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2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题


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年高考试题数学(理科) 2011 年高考试题数学(理科)
概率
一、选择题: 选择题 1.(2011 年高考浙江卷理科 9) 5 本不同的书,其中语文书 2 本,数学书 2 本,物理书 1 (2011 9)有 本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率 (A)

1 5

(B)

2 5

(C)

3 5

(D )

4 5

【答案 答案】B 答案 【解析 解析】由古典概型的概率公式得 P = 1 ? 解析
2 2 3 2 2 2 A2 A2 A32 + A3 A2 A2 2 = . 5 5 A5

5)从 2. (2011 年高考辽宁卷理科 5) 1,2,3,4,5 中任取 2 各不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”,事件 B=“取到的 2 个数均为偶数”,则 P(B︱A)= (A)

1 8

(B)

1 4

(C)

2 5

(D)

1 2

年高考全国新课标卷理科 4)有 3. (2011 年高考全国新课标卷理科 4) 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个 小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

解析:因为甲乙两位同学参加同一个小组有 3 种方法,两位同学个参加一个小组共有

3 × 3 = 9 种方法;所以,甲乙两位同学参加同一个小组的概率为

3 1 = 9 3

点评:本题考查排列组合、概率的概念及其运算和分析问题、解决问题的能力。

【解析】D.由题得甲队获得冠军有两种情况,第一局胜或第一局输第二局胜,所以甲队获 解析】D.由题得甲队获得冠军有两种情况,第一局胜或第一局输第二局胜, 由题得甲队获得冠军有两种情况

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得冠军的概率 P =

1 1 1 3 + × = . 所以选 D. 2 2 2 4

5.(2011 年高考湖北卷理科 7) (2011 7)如图,用 K、A1、A2 三类不同的元件连成一个系统.当 K 正常 工作且 A1、A2 至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知 K、A1、A2 正常工作的概率依次 为 0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为 A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576

答案:B
1 解析:系统正常工作概率为 C2 × 0.9 × 0.8 × (1 ? 0.8) + 0.9 × 0.8 × 0.8 = 0.864 ,所以选 B.

6.(2011 年高考陕西卷理科 10) (2011 10)甲乙两人一起去“2011 西安世园会” ,他们约定,各自独立 地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览, 每个景点参观 1 小时, 则最后一小时他们同在一个 景点的概率是 (A)

1 36

(B)

1 9

(C)

5 36

(D)

1 6

【答案】D 【解析】 :各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览有 C6C6C5C5C4C4C3C3 种,且等 可能,最后一小时他们同在一个景点有 C6C5C5C4C4C3C3 种,则最后一小时他们同在一个 景点的概率是 p =
1 1 1 1 1 1 1 C6C5C5C4C4C3C3 1 = ,故选 D 1 1 1 1 1 1 1 1 C6C6C5C5C4C4C3C3 6
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

7. (2011 年高考四川卷理科 12) 12)在集合 {1, 2,3, 4,5} 中任取一个偶数 a 和一个奇数 b 构成以 原点为起点的向量 a=(a,b).从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平 行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为 n ,其中面积不超过 4 的平行四边形的个数为 ...

m ) =( n 4 1 (A) (B) 15 3

m ,则

(C)

2 5

(D)

2 3

答案:B 解析:基本事件: 从(2,1), (2,3), (2, 5), (4,1), (4,5), (4,3)选取2个,n = C6 = 3 × 5 = 15 .其
2

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中面积为 2 的平行四边形的个数 (2,3)(4, 5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1) ;其中面积为 4 的平行四 边形的为 (2,3)(2, 5); (2,1)(2,3) ; m=3+2=5 故

m 5 1 = = . n 15 3

8.(2011 年高考福建卷理科 4) (2011 4)如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点,若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于

1 4 1 C. 2
A. 【答案】C 二、填空题: 填空题

1 3 2 D. 3
B.

1.(2011 年高考浙江卷理科 15) (2011 15)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递 了个人简历, 假定该毕业生得到甲公司面试的概率为

2 , 得到乙、 丙两公司面试的概率为 p , 3

且三个公司是否让其面试是相互独立的。记 ξ 为该毕业生得到面试得公司个数。若

P (ξ = 0) =
【答案】

1 ,则随机变量 ξ 的数学期望 Eξ = 12

5 3 2 3
2

【解析】 P (ξ = 0) = (1 ? )(1 ? p ) = :

1 1 ? p = , ξ 的取值为 0,1,2,3 12 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 4 P (ξ = 0) = , P (ξ = 1) = (1 ? ) 2 + (1 ? ) (1 ? ) + (1 ? )(1 ? ) = 12 3 2 3 2 2 3 2 2 12 21 1 2 1 1 2 11 5 2 1 1 2 P (ξ = 2) = (1 ? ) + (1 ? ) + (1 ? ) = , P (ξ = 3) = ? ? = 32 2 3 2 2 3 2 2 12 3 2 2 12 1 4 5 2 5 故 Eξ = 0 × + 1× + 2 × + 3 × = 12 12 12 12 3 1 1 ,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于 , 2 4

2. (2011 年高考江西卷理科 12)小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆 年高考江西 江西卷理科 内投掷一点,若此点到圆心的距离大于

则去打篮球;否则,在家看书,则小波周末不在家看书的概率为 【答案】

13 16

【解析】小波周末不在家看书包含两种情况:一是去看电影;二是去打篮球;所以小波周末不

1?
在家看书的概率为

π
4

16 = 13 . π 16
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+

π

3. (2011 年高考湖南卷理科 15) 15)如图 4,EFGH 是以 O 为圆心,半径为 1 的圆内

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接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内” 表 ,B 示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内” ,则(1) P

( A) =

;(2)

P(B A) =
答案: P

.

( A) = 2 ;
π

P(B A) =

1 4

解析: (1)是几何概型: P

( A) =

S正 2 P( AB) 1 = ; = . (2)是条件概率: P(B A) = S圆 π P( A) 4

评析:本小题主要考查几何概型与条件概率的计算. 4. (2011 年高考湖北卷理科 12) 30 瓶饮料中,有 3 瓶已过了保质期,从这 30 瓶饮料中任 12)在 取 2 瓶,则至少取到 1 瓶已过保质期的概率为 答案:
28 145
2 C27 28 = . 2 C30 145

(结果用最简分数表示)

解析:因为 30 瓶饮料中未过期饮料有 30-3=27 瓶,故其概率为 P = 1 ?

5.(2011 年高考重庆卷理科 13) (2011 13)将一枚均匀的硬币投掷 6 次,则正面出现的次数比反面出现 的次数多的概率为 解析:

11 。硬币投掷 6 次,有三类情况,①正面次数比反面次数多;②反面次数比正面 32
3 3 3 6

5 ?1? ?1? 次数多;③正面次数而后反面次数一样多; ,③概率为 C ? ? × ? ? = ,①②的概率 ? 2 ? ? 2 ? 16

1?
显然相同,故①的概率为

5 16 = 11 2 32

6.(2011 年高考安徽卷江苏 5) 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数 (2011 5)从 是另一个的两倍的概率是______ 【答案】

1 3

【解析】从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,所有可能的取法有 6 种, 满足“其 中一个数是另一个的两倍”的所有可能的结果有(1,2),(2,4)共 2 种取法,所以其中一个数是另 一个的两倍的概率是

2 1 = . 6 3

7.(2011 年高考福建卷理科 13) (2011 13)盒中装有形状、大小完全相同的 5 个球,其中红色球 3 个,
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黄色球 2 个。 若从中随机取出 2 个球, 则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于_______。 【答案】

3 5
x P(ε=x) 1 ? 2 ! 3 ?

8.(2011 年高考上海卷理科 9) (2011 9)马老师从课本上抄录一个随机变量 ε 的概率分布律如下表

”处无法完全看清,且两个“?”处字迹模糊, 请小牛同学计算 ε 的数学期望,尽管“! 但能肯 定这两个“?”处的数值相同。据此,小牛给出了正确答案 Eε = 【答案】 2 9.(2011 年高考上海卷理科 12) (2011 12)随机抽取 9 个同学中,至少有 2 个同学在同一月出生的概 率是 (默认每月天数相同,结果精确到 0.001 ) 。 【答案】 0.985 三、解答题: 解答题 18)( 1. (2011 年高考山东卷理科 18)(本小题满分 12 分) 红队队员甲、 进行围棋比赛, 各一盘, 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛,甲对 A,乙对 B,丙对 C 各一盘, 0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立。 已知甲胜 A,乙胜 B,丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立。 (Ⅰ)求红队至少两名队员获胜的概率; 求红队至少两名队员获胜的概率; 表示红队队员获胜的总盘数, (Ⅱ)用 ξ 表示红队队员获胜的总盘数,求 ξ 的分布列和数学期望 Eξ . 【解析】 (Ⅰ)红队至少两名队员获胜的概率为 。

0.6 × 0.5 × 0.5 × 2 + 0.4 × 0.5 × 0.5 + 0.6 × 0.5 × 0.5 =0.55.
(Ⅱ) ξ 取的可能结果为 0,1,2,3,则

P (ξ = 0) = 0.4 × 0.5 × 0.5 =0.1; P (ξ = 1) = 0.6 × 0.5 × 0.5 + 0.4 × 0.5 × 0.5 + 0.4 × 0.5 × 0.5 =0.35; P (ξ = 2) = 0.6 × 0.5 × 0.5 × 2 + 0.4 × 0.5 × 0.5 =0.4; P (ξ = 3) = 0.6 × 0.5 × 0.5 =0.15.
所以 ξ 的分布列为
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ξ
P

0 0.1

1 0.35

2 0.4

3 0.15

数学期望 Eξ =0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6. 2. (2011 年高考辽宁卷理科 19) 19)(本小题满分 12 分) 某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙) 进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成 n 小块地,在总共 2n 小块地中,随机选 n 小块 地种植品种甲,另外 n 小块地种植品种乙. (I)假设 n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为 X,求 X 的分布列和 数学期望; (II)试验时每大块地分成 8 小块,即 n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块 地上的每公顷产量(单位:kg/hm2)如下表:

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差; 根据试验结果, 你认为应该 种植哪一品种? 附:样本数据 x1,x2,…,xa 的样本方差 s =
2 2 2 2 1? x1 ? x + x1 ? x + ??? + xn ? x ? ,其 ? ? ? n?

(

) (

)

(

)

中 x 为样本平均数. (I)X 可能的取值为 0,1,2,3,4,且

P( X = 0) = P( X = 1) = P( X = 2) =

1 1 = , 4 C8 70
1 3 C4 C4 8 = , 4 35 C8 2 C4 C42 18 = , 35 C84

3 1 C 4 C4 8 P( X = 3) = = , 4 35 C8

P( X = 4) =
即 X 的分布列为 X P 0

1 1 = . 4 C8 70

1

2

3

4

1 70

8 35

18 35

8 35

1 70

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X 的数学期望是:

E ( X ) = 0×

1 8 18 8 1 + 1× + 2 × + 3 × + 4 × = 2 . 70 35 35 35 70

(II)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:

1 x甲 = (403 + 397 + 390 + 404 + 388 + 400 + 412 + 406) = 400, 8 1 S甲 = (32 + (?3) 2 + (?10)2 + 42 + (?12)2 + 0 2 + 122 + 6 2 ) = 57.25. 8
………………8 分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:

1 x乙 = (419 + 403 + 412 + 418 + 408 + 423 + 400 + 413) = 412, 8 1 2 S乙 = (7 2 + (?9) 2 + 02 + 6 2 + (?4) 2 + 112 + (?12)2 + 12 ) = 56. 8
………………10 分 由以上结果可以看出, 品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数, 且两品种的样本 方差差异不大,故应该选择种植品种乙. 3.(2011 年高考安徽卷理科 20) (2011 20)(本小题满分 13 分) 工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务,每次只派一个人进去,且每个 人只派一次,工作时间不超过 10 分钟,如果有一个人 10 分钟内不能完成任务则撤出,再派 下一个人。 现在一共只有甲、 丙三个人可派, 乙、 他们各自能完成任务的概率分别 p1 , p2 , p3 , 假设 p1 , p2 , p3 互不相等,且假定各人能否完成任务的事件相互独立. (Ⅰ)如果按甲在先,乙次之,丙最后的顺序派人,求任务能被完成的概率。若改变三个 人被派出的先后顺序,任务能被完成的概率是否发生变化? (Ⅱ)若按某指定顺序派人,这三个人各自能完成任务的概率依次为 q1 , q2 , q3 ,其中

q1 , q2 , q3 是 p1 , p2 , p3 的一个排列,求所需派出人员数目 X 的分布列和均值(数字期望)
EX ;
(Ⅲ)假定 1 > p1 > p2 > p3 ,试分析以怎样的先后顺序派出人员,可使所需派出的人员 数目的均值(数字期望)达到最小。 【命题意图】 :本题考查相互独立事件的概率计算,考查离散型随机变量及其分布列,均值 等基本知识,考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理, 分类讨论思想,应用意识与创新意识。
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【解析】(Ⅰ)无论怎样的顺序派出人员,任务不能被完成的概率都是 :

(1? p1 ) ? (1? p2 ) ? (1? p3 ) ,所以任务能被完成的概率为 1? (1? p1 ) ? (1? p2 ) ? (1? p3 ) = p1 + p2 + p3 ? p1 p2 ? p1 p3 ? p2 p3 + p1 p2 p3
(Ⅱ)当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为 q1 , q2 , q3 时,所需派出人员 数目 X 的分布列为

X

1

2

3

P

q1

(1? q1 ) ? q2

(1? q1 ) ? (1? q2 )

所需派出人员数目 X 的均值(数字期望) EX 是 (Ⅲ ) (方法一) 由(2)的结 论知,当一甲最先、乙 次之、丙最后的顺序派 人时, EX = 3 ? 2 p1 ? p2 + p1 p2 , 依据常理,优先派出完成任务概率最大的人,可减少派出人员数目的均值. 下 面 证 明 : 对 与 p1 , p2 , p3 的 任 意 排 列 q1 , q2 , q3 , 都 有 3 ? 2q1 ? q2 + q1q2 ≥

3 ? 2 p1 ? p2 + p1 p2 . 事实上, (3 ? 2q1 ? q2 + q1q2 ) ? (3 ? 2 p1 ? p2 + p1 p2 ) = 2( p1 ? q1 ) + ( p2 ? q2 ) ? p1 p2 + q1q2 = 2( p1 ? q1 ) + ( p2 ? q2 ) ? ( p1 ? q1 ) p2 ? q1 ( p2 ? q2 )
= (2 ? q1 )( p1 ? q1 )+( ? q1 )( p2 ? q2 ) 1 ≥ (1 ? q1 )[( p1 + p2 ) ? ( q1 + q2 )] ≥0, 即 3 ? 2q1 ? q2 + q1q2 ≥ 3 ? 2 p1 ? p2 + p1 p2 成立. (方法二) :①可将(Ⅱ)中所求的 EX 改写为 3 ? ( q1 + q2 ) + q1q2 ? q1 ,若交换前两人的派 出顺序,则变为 3 ? ( q1 + q2 ) + q1q2 ? q2 ,可见,当 q2 > q1 时,交换前两人的派出顺序可减 少均值; ②也可将(Ⅱ)中所求的 EX 改写为 2 ? 2q1 ?) ? (1 ? q1 ) q2 ,交换后两人的派出顺序,则变 为 2 ? 2q1 ?) ? (1 ? q1 ) q3 ,由此可见,若保持派出的人选不变,当 q3 > q2 时,交换后两人的 派出顺序也可减少均值. 综合①②可知,当( q1 , q2 , q3 )=( p1 , p2 , p3 )时, EX 达到最小, 即完成任务概率最大的人优先派出, 可减少所需派出人员数目的均值, 这一结论是合乎常理 的. 【解题指导】 :当问题的情境很复杂时,静下心来读懂题意是第一要务,在读懂题意的前提 下抽象概括出数学模型。 第三问需用合情推理与演绎推理相结合的办法解决, 同时运用分类 讨论思想,难度非常大。但这一问很好地体现了《考试说明》的要求“能从大量数据中抽取
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对研究问题有用的信息,并作出判断。“创新意识是理性思维的高层次表现,对数学问题的 ” “观察、猜测、抽象、概括、证明” ,是发现问题和解决问题的重要途径,对数学知识的迁 移、组合、融会的程度越高,显示出的创新意识也就越强。 ” 4. (2011 年高考全国新课标卷理科 19) 19)(本小题满分 12 分) 某种产品的质量以其质量指标值衡量, 质量指标值越大表明质量越好, 且质量指标值大于或 等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产了 100 件这种产品,并测试了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果: A 配方的频数 分布表 指标值分组 频数

[90,94)
8

[94,98)
20

[98,102)
42

[102,106)
22

[106,110)
8

B 配方的频数分布表 指标值分组 频数

[90,94)
4

[94,98)
12

[98,102)
42

[102,106)
32

[106,110)
8

(Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

?? 2 (t < 94) ? y = ?2 (94 ≤ t < 102 ?4 (t ≥ 102) ?
从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元) ,求 X 的分布列及数学 期望.(以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的 概率) 解析: (Ⅰ)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的平率为 A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3。 由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42 ( Ⅱ ) 用 B 配 方 生 产 的 100 件 产 品 中 , 其 质 量 指 标 值 落 入 区 间

22 + 8 =0.3 ,所以用 100

32 + 10 = 0.42 ,所以用 B 配 100

[90, 94 ) , [94,102 ) , [102,110] 的频率分别为 0.04,,054,0.42,因此 X 的可能值为-2,2,4
P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,
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即 X 的分布列为

X P

-2 0.04

2 0.54

4 0.42

X 的数学期望值 EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 5. (2011 年高考天津卷理科 16)(本小题满分 13 分) 年高考天津 天津卷理科 ) 学校游园活动有这样一个游戏项目: 个白球、 个黑球, 学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球,乙箱子里装有 1 个 白球、2 个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球, 白球、 个黑球,这些球除颜色外完全相同, 个球, 则获奖 (每次游戏结束后将球放回原箱) 若摸出的白球不少于 2 个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱) (i) 个白球的概率; (ii) (Ⅰ)求在一次游戏中, )摸出 3 个白球的概率; )获奖的概率; 求在一次游戏中, ( ( 获奖的概率; (Ⅱ)求在两次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E ( X ) . 【解析】本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件 解析】 和相互独立事件等基础知识,考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力. (Ⅰ) (i)设“在一次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai (i = 0,1, 2, 3) ,则

P( A3 ) =

1 C32C2 1 = . C52C32 5

(ii)设“在一次游戏中获奖”为事件 B,则 B= A2 ∪ A3 ,又
1 1 1 2 C3C2C2 + C32C2 1 1 1 7 = ,且 A2 , A3 互斥,所以 P ( B ) = P ( A2 ) + P ( A3 ) = + = . P( A2 ) = 2 2 2 2 5 10 C5 C3

(Ⅱ)由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,,2,

7 2 9 ) = , 10 100 7 21 1 7 P( X =1)= C2 ? (1 ? ) = , 10 10 50 7 2 49 P( X =2) = ( ) = , 10 100
P( X =0)= (1 ? 所以 X 的分布列是

X
P

0

1

2

21 50 9 21 49 7 X 的数学期望 E ( X ) = 0 × + 1× + 2 × = . 100 50 100 5
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9 100

49 100

6.(2011 年高考江西卷理科 16)(本小题满分 12 分) (2011 年高考江西 江西卷理科

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某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别.公司准备了两种不 同的饮料共 8 杯,其颜色完全相同,并且其中 4 杯为 A 饮料,另外 4 杯为 B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料.若 4 杯都选对, 则月工资定为 3500 元;若 4 杯选对 3 杯,则月工资定为 2800 元,否则月工资定为 2100 元, 令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数,假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力. (1)求 X 的分布列; (2)求此员工月工资的期望. 解析:(1)X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4, 则 P( x = i) = X P 0
i C4C44?i (i = 0,1, 2, 3, 4) ,所以所求的分布列为 C84

1

2

3

4

1 70

16 70

36 70

16 70

1 70

(2)设 Y 表示该员工的月工资,则 Y 的所有可能取值为 3500,2800,2100,

1 16 53 , , , 70 70 70 1 16 53 所以 E (Y ) = 3500 × + 2800 × + 2100 × = 2280 . 70 70 70
相对的概率分别为 所以此员工工资的期望为 2280 元. 本题考查排列、组合的基础知识及概率分布、数学期望. 7. (2011 年高考湖南卷理科 18) 18)(本小题满分 12 分) 某商店试销某种商品 20 天,获得如 下数据: 日销售量(件) 频数 0 1 1 5 2 9 3 5

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变).设某天开始营业时由该商品 3 件, 当天营业结束后检查存货,若发现存量少于 2 件,则当天进货补充至 3 件,否则不进货.将 ... ... 频率视为概率.

(Ι) 求当天商店不进货的概率; .... (ΙΙ) 记 X 为第二天开始营业时该商品视为件数,求 X 的分布列和数学期望.
解:
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(Ι) P“当天商店不进货” = P“当天商品销售量为 ( ) (

) 0件” +

( ) P“当天销售量为 1件”
= 1 5 3 + = 20 20 10

(ΙΙ) 由题意知, X 的可能取值为 2,3.

( ) P( X = 2) = P“当天销售量为 1件” =

5 1 = 20 4

( ) ( ) P( X = 3) = P“当天商品销售量为 0件” + P“当天销售量为 2件”
+ P“当天销售量为 故 X 的分布列为

(

) 3件” =

1 9 5 3 + + = 20 20 20 4

X

2

3

P

1 4
1 3 11 = 2 × + 3× = . 4 4 4

3 4

所以 X 的数学期望为 EX

评析:本大题主要考查生活中的概率统计知识和方法.求离散型随机变量的分布列和数学期 望的方法,以及互斥事件概率的求法. 8. (2011年高考广东卷理科17)(本小题满分13分) (2011年高考广东卷理科17)(本小题满分13分 年高考广东卷理科17) 13 为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、 为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别 抽取14件和5 抽取14件和5件,测量产品中微量元素x,y的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的 14件和 测量产品中微量元素x 的含量(单位:毫克) 下表是乙厂的5 测量数据: 测量数据:

(1)已知甲厂生产的产品共98件,求乙厂生产的产品数量; 已知甲厂生产的产品共98件 求乙厂生产的产品数量; 98 (2)当产品中的微量元素x,y满足≥175且y≥75,该产品为优等品,用上述样本数据估计 产品中的微量元素x 满足≥175且 75,该产品为优等品,
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乙厂生产的优等品的数量; 乙厂生产的优等品的数量; 件产品中, (3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随即抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中优等品数 ξ 的分 布列及其均值(即数学期望) 布列及其均值(即数学期望). 【解析】解: 解析】 (1)

98 = 7, 5 × 7 = 35 ,即乙厂生产的产品数量为 35 件。 14 2 , 5

(2)易见只有编号为 2,5 的产品为优等品,所以乙厂生产的产品中的优等品 故乙厂生产有大约 35 ×

2 = 14 (件)优等品, 5

(3) ξ 的取值为 0,1,2。
1 1 C32 C3 × C2 3 C32 3 1 P(ξ = 0) = 2 = , P(ξ = 1) = = , P(ξ = 2) = 2 = 2 5 C5 10 C5 C5 10

所以 ξ 的分布列为

ξ
P

0

1

2

3 10
故 ξ的均值为Eξ = 0 ×

6 10 3 3 1 4 + 1× + 2 × + = . 10 5 10 5

1 10

9.(2011 年高考陕西卷理科 20) (2011 20)(本小题满分 13 分) 如图, 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2 A 所用时间落在各时间段内的频率如下表: 时间(分钟) 10 , 据统计, 通过两条路径所用的时间互不影响,

20

20 30
0.2 0.1

30
0.3 0.4

40

40 50
0.2 0.4

50
0.2 0.1

60

L1 的频率 0.1 L2 的频率 0

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站。 (Ⅰ)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径? (Ⅱ) X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数, 用 针对 (Ⅰ) 的选择方案, 求 X 的分布列和数学期望。 【解析】 : (Ⅰ) Ai 表示事件 “甲选择路径 Li 时, 分钟内赶到火车站” Bi 表示事件 40 , “乙 , 选择路径 Li 时,50 分钟内赶到火车站” i = 1, 2 用频率估计相应的概率可得
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P( A1 ) = 0.1 + 0.2 + 0.3 = 0.6 , P( A2 ) = 0.1 + 0.4 = 0.5 。Q P( A1 ) > P( A2 ) ∴ 甲应选择 L1 P( B1 ) = 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 = 0.8 ,P( B2 ) = 0.1 + 0.4 + 0.4 = 0.9 Q P( B1 ) > P( B2 ) ∴ 乙应
选择 L2 (Ⅱ)A、B 分别表示针对(Ⅰ)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站,由 (Ⅰ)知 P ( A) = 0.6 P ( B ) = 0.9 又由题意知,A,B 独立,

∴ P ( X = 0) = P ( AB ) = P ( A) P ( B ) = 0.4 × 0.1 = 0.04

P ( X = 1) = P ( AB + AB ) = P ( A) P ( B ) + P ( A) P ( B ) = 0.4 × 0.9 + 0.6 × 0.1 = 0.42 P ( X =) = P ( AB ) = P ( A) P ( B ) = 0.6 × 0.9 = 0.54 ∴ X 的分布列为
X P 0 0.04 1 0.42 2 0.54
[来源:学_科_网]

∴ EX = 0 × 0.04 + 1× 0.42 + 2 × 0.54 = 1.5
10.(2011 年高考重庆卷理科 17) (2011 17)(本小题满分 13 分。 (Ⅰ)小问 5 分(Ⅱ)小问 8 分.) 某市公租房房屋位于 A.B.C 三个地区, 设每位申请人只申请其中一个片区的房屋, 且申请其 中任一个片区的房屋是等可能的,求该市的任 4 位申请人中: (Ⅰ)若有 2 人申请 A 片区房屋的概率; (Ⅱ)申请的房屋在片区的个数的 ξ 分布列与期望。 恰有 2 人申请 A 片区房源的申请方式有 C4 2 解析: (Ⅰ) 所有可能的申请方式有 3 种, 种,从而恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为 (Ⅱ) ξ 的所有可能值为 1,2,3.又
2 C4 2 2 8 = 4 3 27
4

2

2

C32 ( 24 ? 2 ) 14 C42 A33 4 3 1 p (ξ = 1) = 4 = , p (ξ = 2 ) = = , p (ξ = 3) = = 3 27 34 27 34 9
综上知, ξ 的分布列为:

ξ
p

1

2

3

1 27

14 27

4 9

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从而有 Eξ = 1×

1 14 4 65 + 2 × + 3× = 27 27 9 27

11.(2011 年高考四川卷理科 18) (2011 18)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多。 某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费,超过两小时的收费标准为 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算) 。有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设 甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 为

1 1 , ;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别 4 2

1 1 , ;两人租车时间都不会超过四小时。 2 4

(Ⅰ)求出甲、乙所付租车费用相同的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ξ ,求 ξ 的分布列与数学期望 Eξ ; 解析: (1)所付费用相同即为 0, 2, 4 元。设付 0 元为 P = 1 4 元为 P3 =

1 1 1 1 1 1 ? = ,付 2 元为 P2 = ? = ,付 4 2 8 2 4 8

1 1 1 ? = 4 4 16 5 16

则所付费用相同的概率为 P = P + P2 + P = 1 3

(2)设甲,乙两个所付的费用之和为 ξ , ξ 可为 0, 2, 4, 6,8

P(ξ = 0) = P(ξ P(ξ P(ξ P(ξ

1 8 1 1 1 1 5 = 2) = ? + ? = 4 4 2 2 16 1 1 1 1 1 1 5 = 4) = ? + ? + ? = 4 4 2 4 2 4 16 1 1 1 1 3 = 6) = ? + ? = 4 4 2 4 16 1 1 1 = 8) = ? = 4 4 16

分布列

ξ
P

0

2

4 5 16

6 3 16

8 1 16

1 5 8 16 5 5 9 1 7 Eξ = + + + = . 8 4 8 2 2

12. (2011 年高考全国卷理科 18) (本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) 年高考全国 全国卷理科 ) ......... 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买甲
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种保险的概率为 0.3,设各车主购买保险相互独立 (I)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 l 种的概率; (Ⅱ)X 表示该地的 l00 位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数。求 ξ 的期望。 【解析】 :设该车主购买乙种保险的概率为 p ,由题: p × (1 ? 0.5) = 0.3 ,解得 p = 0.6 (Ⅰ)设所求概率为 P ,则 P =1 ? (1 ? 0.5) × (1 ? 0.6) = 0.8. 故该地 1 位车主至少购买甲、 1 1 乙两种保险中的 l 种的概率为 0.8. (Ⅱ) 甲乙两种保险都不购买的概率为 1-0.8=0.2.设甲乙两种保险都不购买的车主数为 ξ , 则ξ B(100,0.2) Eξ = 100 × 0.2 = 20 ,

答:该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 l 种的概率为 0.8, ξ 的期望值是 20。 13.(2011 年高考北京卷理科 17) (2011 17)本小题共 13 分 以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊,无 法确认,在图中以 X 表示。

(Ⅰ)如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差; (Ⅱ)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵树 Y 的分布列和数学期望。 (注:方差 s = 注
2 2 2 2 1? x1 ? x + x2 ? x + K + xn ? x ? ,其中 x 为 x1 , x2 ,…… xn ? ? ? n?

(

) (

)

(

)

的平均数) 【命题意图】本题考查运用茎叶图给出统计数据求平均值和方差、利用统计数据 求概率和随机变量的分布和期望的计算,考查数据处理能力和运算求解能力,是中 档题. 【解析】 (1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10, 所以平均数为 x = 方差为 s =
2

8 + 8 + 9 + 10 35 = ; 4 4

1 35 35 35 35 11 [(8 ? ) 2 + (8 ? ) 2 + (9 ? ) 2 + (10 ? ) 2 ] = . 4 4 4 4 4 16

(Ⅱ)当 X=9 时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵树是:9,9,11,11;乙组 同学的植树棵数是:9,8,9,10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有 4×4=16 种可能的结果,这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17,18,19,20,
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21 事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树 9 棵, 乙组选出的同学植树 8 棵”所以该 事件有 2 种可能的结果,因此 P(Y=17)= 同理可得 P (Y = 18) =

2 1 = . 16 8

1 1 1 1 ; P (Y = 19) = ; P (Y = 20) = ; P (Y = 21) = . 4 4 4 8

所以随机变量 Y 的分布列为: Y P 17 18 19 20 21

1 8

1 4

1 4

1 4

1 8

EY=17×P(Y=17)+18×P(Y=18)+19×P(Y=19)+20×P(Y=20)+21×P(Y=21) =17×

1 1 1 1 1 +18× +19× +20× +21× =19 8 4 4 4 8

14.(2011 年高考福建卷理科 19) (2011 19)(本小题满分 13 分) 某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 X 依次为 1,2,……,8,其中 X ≥5 为标准 A,X≥为标准 B,已知甲厂执行标准 A 生产该产品,产品的零售价为 6 元/ 件;乙厂执行标准 B 生产该产品,产品的零售价为 4 元/件,假定甲、乙两厂得产品都 符合相应的执行标准 (I)已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下所示:

x1
P

5 0.4

6 a

7 b

8 0.1

且 X1 的数字期望 EX1=6,求 a,b 的值; (II)为分析乙厂产品的等级系数 X2,从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级 系数组成一个样本,数据如下: 3 6 8 5 3 3 3 4 4 3 7 3 8 5 4 5 3 4 5 4 7 6 8 5 3 5 6 4 3 7

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数 X2 的数学期 望. (III)在(I)(II)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购 、 买性?说明理由.

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注: (1)产品的“性价比”=

产品的等级系数的数学期望 ; 产品的零售价

(2) “性价比”大的产品更具可购买性. 解析:本小题主要考查概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意 识,考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想,满分 13 分。 解: (I)因为 EX 1 = 6, 所以5 × 0.4 + 6a + 7b + 8 × 0.1 = 6, 即6a + 7b = 3.2. 又由 X1 的概率分布列得 0.4 + a + b + 0.1 = 1, 即a + b = 0.5. 由?

?6a + 7b = 3.2, ?a = 0.3, 解得 ? ?a + b = 0.5. ?b = 0.2.

(II)由已知得,样本的频率分布表如下:

X2
f

3 0.3

4 0.2

5 0.2

6 0.1

7 0.1

8 0.1

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数 X2 的概率分布 列如下:

X2
P 所以

3 0.3

4 0.2

5 0.2

6 0.1

7 0.1

8 0.1

EX 2 = 3P ( X 2 = 3) + 4 P ( X 2 = 4) + 5 P ( X 2 = 5) + 6 P ( X 2 = 6) + 7 P ( X 2 = 7) + 8 P ( X 2 = 8)

= 3 × 0.3 + 4 × 0.2 + 5 × 0.2 + 6 × 0.1 + 7 × 0.1 + 8 × 0.1 = 4.8.
即乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8. (III)乙厂的产品更具可购买性,理由如下:

6 = 1. 6 4.8 因为乙厂产吕的等级系数的期望等于 4.8,价格为 4 元/件,所以其性价比为 = 1.2. 4
因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于 6,价格为 6 元/件,所以其性价比为 据此,乙厂的产品更具可购买性。

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