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2017模拟卷-江苏省常州市溧阳市2017届高三上学期期初数学检测试卷(理科) Word版含解析


2016-2017 学年江苏省常州市溧阳市高三(上)期初数学检测试 卷(理科)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. 1.已知集合 A={0,1},B={﹣1,0,a+3},且 A? B,则 a= . 2.命题 p:? x∈R,使得 f(x)=x,则?p 为 . 3.已知集合 M={x|x2﹣2x﹣3<0}和 N={x|x>1}的关系如图所示,则阴影部分所表示的集 合为 .

4.“p∨q 为真命题”是“?p 为假命题”成立的 5.设全集 U=R,A={x

条件. . .

>0},?UA=[﹣1,﹣n],则 m2+n2=

6.已知集合 A={x|x﹣ =0,x∈R},则满足 A∪B={﹣1,0,1}的集合 B 的个数是

7.设 x∈R,则“|x﹣2|<1”是“x2+x﹣2>0”的 条件. (填充分不必要、必要不充分、充 要条件、既不充分也不必要) 8.若命题“? x∈R,使得 x2+(a﹣1)x+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范围是 . 9.命题 p:若 ? >0,则 与 的夹角为锐角; 命题 q:若函数 f(x)在(﹣∞,0]及(0,+∞)上都是减函数,则 f(x)在(﹣∞,+∞) 上是减函数.下列说法:①“p∨q”是真命题;②“p∨q”是假命题;③非 p 为假命题;④非 q 为假命题. 其中正确的是 (填序号) . 10. 1, 2, 3, 4, 5}且?UA={x∈N*|1≤x≤3}, 若全集 U={0, 则集合 A 的真子集共有 个. 11.设 p:实数 x 满足 x2﹣4ax+3a2<0,其中 a<0,q:实数 x 满足 x2﹣x﹣6≤0 或 x2+2x ﹣8>0,且非 p 是非 q 的必要不充分条件,则实数 a 的范围是 . 12.已知两个非空集合 A={x|x(x﹣3)<4},B={x| ≤a},若 A∩B=B,则实数 a 的取 值范围是 . 13. 若 x<m﹣1 或 x>m+1 是 x2﹣2x﹣3>0 的必要不充分条件, 则实数 m 的取值范围是 . 2 2 14.设 p:方程 x +2mx+1=0 有两个不相等的正根;q:方程 x +2(m﹣2)x﹣3m+10=0 无实 根.则使 p∨q 为真,p∧q 为假的实数 m 的取值范围是 . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答卷纸指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15.若集合 A={x|x2﹣2x﹣8<0},B={x|x﹣m<0}. (1)若 m=3,全集 U=A∪B,试求 A∩(?UB) ; (2)若 A∩B=?,求实数 m 的取值范围; (3)若 A∩B=A,求实数 m 的取值范围.

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16.设 p:|4x﹣3|≤1;q:x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0.若¬p 是¬q 的必要而不充分条件, 求实数 a 的取值范围. 17.设 p:函数 y=loga(x+1) (a>0 且 a≠1)在(0,+∞)上单调递减; q:曲线 y=x2+(2a ﹣3)x+1 与 x 轴交于不同的两点.如果 p∧q 为假,p∨q 为真,求实数 a 的取值范围. 18. (1)已知点 P(3,1)在矩阵 A= 它的逆矩阵 A﹣1. (2) 在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 C 的参数方程为 m 为常数) (α 为参数, . 以 变换下得到点 P′(5,﹣1) .试求矩阵 A 和

原点 O 为极点,以 x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ρcos(θ﹣ )= .若直线 l 与圆 C 有两个公共点,求实数 m 的取值范围.

19.求证:关于 x 的方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负根的充要条件是 a≤1. 20.已知函数 f(x)=ex,g(x)=x﹣b,b∈R. (1)若函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象相切,求 b 的值; (2)设 T(x)=f(x)+ag(x) ,a∈R,求函数 T(x)的单调增区间; (3)设 h(x)=|g(x)|?f(x) ,b<1.若存在 x1,x2∈[0,1],使|h(x1)﹣h(x2)| >1 成立,求 b 的取值范围.

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2016-2017 学年江苏省常州市溧阳市高三(上)期初数学 检测试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. 1.已知集合 A={0,1},B={﹣1,0,a+3},且 A? B,则 a= . 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【分析】由 A 为 B 的子集,得到 A 中的所有元素都属于 B,得到 a+3=1,即可求出 a 的值. 【解答】解:∵集合 A={0,1},B={﹣1,0,a+3},且 A? B, ∴a+3=1, 解得:a=﹣2. 故答案为:﹣2 2.命题 p:? x∈R,使得 f(x)=x,则?p 为 . 【考点】命题的否定. 【分析】根据特称命题的否定是全称命题,即可得到结论. 【解答】解:∵命题 p 是特称命题, ∴特称命题的否定是全称命题, 即¬p:? x∈R,都有 f(x)≠x, 故答案为:? x∈R,都有 f(x)≠x. 3.已知集合 M={x|x2﹣2x﹣3<0}和 N={x|x>1}的关系如图所示,则阴影部分所表示的集 合为 .

【考点】Venn 图表达集合的关系及运算. 【分析】根据 Venn 图得阴影部分对应的集合是 M∩N,然后根据交集定义进行求解即可. 【解答】解:依题意得 M={x|x2﹣2x﹣3<0}={x|﹣1<x<3}, 题中的阴影部分所表示的集合为 M∩N, 则 M∩N={x|1<x<3}. 故答案为:{x|1<x<3}. 4.“p∨q 为真命题”是“?p 为假命题”成立的 条件. 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】“p∨q 为真命题”则 p 或 q 为真命题,“?p 为假命题”,则 p 为真命题.因此“?p 为假 命题”? “p∨q 为真命题”,反之不成立.即可判断出. 【解答】解:“p∨q 为真命题”则 p 或 q 为真命题,“?p 为假命题”,则 p 为真命题. 因此“?p 为假命题”? “p∨q 为真命题”,反之不成立.
3

∴“p∨q 为真命题”是“?p 为假命题”成立必要不充分条件. 故答案为:必要不充分. >0},?UA=[﹣1,﹣n],则 m2+n2=

5.设全集 U=R,A={x



【考点】补集及其运算;其他不等式的解法. 【分析】根据集合 A 的补集及全集 R,得到集合 A 的范围,然后把集合 A 中的其他不等式 化为 x﹣1 与 x+m 同号,根据范围的端点即可得到 m 与 n 的值,将 n 与 m 的值代入所求的 式子中,即可求出值. 【解答】解:由?UA=[﹣1,﹣n],知 A=(﹣∞,﹣1)∪(﹣n,+∞) , 即不等式 >0 的解集为(﹣∞,﹣1)∪(﹣n,+∞) ,

而不等式

>0 可化为:





所以﹣n=1,﹣m=﹣1, 因此 m=1,n=﹣1, 所以 m2+n2=2 故答案为:2

6.已知集合 A={x|x﹣ =0,x∈R},则满足 A∪B={﹣1,0,1}的集合 B 的个数是 【考点】并集及其运算. 【分析】求出集合 A,利用集合之间的运算关系即可得到结论. 【解答】解:解方程 x﹣ =0,得 x=1 或 x=﹣1,所以 A={1,﹣1}, 又 A∪B={﹣1,0,1}, 所以 B={0}或{0,1}或{0,﹣1}或{0,1,﹣1}, 集合 B 共有 4 个. 故答案为:4.



7.设 x∈R,则“|x﹣2|<1”是“x2+x﹣2>0”的 条件. (填充分不必要、必要不充分、充 要条件、既不充分也不必要) 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【解答】解:由|x﹣2|<1 得﹣1<x﹣2<1,得 1<x<3, 由 x2+x﹣2>0 得 x>1 或 x<﹣2, 则(1,3)?(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) , 2 故“|x﹣2|<1”是“x +x﹣2>0”的充分不必要条件, 故答案为:充分不必要 8.若命题“? x∈R,使得 x2+(a﹣1)x+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范围是 【考点】二次函数的性质. .

4

【分析】因为不等式对应的是二次函数,其开口向上,若“? x∈R,使得 x2+(a﹣1)x+1< 0”,则相应二次方程有不等的实根. 【解答】解:∵“? x∈R,使得 x2+(a﹣1)x+1<0 ∴x2+(a﹣1)x+1=0 有两个不等实根 ∴△=(a﹣1)2﹣4>0 ∴a<﹣1 或 a>3 故答案为: (﹣∞,﹣1)∪(3,+∞) 9.命题 p:若 ? >0,则 与 的夹角为锐角; 命题 q:若函数 f(x)在(﹣∞,0]及(0,+∞)上都是减函数,则 f(x)在(﹣∞,+∞) 上是减函数.下列说法:①“p∨q”是真命题;②“p∨q”是假命题;③非 p 为假命题;④非 q 为假命题. 其中正确的是 (填序号) . 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】先判断命题 p,q 的真假,利用复合命题与简单命题之间的关系进行判断. 【解答】解:∵当 a?b>0 时,a 与 b 的夹角为锐角或零度角, ∴命题 p 是假命题; ∵若函数 f(x)在(﹣∞,0]及(0,+∞)上都是减函数,则 f(x)在(﹣∞,+∞)上是 减函数, ∴命题 q 是假命题,例如,f(x)= 综上可知,“p∨q”是假命题,故②正确. 故答案为:② 10. 1, 2, 3, 4, 5}且?UA={x∈N*|1≤x≤3}, 若全集 U={0, 则集合 A 的真子集共有 个. 【考点】子集与真子集. 【分析】对于有限集合,我们有以下结论:若一个集合中有 n 个元素,则它有 2n 个子集.有 2n﹣1 个真子集. 【解答】解:∵?UA={x∈N*|1≤x≤3}, ∴?UA={1,2,3} ∴A={0,4,5},所以集合 A 的真子集有 23﹣1=7 个. 故答案为:7 11.设 p:实数 x 满足 x2﹣4ax+3a2<0,其中 a<0,q:实数 x 满足 x2﹣x﹣6≤0 或 x2+2x ﹣8>0,且非 p 是非 q 的必要不充分条件,则实数 a 的范围是 . 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】利用不等式的解法分别化简命题 p,q.由于,非 p 是非 q 的必要不充分条件,即 非 q? 非 p,且非 p 推不出非 q,等价于 p? q 且 q 推不出 p,即可得出. 【解答】解:对于命题 p:由 x2﹣4ax+3a2<0 及 a<0,得 3a<x<a,即 p:3a<x<a. 对于命题 q:又由 x2﹣x﹣6≤0,得﹣2≤x≤3,由 x2+2x﹣8>0,得 x<﹣4 或 x>2, 那么 q:x<﹣4 或 x≥﹣2. 由于,非 p 是非 q 的必要不充分条件,即非 q? 非 p,且非 p 推不出非 q, 等价于 p? q 且 q 推不出 p,
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于是,得





解得﹣ ≤a<0 或 a≤﹣4, 故所求 a 的范围为[﹣ ,0)∪(﹣∞,﹣4]. 故答案为:[﹣ ,0)∪(﹣∞,﹣4].

12.已知两个非空集合 A={x|x(x﹣3)<4},B={x| ≤a},若 A∩B=B,则实数 a 的取 值范围是 . 【考点】交集及其运算. 【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A,根据 B 为非空集合确定出 a 的范围,进而求出 B 中不等式的解集,根据 A 与 B 的交集为 B,得到 B 为 A 的子集,确定出 a 的范围即可. 【解答】解:由 A 中不等式 x(x﹣3)<4,解得:﹣1<x<4, ∴A=(﹣1,4) , 又 B 是非空集合, ∴a≥0,即 B=[0,a2], ∵A∩B=B, ∴B? A, ∴a2<4, 解得:0≤a<2, 则实数 a 的取值范围是[0,2) . 故答案为:[0,2) . 13. 若 x<m﹣1 或 x>m+1 是 x2﹣2x﹣3>0 的必要不充分条件, 则实数 m 的取值范围是 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式之间的关系进行求解即可. 【解答】解:由 x2﹣2x﹣3>0 得 x>3 或 x<﹣1, 若 x<m﹣1 或 x>m+1 是 x2﹣2x﹣3>0 的必要不充分条件, 则 即 , , .

即 0≤m≤2, 故答案为:[0,2] 14.设 p:方程 x2+2mx+1=0 有两个不相等的正根;q:方程 x2+2(m﹣2)x﹣3m+10=0 无实 根.则使 p∨q 为真,p∧q 为假的实数 m 的取值范围是 . 【考点】四种命题间的逆否关系;函数与方程的综合运用. 【分析】由使 p∨q 为真,P∧q 为假,则 p,q 中必然一真一假,故我们可以根据 p:方程 x2+2mx+1=0 有两个不相等的正根;q:方程 x2+2(m﹣2)x﹣3m+10=0 无实根.求出各种情

6

况下,m 的取值范围,综合分析后,即可得到使 p∨q 为真,P∧q 为假的实数 m 的取值范 围. 【解答】解:∵p∨q 为真,P∧q 为假 ∴p 与 q 一个为真,一个为假 由 p:方程 x2+2mx+1=0 有两个不相等的正根 当 P 为真时,m<﹣1,则 p 为假时,m≥﹣1 由 q:方程 x2+2(m﹣2)x﹣3m+10=0 无实根 当 q 为真时,﹣2<m<3,则 q 为假时,m≤﹣2,或 m≥3 当 p 真 q 假时,m≤﹣2 当 p 假 q 真时,﹣1≤m<3 故使 p∨q 为真,P∧q 为假的实数 m 的取值范围是(﹣∞,﹣2]∪[﹣1,3) 故答案为: (﹣∞,﹣2]∪[﹣1,3) 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答卷纸指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15.若集合 A={x|x2﹣2x﹣8<0},B={x|x﹣m<0}. (1)若 m=3,全集 U=A∪B,试求 A∩(?UB) ; (2)若 A∩B=?,求实数 m 的取值范围; (3)若 A∩B=A,求实数 m 的取值范围. 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】 (1) 先求出集合 A 和集合 B, 然后由 U=A∪B 求出全集 U, 由此能够求出 A∩ (CuB) . (2)先分别求出集合 A 和 B,然后由 A∩B=?,可以求出实数 m 的取值范围. (3)先分别求出集合 A 和 B,然后由 A∩B=A,通过分类讨论,能够求出实数 m 的取值范 围. 【解答】解: (1)A={x|﹣2<x<4},若 m=3,B={x|x<3}, 全集 U=A∪B={x|﹣2<x<4}∪{x|x<3}={x|x<4}. ∴A∩(CuB)={x|﹣2<x<4}∩{x|3≤x<4}={x|3≤x<4}. (2)A={x|﹣2<x<4},B={x|x<m}, ∵A∩B=?,∴{m|m≤﹣2}. (3)∵A={x|﹣2<x<4},B={x|x<m}, ①当 m=4 时,B={x|x<4},显然 A∩B=A 成立 ②当 m>4 时,很明显 A∩B=A 也是成立的 ③当 m<4 时,得到 A∩B={x|﹣2<x<m}≠A,不成立 综上有 m≥4. 16.设 p:|4x﹣3|≤1;q:x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0.若¬p 是¬q 的必要而不充分条件, 求实数 a 的取值范围. 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;命题的真假判断与应用. 【分析】根据绝对值的性质和十字相乘法分别求出命题 p 和 q,再根据¬p 是¬q 的必要而 不充分条件,可以推出 p? q,再根据子集的性质进行求解; 【解答】解:∵p:|4x﹣3|≤1;q:x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0, ∴p:﹣1≤4x﹣3≤1,解得{x| ≤x≤1},q:{x|a≤x≤a+1}, ∵¬p 是¬q 的必要而不充分条件,

7

∴¬q? ¬p,¬p 推不出¬q,可得 p? q,q 推不出 p, ∴ 解得 0≤a≤ ,验证 a=0 和 a= 满足题意,

∴实数 a 的取值范围为:a∈[0, ]; 17.设 p:函数 y=loga(x+1) (a>0 且 a≠1)在(0,+∞)上单调递减; q:曲线 y=x2+(2a ﹣3)x+1 与 x 轴交于不同的两点.如果 p∧q 为假,p∨q 为真,求实数 a 的取值范围. 【考点】复合命题的真假. 【分析】 先根据对数函数的单调性, 和二次函数图象和 x 轴交点的情况与判别式的关系即可 求出命题 p,q 下的 a 的取值范围.根据 p∧q 为假,p∨q 为真即可判断 p,q 的真假情况, 根据 p,q 的真假情况即可求出 a 的取值范围. 【解答】解:p:∵函数 y=loga(x+1)在(0,+∞)上单调递减; ∴0<a<1; q:曲线 y=x2+(2a﹣3)x+1 与 x 轴交于不同的两点; ∴△=(2a﹣3)2﹣4>0,解得 ∵p∧q 为假,p∨q 为真,∴p,q 一真一假; 若 p 真 q 假,则:0<a<1,且 若 p 假 q 真,则:a>1,且 a ∴实数 a 的取值范围为 ,∴ ,∴ . ; ; ;

18. (1)已知点 P(3,1)在矩阵 A= 它的逆矩阵 A﹣1.

变换下得到点 P′(5,﹣1) .试求矩阵 A 和

(2) 在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 C 的参数方程为

m 为常数) (α 为参数, . 以

原点 O 为极点,以 x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ρcos(θ﹣ )= .若直线 l 与圆 C 有两个公共点,求实数 m 的取值范围.

【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (1)依题意得= A.det(A)= = = ,即 ,解出即可得出

=﹣1,即可得出 A 的逆矩阵 A﹣1. cosθ+ sinθ)

(2)圆 C 的普通方程为(x﹣m)2+y2=4.直线 l 的极坐标方程化为 ρ ( =

,利用互化公式可得:直角坐标方程.利用点到直线的距离公式及其直线与圆的相交的 充要条件即可得出.

8

【解答】解: (1)依题意得= ∴ ∴A= ∵det(A)= ∴A 的逆矩阵 A﹣1= (2)圆 C 的参数方程为 的普通方程为(x﹣m)2+y2=4. 直线 l 的极坐标方程化为 ρ ( 即 x+ y= cosθ+ ,解得 . .

=

=



=1×(﹣1)﹣0×2=﹣1, . (α 为参数,m 为常数) ,利用平方关系可得:圆 C

sinθ)=



,化简得 x+y﹣2=0. ,

∵圆 C 的圆心为 C(m,0) ,半径为 2,圆心 C 到直线 l 的距离 d= ∴d= 解得 2﹣2 <2, <m<2+2 .

19.求证:关于 x 的方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负根的充要条件是 a≤1. 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】通过讨论 a 的范围结合二次函数的性质分别证明其充分性和必要性即可. 【解答】证明:充分性:当 a=0 时,2x+1=0,其根为 x=﹣ ,方程有一个负根,符合题意, 当 a<0 时,△=4﹣4a>0,方程 ax2+2x+1=0 有 2 个不相等的实数根,且两根之积为 <0, 方程两根一正一负,符合题意, 当 0<a≤1 时,△=4﹣4a≥0,方程 ax2+2x+1=0 有实数根且



故方程两根均为负,符合题意, 综上知,当 a≤1 时,方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负根, 必要性:若方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负根, 当 a=0 时,方程 2x+1=0 符合题意, 当 a≠0 时,方程 ax2+2x+1=0 应有一正根一负根或两个负根,

9

则 <0 或

,解得 a<0 或 0<a≤1,

综上知:方程 ax2+2x+1=0 至少有一负根,则 a≤1, 故方程 ax2+2x+1=0 至少有一负根的充要条件是 a≤1. 20.已知函数 f(x)=ex,g(x)=x﹣b,b∈R. (1)若函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象相切,求 b 的值; (2)设 T(x)=f(x)+ag(x) ,a∈R,求函数 T(x)的单调增区间; (3)设 h(x)=|g(x)|?f(x) ,b<1.若存在 x1,x2∈[0,1],使|h(x1)﹣h(x2)| >1 成立,求 b 的取值范围. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)设切点为(t,et) ,由导数的几何意义,可得 et=1,且 et=t﹣b,即可得到 b= ﹣1; (2)求出 T(x)的导数,讨论当 a≥0 时,当 a<0 时,由导数大于 0,可得增区间; (3)求出 h(x)的分段函数,讨论 x 的范围,求得单调区间,对 b 讨论,求得 h(x)的最 值,由存在性思想,即可得到 b 的范围. 【解答】解: (1)设切点为(t,et) , 因为函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象相切, 所以 et=1,且 et=t﹣b, 解得 b=﹣1; (2)T(x)=ex+a(x﹣b) ,T′(x)=ex+a. 当 a≥0 时,T′(x)>0 恒成立. 当 a<0 时,由 T′(x)>0,得 x>ln(﹣a) . 所以,当 a≥0 时,函数 T(x)的单调增区间为(﹣∞,+∞) ; 当 a<0 时,函数 T(x)的单调增区间为(ln(﹣a) ,+∞) . (3)h(x)=|g(x)|?f(x)= ,

当 x>b 时,h′(x)=(x﹣b+1)ex>0, 所以 h(x)在(b,+∞)上为增函数; 当 x<b 时,h′(x)=﹣(x﹣b+1)ex, 因为 b﹣1<x<b 时,h′(x)=﹣(x﹣b+1)ex<0, 所以 h(x)在(b﹣1,b)上是减函数; 因为 x<b﹣1 时,h′(x)=﹣(x﹣b+1)ex>0, 所以 h(x)在(﹣∞,b﹣1)上是增函数. ①当 b≤0 时,h(x)在(0,1)上为增函数. 所以 h(x)max=h(1)=(1﹣b)e,h(x)min=h(0)=﹣b. 由 h(x)max﹣h(x)min>1,得 b<1,所以 b≤0. ②当 0<b< 时,

因为 b<x<1 时,h′(x)=(x﹣b+1)ex>0,所以 h(x)在(b,1)上是增函数,
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因为 0<x<b 时,h′(x)=﹣(x﹣b+1)ex<0,所以 h(x)在(0,b)上是减函数. 所以 h(x)max=h(1)=(1﹣b)e,h(x)min=h(b)=0. 由 h(x)max﹣h(x)min>1,得 b< 因为 0<b< ③当 ,所以 0<b< . .

≤b<1 时,

同理可得,h(x)在(0,b)上是减函数,在(b,1)上是增函数. 所以 h(x)max=h(0)=b,h(x)min=h(b)=0. 因为 b<1,所以 h(x)max﹣h(x)min>1 不成立. 综上,b 的取值范围为(﹣∞, ) .

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