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广东省2012届高三数学全真模拟卷15 理


广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 15
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 选择题: 项是符合题目要求的. 是符合题目要求的. 1.若将复数 A.0

1+ i 表示为 a + bi(a,b∈R,i 是虚数单位)的形式,则 a + b= 1? i
B.1 C.-1 D.2

2 2.已知 p: x + 1 ≤ 4 ,q: x < 5 x ? 6 ,则 p 是 q 成立的

A.必要不充分条件 C.充要条件

B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

3.已知 {a n } 是等差数列, a 4 = 15 , S 5 = 55 ,则过点 P (3, a3 ), Q (4, a4 ) 的直线的斜率 A.4
x

B.

1 4

C.-4

D.-14

4.已知 f ( x ) = a + b 的图象如图所示,则 f ( 3) = A. 2 2 ? 2 C. 3 3 ? 3

B.

3 ?3 9

D. 3 3 ? 3 或 ?3 3 ? 3

5.已知直线、 m ,平面 α、β ,则下列命题中假命题是 A.若 α // β , l ? α ,则 l // β C.若 l // α , m ? α ,则 l // m D.若 α ⊥ β , α ∩ β = l , m ? α , m ⊥ l ,则 m ⊥ β 6.2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别 从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余 三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 A.36 种 B.12 种 C.18 种 D.48 种 : 7.设向量 a 与 b 的夹角为 θ ,定义 a 与 b 的“向量积” a×b 是一个向量,它的模 B.若 α // β , l ⊥ α ,则 l ⊥ β

r

r

r

r

r r

r r r r r r r r a × b = a ? b ? sin θ ,若 a = ? 3, ?1 , b = 1, 3 ,则 a × b =

(

)

(

)

A. 3

B.2

C. 2 3

D.4

8.已知函数: f ( x) = x 2 + bx + c ,其中: 0 ≤ b ≤ 4,0 ≤ c ≤ 4 ,记函数 f (x ) 满足条件:

? f (2) ≤ 12 为事件为 A,则事件 A 发生的概率为 ? ? f (?2) ≤ 4

用心 爱心 专心

-1-

A.

1 4

B.

5 8

C.

3 8

D.

1 2

小题, 题是必做题,14~ 题是选做题, 二、填空题:本大题共 7 小题,其中 9~13 题是必做题,14~15 题是选做题,每小题 5 分, 填空题: 满分 30 分.
2 5 9. (1 + x )(1 ? x) 展开式中 x 的系数为_________.
3

10.两曲线 x ? y = 0 , y = x ? 2 x 所围成的图形的面积是_________.
2

11. 以点 A( 0 , 5 ) 为圆心、 双曲线

x2 y2 ? = 1 的渐近线为切线的圆的标准方程是_________. 16 9

12.已知函数 f ( x) = ?

?2 x ( x > 0)

, 则f (?8) =_________. ? f ( x + 3)( x ≤ 0)
3 8 8 15 4 ,…若 15 6+ a = 4 t a , a, t 均为 ( t

13.已知 2 + 2 = 2 2 , 3 + 3 = 3 3 , 4 + 4 = 4
3

正实数) ,则类比以上等式,可推测 a, t 的值, a + t =



▲选做题:在下面两道小题中选做一题,两题都选的只计算前两题的得分. 选做题:在下面两道小题中选做一 选做题 题都选的只计算前两题的得分. 14. (坐标系与参数方程选做题)若直线 l1 : ? 为参数)垂直,则 k = .

? x = 1 ? 2t , ? x = s, (t为参数) 与直线 l2 : ? (s y = 2 + kt. y = 1 ? 2 s. ? ?

15.(几何证明选讲选做题)点 A, B , C 是圆 O 上的点, 且 AB = 4, ∠ACB = 450 ,则圆 O 的 面积等于_____.

小题, 解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 解答题: 16. (本小题满分 12 分)已知向量 a = ( 2 cos 2 x, 3 ) , b = (1, sin 2 x) ,函数 f ( x ) = a ? b ,
?→ ?→

r r

g ( x) = b .
(Ⅰ)求函数 g (x ) 的最小正周期; (Ⅱ)在 ? ABC 中, a , b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 f (C ) = 3 , c = 1 , ab = 2 3 ,且

?→ 2

a > b ,求 a, b 的值.
17. (本小题满分 12 分) 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流 水线上 40 件产品作为样本,称出它们的重量(单位:克) ,重量的 分组区间为 (490,495] , (495,500] ,…, (510,515] ,由此得到样 本的频率分布直方图,如右图所示. (1)根据频率分布直方图,求重量超过 505 克的产品数量.
-2-

用心 爱心 专心

(2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件,设 Y 为重量超过 505 克的产品数量,求 Y 的分布列. (3)从流水线上任取 5 件产品,求恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率.

18. (本小题满分 14 分) 如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点,

CA = CB = CD = BD = 2 , AB = AD = 2.
(1) 求证: AO ⊥ 平面 BCD; (2) 求异面直线 AB 与 CD 所成角余弦的大小; (3) 求点 E 到平面 ACD 的距离. 19. (本小题满分 14 分)

y2 已知椭圆 x + 2 = 1(0 < b < 1) 的左焦点为 F, 左右顶点分别为 A,C 上顶点为 B, F,B,C 过 b
2

三点作

P ,其中圆心 P 的坐标为 ( m, n) .(1) 若椭圆的离心率 e =
P 的圆心在直线 x + y = 0 上,求椭圆的方程.
r r

3 ,求 P 的方程; 2

(2)若

20. (本小题满分 14 分) 已知向量 a = ( x 2 ? 3,1), b = ( x, ? y ) , (其中实数 y 和 x 不同时为零) ,当 | x |< 2 时,有

r r r r a ⊥ b ,当 | x |≥ 2 时, a // b .
(1) 求函数式 y = f ( x ) ; (2)求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (3)若对 ?x ∈ ( ?∞, ?2] U[2, +∞ ) ,都有 mx 2 + x ? 3m ≥ 0 ,求实数 m 的取值范围. 21. (本小题满分 14 分)
2 设数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,并且满足 2 S n = a n + n , a n > 0 (n∈N*).

(Ⅱ)猜想{ a n }的通项公式,并加以证明; (Ⅰ)求 a1 , a 2 , a 3 ; (Ⅲ)设 x > 0 , y > 0 ,且 x + y = 1 , 证明: a n x + 1 +

a n y + 1 ≤ 2(n + 2) .
参考答案
-3-

用心 爱心 专心

小题, 一.选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 选择题:本大题考查基本知识和基本运算.

1.B

2.A

3.A

4.C

5.C

6.A

7.B

8.D

1.选 B.提示:

1+ i = i,∴ a = 0, b = 1 . 1? i
p : [? 5,3], q : (2,3) .

2.选 A.提示:

3.选 A.提示: S 5

= 5a3 = 55,∴ a3 = 11, k =

a 4 ? a3 = 15 ? 11 = 4 . 4?3

4.选 C.提示: 根据f (2) = 0,

f (0) = ?2, 得a = 3 , b = ?3 .

5.选 C.提示:l 与 m 可能异面. 6.选 A.提示: A32 × A32 = 36 . 7.选 B.提示: a = b = 2, cos θ =

?2 3 3 1 =? , sin θ = . 4 2 2

1 × 4× 4 1 2 = . 8.选 D.提示: P = 4× 4 2
本大题考查基本知识和基本运算. 本大题共 7 小题, 小题, 题是必做题, 14~ 二.填空题: 填空题: 本大题考查基本知识和基本运算. 其中 9~13 题是必做题, ~ 14 题是选做题. 15 题是选做题.每小题 5 分,满分 30 分.其中第 11 题中的第一个空为 2 分,第二个空为 3 分. 9. ?15 13. 41

9 2 14. ?1
10.
3

11. x 2 + ( y ? 5) 2 = 16 15. 8π
1 3

12. 2

9. ?15 .提示: ( ?C 5 ? C 5 ) x .
3 9 9 2 .提示: 面积 S = ∫ x ? ( x ? 2 x ) dx = . 0 2 2

10.

11. x 2 + ( y ? 5) 2 = 16 . 提示:根据圆心到直线的距离等于半径求出 r=4 12.2 提示: f ( ?8) = f ( ?5) = f ( ?2) = f (1) = 2 . 13. 41 .提示: a = 6, t = a 2 ? 1 = 35 . 14. ?1 .提示:化为普通方程求解.
用心 爱心 专心 -4-

15. 8π .提示: 连接 OA,OB, ∠BOA = 90 ,∴ r = OA = OB = 2 2 .
0

小题, 解答应写出文字说明.演算步骤或推证过程. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明.演算步骤或推证过程. 解答题: 16. 本小题满分 12 分) (本小题满分 (Ⅰ) g ( x ) = b = 1 + sin 2 2 x = 1 + 解: ∴函数 g (x ) 的最小周期 T =

r2

2π π = 4 2

1 ? cos 4 x 1 3 = ? cos 4 x + 2 2 2

…………2 分

……………4 分

(Ⅱ) f ( x ) = a ? b = (2 cos 2 x, 3) ? (1,sin 2 x)

r r

= 2 cos 2 x + 3 sin 2 x = cos 2 x + 1 + 3 sin 2 x

π ……………6 分 = 2 sin(2 x + ) + 1 6 π π ………………7 分 f (C ) = 2 sin( 2C + ) + 1 = 3 ∴ sin(2C + ) = 1 6 6 π π 13π π π Q C 是三角形内角, ∴ 2C + ∈ ( , ) , ∴ 2C + = 6 6 6 6 2 π 即: C = …………8 分 6
b2 + a2 ? c2 3 ∴ cos C = = 2ab 2
即: a 2 + b 2 = 7 …………………10 分

将 ab = 2 3 可得: a 2 + ∴a =

12 = 7 解之得: a 2 = 3或4 , 2 a 3 时, b = 2 ;

3或2

所以当 a =

当 a = 2,b =

3, 3 . …………12 分

Qa>b

∴a = 2 ,b =

17. 本小题满分 12 分) (本小题满分 (1)根据频率分步直方图可知,重量超过 505 克的产品数量为 解: .………… 4 分 [(0.01 + 0.05) × 5] × 40 = 12 (件) (2) Y 的可能取值为 0,1,2. ………… 5 分

P (Y = 0) =

2 C28 63 C1 C 1 56 = . P (Y = 1) = 28 2 12 = . 2 C40 130 C40 130 2 C12 11 = .………… 8 分 2 C40 130

P (Y = 2) =

用心 爱心 专心

-5-

Y 的分布列为 Y P
0

………… 9 分

1

2

63 130

56 130

11 130

(3)利用样本估计总体,该流水线上产品重量超过 505 克的概率为 0.3. 令 ξ 为任取的 5 件产品中重量超过 505 克的产品数量, 则ξ

B (5,0.3) ,故所求概率为:

P (ξ = 2) = C52 (0.3) 2 (0.7)3 = 0.3087 .………… 12 分
18. 本小题满分 14 分) (本小题满分 解:(1) 证明:连结 OC,

Q BO = DO, AB = AD,

∴ AO ⊥ BD

………… 1 分

Q BO = DO, BC = CD , CO ⊥ BD . ……… 2 分
在 ?AOC 中, 由已知可得 AO = 1, CO =

3.

…………3 分

而 AC = 2 , ∴ AO 2 + CO 2 = AC 2 , ∴ ∠AOC = 90o , 即 AO ⊥ OC.

……… 4 分

………………… 5 分

Q BD I OC = O, ∴ AO ⊥ 平面 BCD . …………… 6 分
(2) 解:以 O 为原点,如图建立空间直角坐标系, 则 B (1, 0, 0), D ( ?1, 0, 0),

1 3 C (0, 3, 0), A(0, 0,1), E ( , , 0), 2 2
uuu r uuu r BA = (?1, 0,1), CD = ( ?1, ? 3, 0) uuu uuu r r uuu uuu r r BA ? CD 2 ∴ cos < BA, CD >= uuu uuu = ,…………… r r 4 BA ? CD

9分

∴ 异面直线 AB 与 CD 所成角余弦的大小为

2 .…… 4

10 分

(3) 解:设平面 ACD 的法向量为 n = ( x, y, z ), 则
用心 爱心 专心 -6-

r

r uuur ?n ? AD = ( x, y, z ) ? (?1, 0, ?1) = 0 ?x + z = 0 ? ? ,∴ ? , ? r uuur ? 3y ? z = 0 ?n ? AC = ( x, y, z ) ? (0, 3, ?1) = 0 ? ? r 令 y = 1, 得 n = ( ? 3,1, 3) 是平面 ACD 的一个法向量.
又 EC = ( ?

uuu r

1 3 , , 0), 2 2

∴点 E 到平面 ACD 的距离

uuu r r EC ? n 3 21 .……… h= r = = 7 7 n

14 分

(3) (法二)解:设点 E 到平面 ACD 的距离为 h .

QVE ? ACD = VA?CDE ,
∴ h ? S ?ACD =

1 3

1 ? AO ? S ?CDE 3

…………………………12 分

在 ?ACD 中, CA = CD = 2, AD = ∴ S ?ACD =

2,

1 2 7 , × 2 × 22 ? ( ) 2 = 2 2 2 1 3 2 3 . × ×2 = 2 4 2

而 AO = 1 , S ?CDE =

∴h =

AO ? S ?CDE = S ?ACD



3 2 = 21 , 7 7 2 21 …………… 14 分 7

∴点 E 到平面 ACD 的距离为

19. 本小题满分 14 分) (本小题满分 (1)当 e = 解:

3 2

y

时,

B(0,b)

∵ a = 1 ,∴ c =

3 , 2 3 1 1 = ,b = , 4 4 2

x A(-1 ,0) F(-c,0) o C(1,0)

∴ b2 = a2 ? c 2 = 1 ? 点 B (0, ) , F ( ?

1 2

3 , 0) , C (1, 0) …………………… 2 分 2
用心 爱心 专心 -7-



P 的方程为 ( x ? m) 2 + ( y ? n) 2 = r 2 ,
1 P 过点 F,B,C 得∴ m 2 + ( ? n) 2 = r 2 2





(m +

3 2 ) + n2 = r 2 2



(1 ? m) 2 + n 2 = r 2
由①②③联立解得:

③ …………………… 5 分

m=

2? 3 1? 2 3 5 ,n = , r2 = 4 4 4 P 的方程为

…………………… -7 分

∴所求的

(x ?
(2)∵

2? 3 2 1? 2 3 2 5 ) + (y ? ) = ………………… 8 分 4 4 4 P 过点 F,B,C 三点,

∴圆心 P 既在 FC 的垂直平分线上, 也在 BC 的垂直平分线上, FC 的垂直平分线方程为 x =

1? c 2



………… 9 分

∵BC 的中点为 ( , ) , k BC = ?b ∴BC 的垂直平分线方程为 y ? 由④⑤得 x =

1 b 2 2

b 1 1 = (x ? ) 2 b 2

⑤ ……… 10 分

1? c b2 ? c ,y= , 2 2b

即m =

1? c b2 ? c ,n = 2 2b

…………………… 11 分

∵ P ( m, n ) 在直线 x + y = 0 上,



1 ? c b2 ? c + = 0 ? (1 + b)(b ? c ) = 0 2 2b

∵ 1+ b > 0 ∴ b = c ,由 b 2 = 1 ? c 2 得 b2 =

1 2

…………………… 13 分

2 2 ∴ 椭圆的方程为 x + 2 y = 1

…………………… 14 分
用心 爱心 专心 -8-

20. 本小题满分 14 分) (本小题满分 (1)当 | x |< 2 时,由 a ⊥ b 解: 得 a ? b = ( x 2 ? 3) x ? y = 0 ,

r

r

r r

y = x3 ? 3 x ; | x |< 2 且 x ≠ 0 )------------------------------------2 分 (
当 | x |≥ 2 时,由 a // b . 得y=?

r r

x x ?3
2

--------------------------------------4 分

? x 3 ? 3 x, (?2 < x < 2且x ≠ 0) ? ---------------------5 分 ∴ y = f ( x) = ? x .( x ≥ 2或x ≤ ?2) ? 2 ?3 ? x
(2)当 | x |< 2 且 x ≠ 0 时, 由 y ' = 3 x 2 ? 3 <0, 解得 x ∈ ( ?1, 0) U (0,1) ,----------------6 分 当 | x |≥ 2 时,

(3 ? x 2 ) ? x(?2 x) 3 + x2 y' = = >0 (3 ? x 2 )2 (3 ? x 2 ) 2

------------------------------8 分

∴函数 f ( x ) 的单调减区间为(-1,0)和(0,1) -------------9 分 (3)对 ?x ∈ ( ?∞, ?2] U[2, +∞ ) , 都有 mx 2 + x ? 3m ≥ 0 即 m( x 2 ? 3) ≥ ? x , 也就是 m ≥

x 3 ? x2

对 ?x ∈ ( ?∞, ?2] U[2, +∞ ) 恒成立,----------------------------------11 分 由(2)知当 | x |≥ 2 时,

f '( x) =

(3 ? x 2 ) ? x(?2 x) 3 + x2 = >0 (3 ? x 2 ) 2 (3 ? x 2 )2
用心 爱心 专心 -9-

∴ 函数 f ( x ) 在 ( ? ∞, ? 2] 和 [2,+∞ ) 都单调递增----------------------12 分 又 f ( ?2) =

当 x ≤ ?2 时

?2 2 = 2 , f (2) = = ?2 3? 4 3? 4

f ( x) =

x >0, 3 ? x2

∴当 x ∈ (?∞, ?2] 时,

0 < f ( x) ≤ 2
同理可得,当 x ≥ 2 时, 有 ?2 ≤ f ( x ) < 0 , 综上所述得, 对 x ∈ (?∞, ?2] U[2, +∞ ) ,

f ( x ) 取得最大值 2;
∴ 实数 m 的取值范围为 m ≥ 2 .----------------------14 分

21. 本小题满分 14 分) (本小题满分

?2a1 = a12 + 1 ? 2 (Ⅰ)分别令 n = 1 ,2,3,得 ?2(a1 + a 2 ) = a 2 + 2 解: ? 2 ?2(a1 + a 2 + a3 ) = a3 + 3
∵ an > 0 , ∴ a1 = 1 , a 2 = 2 , a 3 = 3 (Ⅱ)证法一: 猜想: a n = n , 由
2 2S n = an + n

…………………3 分

……………………4 分



可知,当 n ≥2 时,
2 2 S n ?1 = a n ?1 + ( n ? 1)



①-②,得

2 2 2a n = a n ? a n ?1 + 1 ,

2 2 即 a n = 2a n + a n ?1 ? 1 .

………………6 分

1)当 n = 2 时,
- 10 -

用心 爱心 专心

2 a 2 = 2 a 2 + 12 ? 1 ,

∵ a2 > 0 , ∴ a2 = 2 ; ……………7 分

2)假设当 n = k ( k ≥2)时, a k = k . 那么当 n = k + 1 时,
2 a k +1 = 2a k +1 + a k2 ? 1 = 2a k +1 + k 2 ? 1

? [a k +1 ? (k + 1)][a k +1 + (k ? 1)] = 0 ,
∵ a k +1 > 0 , k ≥2, ∴ a k +1 + ( k ? 1) > 0 , ∴ a k +1 = k + 1 . 这就是说,当 n = k + 1 时也成立, ∴ a n = n ( n ≥2). 显然 n = 1 时,也适合. 故对于 n∈N*,均有 a n = n . 证法二:猜想: a n = n , 1)当 n = 1 时, a1 = 1 成立; 2)假设当 n = k 时, a k = k . ……………………9 分

……………………………4 分

……………………………5 分

…………………………6 分

2 那么当 n = k + 1 时, 2 S k +1 = a k +1 + k + 1 . 2 ∴ 2( a k +1 + S k ) = a k +1 + k + 1 , 2 ∴ a k +1 = 2 a k +1 + 2 S k ? ( k + 1)

= 2a k +1 + ( k 2 + k ) ? (k + 1) = 2a k +1 + ( k 2 ? 1)
(以下同证法一) ………………9 分 (Ⅲ)证法一:要证 nx + 1 +

ny + 1 ≤ 2(n + 2) ,

用心 爱心 专心

- 11 -

只要证 nx + 1 + 2 (nx + 1)(ny + 1) + ny + 1 ≤ 2( n + 2) ,…………10 分 即 n( x + y ) + 2 + 2 n xy + n ( x + y ) + 1 ≤ 2( n + 2) ,…………11 分
2

将 x + y = 1 代入,得 2 n xy + n + 1 ≤ n + 2 ,
2

即要证 4( n xy + n + 1) ≤ ( n + 2) ,
2 2

即 4 xy ≤1. …………………………12 分 ∵ x > 0 , y > 0 ,且 x + y = 1 , ∴

xy ≤

x+ y 1 = , 2 2

即 xy ≤

1 ,故 4 xy ≤1 成立, 4

所以原不等式成立. ………………………14 分 证法二:∵ x > 0 , y > 0 ,且 x + y = 1 ,

n +1 ≤ 2 2 1 当且仅当 x = 时取“ = ”号. 2
∴ nx + 1 ?

nx + 1 +

n +1 2


………………………11 分

n ny + 1 + + 1 n 2 +1 ≤ ∴ ny + 1 ? ② 2 2 1 当且仅当 y = 时取“ = ”号. ……………………12 分 2
①+②, 得( nx + 1 + 当且仅当 x = y = ∴ nx + 1 +

ny + 1 )

n n( x + y ) + 4 + n +1 ≤ = n+ 2, 2 2
………………………13 分

1 时取“ = ”号. 2

ny + 1 ≤ 2(n + 2) .

……………………14 分

证法三:可先证 a + b ≤ 2(a + b) . ∵ ( a + b ) 2 = a + b + 2 ab ,

……………………10 分

( 2(a + b) ) 2 = 2a + 2b , a + b ≥ 2 ab ,……………………………11 分
用心 爱心 专心 - 12 -

∴ 2a + 2b ≥ a + b + 2 ab , ∴ 2(a + b) ≥ a + b , 当且仅当 a = b 时取等号. ………………12 分 令 a = nx + 1 , b = ny + 1 , 即得: nx + 1 +

ny + 1 ≤ 2(nx + 1 + ny + 1) = 2(n + 2) ,

当且仅当 nx + 1 = ny + 1 即x = y =

1 时取等号. ………………………14 分 2

用心 爱心 专心

- 13 -


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