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广东省2012届高三数学全真模拟卷19 理


广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 19
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 选择题: 一项是符合题目要求的. 一项是符合题目要求的. 1.已知 z 是纯虚数, A. 2 i

z+2 是实数(其中为虚数单位) ,则 z = 1? i
C. ? i D. ?2 i

B.

2.对命题 p : A ∩ ? = ? ,命题 q : A ∩ ? = A ,下列说法正确的是 A. p ∧ q 为真 真 3. 图1是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图, 若80分以上为优秀,根据图形信息可知:这次考试的优秀率为 A. 25% B. 30% C. 35% D. 40% B. p ∨ q 为假 C. ?p 为假 D. ?p 为

4.若直线 ax + 2by ? 2 = 0( a > 0, b > 0) 始终平分圆

x 2 + y 2 ? 4 x ? 2 y ? 8 = 0 的周长,则
A. B. 3 + 2 2 C. 5

1 2 + 的最小值为 a b
D. 4 2

5.某器物的三视图如图 2 所示,根据图中数据可知该器物的表面积为 A. 4π B. 5π C. 8π D. 9π

6.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线中心在原点,焦点在 y 轴上,一 条渐近线方程为 x ? 2 y = 0 ,则它的离心率为 A. 5

B.

5 2
2

C. 3

D. 2

7.若关于 x 的不等式 x + 1 ? x ? 2 < a ? 4a 有实数解,则实数 a 的取值范围为 A. ( ?∞,1) U (3, +∞ ) B. (1,3) C. ( ?∞, ?3) U ( ?1, +∞ ) D. ( ?3, ?1)

8.若 a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 ) ,定义一种向量积: a ? b = (a1b1 , a2b2 ) , 已知 m = (2, ), n = (

r

r

r

r

ur

1 r 2

π
3

, 0) ,且点 P ( x, y ) 在函数 y = sin x 的图象上运动,点 Q 在函数

uuur ur uuu r r , y = f ( x ) 的图象上运动,且点 P 和点 Q 满足: OQ = m ? OP + n (其中 O 为坐标原点)
则函数 y = f ( x ) 的最大值 A 及最小正周期 T 分别为
-1-

用心 爱心 专心

A. 2, π

B. 2, 4π

C.

1 ,π 2

D.

1 , 4π 2

小题, 小题, 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 填空题: 必做题( (一)必做题(9~13 题) 9.在二项式 (2 x ? ) n 的展开式中,若第 5 项是常数项,则 n = _______. (用数字作答) 10. 已知等差数列 {a n } 中, 有

1 x

a11 + a12 + L + a20 a1 + a2 + L + a30 = 成立. 10 30

类似地,在等比数列 {bn } 中有_____________________成立. 11.按如图 3 所示的程序框图运行程序后,输出的结果是 63 , 则判断框中的整数 H = _________.

? x 2 x ∈ [0,1] e ? ,则 ∫ f ( x)dx = _____. 12.设 f ( x) = ? 1 0 ? x x ∈ (1, e] ?
13.在 ?ABC 中, a、b、c 分别为内角 A、B、C 所对的边,且 A = 30 ο . 现给出三个条件:① a = 2 ; ② B = 45 ° ;③ c =

3b .试从中选出两

个可以确定 ?ABC 的条件,并以此为依据求 ?ABC 的面积.(只需写出 一个选定方案即可)你选择的条件是 (用序号填写);由此 得到的 ?ABC 的面积为 . 选做题(14~ 考生只能从中选做一题) (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. 几何证明选讲 选做题 (几何证明选讲选做题)如图 4, PT 为圆 O 的切线, T 为切点, 几何证明选讲选做题

∠ATM =

π ,圆 O 的面积为 2π ,则 PA = 3



15. 坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 ρ = 3 截直线 ρ cos(θ + (坐标系与参数方程选做题) 坐标系与参数方程选做题 弦长为 . 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、 解答题: 80分 解答须写出文字说明、 解答题 本大题共6小题,满分80 证明过程和演算步骤. 证明过程和演算步骤. 16. 本小题满分12分)已知平面上三点 A( 2,0) , B (0,2) , C (cos α , sin α ) . (本小题满分12分 本小题满分12 (1)若 (OA + OC ) 2 = 7 (O 为坐标原点) ,求向量 OB 与 OC 夹角的大小; (2)若 AC ⊥ BC ,求 sin 2α 的值.

π ) = 1 所得的 4

uuu uuur r

17. 本小题满分12分)第16届亚运会将于2010年11月在广州市举行,射击队运动员们正在积 (本小题满分 本小题满分1 极备战. 若某运动员每次射击成绩为10环的概率为

1 . 求该运动员在5次射击中, (1)恰有3 3
-2-

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次射击成绩为10环的概率; (2)至少有 3 次射击成绩为 10 环的概率; (3)记“射击成绩为 10 环的次数”为 ξ ,求 Eξ .(结果用分数表示) 18. 本小题满分14分)如图5,已知 AB ⊥ 平面 ACD , DE ⊥ 平面 ACD , (本小题满分14 本小题满分14分 △ ACD 为等边三角形, AD = DE = 2 AB , F 为 CD 的中点. (1)求证: AF // 平面 BCE ; (2)求证:平面 BCE ⊥ 平面 CDE ; (3)求直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值. 19. 本小题满分14分)过点 P0 (1, 0) 作曲线 C : y = x 3 ( x ∈ (0, +∞)) 的切线, (本小题满分 本小题满分1 切点为 Q1 ,过 Q1 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 P ,又过 P 作曲线C的,切点为 Q2 ,过 Q2 作 x 轴 1 1 …, …, (1) 的垂线交 x 轴于点 P2 , 依次下去得到一系列点 Q1 , Q2 , Q3 , 设点 Qn 的横坐标为 an . 求数列 {an } 的通项公式;

(2)求和

∑a
i =1

n

i

; (3)求证: an > 1 +

i

n ( n ≥ 2, n ∈ N ? ) . 2

20. 本小题满分14分)已知圆 M : ( x ? m) 2 + ( y ? n) 2 = r 2 及定点 N (1, 0) ,点 P 是圆 M 上 (本小题满分14分 本小题满分14 的动点,点 Q 在 NP 上,点 G 在 MP 上,

uuu r

uuur

uuur

uuu r

且满足 NP =2 NQ , GQ · NP = 0 . (1)若 m = ?1, n = 0, r = 4 ,求点 G 的轨迹 C 的方程; (2)若动圆 M 和(1)中所求轨迹 C 相交于不同两点 A, B ,是否存在一组正实数 m, n, r , 使得直线 MN 垂直平分线段 AB ,若存在,求出这组正实数;若不存在,说明理由. 21. 本小题满分 14 分)己知函数 f ( x ) = (本小题满分

1 . ( x + 1) ln( x + 1)

(1) 求函数 f ( x ) 的定义域;(2) 求函数 f ( x ) 的增区间; (3) 是否存在实数 m ,使不等式 2 x +1 > ( x + 1) 在 ?1 < x < 0 时恒成立?若存在,求出实
m 1

数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 参考答案 选择题:本大题考查基本知识和基本运算. 小题,每小题5 一、 选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分, 满分40 40分 满分40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8

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-3-

答案 1.选 D.提示: 设z

D

C

B

B

D

A

A

D

= bi (b ≠ 0) .

2.选 C.提示:由已知 p 为真,q 为假. 3.选 B.提示: 0.025 × 10 + 0.005 × 10 = 0.3 .

1 ) 4.选 B.提示: 直线过圆心(2,, 所以a + b = 1, .
∴ b 2a 1 2 1 2 + = ( a + b)( + ) = 3 + + ≥ 3+ 2 2 a b a b a b

5.选 D.提示:圆锥上面有一球,半径为 1,

∴ S = 4π 12 + π 12 +
6.选 A.提示:Q

1 2π ? 4 = 9π . 2

b = 2, a 2 + b 2 = c 2 ,∴ 5 a 2 = c 2 ,∴ e 2 = 5, e = 5 . a
2 2

7.选 A.提示: ? 3 ≤ x + 1 ? x ? 2 < a ? 4a,∴ a ? 4 a + 3 > 0 .

8.选 D.提示:

OQ = ( 2 x +

π 1

, sin x), 3 2

∴ f (2 x +

π

1 1 1 π ) = sin x,∴ f ( x) = sin( x ? ) 3 2 2 2 6

小题, 二.填空题:本大题查基本知识和基本运算,体现选择性.共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 填空题:本大题查基本知识和基本运算,体现选择性. 题是选做题,考生只能选做一 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 9. 8 ; 12. 10. 10 b11b12 L b20 = 30 b1b2 L b30 ; 13.①②, 3 + 1 (或①③, 3 ) ; 15. 4 2 . 11. 5 ;

4 ; 3

14. 3 2 ;

1 4 4 9.8.提示: T5 = C n (2 x ) 4 ( ? ) n ? 4 = C n 2 4 (?1) n ?4 x 8?n ,∴ 8 ? n = 0, n = 8 . x
10. 10 b11b12 L b20 = 30 b1b2 L b30 .提示:算术平均数类比几何平均数. 11.5.提示: S = 63时A = 6, 不满足条件时输出 S, H = 5 . ∴
1 e1 1 3 1 1 4 4 2 e .提示: 原式 = ∫ x dx + ∫ dx = x | 0 + ln x |1 = + 1 = . 0 1 x 3 3 3 3

12.

13.①②, 3 + 1 (或①③, 3 ).提示:由正弦定理求出 b,

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-4-

再根据 S =

1 ab sin C . 2

14. 3 2 .提示: 连接 OT,PO = 2 2 , PA = PO + OA = 3 2 . 15. 4 2 .提示: 转化为直角坐标系求解 三.解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤. 解答题:本大题共6小题,满分80分 解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤. 解答题 80 16. 本小题满分 12 分) (本小题满分 解: (1)∵ OA + OC = (2 + cos α , sin α ) , (OA + OC ) 2 = 7 , ∴ ( 2 + cos α ) 2 + sin 2 α = 7 , ∴ cos α = ………………… 2 分

uuu uuur r

1 . 2

………………… 4 分

又 B (0,2) , C (cos α , sin α ) ,设 OB 与 OC 的夹角为 θ ,则:

cos θ =

OB ? OC OB OC

=

2 sin α 3 , = sin α = ± 2 2

uuu r

uuur
uuur

∴ OB 与 OC 的夹角为

π
6

或 π .

5 6

…………… 7 分

(2)Q AC = (cos α ? 2,sin α ) , BC = (cosα , sin α ? 2) ,… 9 分 由 AC ⊥ BC , 可得 cos α + sin α =

uuur

uuu r

∴ AC ? BC = 0 ,

uuur uuu r

1 ,①………………… 11 分 2 1 ∴ (cos α + sin α ) 2 = , 4 3 3 ∴ 2 sin α cos α = ? , sin 2α = ? . …………………12 分 4 4
17. 本小题满分12分) (本小题满分 本小题满分1 解:设随机变量 X 为射击成绩为 10 环的次数,则 X ~ B (5, ) .…2 分 (1)在 5 次射击中,恰有 3 次射击成绩为 10 环的概率为:

1 3

?1? ? 1? P ( x = 3) = C53 × ? ? × ?1 ? ? ? 3? ? 3?

3

2

= 10 ×

1 4 40 ………4 分 × = 27 9 243

(2)在 5 次射击中,至少有 3 次射击成绩为 10 环的概率为:

P ( X ≥ 3) = P ( X = 3) + P ( X = 4) + P ( X = 5)

…………6 分

用心 爱心 专心

-5-

?1? ? 1? ?1? ? 1? ? 1? 5 ?1? = C53 × ? ? × ?1 ? ? + C54 × ? ? × ?1 ? ? + C5 × ? ? × ? 1 ? ? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3? ?3? ? 3?
= 40 10 1 17 + + = . 243 243 243 81
…………8 分

3

2

4

5

0

(3)方法一:随机变量 X 的分布列为:

X

0

1

2

3

4

5

P

32 243

80 243

80 243

40 243

10 243

1 243

故 E( X ) = 0 ×

32 32 32 32 32 32 5 + 1× + 2× + 3× + 4× + 5× = …12 分 243 243 243 243 243 243 3 1 5 方法二:因为 X ~ B (5, ) ,所以 E ( X ) = . …………12 分 3 3

18. 本小题满分 14 分) (本小题满分 解法一:(1) 证:取 CE 的中点 G , 连结 FG、BG . ∵ F 为 CD 的中点,∴ GF // DE 且 GF =

1 DE . 2 ∵ AB ⊥ 平面 ACD ,

DE ⊥ 平面 ACD , ∴ AB // DE , ∴ GF // AB . 1 又 AB = DE , 2 ∴ GF = AB . ∴四边形 GFAB 为平行四边形, 则 AF // BG . ∵ AF ? 平面 BCE , BG ? 平面 BCE , ∴ AF // 平面 BCE . ………… 4 分 (2) 证:∵ ?ACD 为等边三角形, F 为 CD 的中点, ∴ AF ⊥ CD ∵ DE ⊥ 平面 ACD , AF ? 平面 ACD , ∴ DE ⊥ AF . 又 CD I DE = D , 故 AF ⊥ 平面 CDE . ∵ BG // AF , ∴ BG ⊥ 平面 CDE . ∵ BG ? 平面 BCE , ∴平面 BCE ⊥ 平面 CDE . …………8 分]
用心 爱心 专心 -6-

(3) 解:在平面 CDE 内,过 F 作 FH ⊥ CE 于 H ,连 BH . ∵平面 BCE ⊥ 平面 CDE , ∴ FH ⊥ 平面 BCE . ∴ ∠FBH 为 BF 和平面 BCE 所成的角. …………10 分 设 AD = DE = 2 AB = 2a , 则 FH = CF sin 45° =

2 a, 2

BF = AB 2 + AF 2 = a 2 + ( 3a)2 = 2a ,
FH 2 .…………13 分 = BF 4 2 ………14 分 ∴直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为 4 解法二:设 AD = DE = 2 AB = 2a , 建立如图所示的坐标系 A ? xyz , 则 A( a , 0, 0) B (0, 0, a ) C (2 a , 0, 0)
在 R t△ FHB 中, sin ∠FBH =

D ( a, 3a, 0) E ( a, 3a, 2a )
∵ F 为 CD 的中点,∴ F ? (1) 证:

?3 ? 3 a, a, 0 ? . ?2 ? 2 ? ?

uuur ? 3 r uuu r ? uuu 3 AF = ? a, a, 0 ? , BE = a, 3a, a , BC = ( 2a, 0, ? a ) ?2 ? 2 ? ?

(

)



r r 1 uuu uuu BE + BC , AF ? 平面 BCE , 2 ∴ AF // 平面 BCE . …………4 分 uuu ? 3 r r uuu r ? uuu 3 (2) 证:∵ AF = ? a, a, 0 ? , CD = ? a, 3a, 0 , ED = ( 0, 0, ?2a ) , ?2 ? 2 ? ? uuur uuu r uuur uuu r ∴ AF ? CD = 0, AF ? ED = 0 , uuu uuu uuur uuu r r r ∴ AF ⊥ CD, AF ⊥ ED . uuu r ∴ AF ⊥ 平面 CDE ,又 AF // 平面 BCE , ∴平面 BCE ⊥ 平面 CDE . …………8 分
∵ AF =

uuur

(

)

(

)

(3) 解:设平面 BCE 的法向量为 n = ( x, y, z ) , 由 n ? BE = 0, n ? BC = 0 可得:

r

r uuu r

r uuu r

x + 3 y + z = 0, 2 x ? z = 0 , r 取 n = 1, ? 3, 2 .

(

)

…………10 分

又 BF = ? ?

uuu r

?3 ?2

a,

? 3 a, ? a ? , ? 2 ?

设 BF 和平面 BCE 所成的角为 θ ,

用心 爱心 专心

-7-

则 sin θ =

| BF ? n | | BF | ? | n |

=

2a 2 = . …………13 分 4 2a ? 2 2
2 . 4
………14 分

∴直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为 19. 本小题满分14分) (本小题满分 本小题满分1 解: (1)∵ y = x 3 ,∴ y′ = 3 x 2 .
3 若切点是 Qn ( an , an ) , 3 2 则切线方程为 y ? an = 3an ( x ? an ) .

…………………1 分

当 n = 1 时,切线过点 P0 (1, 0) ,
3 即: 0 ? a1 = 3a12 (1 ? a1 ) ,

依题意 a1 > 0 .所以 a1 =

3 . 2

…………………2 分

当 n > 1 时,切线过点 Pn ?1 ( an ?1 , 0) ,
3 2 即: 0 ? an = 3an ( an ?1 ? an ) ,

依题意 an > 0 ,所以 an =

3 an ?1 ( n > 1) . ………………3 分 2
n

3 3 ?3? 所以数列 {an } 是首项为 ,公比为 的等比数列.所以 an = ? ? . …………4 分 2 2 ?2?
(2)记 S n =

1 2 n ?1 n + +L + + , a1 a2 an ?1 an

因为

1 2 1 , = ? an 3 an ?1 2 1 2 n ?1 n . Sn = + + L + + 3 a2 a3 an an +1

所以

…………………5 分

两式相减, 得: S n =

1 3

1 1 1 n + +L + ? a1 a2 an an +1
2
n n +1

2 ?2? ?2? ?2? = + ? ? +L + ? ? ? n ? ? 3 ?3? ?3? ?3?

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2? ?2? ?1 ? ? ? 3? ?3? ? = 2 1? 3

n

? ? n +1 ? ? ? n? 2 ? ? ? ?3?

n +1 ? ? 2 ?n ? ?2? = 2 ?1 ? ? ? ? ? n ? ? . ?3? ? ?3? ? ? ?

…………………7 分

∴ Sn =

∑a
i =1

n

i

i

n +1 ? ? 2 ?n ? ?2? = 6 ?1 ? ? ? ? ? 3n ? ? ?3? ? ?3? ? ? ?

?2? = 6 ? 2(n + 3) ? ? . ?3? ? 1? (3)证法 1: an = ? 1 + ? ? 2?
n

n

…………………9 分

?1? ?1? 0 1 1 = Cn + Cn ? + Cn2 ? ? + L + Cnn ? ? 2 ?2? ?2?
n 0 1?1? > Cn + Cn ? ? = 1 + ( n ≥ 2) . 2 ?2?

2

n

…………………14 分

证法 2:当 n = 2 时,

9 5 2 ?3? a2 = ? ? = = 1 + > 1 + .…………………10 分 4 4 2 ?2?
假设 n = k 时,结论成立, 即 ak > 1 + 则 ak +1 =

2

k , 2

3 3? k ? 1 3 k 1 k k +1 .] ak > ? 1 + ? = 1 + + ? > 1 + + = 1 + 2 2? 2? 2 2 2 2 2 2

即 n = k + 1 时.

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-9-

k +1 . 2 n 综上, an > 1 + 2 ak +1 > 1 +
对 n ≥ 2, n ∈ N 都成立. 20. 本小题满分14分) (本小题满分14分 本小题满分14 解: (1)Q NP = 2 NQ,∴ ∴点 Q 为 PN 的中点, 又Q GQ ? NP = 0 ,
?

…………………13 分

…………………14分

uuu r

uuur

uuur uuu r

∴ GQ ⊥ PN 或 G 点与 Q 点重合.
∴ | PG |=| GN | . …………2 分

又 | GM | + | GN |=| GM | + | GP |=| PM |= 4. ∴点 G 的轨迹是以 M , N 为焦点的椭圆, 且 a = 2, c = 1 , ∴b =

a 2 ? c 2 = 3,∴ G x2 y 2 + = 1. 4 3

∴G 的轨迹方程是

…………6 分

(2)解:不存在这样一组正实数, 下面证明: 由题意,若存在这样的一组正实数, 当直线 MN 的斜率存在时,设之为 k , 故直线 MN 的方程为: y = k ( x ? 1) ,设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , AB 中点 D ( x0 , y0 ) , …………7 分

? x12 y12 + =1 ? ? 4 3 则? ,两式相减得: x2 2 y2 2 ? + =1 ? 4 3 ?

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- 10 -

( x1 ? x2 )( x1 + x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 + y2 ) + = 0 .…………9 分 4 3
y1 ? y2 1 =? , x1 ? x2 k

注意到

x1 + x2 ? ? x0 = 2 3x 1 ? 且? ,则 0 = , y1 + y2 4 y0 k ?y = ? 0 ? 2
又点 D 在直线 MN 上,



∴ y0 = k ( x0 ? 1) ,
代入②式得: x0 = 4 . 因为弦 AB 的中点 D 在⑴所给椭圆 C 内, 故 ?2 < x0 < 2 ,这与 x0 = 4 矛盾, 所以所求这组正实数不存在. 当直线 MN 的斜率不存在时, 直线 MN 的方程为 x = 1 , 则此时 y1 = y2 , x1 + x2 = 2 , 代入①式得 x1 ? x2 = 0 , 这与 A, B 是不同两点矛盾.综上,所求的这组正实数不存在. 21. 本小题满分 14 分) (本小题满分 解:(1)根据函数解析式得 ? …………14 分 …………13 分

?x +1 > 0 , ?x +1 ≠ 1

解得 x > ?1 且 x ≠ 0 .

∴ 函数 f ( x ) 的定义域是 { x x ∈ R, x > ?1且x ≠ 0} . …………3 分
(2)Q f ( x) =

1 , ( x + 1) ln( x + 1)

∴ f ′( x) = ?

ln( x + 1) + 1 ……………………5 分 ( x + 1) 2 ln 2 ( x + 1)

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由 f ′( x ) > 0 得 ln( x + 1) + 1 < 0.

∴ ?1 < x < e ?1 ? 1.
∴ 函数 f ( x ) 的增区间为 (?1, e ?1 ? 1) .
(3)Q e ? 1 < x < 0,
?1

…………………………8 分

∴ e ?1 < x + 1 < 1. ∴ ?1 < ln( x + 1) < 0. ∴ ln( x + 1) + 1 > 0
∴ 当 e ?1 ? 1 < x < 0 时,

f ′( x) = ?

ln( x + 1) + 1 < 0. ( x + 1) 2 ln 2 ( x + 1)

∴ 在区间 ( ?1, 0 ) 上,
当 x = e ?1 ? 1 时, f ( x ) 取得最大值.

∴[ f ( x) ]最大 = f (e ?1 ? 1) = ?e .……………………………10 分

Q 2 x +1 > ( x + 1)m 在 ?1 < x < 0 时恒成立.
∴ 1 ln 2 > m ln( x + 1) 在 ?1 < x < 0 时恒成立. x +1 ln 2 在 ?1 < x < 0 时恒成立. ( x + 1) ln( x + 1)

1

∴m >

Q

ln 2 在 ?1 < x < 0 时的最大值等于 ?e ln 2 . ( x + 1) ln( x + 1)
1

∴ m > ?e ln 2.
∴ 当 m > ?e ln 2 时,不等式 2 x +1 > ( x + 1) m 在 ?1 < x < 0
时恒成立.……… 14 分

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