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第2章 2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布(2)


第二章 统 计

§2.2 用样本估计总体
2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布(二)

本节知识目录

2.2.1(二)

用样本

明目标、知重点

的频率
分布估
填要点、记疑点 探究点一 探要点、究所然 探究点二 当堂测、查疑缺 频率分布折线图、总体 密度曲线的概念 茎叶图

计总体
分布

(二)

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2.2.1(二)

1.了解频率折线图和总体密度曲线的定义. 2.理解茎叶图的概念,会列频率分布折线图、茎叶图. 3.了解频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征,会 选择上述方法分析样本的分布做出总体估计.

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1.频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图 连接频率分布直方图中各小长方形 上端的中点 ,就得到了频率分布折线图. (2)总体密度曲线 随着样本容量的增加,作图时所分的 组数 增加,组距减小,相应的频率分布折线 图就会越来越接近于一条 光滑曲线 , 统计中称之为总体密度曲线, 它反映了总体 在各个范围内取值的百分比.

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2.茎叶图 (1)适用范围:当样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好. (2)优点:它不但可以 保留所有信息 ,而且可以 随时记录 ,给数据的记录和表 示都带来方便. (3)缺点:当样本数据 较多 时,枝叶就会很长,茎叶图就显得不太方便.

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探究点一:频率分布折线图、总体密度曲线的概念
思考 1 如下图,在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中,各 组数据的平均值大致是哪些数?

答 大致是这小长方形下端的中点的横坐标,即 0.25,0.75,1.25,1.75,2.25,2.75, 3.25,3.75,4.25.
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探究点一:频率分布折线图、总体密度曲线的概念

思考 2

在频率分布直方图中,依次连接各小长方形上端的中点,就得到一条

折线, 这条折线称为频率分布折线图, 你认为频率分布折线图能大致反映样 本数据的频率分布吗?
答 由于折线图是取了长方形上端的中点,即每一组数据平均值对应的频率,所

以能大致反映样本数据的频率分布.

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探究点一:频率分布折线图、总体密度曲线的概念

思考 3

当总体中的个体数很多时(如抽样调查全国城市居民月均用水量),随

着样本容量增加,作图时所分的组数增多,组距减少,你能想象出相应的频 率分布折线图会发生什么变化吗?
答 由于组数的增多,组距减少,长方形上端中点的数量增多,且相距越近,各

相邻长方形上端中点的折线越短,折线变得近似于曲线.

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探究点一:频率分布折线图、总体密度曲线的概念
思考 4

在上述背景下,相应的频率分布折线图越来越接近于一条光滑曲线,

统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线. 那么下图中阴影部分的面积有何实 际意义?

答 图中阴影部分的面积,就是总体在区间(a,b)内的取值的百分比.
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探究点一:频率分布折线图、总体密度曲线的概念

思考 5

对于一个总体,如果存在总体密度曲线,能否通过样本数据准确地画

出总体密度曲线?为什么?
答 不能.由于频率分布折线图是随着随机抽取的样本、样本的容量和分组情况

的变化而变化的,因此不能由样本的频率分布折线图得到准确的总体密度曲线.

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2.2.1(二)

探究点二:茎叶图
问题

某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下:

甲运动员得分:13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39; 乙运动员得分:49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39.

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探究点二:茎叶图
思考 1 你能理解这个图是如何记录这些数据的吗?你能通过该图说明哪个

运动员的发挥更稳定吗?
答 中间的数字表示得分的十位数,旁边的数字分别表示两个人得分的个位 数.从图中看出乙运动员的发挥更稳定.

思考 2 在统计中,思考 1 中的图叫做茎叶图,它也是表示样本数据分布情况

的一种方法,那么“茎”、“叶”分别指的是哪些数?
答 茎是指中间的一列数,叶就是从茎的旁边生长出来的数.

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探究点二:茎叶图

茎叶图的定义: 当数据是两位有效数字时, 用中间的 数字表示十位数, 即第一个有效数字, 两边的数字表示个 位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两 边部分像植物茎上长出来的叶子, 因此通常把这样的图叫 做茎叶图.
小结

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探究点二:茎叶图

思考 3 何?

一般地,画出一组样本数据的茎叶图的步骤如

答 第一步,将每个数据分为“茎”(高位)和“叶”(低位)两部分;

第二步,将最小的茎和最大的茎之间的数按大小次序排成一列,写在左 (右) 侧; 第三步,将各个数据的叶按次序写在茎右(左)侧.

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2.2.1(二)

探究点二:茎叶图
思考 4 你认为用茎叶图表示数据的分布情况有哪些优点?又有什么缺陷?
答 优点:(1)保留了原始数据,没有损失样本信息;(2)数据可以随时记录、添加 或修改;(3)可以帮助分析样本数据的大致频率分布,还可以用来分析样本数据的 一些数字特征. 缺陷:茎叶图只方便记录两组的数据,两组以上的数据虽然能够记录,但是没有 表示两组记录那么直观、清晰.

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2.2.1(二)

探究点二:茎叶图
例1

某中学甲、乙两名同学最近几次的数学考试成绩情况如下:

甲的得分:95,81,75,89,71,65,76,88,94,110,107; 乙的得分:83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101. 画出两人数学成绩的茎叶图,并根据茎叶图对两人的成绩进行比较.
解 甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示.

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2.2.1(二)

探究点二:茎叶图

从这个茎叶图上可以看出,乙同学的得分情况是大致对称的,中位数是98分;甲同 学的得分情况除一个特殊得分外,也大致对称,中位数是88分,但分数分布相对于 乙来说,趋向于低分阶段.因此乙同学发挥比较稳定,总体得分情况比甲同学好.
反思与感悟 茎叶图和频率分布表极为类似,事实上,茎相当于频率分布表中的分 组;茎上叶的数目相当于频率分布表中指定区间组的频率.

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探究点二:茎叶图
跟踪训练1 下面是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图,据下图可知 ( )

A.甲运动员的成绩好于乙运动员 C.甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异
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B.乙运动员的成绩好于甲运动员 D.甲运动员的最低得分为0分
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探究点二:茎叶图

解析 从茎叶图上看,由于甲运动员的成绩多数集中在31以上,而乙运动员的成绩 集中在12到29之间,所以甲运动员成绩较好.
答案 A

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探究点二:茎叶图
例2 甲、乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示,若甲、乙两 ( )

人的平均成绩分别是x甲,x乙,则下列正确的是

A.x甲>x乙;乙比甲成绩稳定 C.x甲<x乙;乙比甲成绩稳定
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B.x甲>x乙;甲比乙成绩稳定 D.x甲<x乙;甲比乙成绩稳定
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2.2.1(二)

探究点二:茎叶图

解析 从茎叶图可知,甲五次成绩中一次茎为8,一次茎为9,而乙五次成绩中,茎 8和茎9各两次,故可知x甲<x乙,乙比甲成绩稳定.
答案 C
反思与感悟 从茎叶图观察比较甲、乙成绩哪个稳定的问题,主要是看它们的成绩

的分布,如果相对集中在中位数附近,则成绩稳定,如果分散,则成绩不稳定.

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探究点二:茎叶图
跟踪训练2 某校举行演讲比赛,9位评委给选手A打出的分数如茎叶图所示,统计

员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为91,复核员在复核时,发现有 一个数字(茎叶图中的x)无法看清,若统计员计算无误,则数字x应该是 ( )

A.5

B. 4

C.3

D.2

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探究点二:茎叶图

解析 去掉最低分87,去掉最高分94(假设x≤4), 则7×91=80×2+9+8+90×5+2+3+2+1+x,
∴x=2,符合题意.

同理可验证x>4不合题意. 答案 D

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2

3

4

2.2.1(二)
( )

1.如下图是总体密度曲线,下列说法正确的是

A.组距越大,频率分布折线图越接近于它 B.样本容量越小,频率分布折线图越接近于它 C.阴影部分的面积代表总体在(a,b)内取值的百分比 D.阴影部分的平均高度代表总体在(a,b)内取值的百分比

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1

2

3

4

2.2.1(二)
( C )

1.如下图是总体密度曲线,下列说法正确的是

A.组距越大,频率分布折线图越接近于它 B.样本容量越小,频率分布折线图越接近于它 C.阴影部分的面积代表总体在(a,b)内取值的百分比 D.阴影部分的平均高度代表总体在(a,b)内取值的百分比

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2.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数 和平均数分别是 ( )

A.91.5和91.5

B.91.5和92

C.91和91.5

D.92和92

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2

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2.2.1(二)

2.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数 和平均数分别是 (A )

A.91.5和91.5

B.91.5和92

C.91和91.5

D.92和92

91+92 解析 87 89 90 91 92 93 94 96的中位数= 2 =91.5,
87+89+90+91+92+93+94+96 平均数= =91.5. 8
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3.随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高 数据的茎叶图如图.

根据茎叶图判断________班的平均身高较高.

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2.2.1(二)

3.随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高 数据的茎叶图如图.

乙 班的平均身高较高. 根据茎叶图判断________
解析 由茎叶图可知:甲班身高集中于160~179之间,而乙班身高集中于170~ 180之间.因此乙班平均身高高于甲班.
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4.甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图,中间一列的数字 表示零件个数的十位数,两边的数字表示零件个数的个位数,则这10天甲、乙两 人日加工零件的平均数分别为________和________.

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2.2.1(二)

4.甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图,中间一列的数字 表示零件个数的十位数,两边的数字表示零件个数的个位数,则这10天甲、乙两

24 23 . 人日加工零件的平均数分别为________ 和________

解析

1 x 甲=10(10×2+20×5+30×3+17+6+7)=24,

1 x 乙=10(10×3+20×4+30×3+17+11+2)=23.
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2.2.1(二) 呈重点、现规律
1.总体的分布分两种情况:当总体中的个体取值很少时,用茎叶图估计总体的分布; 当总体中的个体取值较多时,将样本数据恰当分组,用各组的频率分布描述总体的 分布,方法是用频率分布表或频率分布直方图. 2.茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的.茎叶 图由所有样本数据构成,没有损失任何样本信息,可以在抽样的过程中随时记录; 而频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息,必须在完成抽样后才能 制作. 3.正确利用三种分布的描述方法,都能得到一些有关分布的主要特点(如分布是否具有 单峰性、是否具有对称性、样本点落在各分组中的频率等),这些主要特点受样本的 随机性的影响比较小,更接近于总体分布的相应的特点.
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2.2.1(二)

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