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排列组合、二项式定理专题-选修2-3


高二数学期末备考专题排列组合、二项式定理
【备考提示】 (1)特殊元素优先安排的策略: (2)合理分类与准确分步的策略; (3)排列、组合混合问题先选后排的策略; (4)正难则反、等价转化的策略; (5)相邻问题捆绑处理的策略; (6)不相邻问题插空处理的策略。 【知识梳理】 1.分类计数原理(加法原理) :完成一件事,有几类办法,在第一类中有 m 1 种有不同的方法, 在第 2 类中有 m2 种不同的方法??在第 n 类型有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有

N ? m1 ? m2 ? ? ? ? ? ? ? ?mn 种不同的方法。
2.分步计数原理(乘法原理) :完成一件事,需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法, 做第 2 步有 m2 种不同的方法??,做第 n 步有 mn 种不同的方法;那么完成这件事共有

N ? m1 ? m2 ? ? ? ? ? mn 种不同的方法。

特别提醒:分类计数原理与“分类”有关,要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性; 分步计数原理与“分步”有关,要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性,应用这两个 原理进行正确地分类、分步,做到不重复、不遗漏。 3.排列:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素,按照一定顺序 排成一列,叫做从 n 个不同元 ...... 素中取出 m 个元素的一个排列. 4.排列数:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素排成一列,称为从 n 个不同元素中取出 m 个元
m 素的一个排列. 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数,用符号 An 表示.

5.排列数公式: A m ? n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) ? 特别提醒: (1)规定 0! = 1 (2)含有可重元素 的排列问题. ......

n! ( m ? n, n, m ? N ) (n ? m)!

1

对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集 S 有 k 个不同元素 a1,a2,?...an 其中限重复数为 n1、n2??nk,且 n = n1+n2+??nk , 则 S 的排列个数等于 n ?
n! . n1!n2 !...nk !

例如:已知数字 3、2、2,求其排列个数 n ? 3! ? 3 又例如:数字 5、5、5、求其排列个数?其排
1!2!

列个数 n ? 3! ? 1 .
3!

6.组合:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的一个组合. 7.组合数公式:
Cm n? Am n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) n! n ? Cm n? m ! m ! ( n ? m)! Am m

n?m m?1 m m 8.两个公式:①_ C m n ?C n ; ② C n ?C n ?C n ?1

特别提醒:排列与组合的联系与区别. 联系:都是从 n 个不同元素中取出 m 个元素. 区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序关系.

(2)典型例题 考点一:排列问题 例 1,六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法? (1)甲不站两端; (2)甲、乙必须相邻; (3)甲、乙不相邻; (4)甲、乙之间间隔两人; (5)甲、乙站在两端; (6)甲不站左端,乙不站右端.

2

考点二:组合问题 例 2, 男运动员 6 名,女运动员 4 名,其中男女队长各 1 人.选派 5 人外出比赛.在下列情形中各 有多少种选派方法? (1)男运动员 3 名,女运动员 2 名; (2)至少有 1 名女运动员; (3)队长中至少有 1 人参加; (4)既要有队长,又要有女运动员.

考点三:综合问题 例 3, 4 个不同的球,4 个不同的盒子,把球全部放入盒内. (1)恰有 1 个盒不放球,共有几种放法? (2)恰有 1 个盒内有 2 个球,共有几种放法? (3)恰有 2 个盒不放球,共有几种放法?

【精选练习】 1,从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则 不同的组队方案共有 A,70 种 ( ) C,100 种 D,140 种

B,80 种

2,2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从
3

事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均 能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 ( A, 48 种 B,12 种 C,18 种 ) D36 种

3,从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的 个数为 A,48 ( B, 12 ) C,180 D,162

4,甲组有 5 名男同学,3 名女同学;乙组有 6 名男同学,2 名女同学。若从甲、乙两组中各选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( A,150 种 B,180 种 C,300 种 D,345 种 )

5,甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有 ( A,6 ) B,12 C 30 D36 ( )

6,用 0 到 9 这 10 个 数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A.324 B,328 C,360 D,648

7,从 10 名大学毕业生中选 3 人担任村长助理,则甲、乙 至少有 1 人入选,而丙 没有入选的不 同选法的总数为 ( A,85 B,56 ) C,49 D,28

8,将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生 不能分到同一个班,则不同分法的总数为 A,18 B,24 C,30 ( ) D,30

9,3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女生 相邻,则不同排法的种数是 A,360 B,288 ( ) C,216 D,96

解排列组合的应用题要注意以下几点: (1) 仔细审题,判断是排列还是组合问题,要按元素的性质分类,按事件发生的过程进行分步。
4

(2) 深入分析,严密周详,注意分清是乘还是加,要防止重复和遗漏,辩证思维,多角度分析, 全面考虑。 (3) 对限制条件较复杂的排列组合问题,要周密分析,设计出合理的方案,把复杂问题分解 成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决。 (4) 由于排列组合问题的答案一般数目较大,不易直接验证,因此在检查结果时,应着重检查 所设计的解决方案是否完备,有无重复和遗漏,也可采用不同的方法求解。看看结果是否 相同,在对排列组合问题分类时,分类标准应统一,否则易出现遗漏和重复。

二项式定理
【备考提示】 1, 能用计数原理证明二项式定理 2, 会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题。 3, 掌握二项式定理和二项展开式的性质。 4, 会用二项式定理的知识解决系数和、常数项、整除、近似解、最大值等相关问题。 【知识梳理】
0 n 0 1 n?1 r n ?r r n 0 n 二项式定理: (a ? b) n ? C n a b ?C n a b ??? C n a b ?? ? C n ab

特别提醒: 展开式具有以下特点: (1) 项数:共有 n ? 1 项;
0 1 2 r n (2) 二项式系数:依次为组合数 C n ,C n ,C n ,?, C n ,?, C n ;

(3) 每一项的次数是一样的,即为 n 次,展开式依 a 的降幕排列,b 的升幕排列展开.
r n ?r r (a ? b) n 展开式中的第 r ? 1 项为: T r ?1?C n a b (0 ? r ? n, r ? Z ) 1.二项展开式的通项:

特别提醒: 二项式系数的性质. ①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等; ②二项展开式的中间项二项式系数 最大. ..... I. 当 n 是偶数时,中间项是第 ? 1 项,它的二项式系数 C 2 n 最大;
n ?1 n ?1 ? 1 项,它们的二项式系数 C 项和第 2 2
5
n ?1 n ?1 2 ?C 2 n n

n 2

n

II. 当 n 是奇数时,中间项为两项,即第

最 大.
0 1 n 3.二项式系数和: (1) C n ?C n ?? ? C n ? 2n

0 2 4 1 3 (2) C n ?C n ?C n ?? ? C n ?C n ?? ? 2 n ?1

【典型例题】 重要区分“二项式系数、项的系数”
1 问题 1: 求 ( x ? )9 的展开式中 x 3 的系数及二项式系数 x
王新敞
奎屯 新疆

点拨:展开式的第 r+1 项的二项式系数与第 r+1 项的系数是两个不同的概念

题型 1. 二项展开式的应用
1 2 n [例 1] 计算: 1 ? 2Cn ? 4Cn ? ? ? 2 n Cn

题型 2。二项展开式的通项的应用 [例 2] 已知 f ( x) ? ?1 ? 2x?m ? ?1 ? 4x?n (m, n ? N * ) 的展开式中含 x 项的系数为 36 ,求展开式中含
x 2 项的系数最小值
王新敞
奎屯 新疆

[解题思路]: 展开式中含 x 2 项的系数是关于 m, n 的关系式,由展开式中含 x 项的系数为
36 ,可得 2m ? 4n ? 36 ,从而转化为关于 m 或 n 的二次函数求解
王新敞
奎屯 新疆

考点二: 二项式系数与系数 题型 1: 用赋值法是解决二项式系数问题
6

[例 3] 在 (2 x ? 3 y)10 的展开式中,求:①二项式系数的和; ③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; 奇次项系数和与 x 的偶次项系数和.

②各项系数的和; ⑤ x的

④奇数项系数和与偶数项系数和;

r [解题思路]: 因为二项式系数特指组合数 C n ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式 2 x ? 3 y

中的系数无关. .

王新敞
奎屯

新疆

题型 2: 求其中项的系数的最值 [例 4] 已知 (3 x ? x 2 ) 2n 的展开式的系数和比 (3x ? 1) n 的展开式的系数和大 992,求 (2x ? 1 ) 2n 的展开式
x

中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.

[解题思路]:根据条件列方程及不等式

考点三: 整除 题型 1: 整除 [例 5] 求 9192 除以 100 的余数 [解题思路]: 把 9192 写成 (90 ? 1)92 或 (100 ? 9)92 ,再运用二项展开式。

【典型练习】

7

1 1,在二项式 ( x 2 ? )5 的展开式中,含 x 4 的项系数是( x

) D, 5

A,-10

B, 10

C,-5

2 , 若 (1 ? 2x)2009 ? a0 ? a1x ? ... ? a2009 x2009 ( x ? R) ,则 A, 2 B, 0 C,-1

a a1 a2 ? 2 ? ... ? 2009 的值为 ( 2 2 22009

)

D,-2 ) D, 80

3,若 (1 ? 2)5 ? a ? b 2 ( a, b 为有理数),则 a + b= ( A, 45
8

B, 55

C, 70 ) C,560

2? ? 4, ? x2 ? ? 的展开式中的系数是 ( x? ?
A,16 B,70

D,1120

5, (1 ? ax ? by)n 展开式中不含 x 的项地绝对值的和为 243,不含 y 的项地绝对值得和为 32, 则 a,b,n 的值可能为 A,a=2,b=-1,n=5 ( ) C,a=-1,b=2,n=6 D,a=1,b=2,n=5

B,a=-2,b=-1,n=6

6, ( x ? y )10 的展开式中, x7 y3 的系数与 x3 y 7 的系数和等于_______. 7, ( x y ? y x )4 的展开式中 x3 y3 的系数为 __________. 8,在 (1 ? x)3 +(1 ? x )3 ? (1 ? 3 x )3 的展开式中,x 的系数为______________. 9, (2 x ? .
1 6 ) 的展开式的常数项是__________. 2x

8

参考答案 例 1,解 (1)方法一 要使甲不站在两端,可先让甲在中间 4 个位置上任选 1 个,有 A 1 4 种站

法,然后其余 5 人在另外 5 个位置上作全排列有 A 5 5 种站法,根据分步乘法计数原理,共有站法:
5 A1 4 ·A 5 =480(种).

方法二

2 由于甲不站两端,这两个位置只能从其余 5 个人中选 2 个人站,有 A 5 种站法,然后中

2 4 间 4 人有 A 4 4 种站法,根据分步乘法计数原理,共有站法:A 5 ·A 4 =480(种).

方法三

5 若对甲没有限制条件共有 A 6 6 种站法,甲在两端共有 2A 5 种站法,从总数中减去这两种

情况的排列数,即共有站
5 法:A 6 6 -2A 5 =480(种).

(2)方法一

先把甲、乙作为一个“整体” ,看作一个人,和其余 4 人进行全排列有 A 5 5 种站法,

2 5 再把甲、乙进行全排列,有 A 2 2 种站法,根据分步乘法计数原理,共有 A 5 ·A 2 =240(种)站法.

方法二

先把甲、乙以外的 4 个人作全排列,有 A 4 4 种站法,再在 5 个空档中选出一个供甲、乙

2 4 2 1 放入,有 A 1 5 种方法,最后让甲、乙全排列,有 A 2 种方法,共有 A 4 ·A 5 ·A 2 =240(种).

(3)因为甲、乙不相邻,中间有隔档,可用“插空法” ,第一步先让甲、乙以外的 4 个人站队,
2 有 A4 4 种站法;第二步再将甲、乙排在 4 人形成的 5 个空档(含两端)中,有 A 5 种站法,故共 2 有站法为 A 4 4 ·A 5 =480(种). 2 5 也可用“间接法” ,6 个人全排列有 A 6 6 种站法,由(2)知甲、乙相邻有 A 5 ·A 2 =240 种站法, 2 5 所以不相邻的站法有 A 6 6 -A 5 ·A 2 =720-240=480(种).

(4)方法一

先将甲、乙以外的 4 个人作全排列,有 A 4 4 种,然后将甲、乙按条件插入站队,

4 有 3A 2 (3A 2 2 种,故共有 A 4 · 2 )=144(种)站法.

方法二

先从甲、乙以外的 4 个人中任选 2 人排在甲、乙之间的两个位置上,有 A 2 4 种,然后把

甲、乙及中间 2 人看作一个“大”元素与余下 2 人作全排列有 A 3 3 种方法,最后对甲、乙进行排
2 2 3 列,有 A 2 2 种方法,故共有 A 4 ·A 3 ·A 2 =144(种)站法.

(5)方法一

首先考虑特殊元素,甲、乙先站两端,有 A 2 2 种,再让其他 4 人在中间位置作全排
9

2 4 列,有 A 4 4 种,根据分步乘法计数原理,共有 A 2 ·A 4 =48(种)站法.

方法二

首先考虑两端两个特殊位置,甲、乙去站有 A 2 2 种站法,然后考虑中间 4 个位置,由剩

2 4 下的 4 人去站,有 A 4 4 种站法,由分步乘法计数原理共有 A 2 ·A 4 =48(种)站法.

(6)方法一

5 甲在左端的站法有 A 5 5 种,乙在右端的站法有 A 5 种,且甲在左端而乙在右端的站

4 6 5 法有 A 4 4 种,共有 A 6 -2A 5 +A 4 =504(种)站法.

方法二

以元素甲分类可分为两类:①甲站右端有 A 5 5 种站法,②甲在中间 4 个位置之一,而乙

1 4 1 1 4 5 不在右端有 A 1 4 ·A 4 ·A 4 种,故共有 A 5 +A 4 ·A 4 ·A 4 =504(种)站法.

例 2, 解

(1)第一步:选 3 名男运动员,有 C 3 6 种选法.

第二步:选 2 名女运动员,有 C 2 4 种选法.
2 共有 C 3 6 ·C 4 =120 种选法.

3分

(2)方法一

至少 1 名女运动员包括以下几种情况:

1 女 4 男,2 女 3 男,3 女 2 男,4 女 1 男. 由分类加法计数原理可得总选法数为
4 2 3 3 2 4 1 C1 4 C 6 +C 4 C 6 +C 4 C 6 +C 4 C 6 =246 种.

6分

方法二

“至少 1 名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解.

5 从 10 人中任选 5 人有 C 10 种选法,其中全是男运动员的选法有 C 5 6 种. 5 所以“至少有 1 名女运动员”的选法为 C 10 -C 5 6 =246 种.

6分

(3)方法一

可分类求解:

4 “只有男队长”的选法为 C 8 ; 4 “只有女队长”的选法为 C 8 ;

3 “男、女队长都入选”的选法为 C 8 ;
4 3 所以共有 2C 8 +C 8 =196 种选法.

9分

方法二

间接法:

5 从 10 人中任选 5 人有 C 10 种选法.

10

5 5 5 其中不选队长的方法有 C 8 种.所以“至少 1 名队长”的选法为 C 10 -C 8 =196 种. 9 分
4 4 (4)当有女队长时,其他人任意选,共有 C 9 种选法.不选女队长时,必选男队长,共有 C 8 种 4 4 4 选法.其中不含女运动员的选法有 C 5 种,所以不选女队长时的选法共有 C 8 -C 5 种选法.

所以既有队长又有女运动员的选法共有
4 4 4 C9 +C 8 -C 5 =191 种.

例 3,解 (1)为保证“恰有 1 个盒不放球” ,先从 4 个盒子中任意取出去一个,问题转化为“4 个球,3 个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?”即把 4 个球分成 2,1,1 的三组, 然后再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球,其余 2 个球放在另
2 1 2 理,共有 C 1 4 C 4 C 3 ×A 2 =144 种.

外 2 个盒子内,由分步乘法计数原

(2) “恰有 1 个盒内有 2 个球” ,即另外 3 个盒子放 2 个球,每个盒子至多放 1 个球,也即另外 3 个盒子中恰有一个空盒,因此, “恰有 1 个盒内有 2 个球”与“恰有 1 个盒不放球”是同一件 事,所以共有 144 种放法. (3)确定 2 个空盒有 C 2 4 种方法.
1 2 4 个球放进 2 个盒子可分成(3,1) 、 (2,2)两类,第一类有序不均匀分组有 C 3 4 C 1 A 2 种方法;

第二类有序均匀分组有
3 1 2 故共有 C 2 4 ( C 4 C1 A 2 +

2 C2 4 C2

A2 2 A2 2

·A 2 2 种方法.

2 C2 4 C2

·A 2 2 )=84 种.

当堂检测答案 1,从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则 不同的组队方案共有 A,70 种 ( ) C,100 种 D,140 种

B,80 种

2 1 1 2 解析:分为 2 男 1 女,和 1 男 2 女两大类,共有 C5 =70 种, ? C4 ? C5 ? C4

解题策略:合理分类与准确分步的策略。 2,2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从 事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均 能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 ( A, 48 种 B,12 种 C,18 种 ) D36 种

解析:合理分类,通过分析分为(1)小张和小王恰有 1 人入选,先从两人中选 1 人,然后把这个
11

1 1 3 人在前两项工作中安排一个,最后剩余的三人进行全排列有 C2 种选法。 (2)小张和小赵都 ? C2 ? A3 2 入选,首先安排这两个人,然后再剩余的 3 人中选 2 人排列有 A32 ? A2 种方法。

共有 24+12=36 种选法。 解题策略: :1,特殊元素优先安排的策略。 2,合理分类与准确分步的策略。 3,排列、组合混合问题先选后排的策略。 3,从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的 个数为 A,48 ( B, 12 ) C,180 D,162

1 解析:分为两大类: (1)含有 0,分步 1,从另外两个偶数中选一个, C2 种方法,2,从 3 个奇数 1 中选两个,有 C32 种方法;3,给 0 安排一个位置,只能在个、十、百位上选,有 C3 种方法;4, 3 1 2 1 3 其他的 3 个数字进行全排列,有 A3 种排法,根据乘法原理共 C2 种方法。 (2)不含 0, ? C3 ? C3 ? A3 4 分步,偶数必然是 2,4 ;奇数有 C32 种不同的选法,然后把 4 个元素全排列,共 A4 种排法,不含

4 4 1 2 1 3 0 的排法有 C32 A4 种。根据加法原理把两部分加一块得 C2 + C32 A4 =180. ? C3 ? C3 ? A3

解题策略:1,特殊元素优先安排的策略。 2,合理分类与准确分步的策略。 3,排列、组合混合问题先选后排的策略。 4,甲组有 5 名男同学,3 名女同学;乙组有 6 名男同学,2 名女同学。若从甲、乙两组中各选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( A,150 种 B,180 种 C,300 种 D,345 种 )

解析:4 人中恰有 1 名女同学的情况分为两种,即这 1 名女同学或来自甲组,或来自乙组,则所
1 1 2 2 1 1 有不同的选法共有 C5 C3C6 ? C5 C6C2 种选法。

解题策略:合理分类与准确分步的策略。 5,甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有 ( A,6 ) B,12 C 30 D36

2 2 解析:可以先让甲、乙任意选择两门,有 C4 种选择方法,然后再把两个人全不相同的情况去 ? C4

12

2 2 掉,两个人全不相同,可以让甲选两门有 C4 种选法,然后乙从剩余的两门选,有 C2 种不同的选 2 2 2 2 法,全不相同的选法是 C4 种方法,所以至少有一门不相同的选法为 C4 — C2 ? C4 2 2 =30 种不同的选法。 C4 C2

解题策略:正难则反,等价转化的策略。

6,用 0 到 9 这 10 个 数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A.324 B,328 C,360 D,648





解析: 9
1 1 1 C4 ? C8 ? C8

8

1

第一类个位是零,共 A92 种不同的排法。

8

8

4

1 1 1 第二类个位不是零,共 C4 种不同的解法。 ? C8 ? C8

解题策略:合理分类与准确分步的策略. 7,从 10 名大学毕业生中选 3 人担任村长助理,则甲、乙 至少有 1 人入选,而丙 没有入选的不 同选法的总数为 ( A,85 B,56 ) C,49 D,28

2 1 1 2 解析:合理分类,甲乙全被选中,有 C2 种 选 法,甲乙有一个被选中,有 C2 种不同的选 ? C7 ? C7 2 1 1 2 法,共 C2 + C2 =49 种不同的选法。 ? C7 ? C7

解题策略: (1)特殊元素优先安排的策略, (2)合理分类与准确分步的策略. 8,将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生 不能分到同一个班,则不同分法的总数为 A,18 B,24 C,30 ( ) D,30

2 将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组,则共有 C4 种不同的分法,然后三组进行全排列共 3 3 种不同的方法;然后再把甲、乙分到一个班的情况排除掉,共 A3 种不同的排法。所以总的排 A3 2 3 3 法为 C4 — A3 =30 种不同的排法。 A3

13

注意: 这里有一个分组的问题,即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题。 这里分为有序分组和无序分组,有兴趣的同学可以继续研究 ,这里不再详述。 解题策略: 1 正难则反、等价转化的策略 2 相邻问题捆绑处理的策略 3 排列、组合混合问题先选后排的策略; 9,3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女生 相邻,则不同排法的种数是 A,360 B,288 ( ) C,216 D,96

解析:分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考虑的原则,先考虑女生的问题,先从 3 个
2 女生中选两位,有 C32 种方法,然后再考虑顺序,即先选后排,有 A2 种方法;这样选出两名女生

后,再考虑男生的问题,先把三个男生任意排列,有 A32 中不同的排法,

2 然后把两个女生看成一个整体, 和另一个女生看成两个元素插入 4 个位置中。 有 A4 种不同的排法, 2 3 2 共有 A2 种不同的排法。然后再考虑把男生甲站两端的情况排除掉。 C32 A3 A4

1 2 甲可能站左端,也可能是右端,有 C2 种不同的方法,然后其他两个男生排列有 A2 种排法,最后 2 1 2 把女生在剩余的三个位置中排列,有 A32 种不同的排法。共 A2 C32 C2 A2 A32 种不同的排法, 故总的 2 3 2 2 1 2 排法为 A2 ---- A2 C32 A3 A4 C32 C2 A2 A32 =288 种不同的方法。

本题难度大,体现的排列组合的解题策略多: (1)特殊元素优先安排的策略: (2)合理分类与准确分步的策略; (3)排列、组合混合问题先选后排的策略; (4)正难则反、等价转化的策略;
14

(5)相邻问题捆绑处理的策略; (6)不相邻问题插空处理的策略。 参考答案
1 1 1,解:∵ ( x ? )9 的展开式的通项是 Tr ?1 ? C9r x 9? r (? ) r ? (?1) r C9r x 9? 2 r , x x

∴ 9 ? 2r ? 3 , r ? 3 ,
3 3 ∴ x 3 的系数 (?1)3 C9 ? ?84 , x 3 的二项式系数 C9 ? 84 .

1 2 n 例 1 解析: 1 ? 2Cn = (1 ? 2)n = 3 n ? 4Cn ? ? ? 2 n Cn

例 2,解析: ?1 ? 2 x ? ? ?1 ? 4 x ? 展开式中含 x 的项为
m n

1 1 1 1 Cm ? 2x ? Cn ? 4x ? (2Cm ? 4Cn )x 1 1 ∴ (2Cm ? 4Cn ) ? 36 ,即 m ? 2n ? 18 ,

?1 ? 2 x ?

m

? ?1 ? 4 x ? 展开式中含 x 2 的项的系数为
n

2 2 2 2 2 ? Cn 4 ? 2m2 ? 2m ? 8n2 ? 8n , t ? Cm

∵ m ? 2n ? 18 , ∴ m ? 18 ? 2n , ∴ t ? 2(18 ? 2n)2 ? 2(18 ? 2n) ? 8n2 ? 8n ? 16n2 ? 148n ? 612
? 16( n 2 ?
37 37 153 n? ) ,∴当 n ? 时, t 取最小值,但 n ? N * , 8 4 4

∴ n ? 5 时, t 即 x 2 项的系数最小,最小值为 272 ,此时 n ? 5, m ? 8 . [例 3]解析:设 (2x ? 3 y)10 ? a0 x10 ? a1 x 9 y ? a2 x 8 y 2 ? ? ? a10 y10 (*), 各 项 系 数 和 即 为 a0 ? a1 ? ? ? a10 , 奇 数 项 系 数 和 为 a0 ? a2 ? ? ? a10 , 偶 数 项 系 数 和 为
a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a9 , x 的 奇 次 项 系 数 和 为 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a9 , x 的 偶 次 项 系 数 和 a0 ? a 2 ? a 4 ? ? ? a10 .

由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.
0 1 10 ①二项式系数和为 C10 ? C10 ? ? ? C10 ? 210 .

②令 x ? y ? 1 ,各项系数和为 (2 ? 3)10 ? (?1)10 ? 1 .
0 2 10 ③奇数项的二项式系数和为 C10 ? C10 ? ? ? C10 ? 29 ,

15

1 3 9 偶数项的二项式系数和为 C10 ? C10 ? ? ? C10 ? 29 .

④设 (2x ? 3 y)10 ? a0 x10 ? a1 x 9 y ? a2 x 8 y 2 ? ? ? a10 y10 , 令 x ? y ? 1 ,得到 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a10 ? 1 ?(1), 令 x ? 1 , y ? ?1 (或 x ? ?1 , y ? 1 )得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a10 ? 510 ?(2) (1)+(2)得 2(a0 ? a2 ? ? ? a10 ) ? 1 ? 510 , ∴奇数项的系数和为 1 ? 510 ;
2

(1)-(2)得 2(a1 ? a3 ? ? ? a9 ) ? 1 ? 510 , ∴偶数项的系数和为 1 ? 5 .
10

2

⑤ x 的奇次项系数和为 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a9 ? 1 ? 5 ;
10

2

10 x 的偶次项系数和为 a 0 ? a 2 ? a 4 ? ? ? a10 ? 1 ? 5 .

2

例 4,解析:由题意 2 2n ? 2 n ? 992 ,解得 n ? 5 .
1 ① (2 x ? )10 的展开式中第 6 项的二项式系数最大, x
5 即 T6 ? T5?1 ? C10 ? (2x) 5 ? (? ) 5 ? ?8064 .

1 x

②设第 r ? 1 项的系数的绝对值最大,
r r 则 Tr ?1 ? C10 ? (2x)10?r ? (? ) r ? (?1) r ? C10 ? 210?r ? x10?2r
r r ?1 r 10 ? r r ?1 ? ? ? C10 ? 210 ? r ?1 ?11 ? r ? 2r ?C10 ? 2C10 ?C10 ? 2 , 得 ,即 ? ? r r ?1 r 10 ? r r ?1 10 ? r ?1 ? ?C10 ? 2 ? C10 ? 2 ?2(r ? 1) ? 10 ? r ?2C10 ? C10 ?

1 x

∴?

∴ 8 ? r ? 11 ,∴ r ? 3 ,故系数的绝对值最大的是第 4 项
3 3

王新敞
奎屯

新疆

【 名 师 指 引 】 求 系 数 最 大 的 项 或 最 小 的 项 , 当 a ? 1或 b ? 1 时 , 一 般 采 用 解 不 等 式 组
? A k ? A k ?1 , ? A k ? A k ?1 或? ( A k 为T k ?1 的系数或系数的绝对值)的办法来求解. ? ? A k ? A k ?1 ? A k ? A k ?1

例 5 ,求 9192 除以 100 的余数 [解题思路]: 把 9192 写成 (90 ? 1)92 或 (100 ? 9)92 ,再运用二项展开式。
1 2 90 90 解析:解法一:? 9192 ? (90 ? 1) 92 ? 9092 ? C92 9091 ? C92 9090 ? ? ? ? ? C92 902 ? C91 90 ? 1

16

观察各项,只有最后两项不能被 100 故知 9192 除以 100 的余数为 81。

91 又 C92 ? 90 ? 1 ? 92? 90 ? 1 ? 8281

1 2 解法二:? 9192 ? (100? 9) 92 ? 10092 ? C92 ?10091 ? 9 ? C92 ?10090 ? 92 ? ? ? ? ? 90 91 92 C92 ?1002 ? 990 ? C92 ?100? 991 ? C92 ? 992

显然仅最后一项不能被 100 整除,以下转化为求 9 92 被 100 除的余数。
1 2 90 91 92 ?992 ? (10 ? 1) 92 ? 1092 ? C92 ?1091 ? C92 ?1090 ? ? ? ? ? C92 ?102 ? C92 ?10 ? C92 ?1 此式中仅最后两项 91 不能被 100 整除,而 ? C92 ?10 ? 1 ? ?1000? 81, ? 所求余数为 81。

【名师指引】利用二项式定理证明整除性问题,要灵活处理幂的底数,使之符合需要. 当堂检测答案:
1 1,在二项式 ( x 2 ? )5 的展开式中,含 x 4 的项系数是( x

) D, 5

A,-10 答案:B

B, 10

C,-5

1 1 解析:二项式的通项为 C5r ( x 2 )5? r ( ? ) r ,注意 ? . x x

2 , 若 (1 ? 2x)2009 ? a0 ? a1x ? ... ? a2009 x2009 ( x ? R) ,则 A, 2 答案:C 解析:令 x=0,则 a0 =1,令 x ? B, 0 C,-1

a a1 a2 ? 2 ? ... ? 2009 的值为 ( 2 2 22009

)

D,-2

a a a 1 ? ... ? 2009 .则 a0 ? 1 ? 2 =0, 2 2 2 2 22009

3,若 (1 ? 2)5 ? a ? b 2 ( a, b 为有理数),则 a + b= ( A, 45 答案: C B, 55 C, 70

) D, 80

1 2 3 4 5 解析: (1 ? 2)5 ? 1 ? C5 2 ? C5 ( 2)2 ? C5 ( 2)3 ? C5 ( 2)4 ? C5 ( 2)5

2? ? 4, ? x2 ? ? 的展开式中的系数是 ( x? ?
A,16 答案:D
2 解析: Tr ?1 ? C8r ( x 2 )8? r ( ) r ? 2r C8r x16?3r x

8

) C,560 D,1120

B,70

17

5, (1 ? ax ? by)n 展开式中不含 x 的项地绝对值的和为 243,不含 y 的项地绝对值得和为 32, 则 a,b,n 的值可能为 A,a=2,b=-1,n=5 答案:D 解析:不含 x 的项的系数的绝对值为 (1? | b |)n ? 243 ? 35 , 不含 y 的项的系数的绝对值为 (1? | a |)n ? 32 ? 25 , 所以 n=5; 6, ( x ? y )10 的展开式中, x7 y3 的系数与 x3 y 7 的系数和等于_______. 答案:-240
3 7 3 7 3 7 解析: T4 ? ?C10 x y , T8 ? ?C10 x y



) C,a=-1,b=2,n=6 D,a=1,b=2,n=5

B,a=-2,b=-1,n=6

7, ( x y ? y x )4 的展开式中 x3 y3 的系数为 __________. 答案:6
r r 解析: Tr ?1 ? C4 ( x y )4?r (? y x )r ? C4 x 4? r 2

y

2?

r 2

? (?1)r

8,在 (1 ? x)3 +(1 ? x )3 ? (1 ? 3 x )3 的展开式中,x 的系数为______________. 答案:7
1 2 3 解析: C3 ? C3 +C3 ? 23 ?1 ? 7

9, (2 x ?

1 6 ) 的展开式的常数项是__________. 2x

答案:-20 解析:展开式的通项公式 Tr ?1 ? C6r (2 x)6? r ? (?
1 r 1 r ) ? (?1) r ? C6 ? 26 ? r ? x 6 ? 2 r ? ( ) r 2x 2

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