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青海师范大学附属第二中学高中数学 3.1.1-3.1.2 函数的平均变化率 瞬时速度与导数导学案 新人教A版选修1-1

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3.1.1 函数的平均变化率 3.1.2 瞬时速度与导数

【学习要求】1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.

3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.

【学法指导】导数是研究函数的有力工具,要认真理解平均变化率、瞬时变化率的概念,可以从物理和几

何两种角度理解导数的意义,深刻体会无限逼近的思想.

1. 函数的变化率

定义

实例

平均变 化率

函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为

作:Δ Δ

y x

,简记 ①平均速度;②曲 线割线的斜率

函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是函数 f(x)从 x0 到 x0

瞬 时 变 +Δ x 的平均变化率在 Δ x→0 时的极限,即

化率

=limΔΔ

y x

Δ x→0

2.函数 f(x)在 x=x0 处的导数

①瞬时速度:物体 在某一时刻的速 度;②切线斜率

函数 y=f(x)在 x=x0 处的

称为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,

记作

,即 f′( x0)=lim
Δ x→0

Δ Δ

y x=

.

引言 那么在数学中怎样来刻画变量变 化得快与慢呢?

探究点一 平均变化率的概念

问题 1 气球膨胀率 我们都吹过气球,回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增

加,气球的半径增加得 越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢?

问题 2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位:m)与起跳后的时间 t(单位:

s)存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.计算运动员在下列时间段内的平均速度 v ,并思考平均速度有

什么作用?(1)0≤t≤0.5,(2)1≤t≤2.

问题 3 什 么是平均变化率, 平均变化率有何作用?

问题 4

平 均变化率也可以用式子Δ Δ

yx表示,其中

Δ

y、Δ

x

的意义是什么?Δ Δ

yx有什么几何意义?

例 1 已知函数 f(x)=2x2+3x-5.

(1)求当

x1=4,且

Δ

x=1

时,函数增量

Δ

y

和平均变化率ΔΔ

y x;

(2)求当

x1=4,



Δ

x=0.1

时,函数增量

Δ

y

和平均变化率Δ Δ

yx;

(3)若设 x2=x1+Δ x.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义. 跟踪 1 (1)计算函数 f(x)=x2 从 x=1 到 x=1+Δ x 的平均变化率,其中 Δ x 的值为

①2;②1;③0.1;④0.01.

(2)思考:当|Δ x|越来越小时,函数 f(x)在区间 [1,1+Δ x]上的平均变化率有怎样的变化趋势?

探究点二 函数在某点处的导数 问题 1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态? 问题 2 如何描述物体在某一时刻的运动状态?
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问题 3 导数和瞬时变化率是什么关系?导数有什么作用? 例 2 利用导数的定义求函数 f(x)=-x2+3x 在 x=2 处的导数.

跟踪 2 求函数 f(x)=3x2-2x 在 x=1 处的导数.
例 3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第 x h 时,原油 的温度(单位:℃)为 y=f (x)=x2-7x+15(0≤x≤8).计算第 2 h 和第 6 h 时,原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
跟踪 3 高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位:m)与起跳后的时间 t(单位:s)之间的关系式 为 h(t)=-4.9t2+6.5t+10,求运动员在 t=9685 s 时的瞬时速度,并解释此时的运动状况.

【达标检测】

1.在导数的定义中,自变量的增量 Δ x 满足

()

A.Δ x<0

B.Δ x>0

C.Δ x=0

D.Δ x≠0

2.函数 f(x)在 x0 处可导,则lim f

x0+h -f h

x0

h→0

()

A.与 x0、h 都有关

B.仅与 x0 有关,而与 h 无关

C.仅与 h 有关,而与 x0 无关

D.与 x0、h 均无关

3.已知函数

f(x)=2x2-1

的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δ

x,1+Δ

y),则ΔΔ

y x等于(

)

A .4

B.4x

C.4 +2Δ x

D.4+2(Δ x)2

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