 是曲线 y=x2-ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y=x+2 的最小距离为( A. B. 【答案】B C.2 D.2 )

【解析】当点 P 为直线 y=x+2 平移到与曲线 y=x2-ln x 相切的切点时,点 P 到直线 y=x+2 的距离最小.设点 P(x0,y0),f(x)=x2-ln x,则 f'(x0)=1. ∵f'(x)=2x-, ∴2x0-=1. 又 x0>0 ,∴x0=1. ∴点 P 的坐标为(1,1),此时点 P 到直线 y=x+2 的距离为. 8.过点 M(-2,1)且与 A(-1,2),B(3,0)两点距离相等的直线方程是( A.x+2y=0 B.y=1 C.x+2y=0 或 y=1 D.x=1 【答案】C 【解 析】方法一:当斜率存在时,设直线方程为 y-1=k(x+2), 即 kx-y+2k+1=0. 由条件得, 解得 k=0 或 k=-. 故所求的直线方程为 y=1 或 x+2y=0. 当直线斜率不存在时,不存在符合题意的直线. 方法二:设所求直线为 l,由平面几何知识知,l∥AB 或 l 过 AB 中点. 若 l∥AB,因 为 kAB=-, 所以直线 l 方程为 x+2y=0. 若 l 过 AB 的中点 N(1,1),则直线 l 方程为 y=1. ∴所求直线方程 为 y=1 或 x+2y=0. 9.与直线 x-y-2=0 平行,且它们的距离为 2 的直线方程是 【答案】 x-y+2=0 或 x-y-6=0 【解析】设所求直线 l:x-y+m=0, 由=2,∴m=2 或-6. 10.(2012·山东临沂模拟)已知点 P(4,a)到直线 4x-3y-1=0 的距离不大于 3,则 a 的取值范围是 【答案】[0,10] 【解析】由题意得,点到直线的距离为. 又≤3,即|15-3a|≤ 15,解之,得 0≤a≤10, 所以 a∈[0,10]. 11.与直线 2x+3y-6=0 关于点(1,-1)对称的直线方程是 【答案】2x+3y+8=0 则 2x0+3y0-6 =0,(*) 又由对称性知代入(*)式,得 2(2-x)+3(-2-y)-6=0,即 2x+3y+8=0. 12.已知两直线 l1:x+ysin θ -1=0 和 l2:2xsin θ +y+1=0,试求 θ 的值,使得:(1)l1∥l2;(2)l1⊥l2. 【解】(1)方法一:当 sin θ =0 时,直线 l1 的斜率不存在,l2 的斜率为零,l1 显然不平行于 l2. 当 sin θ ≠0 时,k1=-,k2=-2sin θ , 欲使 l1∥l2,只要-=-2sin θ ,即 sin θ =±, ∴θ =kπ ±,k∈Z,此时两直线截距不相等. ∴当 θ =kπ ±,k∈Z 时,l1∥l2. 方法二:由 A1B2-A2B1=0, 即 2sin2θ -1=0,得 sin2θ =,∴sin θ =±. 由 B1C2-B2C1≠0, 即 1+sin θ ≠0,即 sin θ ≠-1, 得 θ =kπ ±,k∈Z, ∴当 θ =kπ ±,k∈Z 时,l1∥l2. (2)∵A1A2+B1B2=0 是 l1⊥l2 的充要条件, . . . )

【解析】设(x0,y0)是直线 2x+3y-6=0 上任一点,其关于点(1,-1)的对称点的坐标是(x,y),

∴2sin θ +sin θ =0,即 sin θ =0. ∴θ =kπ (k∈Z). ∴当 θ =kπ ,k∈Z 时,l1⊥l2. 13.已知直线 l:3x-y+3=0,求: (1)点 P(4,5)关于直线 l 的对称点; (2)直线 x-y-2=0 关于直线 l 对称的直线方程. 【解】设 P(x,y)关于直线 l:3x-y+3=0 的对称点为 P'(x',y'). ∵kPP'·kl=-1,即×3=-1.① 又 PP'的中点在直线 3x-y+3=0 上, ∴3×+3=0.② 由①②得 (1)把 x=4,y=5 代入③及④得 x'=-2,y'=7, ∴P(4,5)关于直线 l 的对称点 P'的坐标为(-2,7). (2)用③④分别代换 x-y-2=0 中的 x,y,得关于直线 l 对称的直线方程为-2=0,化简得 7x+y+22=0. 拓展延伸 14.在直线 l:3x-y-1=0 上求一点 P,使得: (1)P 到 A(4,1)和 B(0,4)的距离之差最大; (2)P 到 A(4,1)和 C(3,4)的距离之和最小. 【解】(1)如图所示,设点 B 关于 l 的对称点 B' 的坐标为(a,b), 则 kBB'·kl=-1,即·3=-1. ∴a+3b-12=0.① 又由于线段 BB'的中点坐标为,且在直线 l 上, ∴3×-1=0,即 3a-b-6=0.② 解①②得 a=3,b=3,∴B'(3,3). 于是 AB'的方程为,即 2x+y-9=0. 解 即 l 与 AB'的交点坐标为 P(2,5). ∴点 P(2,5)即为所求. (2)如图所示,设 C 关于 l 的对称点为 C', 求出 C'的坐标为. ∴AC'所在直线的方程为 19x+17y-93=0, AC'和 l 的交点坐标为, 故所求 P 点坐标为.



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