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东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试数学文


东北三省三校 (辽宁省实验中学、 东北师大附中、 哈师大附中) 2013 届高三 3 月第一次联合模拟考试数学文
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟,考 试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试 题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.设全集 U = R,集合 A ? {x | x ? 2} , B ? {x | 0 ? x ? 5} ,则集合 (CU A) ? B ? A. {x | 0 ? x ? 2} C. {x | 0 ? x ? 2} 2.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 0 ”的否命题是 A.若 x ? 1 ,则 x ? 0 C.若 x ? 1 ,则 x ? 0 3.在复平面内,复数 z ? A.第一象限 4.函数 f ( x) ? a
x ?1

B. {x | 0 ? x ? 2} D. {x | 0 ? x ? 2}

B.若 x ? 1 ,则 x ? 0 D.若 x ? 1 ,则 x ? 0 ) C.第三象限 D.第四象限 )

?3 对应的点在( 1? i
B.第二象限

(a ? 0, a ? 1) 的图象恒过点 A,下列函数中图象不经过点 A 的是(

A、y= 1 ? x

B、y=|x-2| C、y= 2 x -1

D、y= log 2 (2 x)

5.与椭圆 C :

y 2 x2 ? ? 1 共焦点且过点 (1, 3) 的双曲线的标准方程为 16 12
B. y ? 2 x ? 1
2 2

y2 A. x ? ?1 3
2

y 2 x2 C. ? ?1 2 2

y2 D. ? x2 ? 1 3

6.已知向量 a,b 是夹角为 60°的两个单位向量,向量 a+ ? b( ? ? R)与向量 a-2b 垂直,则实 数 ? 的值为( A、1 ) C、2 D、0

B、-1

7.按如图所示的程序框图运行后,输出的结果是 63,则判断框中的整数 M 的值是 A.5 B.6 C.7 D.8 8.已知函数 y ? sin(? x ? ? ) 的最小正周期为

?
2

,直线 解 析

x?

?
3

是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的

式为 A. y ? 4sin(4 x ? C. y ? sin(4 x ?

?
6 )

)

B. y ? sin(2 x ?

?
3

) 3 1 5? D. y ? sin( x ? ) 4 12

?

9.点 A、B、C、D 在同一个球的球面上,AB = BC =

2 ,AC = 2,若四面体 ABCD 体积的最大值为

2 ,则这个球的表面积为 3 125? A. B. 8? 6
10、已知函数 f ( x) ? 则实数 a 的值为( A、 )

C.

25? 4

D.

25? 16

x ? 1, g ( x) ? a ln x ,若在 x ?

1 处函数 f(x)与 g(x)的图象的切线平行, 4

1 4

B、

1 2
2

C、1

D、4

11.若点 P 在抛物线 y ? 4 x 上,则点 P 到点 A(2,3)的距离与点 P 到抛物线焦点的距离之差

A.有最小值,但无最大值 C.既无最小值,又无最大值

B.有最大值,但无最小值 D.既有最小值,又有最大值

?a ?2 x , x ? 0 ? 12.已知函数 f ( x) ? ?log x, x ? 0 ,若关于 x 的方程 f(f(x) )=0 有且仅有一个实数解,则实数 a ? 1 ? 3
的取值范围是( A、 (- ? ,0) C、 (0,1) ) B、 (- ? ,0)∪(0,1) D、 (0,1)∪(1,+ ? )

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题 ~ 第 21 题为必考题,每个试题要求考生必须作答, 第 22 题 ~ 第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

?3 x ? y ? 6 ? 0 ?x ? y ? 2 ? 0 ? 13.设 x,y 满足约束条件 ? ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为__________。 ?x ? 0 ?y ? 0 ?
14.已知某几何体的三视图如图,其中正视图中半圆直径为 2,则该几何体的体积为__________。

15、已知函数 f ( x) ? ln

x ,若 f (a ) ? f (b) =0,且 0<a<b<1,则 ab 的取值范围是___ 1? x A AC 16.在 ΔABC 中, 2sin 2 ? 3 sin A , sin( B ? C ) ? 2 cos B sin C ,则 __________。 2 AB

三、解答题(本大题共 70 分。解答应写出文字说明) 17. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 {an } 的所有项均为正数,首项 a1 =1,且 a4 ,3a3 , a5 成等差数列。 (1)求数列 {an } 的通项公式;

(2)数列{ an ?1 ? ? an }的前 n 项和为 S n ,若 S n = 2 ? 1( n ? N *) ,求实数 ? 的值。
n

18. (本小题满分 12 分) PM2.5 是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小 于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,根据现行 准 GB3095 – 2012, PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下 量为一级;在 35 微克/立方米 ~ 75 毫克/立方米之间空 为二级;在 75 微克/立方米以上空气质量为超标。 从某自然保护区 2012 年全年每天的 PM2.5 监测值 随机地抽取 12 天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶) : (I)求空气质量为超标的数据的平均数与方差; (II)从空气质量为二级的数据中任取 2 个,求这 2 个数据的和小于 100 的概率; (III)以这 12 天的 PM2.5 日均值来估计 2012 年的空气质量情况,估计 2012 年(按 366 天算)中大 约有多少天的空气质量达到一级或二级。 数据中 于或等 国家标 空气质 气质量

19. (本小题满分 12 分) 如图, 三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱 AA2⊥底面 ABC, ∠ACB 90°, 是棱 CC1 的中点, 是 AB 中点, =BC =1, 1 = 1。 E F AC AA (1)求证:CF∥平面 AEB1; (2)求三棱蕉 C-AB1E 在底面 AB1E 上的高。 =

20. (本小题满分 12 分)

已知点 E(m,0)为抛物线 y 2 ? 4 x 个定点,过 E 作斜率分别为 k1、k2 的两 交抛物线于点 A、B、C、D,且 M、N AB、CD 的中点 (1)若 m = 1,k1k2 = -1,求三角 面积的最小值; (2)若 k1 + k2 = 1,求证:直线 MN

内的一 条直线 分别是

形 EMN

过定点。

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax sin x ? cos x ,且 f ( x) 在 x ?

?
4

处的切线斜率为

2? 。 8

(1)求 a 的值,并讨论 f ( x) 在 [?? , ? ] 上的单调性; (2)设函数 g ( x) ? ln(mx ? 1) ?

x j ? [0, ] ,使得 g ( xi ) ? f ( x j ) 成立,求 m 的取值范围 2

?

1? x , x ? 0 ,其中 m > 0,若对任意的 xi ? [0, ??) 总存在 1? x

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。做题时请写清

题号。 22. (本小题满分 10 分) 选修 4 - 1:几何证明选讲 如图,圆 O 的半径 OC 垂直于直径 AB,弦 CD 交 于 E,过 D 的切线与 BA 的延长线交于 M。 (1)求证:MD = ME; (2)设圆 O 的半径为 1,MD = 半 径 OA

3 ,求 MA 及 CE 的长。

23. (本小题满分 10 分) 选修 4 - 4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, C1 和 C2 的参数方程分别是 ? 圆

? x ? 2 ? 2 cos ? ? x ? cos ? (φ 为参数) ? 和 ? y ? 2sin ? ? y ? 1 ? sin ?

(φ 为参数) ,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 (1)求圆 C1 和 C2 的极坐标方程; (2)射线 OM:θ = α 与圆 C1 的交点为 O、P,与圆 C2 的交点为 O、Q,求| OP | · OQ |的最大值 |

24. (本小题满分 10 分) 选修 4 - 5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? a | ?2 x ,其中 a > 0。 (1)当 a = 2 时,求不等式 f ( x) ? 2 x ? 1 的解集; (2)若 x ? (?2, ??) 时,恒有 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围。

2013 年三省三校第一次联合模拟考试文科数学答案
一.选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.C 2.C 3.B 4.A 7.B 8.A 9.C 10.A 二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 5.C 11.D 6.D 12.B

13. 14

14. 24 ?

3? 2

15. ? 0, ?

? ?

1? 4?

16.

1 ? 13 2

三.解答题 17.(本小题满分 12 分)
2 3 4 解: (Ⅰ)设数列 ?a n ?的公比为 q ,由条件, q 3 ,3q 2 , q 4 成等差数列,? 6q ? q ? q ??2 分

解得 q ? ?3, 或q ? 2 ??4 分 数列 ?a n ?的通项公式为??6 分 (Ⅱ)记 bn ? a n ?1 ? ?a n ,则 bn ? 2 n ? ? ? 2 n ?1 ? ( 2 ? ? )2 n ?1 若 ? ? 2, bn ? 0, S n ? 0 不符合条件; 若? ? 2 , 则 此时 S n ? ??8 分 ??7 分

bn ?1 ? 2 ,数列 ?bn ?为等比数列,首项为 2 ? ? ,公比为 2 bn

(2 ? ? ) (1 ? 2 n ) ? ( 2 ? ? )( 2 n ? 1) 1? 2

??10 分 ??12 分

? S n ? 2 n ? 1( n ? N *) ? ? ? 1

18.(本小题满分 12 分) 解: (I)空气质量为超标的数据有四个:77,79,84,88 平均数为 x ? 方差为 s 2 ?
77 ? 79 ? 84 ? 88 ? 82 4

??2 分 ??4 分

1 ? [(77 ? 82) 2 ? (79 ? 82) 2 ? (84 ? 82) 2 ? (88 ? 82) 2 ] ? 18.5 4

(II)空气质量为二级的数据有五个:47,50,53,57,68 任取两个有十种可能结果: {47,50}{47,53}{47,57}{47,68}{50,53}{50,57}{50, , , , , , , 68}{53,57}{53,68}{57,68} , , , , 两个数据和小于 100 的结果有一种: {47,50} 记“两个数据和小于 100”为事件 A,则 P(A)=
1 10 1 10

即从空气质量为二级的数据中任取 2 个,这 2 个数据和小于 100 的概率为

??8 分
8 2 ? 12 3

(III)空气质量为一级或二级的数据共 8 个,所以空气质量为一级或二级的频率为 分
366 ?

??10

2 ? 244 ,所以,2012 年的 366 天中空气质量达到一级或二级的天数估计为 244 天. 3

??12

分 19.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)证明:取 AB1 的中点 G,联结 EG,FG,

? F、G 分别是 AB、AB1 中点,? FG / / BB1 , FG ?
? E 为侧棱 CC1 的中点, ? FG∥EC,FG=EC,

1 BB1 2

所以四边形 FGEC 是平行四边形 ??4 分 ? CF // EG ,? CF ? 平面 AB1E, EG ? 平面 AB1E ? CF / / 平面 AB1E. (Ⅱ)? 三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱 AA1 ? 底面ABC ,? BB1 ? 面 ABC. 又? AC ? 平面 ABC, ? AC ? BB1 , , ? ∠ACB=90° ? AC ? BC , ??8 分

??6 分

? BB1 ? BC ? B.
?V A? EB1C ?

? AC ? 平面 EB1C, ? AC ? CB1

1 1 1 1 S ?EB1C AC ? ? ( ? 1 ? 1) ? 1 ? 3 3 2 6
3 2

G ??10 分

? AE ? EB1 ? 2 , AB1 ? 6 ,? S ?AB1E ?

?VC ? AB1E ? V A? EB1C ? 三棱锥 C ? AB1 E 的高为
20.(本小题满分 12 分)

3VC ? AB1E S ?AB1E

?

3 3

??12 分

解: (Ⅰ)当 m ? 1 时,E 为抛物线 y ? 4 x 的焦点,
2

∵ k1k2 ? ?1 ,∴AB⊥CD 设 AB 方程为 y ? k1 ( x ? 1) , A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 由?

? y ? k1 ( x ? 1)
2 ? y ? 4x

,得 k1 y ? 4 y ? 4k1 ? 0 , y1 ? y2 ?
2

4 , y1 y2 ? ?4 k1
??2 分

AB 中点 M (

x1 ? x2 y1 ? y2 2 2 , ) ,∴ M ( 2 ? 1, ) ,同理,点 N (2k12 ? 1, ?2k1 ) 2 2 k1 k1

∴ S ?EMN ?

1 1 2 2 1 | EM | ? | EN |? ( 2 ) 2 ? ( ) 2 ? (2k12 ) 2 ? ( ?2k1 ) 2 ? 2 k12 ? 2 ? 2 ?4 分 2 2 k1 k1 k1

? 2 2?2 ? 4
当且仅当 k12 ?

1 ,即 k1 ? ?1 时,△EMN 的面积取最小值 4. k12

??6 分

(Ⅱ)证明:设 AB 方程为 y ? k1 ( x ? m) , A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 )

由?

? y ? k1 ( x ? m) ? y ? 4x
2

,得 k1 y ? 4 y ? 4k1m ? 0 , y1 ? y2 ?
2

4 , y1 y2 ? ?4m k1
?8 分

AB 中点 M (

x1 ? x2 y1 ? y2 2 2 2 2 , ) ,∴ M ( 2 ? m, ) ,同理,点 N ( 2 ? m, ) 2 2 k1 k1 k2 k2
??10 分

∴ k MN ?

yM ? y N kk ? 1 2 ? k1k2 xM ? xN k1 ? k2

∴MN: y ?

2 2 ? k1k2 [ x ? ( 2 ? m)] ,即 y ? k1k2 ( x ? m) ? 2 k1 k1

∴直线 MN 恒过定点 (m, 2) .??12 分 21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) ? a ? 0,? f ' ( x ) ? x ? ax 2 ? ?ax ( x ? )
? f ' ( x ) ? 0 ? x ? 0, 或x ? 1 a 1 a

1 1 ? (??,0) 上, f ' ( x ) ? 0 ; (0, ) 上 f ' ( x ) ? 0 ; ( ,?? ) 上 f ' ( x ) ? 0 a a

??2 分 ??4 分

1 1 ? f (x ) 的极小值为 f (0) ? 0 ;函数 f (x ) 的极大值为 f ( ) ? a 6a 2

(Ⅱ)? a ? e ? g ( x ) ?

1 2 1 3 x ? ex ? e x ( x ? 1) , g ' ( x ) ? x ( e x ? ex ? 1) 2 3

(ⅰ)记 h( x ) ? e x ? ex ? 1, h' ( x ) ? e x ? e ,
(??,1) 上, h' ( x ) ? 0 , h(x ) 是减函数; (1,?? ) 上, h' ( x ) ? 0 , h(x ) 是增函数, ? h( x ) ? h(1) ? 1 ? 0 ,

??6 分 ??8 分

则在 (0,??) 上, g ' ( x ) ? 0 ;在 (??,0) 上, g ' ( x ) ? 0 , 故函数 g (x ) 的单调递增区间是 (0,??) ,单调递减区间是 (??,0) (ⅱ) x ? 0 时, g ' ( x ) ? x ( e x ? ex ? 1) ? 1 ? ln x ? e x ? ex ? 1 ? 由(ⅰ)知, h( x ) ? e x ? ex ? 1 ? 1 记 ? ( x ) ? 1 ? ln x ? x ( x ? 0) ,则 ? ' ( x ) ?
1? x , x 1 ? ln x x

在区间 (0,1) 上, ? ' ( x ) ? 0 , ? (x ) 是增函数;在区间 (1,??) 上, ? ' ( x ) ? 0 , ? (x ) 是减函数,
?? ( x ) ? ? (1) ? 0 , ?1 ? ln x ? x ? 0,?

1 ? ln x ?1 x

??10 分 ??12 分

? e x ? ex ? 1 ? 1 ?

1 ? ln x ,即 g ' ( x ) ? 1 ? ln x 成立。 x

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)圆 C1 和 C2 的的普通方程分别是 ( x ? 2) ? y ? 4 和 x ? ( y ? 1) ? 1 ,
2 2 2 2

所以圆 C1 和 C2 的的极坐标方程分别是 ? ? 4 cos ? 和 ? ? 2 sin ? . (Ⅱ)依题意得,点 P, Q 的极坐标分别为 ? 所以 | OP |?| 4 cos ? | , | OQ |?| 2 sin ? | . 从而 | OP | ? | OQ |?| 4sin 2? |? 4 ( ? ? 即 | OP | ? | OQ | 的最大值是 4 . 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (1) a ? 2 时, x ? 2 ? 2 x ? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 1,? x ? 3 或 x ? 1 ,

??5 分

? ? ? 4 cos ? , ? ? ? 2 sin ? , 和? ?? ? ? , ?? ? ? .

?
4

时即可取等). ??10 分

? 解集为 ? ??,1? ? ?3, ?? ?
(2) f ( x) ? ?

??5 分

?3x ? a,x ? a ? x ? a, x ? a

? a ? 0 ? [a,??) 上 f ( x ) ? f (a ) ? 2a ? 0 , ( ?2, a ) 上 f ( x ) ? f ( ?2) ? ?2 ? a
? 若 x ? ( ?2, ??) ,当且仅当 ?2 ? a ? 0 时

f ( x) ? 0 恒成立,

?a ? 2

??10 分

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